数学期望和方差的应用

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数学期望和方差的应用

陈奕宏张鑫

（武警广州指挥学院广东广州５１０４４０）

摘要：本文主要讨论随机变量的数学期望和方差的性质，利用随机变量的对称性可简化求数学期望和方差的计算过程：

关键词：对称性数学期望方差

在教学过程中，由于很多同学对概牢论巾的定义和性质认识不深刻，冈此对概率论巾的问题存在许多认识误区，进一步影响了计算、证明能力。

性质ｌ对随机变量ｘ和ｙ，则有Ｅ（ｎｎ簟Ⅸ＋Ｅｙ①性质２设随机变量ｘ和ｙ相互独立，贝咿育层陇ｎ＝Ｅｘ·Ｅｙ②定义ｌ设Ｘ是一个随机变量，若ＥＩ肛删Ｉｚ存在，则称其为Ｘ的方差，记为Ｄｘ。即

Ｄｘ＝坦Ｉｘ—Ｅｘ】２③显然可得：们，－ＥｌＸ一以】２

＝Ｅ瞄２—２ｘＥＸ＋（踊２］

＝麟ｚ一（删）：④性质３设随机变量ｘ和ｙ相互独立，则有层孵ｙ：净Ｅ孵·Ｅｙ２⑤证明：设随机变量Ｘ和ｙ的联合分布密度为ｍ砂），｜ｊｌ《为ｘ和ｙ相互独立，有

“ｒ，ｙ）＝＾（掌）。，ｒ（ｙ）

．’．Ｅ（ｘ２ｙ２）＝Ｊ一。Ｊ一。工２ｙ２“ｒ，ｊ，）ｄ膏咖

＝ｅｅｘ２ｙ２以（ｒ）厂ｒ（ｙ）如咖

＝Ｃｘ２＾（工）如Ｃｙ２加）咖

：Ｅｘ２Ｅ】，２⑥性质４设随机变量ｘ和ｌ，，ｎ和西为常数，则有Ｅ（口Ｘ２＋６ｙ２）＝ｎ露ｘ２＋６曰ｙ２（Ｄ证明：设随机变量ｘ和ｌ，的联合分布密度为厂（ｘ，ｊ，），则有

Ｅ似ｘ２＋６ｙ２）＝Ｊ＋。Ｊ一。（口工２＋６ｊ，２）“ｒ，ｊ，）ｄ＿咖

＝ｅ仁ｎｘ２ｆｌｘ，，Ｍｘｄｙ＋ｅ仁ｂ矿ｆＩｘ，ｙⅪｘｄｙ

＝ｎ＼一。＼一亭２ｆＩｘ，如ｄｘｄ，＋ｂ１．。１一。旷ｆＩｘ，，Ⅺｘｄｙ

＝口ｆ）２【ｅ№ｊ，）ｄｙ】ｄｒ拍ｅｊ，２【Ｃ“础）ｄｘ协

＝口仁量２【ｅ，（Ⅵ）ｄｙＪｄｘ柏ｅｊ，２【Ｃ，（础）ｄｘ坳

＝ｎ尽２以（ｒ）ｄｙ拍Ｄ２加）ｄｙ

＝口ＥＸ２＋西Ｅｙ２

掣狮，＝∥茗引ｍ，＝驴㈣’翟引

求Ｅ伍２＋ｙ２）。

解：Ｅ（ｘ２＋ｙ２）＝Ｅｘ２＋Ｅｙｚ（南公式⑦）

＝Ｉ：一４ｒ３出＋炒．１２ｙ２（１＋ｙ）咖《

性质５设随机变量ｘ和ｙ卡Ｈ互独立，则有

Ｄ（ｘ的＝Ｄｘ·Ｄｙ＋（Ｅ幻２·Ｄｌ，＋（层ｙ）２·Ｄｘ⑧

证明：ＯＤⅨｙ）＝层（ｘｙ）２一ＩＥ（ｘｙ）Ｊ

＝Ｅ（Ｘ２ｙ２）一（ＥＸ）２（Ｅ】，）２

南公式⑤，所以

Ｄ（Ｘｎ＝ＥＸ２Ｅｙ２一（ＥＸ）２（Ｅ”２

＝曰ｘ２Ｅｌ，２一（Ｅ的２ＥＰ＋（Ｅ的２（Ｅｌ，）２一（Ｅ抑２僻ｙ）２

＝【层ｘ２一（ＥＸ）２】ＥＰ＋（Ｅｘ）２【（Ｅ】，）２一（日ｙ）２】

矗剪陋妒＋（雕净汗钮曙（联）辚苦帮

＝ｎ碰Ｉｙ＋（ＥＹ）２Ｄｙ＋（Ｅｙ）２蹦

显然，若随机变量ｘ和ｙ独立，则可得Ｄ（ｘｎ＞Ｄｘ·Ｄｙ⑨例设随机变量ｘ和ｌ，相互独立，均服从Ⅳ（Ｏ，１）分布，ｆ＝ｘ—ｙ，叩＝ｘｙ，试求１）Ｄ叩；２）ｐ￡。。

解：１）方法一

ＯＸ和ｙ相互独立

．‘．Ｄ即＝Ｄ（ｘｙ）＝Ｅ（ｘｌ，）２一【层（ｘ聊】２

＝Ｅ（ｒ—ｌ，）２一（以Ｅ的２

＝Ｅ舻ＥＰ（由公式⑤）

＝【脚“（Ｅ的２】【Ｄｙ；（Ｅ玢２】＝１

方法二

０Ｘ和ｙ相互独立

．·．Ｄｑ＝Ｄ（ｘ】，）＝似Ｄｙ＋（Ｅ柳２Ｄｙ＋（目】，）２Ｄｘ＝ｌ（由公式⑧）２）ｏｐ。：』业

ｑ厩丽

又ＯｃｏＶ（ｆ，＇７）＝层【（ｆ—Ｅｆ）（＇７一露７７）ｊ

＝层（ｘ２ｙ）一Ｅ（ｘＰ）（把ｆ＝ｘ—ｙ，’７＝ｘｙ代人）

曲（南ｘ与ｒ鹃对称性）综上所述，本文主要讨论连续型随机变量的数字特征的性质，结合对随机变量的对称性可解决存概率论巾一些常见的求数［字特征的问题。

参考文献：

…盛骤等编概率论与数理统计高等教育出版社２００１．１２口

现代企业教育ＭＯＤＥＲＮＥＮＴＥＲＰＲＩＳＥＥＤＵＣＡＴＩＯＮ１１７　万方数据

数学期望和方差的应用

作者：陈奕宏， 张鑫

作者单位：武警广州指挥学院,广东,广州,510440

刊名：

现代企业教育

英文刊名：MODERN ENTERPRISE EDUCATION

年，卷(期)：2007，(2)

引用次数：0次

1.盛骤.谢式千.潘承毅概率论与数理统计 2001

1.期刊论文陈思源利用对称性巧解概率与数学期望问题-高等数学研究2007,10(4)

给出古典概型和几何概型的实例,说明它们所具有的对称性,利用这种对称性可解决概率和数学期望问题,其方法与一般解法相比,具有初等和简明的优越性.

2.期刊论文姜玉英.刘强离散型随机变量数学期望的几种巧妙算法-大学数学2008,24(5)

利用定义求解离散型随机变量的数学期望有时显得非常复杂,本文给出了三种巧妙计算离散型随机变量数学期望的方法:对称性法、随机变量分解法、公式演变法.计算过程非常简洁,达到了简化计算的目的.

3.期刊论文肖文华.Xiao Wenhua数学期望的计算方法与技巧-湖南工业大学学报2008,22(3)

利用数学期望的定义、性质、公式、随机变量分布的对称性,以及母函数、特征函数等,探讨了数学期望的几种计算方法.

4.期刊论文张唯春.Zhang Weichun浅谈概率论中数学期望的计算方法-辽宁省交通高等专科学校学报2008,10(2) 本文介绍了用特征函数、条件数学期望、对称性等求解数学期望的方法,解法各具特色.

5.期刊论文覃光莲.Tan Guanglian数学期望的计算方法探讨-高等理科教育2006(5)

本文探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法:利用一些特殊求和与积分公式、利用数学期望定义的不同形式、利用随机变量分布的对称性、全期望公式以及特征函数等,以期对该内容的学习和教学有所启发.

6.期刊论文徐传胜离散型随机变量数学期望的求法探究-高等数学研究2005,8(1)

除借用定义求解外,利用对称性、套用已有公式、将随机变量进行分解,借助递推法、母函数法等技巧也可求出随机变量的数学期望.

7.学位论文张静一类g-概率的对称性问题2007

Choquet(1953)把概率测度扩展到一类非线性测度，称之为容度。并通过下面的式子定义了一类非线性数学期望-Choquet期望：

C(ζ)：=f<'0><,-∞>[V(ζ≥t)-1]dt+f<'∞><,0>V(ζ≥t)dt． Choquet期望处理不确定性问题，在统计，经济，金融和物理中都有非常广泛的应用。许多文章研究了它的性质和应用，具体可见Anger(1977)，Dellacherie(1970)，Graf (1980)，Satin and

Wakker(1992)，Schmeidler(1989)，Wakker(2001)，Wasserman and Kadane(1990)等等。 Choquet容度在稳健性分析，决策论和对策论中也有很广泛的应用。其中一类重要的Choquet容度是对称相关容度，在稳健性分析中许多容度都是对称相关容度，或者可以通过一对一光滑映射到对称相关容度。[Buja(1986)，Huber and Strassen(1973)，Wasserman and Kadane(1990)and Fortini and Ruggeri(1994)]．许多其他文章也研究了对称容度，具体可见Armstrong(1990)，Dempster(1967，1968)，Anger and Lembcke(1985)，Walley(1991)，Talagrand(1978)，Wasserman and Kadane(1992)等等．Peng and Pardoux(1990)提出倒向随机微分方程(以下简写BSDE)．Peng(1997)通过BSDE的解定义了g-期望和条件g-期望，并证明了在生成元g和终端值ζ满足一定条件时，g-期望和条件g-期望保持了经典数学期望除了线性性以外的一切性质。g．期望在金融中得到了广泛的应用，可参见Chert and Epstein(2002)． Chen(2005)研究了g-期望和Choquet期望之间的关系，并给出了一个充分必要条件。 在这篇文章里，我们给出了g-概率的对称性的概念。在g-期望中，有一类g-期望和Choquet期望等价，我们就研究用这类g-期望定义的g-概率的对称性问题。

8.学位论文黄泽先均值复归与资本市场效率理论创新研究2007

如何使稀缺性经济资源实现最优配置是经济学研究中最具占优性、基础性和复杂性的目标。商品市场和要素市场中衡量资源配置效率的主流准则是帕累托标准，传统的资源配置效率研究存在两个主要缺陷，一是如果两个资源配置都没有达到帕累托最优状态，那么，无法确定哪一个资源配置的效率较高，哪一个资源配置的效率较低，即资源配置效率的测度缺乏连续性；二是通过解除外部约束条件，一个帕累托次优状态实现的帕累托最优状态是否是惟一、稳定和存在的还没有定论。对资本市场而言，效率的研究更凸现了不成熟性、复杂性和不稳定性，以信息效率为主要目标的有效市场假说本身存在比较严重的缺陷，如市场有效的时间和状态动态不一致性、信息充分性悖论、信息有效和配置有效的兼容性问题、市场有效性内涵的统计性趋向严重、时间序列分析的平均权重问题、市场有效的功能脆弱性、对异象的解释不足、联合检验问题等等，因此，有效市场理论虽然是主流，但并不成熟

，并不稳定；而其它的非主流资本市场效率理论如分形市场理论和功能观效率理论等更缺乏理论的严谨性和系统性，因此，对资本市场效率理论进一步探讨的必要性是非常突出的。本文结合帕累托标准，在确定信息理性预期下对传统的有效市场理论进行完善：同时，在不确定信息理性预期下利用贝叶斯学习和市场序列均衡理论将不可得信息引入预期模型中，尝试建立了一个新的资本市场效率分析框架即均值复归理论，最终得出与确定信息理性预期下一致的结论。 本文的第一部分首先介绍了常见的资源配置标准，如庇古标准、帕累托标准、希克斯-卡尔多标准、X-效率标准和信息效率标准：其次，探讨了瓦尔拉斯均衡中的资源配置问题，瓦尔拉斯均衡中所有消费者都是价格的接受者，价格的数学期望等于任一消费者的交易价格，价格的波动方差为零；再次探讨了帕累托均衡的存在性、惟一性和稳定性问题，指出帕累托次优状态通过帕累托改进可以实现一阶状态惟一、稳定和存在的帕累托最优或帕累托均衡状态，且帕累托均衡中的价格等于资源配置的价格数学期望或均值，即价格具有均值复归性，然而，其零阶状态虽然存在，但不惟一也不稳定；同时，在商品组合交易的基础上给出了商品市场中帕累托次优条件，并提出了用资源配置价格方差来衡量帕累托次优状态效率高低的标准，并对其统计含义进行了解释。 帕累托均衡意味着均值复归性，这是资本市场均值复归性的理论基础，将帕累托均衡引入资本市场是接下来的主要工作之一，另一部分的工作是对传统有效市场理论进行完善，并时刻保持了这两项工作的协同性和一致性。 在锁定上述思路后，本文的第二部分主要基于确定信息理性预期拓展了传统拓展的有效市场理论。完善次优理论是本文的理论基础，同时，为了保持对理论的继承性，首先引入了确定性信息和不确定信息理性预期分析方法，以期为不可得信息进入预期模型提供理论支撑，这是传统有效市场理论与构建均值复归理论的主要方法论基础。其次，不可缺少的一步是对有效市场理论，包括有效市场的基本内涵、分类、实证检验技术、发展脉络进行简单回顾，并对其不足进行反思。最后

，回到本文的主题，通过将不可得信息引入确定信息理性预期模型中，并通过若干概念的界定探讨了资本市场信息有效和资源配置有效之间的关系，指出在一定条件下，市场条件有效等价于事后帕累托最优，而市场完全有效等价于事前帕累托最优；同时，指出事前帕累托最优的证券价格序列方差为零，而其它状态均导致证券价格序列方差非零性。本文的第三部分是从另一条思路切入，即基于不确定信息理性预期发展有效市场理论。首先，通过贝叶斯统计理论、市场序列均衡理论论证了价格完全反映了所有可得信息等价于价格的均值复归性；其次，探讨了均值复归理论与有效市场理论之间的关系