2012年高考理科数学试题、答案-新课标

绝密*启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）
理科数学
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷
一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素
的个数为（ ）
()A 3 ()B 6
()C 8 ()D 10
【解析】选D
5,1,2,3,x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
()A 12种 ()B 10种
()C 9种 ()D 8种
【解析】选A
甲地由1名教师和2名学生：12
2412C C =种
（3）下面是关于复数21z i
=
-+的四个命题：其中的真命题为（ ）
1:2p z = 2
2:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-
()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34
【解析】选C 22(1)
11(1)(1)i
z i i
i i --=
=
=---+-+--
1:p z =2
2:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-
（4）设12F F 是椭圆222
2
:
1(0)x y E a b a
b
+
=>>的左、右焦点，P 为直线32
a x =
上一点，
∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
()
A 12
()B
23
()
C 34
()
D 45
【解析】选C
∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形2213
32()224
c P F F F a c c e a ⇒==-=⇔=
=
（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）
()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7
【解析】选D
472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和
实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）
()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()
B 2
A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数
()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数
【解析】选C
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18
【解析】选B
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932
V =⨯⨯⨯⨯=
（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B
两点，AB =C 的实轴长为（ ）
()
A ()
B ()
C 4 ()
D 8
【解析】选C
设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --
得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=
（9）已知0ω>，函数()sin()4
f x x π
ω=+在(
,)2
π
π上单调递减。

则ω的取值范围是（ ）
()A 15[
,]24 ()B 13[,]24 ()C 1
(0,]2
()D (0,2] 【解析】选A
592()[,
]4
44x π
ππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D 351()[
,
]4
44
x π
ππ
ωω=⇒+
∈ 合题意 排除()()B C
另：()22π
ωππω-≤⇔≤，3()[,][
,]4
2
44
22
x π
π
π
π
ππ
ωωπω+
∈+
+
⊂
得：315,2
4
2
4
2
2
4
π
π
π
π
πωπωω+
≥
+
≤
⇔≤≤
（10） 已知函数1()ln(1)f x x x
=
+-；则()y f x =的图像大致为（ ）
【解析】选B
()l n (1)()1()010,()00()(0)
x
g x x x g x x g x x g x x g x g '=+-⇒=-
+''⇒>⇔-<<
<⇔>⇒<=
得：0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D
（11）已知三棱锥S A B C -的所有顶点都在球O 的求面上，A B C ∆是边长为1的正三角形，
S C 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
()
A 6
()B
6
()C
3
()
D 2
【解析】选A
A B C ∆
的外接圆的半径3
r =
，点O 到面ABC
的距离3
d ==
S C 为球O 的直径⇒点S 到面ABC
的距离为23d =
此棱锥的体积为1123
3
4
3
6
ABC V S d ∆=
⨯=
⨯
=
另：123
6
ABC V S R ∆<
⨯=
排除,,B C D
（12）设点P 在曲线12
x
y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）
()A 1ln 2- ()B
ln 2)- ()C 1ln 2+ ()
D (1l n 2)
+
【解析】选A 函数12
x
y e =
与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称
函数12
x
y e =
上的点1(,
)2
x
P x e 到直线y x =
的距离为d =
设函数min min 11()()1()1ln 22
2
x
x
g x e x g x e g x d '=
-⇒=
-⇒=-⇒=
由图象关于y x =对称得：PQ
最小值为min 2ln 2)d =-
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量,a b
夹角为45︒
，且1,2a a b =-= ；则_____b =
【解析】_____b =
222(2)1044cos 4510a b a b b b b ︒
-=⇔-=⇔+-=⇔=
(14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
；则2z x y =-的取值范围为
【解析】2z x y =-的取值范围为 [3,3]
- 约束条件对应四边形O A B C 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C
则2[3,3]z x y =-∈-
（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3
正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从 正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为
【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
38
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N
得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12
p =
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2
131(1)4
P p =--=
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138
p p p =⨯=
（16）数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为
【解析】{}n a 的前60项和为 1830
可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 1123415151410
10
1516
1830
2
b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+
⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知,,a b c
分别为A B C ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c +--=
（1）求A （2）若2a =，A B C ∆的面积为3
；求,b c 。

【解析】（1）由正弦定理得：
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C +
--=⇔-
=+
s i n c o s 3s i n s i n s i n ()s i n
1
s i n c o s
1
s i n (
30)2
303060
A C A C a C C A A A A A ︒
︒
︒
︒
⇔+
=++⇔-
=⇔-=⇔-=⇔=
（2）1sin 42
S bc A bc =
=⇔=
2222c o s 4a b c b c A b c =+-⇔+=
解得：2b c ==（l fx lby ）
18.（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，
数学期望及方差；
（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
请说明理由。

【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-= 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-
得：1080(15)
()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨
≥⎩
（2）（i ）X 可取60，70，80
(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== X
600.1700.2800.776E X =⨯+⨯+⨯= 2
2
2
160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯= （ii ）购进17枝时，当天的利润为
(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=
76.476> 得：应购进17枝
（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112
A C
B
C A A ==
，
D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1
（1）证明：BC DC ⊥1
（2）求二面角11C BD A --的大小。

【解析】（1）在R t D A C ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒∠=
同理：1114590A D C C D C ︒︒∠=⇒∠=
得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BC D D C BC ⇒⊥ （2）11,D C BC C C BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥
取11A B 的中点O ，过点O 作O H B D ⊥于点H ，连接11,C O C H
1111
11
A C
B
C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A B
D 1C O ⇒⊥面1A B D 1
O H B D C H B D ⊥⇒
⊥
得：点H 与点D 重合
且1C D O ∠是二面角11C BD A --的平面角
设A C a =，则12
C O =，111230C
D C O C DO ︒
=
=⇒∠=
既二面角11C BD A --的大小为30︒
（20）（本小题满分12分）
设抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，
F A 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；
（1）若0
90=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；
（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到,m n 距离的比值。

【解析】（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p =
点A 到准线l
的距离d FA FB ===
12
2
A B D S BD d p ∆=⇔
⨯⨯=⇔=
圆F 的方程为22(1)8x y +-= （2）由对称性设2
00(,
)(0)2x A x x p
>，则(0,
)2
p F
点,A B 关于点F 对称得：2
2
22
00(,)3222
x x p B x p p x p p
p
--
⇒-
=-
⇔=
得：3,
)2
p A
，直线3:022
p
p
p m y x x -
=+⇔-
+
=
2
2
223
3
x
x x py y y x p p
p
'=⇔=
⇒=
=⇒=⇒
切点)3
6
p P
直线:06
3
3
6
p n y x x p -
=
-
⇔--
=
坐标原点到,m n
距离的比值为:
32
6
=。

（lfx lby ）
（21）（本小题满分12分）
已知函数()f x 满足满足1
2
1()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+
；
（1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若2
1()2
f x x ax b ≥
++，求(1)a b +的最大值。

【解析】（1）1
211()(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+
⇒=-+
令1x =得：(0)1f =
1
21
1()(1)(0)(1)1(1)2
x f x f e x x f f e f e --'''=-+
⇒==⇔=
得：21()()()12
x
x
f x e x x
g x f x e x '=-+⇒==-+
()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔< 得：()f x 的解析式为2
1()2x f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）2
1()()(1)02
x
f x x ax b h x e a x b ≥
++⇔=-+-≥得()(1)x
h x e a '=-+
①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾
②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-
()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>
当x =m ax ()2
e F x =
当1,a b =
=
(1)a b +的最大值为2
e
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，,D E 分别为A B C ∆边,AB AC 的中点，直线D E 交
A B C ∆的外接圆于,F G 两点，若//C F A B ，证明：
（1）C D B C =； （2）B C D G B D ∆∆
【解析】（1）//C F A B ，//////D F BC C F BD AD C D BF ⇒⇒= //C F AB AF BC BC C D ⇒=⇔= （2）//BC G F BG FC BD ⇒==
//BC G F G D E BG D D BC BD C ⇒∠=∠=∠=∠⇒B C D G B D ∆∆
（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ
⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形A B C D 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,
)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标；
（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC
PD +++的取值范围。

【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,
),(2,)3636π
π
ππ
点,,,A B C D
的直角坐标为((1,1)--
（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ
=⎧⎨=⎩为参数 2222224440t PA PB PC
PD x y =+++=++ 25620s i n [56,76]
ϕ=+∈
（lfxlby ） （24）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =++-
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥
2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩
1x ⇔≤或4x ≥
（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立
24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立
22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立
30a ⇔-≤≤。