原子轨道空间分布图的描绘
「实习1原子轨道空间分布图的描绘」
实习1 原子轨道空间分布图的描绘一、目的1. 通过计算和绘制ψ2pz 的空间分布图并讨论它的各种性质２. 加深对原子结构的理解,为进一步学习化学键理论打下基础。
二、步骤解氢原子的S ｃｈｒo ｄing ｅr 方程，可得原子轨道的数学表达式。
例如θπψcos )/()24(02/01302a r pz ea r a --=(１.1)根据ψ的数学表达式，即可描绘出ψ的空间分布图。
1.1 作ψ-r 图取a 0作为r 的单位，π241作为的单位，则可以简化为 θψcos 2/2r pz re -= (1．2)（1） 按(1.２)式计算下表所规定的r 、θ值时的ψ2pz 值。
（2） 根据下表所列数据，对每个θ值作一条ｙ2pz -r 的关系曲线（以ψ2ｐz 为纵坐标,r 为横坐标)。
６条曲线画在同一张坐标纸上,得ψ2pz -r 图1.2 作ψ空间分布图（1） 根据所画ψ2ｐz －r 的图，读出下表所需的数据,对应于每个θ、ψ2pz ，值应读出两个r 值。
（2） 在直角坐标纸上选取横轴为x 轴，纵轴为z 轴,原点为原子核位置；从原点出发,按上表θ值作辐射线。
根据表中所列的r ，θ和ψ的数据，标出各个ψ值相同的坐标位置，画出各条ψ的等值线并标明ψ值。
（3） 将θ值从９０°扩充到1８0°，表明ψ的正负号。
（4） 求出最大|ｙ|的坐标位置及该点的数值，并在图上表明。
1.3讨论（1）从上述平面图形出发，讨论ψ2pz的空间分布图形。
[从图形对x轴、y轴、z轴、xｙ平面的对称性、节面以及图形的大小（｜ｙ|=０.１为界面）等方面进行讨论]。
（2）与ψ2pｚ等值线图形对比,讨论ψ22pz的等值线图形。
（3）与ψ２pｚ图形对比讨论ｙ2pz和ψ2２pz的空间分布图。
原子轨道表示式
原子轨道表示式轨道表示式，是表示原子核外电子排布的图式之一，又称电子排布图。
用一个方框、圆圈或两条短线表示一个给定量子数n、l、m的轨道，用箭头“↑”或“↓”来区别ms的不同电子。
可以反映粒子的电子层、电子亚层和自旋方向。
但无法体现伸展方向。
可体现泡利不相容原理、能量最低原理和洪特规则。
【遵守原则】1、泡利不相容原理可以简单叙述为：一个原子轨道中最多只能容纳两个电子，并且这两个电子的自旋方向必须相反。
因而可知s亚层只有一个轨道，因而最多只能容纳两个电子，p亚层有三个轨道，最多可容纳六个电子也可以得知，第一电子层K层中因只有1s亚层，所以最多可容纳两个电子，而第二电子层L层中有2s和2p亚层，总共可以容纳八个电子，可的第n层中最多可容纳的电子数为2乘以n的平方个电子。
2、能量最低原理自然界一个普遍的规律是“能量越低越稳定”。
原子中的电子也是如此。
在不违反泡利原理的条件下，电子优先占据能量较低的原子轨道，使整个原子体系能量处于最低，这样的状态是原子的基态。
3、洪特规则从光谱实验结果总结出来的洪特规则有两方面的含义：一是对于基态原子，电子在能量相同的轨道排布时，将尽可能分占不同的轨道并且自旋方向相同；洪特规则的第二个含义是对于同一个电子亚层，当电子排布处于全满（s2、p6、d10、f14）半满（s1、p3、d5、f7）全空（s0、p0、d0、f0）时比较稳定。
【书写方法】利用能量最低原理、泡利不相容原理和洪特规则，参考基态原子的核外电子在原子轨道上的排布顺序，首先应确定原子核外电子的数目，再确定其排布顺序，最后根据泡利不相容原理和洪特规则写出其轨道表示式。
值得说明的是，因元素的化学性质与价电子的数目密切相关，因而多数情况下，为了便于研究化学性质与价电子的数目之间的关系，常常只写出原子的价电子的轨道表示式，而内层电子的轨道的表示则可以简化表示，即用相应的稀有气体的元素符号加方括号表示。
【关系】原子的轨道表示式与核外电子排布式描述的内容是完全相同的，相对而言，轨道表示式要更加详细一些，它既能明确表示出原子的核外电子排布在哪些电子层、电子亚层上，还能表示出这些电子是处于自旋相同还是自旋相反的状态，而核外电子排布式不具备后一项功能。
知识点1.9原子轨道与电子云的空间图像
第一章原子结构第三节氢原子结构的量子力学描述1.3.4 原子轨道与电子云的空间图像由于ψ(n, l, m)(x, y, z) 是一个三维空间的函数，我们很难用适当的、简单的图形表示清楚。
因此，在数学上，我们借助球坐标，作相应的变换，(x, y, z) 变换为ψ(r, q, ϕ)。
使ψ(n, l, m)x = r⋅sin q⋅cosϕy = r⋅sin q⋅sinϕz = r⋅cos qr = (x2 + y2 + z2)½经过坐标变换后，ψ(r, θ, ϕ) 可以分解为:(n, l, m)◆ψ(n, l, m)(r, θ, ϕ) = R(n, l)(r)⋅Y(l, m)(q, ϕ)◆R(n, l)(r)：波函数的径向部分，由n, l 决定◆Y(l, m)(q, ϕ)：波函数的角度部分，由l, m 决定原子轨道的角度分布图原子轨道的角度分布图(q, ϕ) 随q, ϕ变化的角度分布图表示不同方位上Ψ的相对大小,即Y(l, m)图像（径向部分视为常量）作图方法：①原子核为原点，引出方向为(q, ϕ)的向量；②从原点起，沿此向量方向截取| 的线段；长度= | Y l, m(q, ϕ)③所有这些向量的端点在空间组成一个立体曲面，就是波函数的角度分布图。
q q φq cos A cos π43),(==Y 为例：以z p 2角度函数Y l, m (q , φ)随q , φ变化的图象:S 轨道： 00012s Y Y π==s, p, d 原子轨道角度分布图（剖面正视图）s, p, d 原子轨道角度分布图（立体视图）原子轨道的角度分布图突出表示：◆原子轨道在空间伸展的极大值方向◆原子轨道的正负号（对称性）◆这些对讨论化学键形成时的轨道重叠最大方向有极其重要作用。
原子轨道的径向分布图原子轨道的径向分布图原子轨道的径向分布图：波函数径向部分R(r) 随r 变化所作的图作图方法:(r)的表达式。
写出Rn, l例. 氢原子波函数ψ( r, q, ϕ)(1s原子轨道)的径向部分为：100R10(r) = 2(1/a03)1/2 exp(-r/a0)求出不同r对应的R(r)值，并以r为横标、 R(r)为纵标作图。
原子轨道空间分布图的描绘
取 作为 r 的单位，取 位，上式可简化为：
式作为ψ的单
氢原子 ψ2pz 轨道等值线图--- 坐标单位不同
步骤一： 作Ψ-r 图
0 0° 15° 30° 45° 60° 75° 0 0 0 0 0 0 0.5 0.389 0.376 0.337 0.275 0.195 0.101 1.0 0.607 0.586 0.526 0.429 0.304 0.157 1.5 0.709 0.685 0.614 0.501 0.355 0.184 2 0.736 0.711 0.637 0.520 0.368 0.190 3 0.669 0.646 0.579 0.473 0.335 0.173 4 0.541 0.523 0.469 0.383 0.271 0.140 5 0.410 0.396 0.355 0.290 0.205 0.106 6 0.299 0.289 0.259 0.211 0.150 0.077 7 0.211 0.204 0.183 0.149 0.106 0.055 8 0.147 0.142 0.127 0.104 0.074 0.038 9 0.100 0.097 0.087 0.071 0.050 0.026
怎么画出来的, 相互之间是什么关系？ 原子轨道和电子云都是三元函数，无法在三维空间 中作图，为解决这一难题，须对函数作处理： 1、径向分布图、角度分布图 2、简化：固定 Ψ (r,θ,φ) 中的一或多个参数
原子轨道等值线图、界面图、轮廓图、网格线图，电子云分布图
氢原子ψ2pz 轨道数学表达式：
60°
75°
0.14 8.80 0.17 8.60 0.20 8.05 0.22 7.15 0.47 5.20
0.26 7.00 0.29 6.70 0.36 6.10 0.50 5.15
氢原子轨道的角度分布图
Ypz 0.489 0.432 0.244 0 -0.244 -0.432 -0.489
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CHENLI
继续3
（二）氢原子轨道的角度分布图 z θ =15°
θ = 30° θ =45° θ = 60°
+ x
-
从原点出发，引出不同θ值时的射线，在射线上截
取长度为对应的Ypz值的点，连接这些射线上的点， 并将所得的图形绕z轴旋转360°，便得到双球面图
继续9
（二）氢原子轨道的角度分布图 l = 2时，d轨道的5个图是花瓣形的。
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CHENLI
继续10
（二）氢原子轨道的角度分布图
原子轨道角度分布图中的正负号除了反映
Yl ，m(θ， )函数值的正负外，也反映电子的波
动性。它类似经典波中的波峰与波谷，当两个
波相遇产生干涉时，同号则相互加强，异号则
CHENLI
继续2
（二）氢原子轨道的角度分布图
l = 1，m = 0时，即 p轨道角度波函数的值， 随方位角θ和φ的改变而改变。
以pz轨道为例，Ypz
3 cos，cosθ变化如下：
4
θ
0º 30° 60° 90° 120° 150° 180°
cos θ 1 0.866 0.5 0 -0.5 -0.866 -1
（二）氢原子轨道的角度分布图
波函数的一般形式为
ψn，l，m(r,θ，) = R n，l(r)·Yl ，m(θ，) 。
角度分布图是将径向波函数R n，l (r)视为常量 来考虑ψ在不同方位上的相对大小，即角度波函数
Yl ，m(θ，) 随方位角(θ， )变化的图形。
由于角度波函数只与轨道角动量量子数和磁 量子数有关，而与主量子数无关，只要l、m相同， 即使n不同，它们的角度分布图都是一样的。
高考化学：杂化轨道理论(图解)
高考化学：杂化轨道理论(图解)一、原子轨道角度分布图S PxPy Pz dz2dx2-y2dxy dxz dyz二、共价键理论和分子结构㈠、共价键理论简介1、经典的化学键电子理论:1916年德国化学家柯塞尔(Kossel)和1919年美国化学家路易斯(Lewis)等提出了化学键的电子理论。
他们根据稀有气体原子的电子层结构特别稳定这一事实，提出各元素原子总是力图(通过得失电子或共用电子对)使其最外层具有8电子的稳定结构。
柯塞尔用电子的得失解释正负离子的结合。
路易斯提出，原子通过共用电子对而形成的化学键称为共价键(covalent[k?u`veilent]bond[b?nd])。
用黑点代表价电子(即最外层s,p轨道上的电子)，可以表示原子形成分子时共用一对或若干对电子以满足稀有气体原子的电子结构。
为了方便，常用短线代替黑点，用“-”表示共用1对电子形成的共价单键，用“=”表示2对电子形成的共价双键,“≡”表示3对电子形成的共价叁键。
原子单独拥有的未成键的电子对叫做孤对电子(lone[l?un]pair[pε?]e lectron[i`lektr?n])。
Lewis结构式的书写规则又称八隅规则(即8电子结构)。
评价贡献:Lewis共价概念初步解释了一些简单非金属原子间形成共价分子的过程及其与离子键的区别。
局限性:①、未能阐明共价键的本质和特性;②、八隅规则的例外很多。
PCl5SF6BeCl2BF3NO,NO2…中心原子周围价电子数10 12 4 6 含奇数价电子的分子…③、不能解释某些分子的性质。
含有未成对电子的分子通常是顺磁性的(即它们在磁场中表现出磁性)例如O2。
2、1927年德国的海特勒Heitler和美籍德国人的伦敦London两位化学家建立了现代价键理论，简称VB理论(电子配对法)。
1931年，鲍林在电子配对的基础上提出了杂化轨道理论的概念，获1954年诺贝尔化学奖。
3、1928年-1932年，德国的洪特(F.Hund)和美国的马利肯(R.S.Mulliken)两位化学家提出分子轨道理论，简称MO理论。
原子的结构和性质
0
14
2.1.2 分离变量法求解薛定谔方程
运用分离法变量法使ψ( r, θ, φ)变成只 含一种变数的函数R(r)、Θ(θ)和Φ(φ)的乘积:
r,, Rr
15
sin2 (r2 R ) sin (sin )
R r r
2mr 2sin 2
2
E
Ze2 40 r
1
2 2
D = r2R2n,l(r)
41
2.3.2 原子轨道的径向部分与电子云 的径向部分
原子轨道的态函数形式非常复杂, 表达成图形才便于讨论化学问题。
42
作图对象重要涉及： (1) 态函数 (即轨道)和电子云；
(2) 完全图形和部分图形； 完全图形有: 态函数图：ψ(r,θ,φ) 电子云图：|ψ(r,θ,φ)|2
9
类氢原子的薛定谔方程：
哈密顿算符： H
2
2
ze2
2m
4 0 r
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
薛定谔方程表达式：
2 2 2m
ze2
4 0
r
E
r x2 y2 z2
10
11
通过坐标变换，将 Laplace算符从直角坐 标系(x, y, z)换成球坐 标系(r, θ, ф):
2
1 r2
21
2.1.4 类氢原子的态函数
1.态函数表达式：
n,l,m r, , Rn,l r l,m m
令： Yl,m ( ,) l,m ( ) m ()
则： n,l,m Rn,l (r) Yl,m ( , )
22
Rn,l (r) : 径向态函数
Yl,m ( ,) : 角度态函数
2-2-2 原子轨道和电子云的图形
4. 等值线、轨道界面
电子云的等值线图形
例1. 讨论氦离子He+2s态波函数的节面位置和 形状.
1
2s
1 4
Z3
2a03
2 2
Zr a0
e
Zr a0
2s
A 2
Zr a0
e
Zr a0
要使2s=0
应有:
2 2rБайду номын сангаас 0 a0
氢原子3pz电子云界面图
原子轨道界面与电子云界面是同一界面, 原子轨道界 面值的绝对值等于电子云界面值的平方根, 原子轨道界面 图的不同部分可能有正负之分, 由波函数决定.
轨道节面分为两种: 角度节面(平面或锥面)有l个;
径向节面(球面)有n-l -1个. 共有n-1个节面.
通常所说的原子轨道图形，应当是轨道界面图.
规律：
① 在r=0处（核处） s型函数在核处有最大值 p型函数在核处为0
② 节面 (n-l-1)个 ns 有n-1个节面 np 有n-2个节面 Rn, l，有n-l-1个节面
③ 最大值分布 ns n，最大值离核越近 np n，最大值离核越近
R(r)与R2(r)的最大值离核越近 意味着电子主要出现在核附近
这说明r=a0处在单位球壳厚度内找到电子的几率 比任何其它地方单位球壳内电子出现的几率要大
② 极大值个数：
0.6
0.3
1s
0
径向分布函数有n-l个极大值，00..2146
有n-l-1个节面
0.08 0
2s
0.24
③ 主峰-最大值出现的位置
0.16 0.08
2p
ns n，主峰离核越远
0 0.16
ns n，主峰离核越远
1-36号元素轨道图
成键能力越强）sp<sp2<sp3<dsp2<sp3d<sp3d2
杂化轨道的特点: ①、所组成的几个杂化轨道具有相同的能量； ②、形成的杂化轨道数目等于原有的原子轨 道数目；③、杂化轨道的空间伸展方向一定 （亦即，杂化轨道的方向不是任意的，杂化 轨道之间有一定的夹角）；④、杂化轨道的 成分：每个杂化轨道的成分之和为１；每个 参加杂化的原子轨道，在所有杂化轨道中的 成分之和为１（单位轨道的贡献）。
能量最低原理： 核外电子在运动时，总是优先占据能 量更低的轨道，使整个体系处于能量最 低的状态。 泡利不相容原理: 同一轨道上最多容纳两个自旋相反的 电子。该原理有两个推论：
①若两电子处于同一轨道，其自旋方 向一定不同；
②若两个电子自旋相同，它们一定不 在同一轨道；
③每个轨道最多容纳两个电子。
洪德规则:电子在简并轨道上排 布时，将尽可能分占不同的轨
原子p轨道
乙烯的分子 结构。
乙烯分子比例模型
核外电子排布的一般规律： (1)核外电子总是尽量先排布在能量较低的电 子层，然后由里向外，依次排布在能量逐步升 高的电子层(能量最低原理)。 (2)原子核外各电子层最多容纳2个电子。 (3)原于最外层电子数目不能超过8个(K层为最 外层时不能超过2个电子 (4)次外层电子数目不能超过18个(K层为次外 层时不能超过2个)，倒数第三层电子数目不能 超过32个。
1-36号元素原子的电子排布式和轨道表示式
原子 元素 序数 名称
氢原子轨道的角度分布图 PPT
（二）氢原子轨道的角度分布图
l = 0，m = 0
Ys(,)
1 0.282
4
（a）
（b）
（c）
图 s轨道的角度分布图
(a) s 轨道的角度波函数是一个常数。原子核位于
原点，离核距离相同的点上函数值处处相等。不随θ， 而变，所以s轨道的角度分布图呈球面；
继续
（二）氢原子轨道的角度分布图
l = 1，m = 0时，即 p轨道角度波函数的值， 随方位角θ和φ的改变而改变。
以pz轨道为例，Ypz
3 cos，cosθ变化如下：
4
继续
（二）氢原子轨道的角度分布图 z θ =15°
θ = 30° θ =45° θ = 60°
+ x
-
从原点出发，引出不同θ值时的射线，在射线上截
取长度为对应的Ypz值的点，连接这些射线上的点， 并将所得的图形绕z轴旋转360°，便得到双球面图形。
也就是pz原子轨道的角度分布图。
继续
（二）氢原子轨道的角度分布图
图形每一波瓣形成一个球体。两波瓣沿z轴方向
伸展。在xy平面上方和下方，两波瓣的波函数值相
反， 在xy平面上波函数值为零，这个平面称为节面
（nodal plane）。
继续
（二）氢原子轨道的角度分布图 p轨道的轨道角动量量子数l=1，磁量子数m可取0， +1，-1三个值，p轨道有三个空间伸展方向。
m=0的pz轨道在z 轴方向伸展。m = +1
的px轨道在x轴方向
伸展。m = -1 的py轨
(a)
道在y轴方向伸展。
其图形和pz相同。
(b) p轨道的角度分布图 继续
高中杂化轨道理论(图解)
高中杂化轨道理论(图解）一、原子轨道角度分布图二、共价键理论和分子结构价键法（VB法）价键理论一：１、要点：⑴、共价键的形成条件：①、先决条件：原子具有未成对电子；②、配对电子参与成键的原子轨道要满足对称匹配、能量相近以及最大重叠的原则；③、两原子具有成单的自旋相反的电子配对，服从保里不相容原理。
⑵、共价键的本质：是由于原子相互接近时轨道重叠，原子间通过共用自旋相反的电子使能量降低而成键。
⑶、共价键的特征：①、饱和性，一个原子有几个未成对电子（包括激发后形成的未成对电子），便和几个自旋相反的电子配对成键；而未成对电子数是有限的，故形成化学键的数目是有限的。
②、根据原子轨道最大重叠原理，原子轨道沿其角度分布最大值方向重叠，即共价键具有一定的方向性。
⑷、共价键的类型：单键、双键和叁键。
①、σ键和π键。
ⅰ、σ键：沿键轴方向重叠，呈圆柱形对称，称为σ轨道，生成的键称为σ键σ是希腊字母，相当于英文的s，是对称Symmetry[`simitri]这个字的第一个字母）。
σ键形成的方式：ⅱ、π键：两个p 轨道彼此平行地重叠起来，轨道的对称面是通过键轴的平面，这个对称面就叫节面，这样的轨道称为π轨道，生成的键称为π键（π相当于英文的p ，是平行parallel[`p ?r ?lel]的第一个字母）。
π键的形成过程：，σ键和π键的比较 σ键（共价键中都存在σ键） π键 （只存在不饱和共价键中）重叠方式 （成建方向）沿两电子云（原子轨道）的键轴方向以“头碰头”的方式遵循原子轨道最大程度重叠原理进行重叠两互相平行的电子云（原子轨道）以“肩并肩”的方式遵循原子轨道最大程度重叠原理进行重叠 重叠程度重叠程度较大 重叠程度较小 电子云形状共价键电子云（重叠部分）呈轴对称 共价键电子云（重叠部分）呈镜像对称 牢固程度强度较大，键能大，较牢固，不易断裂 强度较小，键能较小，不很牢固，易断裂 化学活泼性不活泼，比π键稳定 活泼，易发生化学反应健 型项 目类型s-s、s-p、、p-p、s-SP杂化轨道、s-SP2杂化轨道、s-SP3杂化轨道、杂化轨道间p－pπ键，、p－p大π键是否能旋转可绕键轴旋转不可旋转，存在的规律共价单键是σ键，共价双键有一个σ键，有一个π键；共价叁键有一个σ键，有两个π键。
原子轨道和电子云图形
f轨道有七个能级，包括fx^3、fy^3、 fz^3、fxz、fyz、fxyz和fx^2y^2z^2。
02
电子云的图形
电子云的定义
01 电子云概念
电子云是描述电子在原子核外空间分布情况的图形，反 映电子运动的概率分布。
电子云形状 02
电子云图形呈现为弥散的云雾状，形状与s、p、d等轨 பைடு நூலகம்类型相关。
电子云意义 03
电子云图形有助于理解电子在原子中的运动和分布规律， 对研究化学反应和物质性质具有重要意义。
电子云的形状
s轨道电子云
s轨道电子云呈球形对称分布， 电子云密度均匀。
p轨道电子云
p轨道电子云呈哑铃形，电子 云密度在轨道两端较高。
d轨道电子云
d轨道电子云形状较复杂，包 括花瓣形、哑铃交叉形等，电
02
原子轨道图形
原子轨道图形是描述电子 云空间分布的图像，反映 电子在核外空间出现概率 的大小。
03
原子轨道类型
原子轨道分为s轨道、p轨 道、d轨道和f轨道等类型， 每种轨道具有不同的形状 和能量。
原子轨道的形状
s轨道
s轨道的形状是球形，电子在s轨道中运动时，其出现概率 呈球形对称。
p轨道
p轨道的形状是双哑铃形，电子在p轨道中运动时，其出现 概率呈双哑铃形对称。
理解反应机理
原子轨道和电子云图形有助于 理解化学反应的机理和过程。
预测反应结果
通过原子轨道和电子云的分析， 可以预测化学反应的可能结果。
设计新反应
基于原子轨道和电子云的知识， 可以设计新的化学反应，开发
新材料和药物。
对推动科学发展的意义
促进理论发展
01
原子轨道和电子云理论的发展，推动了量子力学理论的深入和完善。
原子结构示意图
6、元素化合价与最外层电子数的关系
原子
①最外层电子数﹤4时，容易失去电子 （正化合价＝最外层电子数）
②最外层电子数≥4时，容易得到电子 （负化合价＝最外层电子数－8）
关系：元素化合价在数值上等于原子失去或得到的电子数目（失为正，得为负）
小结： 1 原子结构模型的演变
道尔顿→汤姆生→卢瑟福 →玻尔→量子力学 2、原子核外电子排布规律
⒈金属单质Na、Mg能分别与非金属单质O2、Cl2反应生成氧化物和氯化物，请写出这些氧化物和氯化物 的化学式。
Na2O、MgO、NaCl、MgCl2 ⒉根据Na、Mg、O、Cl原子在反应中失去或得到电子的数目和该原子的最外层电子数目，推断其氧化物和 氯化物中元素的化合价，将结果填入下表： 一些元素的原子得失电子的情况
次外层最多只能容纳18个电子（K层为次外层时不能超过2个 倒数第三层最多只能容纳32个电子
注意：多条规律必须同时兼顾。
3、核外电子排布的一般规律：
(1)、第n层最多容纳电子数（n指的是电子层数）
------------------2---n--2-个-。
1→ 2 → 3→ 4→ 5 → 6
K→L → M→N → O → P
小
大
距核远近
近
远
电子层序数（n） 符号
1
2
3
4
5
6
7
K LM N O P Q
+12
Mg
原子结构示意图 为了形象地表示原子的结构，人们就创造了“原子结构示意图”这种特殊的图形。
原子核
第2层 第1层
第3层
原子核带正电 核电荷数
+ 15
2
8
5
K层 L层
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氢原子ψ 轨道数学表达式： 氢原子ψ2pz 轨道数学表达式：
取 作为 r 的单位，取 的单位， 上式可简化为： 位，上式可简化为：
式作为ψ的单
氢原子 ψ2pz 轨道等值线图--- 坐标单位不同 轨道等值线图---
结构化学实习： 结构化学实习：
原子பைடு நூலகம்道空间分布图的描绘
氢原子和类氢离子的Schrödinger方程： 方程： 氢原子和类氢离子的 方程
h Ze 2 − 2 ∇ − ψ = Eψ 4πε0r 8π µ
2 2
原子轨道的波函数形式复杂，将它们用图形表示出 原子轨道的波函数形式复杂， 来，有利于了解原子结构、性质及成键等信息。 有利于了解原子结构、性质及成键等信息。 原子轨道和电子云有多种图形, 原子轨道和电子云有多种图形, 应了解这些图形是 怎么画出来的, 相互之间是什么关系？ 怎么画出来的, 相互之间是什么关系？ 原子轨道和电子云都是三元函数，无法在三维空间 原子轨道和电子云都是三元函数， 中作图，为解决这一难题，须对函数作处理： 中作图，为解决这一难题，须对函数作处理： 1、径向分布图、角度分布图 径向分布图、 2、简化：固定 Ψ (r,θ,φ) 中的一或多个参数 简化：
0.6 0.95 3.55 1.05 3.40 1.40 2.80
0.7 1.35 2.70 1.65 2.25
纵坐标为θ 纵坐标为θ 值，横坐标为 Ψ 值，中间部分为 r 值。
步骤一： 步骤一： 作Ψ-r 图
0 0° 15° 15° 30° 30° 45° 45° 60° 60° 75° 75° 0 0 0 0 0 0 0.5 0.389 0.376 0.337 0.275 0.195 0.101 1.0 0.607 0.586 0.526 0.429 0.304 0.157 1.5 0.709 0.685 0.614 0.501 0.355 0.184 2 0.736 0.711 0.637 0.520 0.368 0.190 3 0.669 0.646 0.579 0.473 0.335 0.173 4 0.541 0.523 0.469 0.383 0.271 0.140 5 0.410 0.396 0.355 0.290 0.205 0.106 6 0.299 0.289 0.259 0.211 0.150 0.077 7 0.211 0.204 0.183 0.149 0.106 0.055 8 0.147 0.142 0.127 0.104 0.074 0.038 9 0.100 0.097 0.087 0.071 0.050 0.026
0.2 0.25 7.10 0.26 7.00 0.29 6.70 0.36 6.10 0.50 5.15
0.3 0.37 6.00 0.40 5.85 0.43 5.60 0.53 4.85 1.00 3.55
0.4 0.50 5.05 0.55 4.90 0.63 4.60 0.83 3.80
0.5 0.65 4.30 0.75 4.20 0.90 3.70 1.45 2.60
纵坐标为θ 纵坐标为θ 值，横坐标为 r 值，中间部分为Ψ 值。
Ψ-r 图
步骤二---作Ψ空间分布图 ---作
0.1 0° 15° 15° 30° 30° 45° 45° 60° 60° 75° 75° 0.11 9.00 0.14 8.80 0.17 8.60 0.20 8.05 0.22 7.15 0.47 5.20