人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》表格式教学设计
新人教A版必修1《幂函数》教案
-强调幂函数的单调性、奇偶性、过定点等性质。
-结合具体幂函数，如f(x) = x^2、f(x) = x^3等，讲解其性质并举例说明。
-核心内容三：常见幂函数的图像与性质
-详细分析正比例函数、反比例函数、二次函数、三次函数的图像及其性质。
-引导学生观察图像，总结性质，并能运用性质解决相关问题。
2.教学难点
4.数学抽象：帮助学生从具体实例中抽象出幂函数的一般规律，培养学生的数学抽象思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容一：幂函数的定义及其一般形式
-重点讲解幂函数的一般形式f(x) = x^a，强调a为常数的特点。
-通过实例展示，让学生理解不同a值对应的幂函数图形差异。
-核心内容二：幂函数的性质
-难点三：幂函数在实际问题中的应用
-学生可能不知道如何将幂函数应用于实际问题，如计算面积、体积等。
-教师应设计相关实际问题，引导学生运用幂函数知识解决问题，提高应用能力。
-难点四：幂函数性质的应用与拓展
-学生可能难以将幂函数性质应用于更广泛的数学问题。
-教师可通过举例，如数学竞赛题等，展示幂函数性质在更复杂问题中的应用，拓展学生思维。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解幂函数的基本概念。幂函数是形如f(x) = x^a的函数，其中a为常数。幂函数在数学中具有重要地位，广泛应用于实际问题中。
2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
人教版高中必修一《幂函数》教案
人教版高中必修一《幂函数》教案一、教学目标1.了解幂函数的定义和特点；2.学习叠加思想，并掌握简单的幂函数叠加方法；3.能够解决一些实际问题。
二、教学重难点1.幂函数的定义及其特点；2.幂函数的叠加思想；3.幂函数的绘图方法；三、教学过程1.引入幂函数的定义：$y=x^p(p\\in \\mathbb{R})$让学生发现x的取值范围对函数图象的影响，并对函数图象进行描述。
2. 概念讲解1.首先讲解幂函数的定义，指出它是一种基本函数；2.介绍幂函数的性质，让学生知道幂函数的图像不可能横切x轴；3.引入幂函数的叠加思想，让学生知道可以将不同的函数图像叠加在一起。
3. 具体例子讲解1.书写公式，说明函数图象的性质；2.给出幂函数的图象，描出函数的图象；3.确定函数图象的性质，让学生明白函数图象的变化。
4. 例题解析1.给出实际问题，提供数据；2.根据实际问题列出函数式，确定函数图象；3.通过实际问题，解释函数图象的意义。
5. 分组讨论1.将学生分成若干小组，每组做一道练习题；2.每组向其他组展示自己的想法、方法及结果；3.学生之间相互交流，共同探讨出最佳答案。
四、教学方法1.板书法：结合具体例子进行讲解；2.案例法：让学生通过实际问题练习解题思路；3.分组讨论法：提高学生探究问题、思考问题和解决问题的能力。
五、教学帮助1.帮助学生理解定义和性质；2.尤其帮助学生掌握幂函数的叠加思想，找出函数图象的变化规律。
六、课堂反馈1.倾听学生提出的疑问和问题；2.鼓励并指导学生提出自己的解决方案；3.搜集学生反馈，及时调整教学进度和方法。
七、课堂作业1.完成教师布置的作业；2.阅读教材给出的例题；3.自己找出一些幂函数的例子进行探究。
必修1第二章基本初等函数数学：2.3《幂函数》教案(新人教A必修1)
2.3幂函数教学目的:使学生掌握幂函数的概念,会画幂函数的图象,能判定一个幂函数是增函 数还是减函数,能判断一个幂函数的奇偶性。
教学重点:幂函数的图象、幂函数的增减性的证明。
教学难点:幂函数增减性的证明。
教学过程一、新课引入课本P90,p=w, S=a 2, V=a 3 ,a=S 21,v=t -1,上述问题中的函数具有什么共同特征？二、新课上述问题中涉及的函数,都是形如y ＝x a 的函数。
一般地,函数y ＝x a 叫做幂函数(power function)。
其中x 是自变量,a 是常数。
当a ＝1,2,3,21,－1时,得到下列的幂函数,画出它们的图象,并观察图象, 将你发现的结论写在下表中:y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 21y ＝x －1 定义域 R R R ［0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞) 值域 R ［0,＋∞) R ［0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞)奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增 ［0,＋∞)增 增 增 (－∞,0)减(－∞,0)减 ［0,＋∞)减定点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)例1、证明幂函数f(x)＝x 在［0,＋∞)上是增函数。
证明:任取1x 、2x ∈［0,＋∞),且1x ＜2x ,则f(1x )－f(2x )＝21x x -＝212121))((x x x x x x ++-＝2121x x x x +-因为1x －2x ＜0,21x x +＞0,所以,f(1x )＜f(2x )即幂函数f(x)＝x 在［0,＋∞)上是增函数。
注意:证明函数的单调性时既可以用作差的方法,也可以用作比的方法,应用用比的 方法时应注意分母不为零,及去母时考虑符号问题。
作业:P92 1、2、3。
人教版高中数学必修1第二章基本初等函数(I)-《2.3幂函数》教案(1)_001
2.3幂函数一．教学目标：1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质5．学法与教具（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质;（2）教学用具：多媒体三．教学过程：引入新知阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.（1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论答：1、（1）乘以1 （2）求平方（3）求立方（4）求算术平方根（5）求－1次方=，其中x是自变量，α是2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y xα常数.探究新知1．幂函数的定义=（x∈R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常一般地，形如y xα数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 一．提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像..23．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：1．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜0所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x=+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2．利用函数的性质，判断下列两个值的大小（1）11662,3（2）3322(1),(0)x x x+>（3）22244(4),4a--+分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5．课堂练习画出23y x=的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.6．归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？作业：P92习题2.3 第2、3 题。
人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》表格式教案
§2.3幂函数（教案）教材分析：幂函数是函数的重要内容之一，新课程标准将其列为基本初等函数之一，并与 指数函数、对数函数安排在一起。
新课程标准对幂函数提出了明确的要求：（1）通过实例，了解幂函数的概念；结合函数x y =；21x y =；2x y =；1-=x y ；3x y =的图像，了解它们的变化情况。
（2）利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异。
（3）收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
上面的表述中，可以看出：指数函数、对数函数、幂函数三类不同函数的增长变化是认识的核心。
所以幂函数教学必须分两个层次来进行，一是幂函数概念及其简单性质，二是函数模型的应用。
本节课为前一层次。
所以幂函数的教学要求不能过高，也不能太低，必须体现以下三点： （1） 通过实例，了解幂函数的概念；（2） 结合函数x y =；21x y =；2x y =；1-=x y ；3x y =的图像，了解它们的变化情况。
（3） 与指数函数、对数函数的性质比较，概括y x α=在第一象限的简单性质。
其中（1）和（2）在新课标中已经明确指出，（3）作为培养学生概括能力目标，课本的复习与小结中也有涉及。
前面已经学习了指数函数、对数函数，得到了教系统的函数知识和研究函数的方法， 通过本节的幂函数学习，使函数内容的学习再一次得到广泛的回顾和整理，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识。
在各种数学思想方法的领悟、应用上也得到一次提高。
学情分析：本班的学生为普通校的平行班的学生，学生的数学基础，理解能力，运算能力、思维能力一般，但是通过前面的指数函数，对数函数的学习来看，学生通过数形结合来学习，学生还是有强烈的求知欲望，所以除了课标的要求外，还是酌情补充了概括y x α=在第一象限的简单性质。
学法指导1、针对以上情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，指导学生积极思维，主动获取知识，养成良好的学习方法，并逐步学会独立提出问题，解决问题。
人教版高中必修1幂函数教案
人教版高中必修1幂函数教案《人教版高中必修1幂函数教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！§2.3幂函数一.教学目标：1.知识技能(1)理解幂函数的概念;(2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2.过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质.3.情感、态度、价值观(1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法;(2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二.重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质三.学法与教具(1)学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;(2)教学用具：多媒体四.教学过程：1导入新课1.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系?根据函数的定义可知,这里p是w的函数.2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数.5.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?(右边指数式,且底数都是变量).(适当引导：从自变量所处的位置这个角度)(引入新课,书写课题:幂函数).2新知探究提出问题：问题①:给出下列函数:y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数?问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:一般地,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.练1判断下列函数哪些是幂函数.(1)y=0.2x;(2)y=x-3;(3)y=x-2;(4)y=x;(5)y=2x2 ;(6)y=-x-1活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.解：(1)y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;(2)y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;(3)y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;(4)y=x的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.(5)的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;(6)的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.提出问题：问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题④:画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.讨论结果：③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.列表:图1让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.通过观察图象,完成表格.提出问题：问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象?哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断?问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?讨论结果：⑤第一象限一定有幂函数的图象;第四象限一定没有幂函数的图象;而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.⑥幂函数y=xα的性质：(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因：1x=1);(2)当α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升).特别地,当α>1时,x∈(0,1),y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.当0<α<1时,x∈(0,1),y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.(3)当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.3典例精析例1比较下列各组数的大小：(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.比较数的大小,常借助于函数的单调性.对(1)(2)可直接利用幂函数的单调性.对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.解：(1)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.(2)由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性;底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性例2.证明幂函数f(x)=在[0,+∞)上是增函数.活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.证明：任取x1,x2∈[0,+∞),且x1f(x1)-f(x2)===,因为x1-x2<0,x1+x2>0,所以<0.所以f(x1)点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与f(x2)的符号要一致.4知能训练1.下列函数中,既是幂函数又是奇函数的是( )A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x2.下列结论正确的是( )A.幂函数的图象一定过原点B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是偶函数,也是幂函数3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( )A.y=x3B.y=x2C.y=D.y=x4.已知某幂函数的图象经过点(2,),则这个函数的解析式为. 。
人教版高中数学必修1： 2.3幂函数教案
2.3 幂函数（教学设计）教学目的：1．通过实例，了解幂函数的概念．2．具体结合函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解幂函数的变化情况．3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导． 教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难． 一、新课导入先看五个具体的问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数； （2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2a S =，这里S 是a 的函数； （3）如果立方体的边长为a ，求立方体的体积3a V =，这里V 是a 的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长21S a =，这里a 是S 的函数； （5）如果某人t s 内骑车进行了1km ，那么他骑车的平均速度1-=t v km/s ，这里v 是t 的函数．讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数． 从上述函数中，我们观察到，它们都是形如y x α=的函数．二、师生互动，新课讲解： 1、幂函数的定义一般地，函数αx y =)(R a ∈叫做幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数．对于幂函数αx y =，我们只讨论1,21,3,2,1-=α时的情形． 2、幂函数的图象在同一直角坐标系内作出幂函数x y =； 21x y =； 2x y =；1-=x y ；3x y =的图象．观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．3、幂函数的性质 1）．五个具体的幂函数的性质（1）函数x y =； 21x y =； 2x y =；3x y =和1-=x y 的图象都通过点（1，1）；（2）函数x y =；3x y =；1-=x y 是奇函数，函数2x y =是偶函数；（3）在区间),0(+∞上，函数x y =，2x y =，3x y =和21x y =是增函数，函数1-=x y 是减函数；（4）在第一象限内，函数1-=x y 的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近． 2）．一般的幂函数的性质（1）所有的幂函数αx y =在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数； α>1时，图象向上，靠近y 轴； 0<α<1，图景向上，靠近x 轴； α=1是条直线。
人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》教学案
[学习目标] 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 21的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.知识点一 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.思考 (1)任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数y ＝mx α是幂函数，m 应满足什么条件？(2)幂函数与指数函数有何区别？答 (1)并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的y ＝x 和y ＝x 2是幂函数.若y ＝mx α是幂函数，则必有m ＝1.(2)幂函数与指数函数不同点在于：幂函数形式为y ＝x α(α∈R )，其自变量x 处于底数位置，常数α处于指数位置；而指数函数形式为y ＝a x (a >0且a ≠1)，其自变量x 处于指数位置，常数a 处于底数位置，且a 须满足大于0而且不等于1. 知识点二 幂函数的图象与性质题型一 幂函数的概念例1 (1)已知(2，2)在幂函数f (x )的图象上，求f (2)的值； (2)已知函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)255-+a a x (a 为常数)为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，求实数a 的值.解 (1)设f (x )＝x α， ∵(2，2)在f (x )的图象上， ∴f (2)＝(2)α＝2，∴α＝2. 故f (x )＝x 2，f (2)＝22＝4.(2)∵f (x )为幂函数，∴a 2－3a ＋3＝1， 得a ＝1或a ＝2.当a ＝1时，f (x )＝x ，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意. 当a ＝2时，f (x )＝x －1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意.综上，得a 的值为2.反思与感悟 1.幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数.2.当α>0时，幂函数在第一象限内单调递增；当α<0时，幂函数在第一象限内单调递减.跟踪训练1 函数f (x )＝(m 2－m －1)23+-mm x是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式.解 根据幂函数定义得，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数， 当m ＝－1时，f (x )＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意.∴f (x )的解析式为f (x )＝x 3. 题型二 幂函数的图象例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A.－2，－12，12，2B.2，12，－12，－2C.－12，－2，2，12D.2，12，－2，－12答案 B解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.注意当n ＞0时，对于y ＝x n ，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，n ＜0时看|n |的大小.根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n ＞0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n ＜0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2，故选B.反思与感悟 幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，各幂函数图象对应的指数逆时针增大；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，指数也呈逆时针增大.(2)幂函数y ＝x α，若α>0，在第一象限内函数单调递增；若α<0，在第一象限内函数单调递减.(3)图象的凹凸性：在第一象限内，当0<α<1，曲线上凸；当α>1，曲线下凹；当α<0，曲线下凹.跟踪训练2 如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A.－1＜n ＜0＜m ＜1B.n ＜－1,0＜m ＜1C.－1＜n ＜0，m ＞1D.n ＜－1，m ＞1答案 B解析 方法一 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，如图所示.根据“点低指数大”，有0＜m ＜1，n ＜－1.方法二 根据幂函数图象增减性知m >0，n <0，由x ＝1右侧指数逆时针增大，知n <－1，由图象上凸知0<m <1，故选B. 题型三 比较幂的大小 例3 比较下列各组数的大小. (1)325-和3.125-；(2)898-和(19)98；(3)(34)－2和3－4；(4)(－13)－3和251. 解 (1)函数y ＝x25-在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以325->3.125-.(2)函数y ＝x 98在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，所以(18)98>(19)98，即898->(19)98.(3)3－4＝(32)－2＝9－2，函数y ＝x－2在(0，＋∞)上为减函数，又34<9，所以(34)－2>9－2，即(34)－2>3－4.(4)因为(－13)－3<0,251>0，所以(－13)－3<251.反思与感悟 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数.2.若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量. 跟踪训练3 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫1243与⎝⎛⎭⎫3421.解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，∴⎝⎛⎭⎫1243＜⎝⎛⎭⎫1221. y ＝x 21是[0，＋∞)上的增函数， ∴⎝⎛⎭⎫3421＞⎝⎛⎭⎫1221.∴⎝⎛⎭⎫3421＞⎝⎛⎭⎫1243. 题型四 幂函数的奇偶性 例4 判断下列函数的奇偶性： (1)y ＝x 31；(2)y ＝x －2；(3)y ＝x32-.解 (1)f (－x )＝(－x )31＝－x 31＝－f (x )， 又∵y ＝x 31定义域为R ，∴y ＝x 31为奇函数.(2)f (x )＝x －2＝1x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f (－x )＝1(－x )2＝1x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数. (3)f (x )＝x32-＝321x＝1x 3. ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称. ∴f (x )为非奇非偶函数.反思与感悟 幂函数的奇偶性.y ＝x n ，当n ＝pq (p ，q ∈Z )是最简分数时，若p ，q 均为奇数，则y ＝x n 是奇函数；若p 为偶数，q 为奇数，则y ＝x n 是偶函数；若q 为偶数，则y ＝x n 为非奇非偶函数.跟踪训练4 函数y ＝x 59在[－1,1]上是( ) A.增函数且是奇函数 B.增函数且是偶函数 C.减函数且是奇函数 D.减函数且是偶函数答案 A解析 由幂函数的性质知当α>0时，y ＝x α在第一象限内是增函数， ∴y ＝x 59在x ∈[0,1]上是增函数.设f (x )＝x 59，x ∈[－1,1]，则f (－x )＝(－x )59＝－x 59＝－f (x )，∴f (x )＝x 59是奇函数. ∵奇函数的图象关于原点对称， ∴x ∈[－1,0]时，y ＝x 59也是增函数.当x ＝0时，y ＝0，故y ＝x 59在[－1,1]上是增函数且是奇函数.故选A.忽略幂函数定义致误例5 函数y ＝(a 2＋1)211-a x是幂函数，求a 的取值范围.错解 根据幂函数的定义y ＝x α，α为常数， 知指数11－a2有意义，有1－a 2≠0，即a ≠±1，所以a 的取值范围是{a |a ≠±1}.正解 根据幂函数的定义y ＝x α，α为常数， 知a 2＋1＝1，即a ＝0， 此时指数11－a 2有意义，所以a 的取值范围为{0}. 易错警示跟踪训练5 幂函数y ＝(m 2－m －1)223--m m x ，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m 的值，并求函数的定义域. 解 因为y ＝(m 2－m －1)223--m m x为幂函数，所以m 2－m －1＝1，即(m －2)(m ＋1)＝0， 所以m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，y ＝x－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数.当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，y ＝x 0＝1(x ≠0)不是减函数， 所以m ＝2，此时y ＝x －3.所以函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}.1.下列给出的函数中，是幂函数的是( ) A.y ＝3x B.y ＝2x 3 C.y ＝x －3D.y ＝x 3－1答案 C2.若函数y ＝(k 2－k －5)x 2是幂函数，则实数k 的值为( ) A.3 B.2 C.3或－2 D.k ≠3且k ≠－2 答案 C解析 由幂函数的概念可知k 2－k －5＝1，即k 2－k －6＝0，得k ＝－2，或k ＝3. 3.幂函数f (x )＝x 23的大致图象为( )答案 B解析 由于f (0)＝0，所以排除C ，D 选项，而f (－x )＝(－x )23＝3(－x )2＝3x 2＝x 23＝f (x )，且f (x )的定义域为R ，所以f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称.故选B. 4.设f (x )＝(m －1)22-m x，若f (x )为正比例函数，则m ＝________；若f (x )是反比例函数，则m＝________；若f (x )是幂函数，则m ＝________. 答案 ±3 －1 2解析 f (x )＝(m －1)22-mx.若f (x )是正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≠0，m 2－2＝1，∴m ＝±3.若f (x )是反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≠0，m 2－2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠1，m 2＝1，∴m ＝－1.若f (x )是幂函数，则m －1＝1，∴m ＝2.5.若a ＝(12)53，b ＝(15)53，c ＝(－2)3，则a ，b ，c 的大小关系为________.答案 a ＞b ＞c解析 ∵y ＝x 53在(0，＋∞)上为增函数. ∴(12)53＞(15)53，即a ＞b ＞0. 而c ＝(－2)3＝－23＜0，∴a ＞b ＞c .1.幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量.2.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.3.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1. (2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数. (3)如果α＜0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.一、选择题1.下列函数是幂函数的是( ) A.y ＝5x B.y ＝x 5 C.y ＝5x D.y ＝(x ＋1)3答案 B解析 函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数. 2.已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值为( ) A.16 B.116 C.12 D.2答案 C解析 设f (x )＝x a ，则有2a＝22，解得a ＝－12，即f (x )＝x 21-，所以f (4)＝421-＝12.3.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A.1,3B.－1,1C.－1,3D.－1,1,3答案 A解析 可知当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，又∵y ＝x α的定义域为R ，则α＝1,3. 4.设a ＝⎝⎛⎭⎫2553，b ＝⎝⎛⎭⎫2552，c ＝⎝⎛⎭⎫3552，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.c ＞a ＞b C.a ＜b ＜c D.b ＞c ＞a答案 C解析 ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x 在R 上是减函数，又35＞25， ∴⎝⎛⎭⎫2553＜⎝⎛⎭⎫2552，即a ＜b .又∵函数y ＝x 52在R 上是增函数，且35＞25，∴⎝⎛⎭⎫3552＞⎝⎛⎭⎫2552，即c ＞b ，∴a ＜b ＜c . 5.函数y ＝x 31的图象是( )答案 B解析 函数y ＝x 31是幂函数，幂函数在第一象限内的图象恒过定点(1,1)，排除A 、D.当x >1时，x >x 31，故幂函数y ＝x 31图象在直线y ＝x 的下方，排除C.6.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( ) A.7个 B.8个 C.9个 D.无数个 答案 C解析 值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1,2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1,2}{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1,2}，{1,2，－2}，{－1,2，－2}，{1，－1,2，－2}，共有9种情况. 二、填空题7.已知幂函数f (x )＝x m 的图象经过点(3，13)，则f (6)＝________.答案136解析 依题意13＝(3)m ＝32m，所以m2＝－1，m ＝－2，所以f (x )＝x －2，所以f (6)＝6－2＝136.8.若y ＝249--a a x是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a 的值是________.答案 1,3,5，－1解析 由题意得，a 2－4a －9应为负偶数， 即a 2－4a －9＝(a －2)2－13＝－2k (k ∈N *)， (a －2)2＝13－2k ，当k ＝2时，a ＝5或－1；当k ＝6时，a ＝3或1.9.已知幂函数f (x )＝x 21，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________. 答案 (3,5]解析 因为f (x )＝x 21＝x (x ≥0)， 易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又f (10－2a )<f (a ＋1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，10－2a ≥0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ≤5，a >3.所以3<a ≤5.10.幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.答案 －1解析 ∵f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1， ∴m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x ，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m ＝－1时，f (x )＝x －5，符合题意.综上可知，m ＝－1. 三、解答题11.已知幂函数f (x )的图象过点(25,5). (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域. 解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5， ∴α＝12，∴f (x )＝x 21.(2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ， ∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得0＜x ≤100.∴g (x )的定义域为(0,100]，又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞).12.已知函数f (x )＝(a 2－a ＋1)x a＋1为幂函数，且为奇函数. (1)求a 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )＋[f (x )]2在[0，12]上的值域. 解 (1)因为函数f (x )＝(a 2－a ＋1)x a ＋1为幂函数，所以a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1.当a ＝0时，f (x )＝x ，函数是奇函数；当a ＝1时，f (x )＝x 2，函数是偶函数.故a ＝0.(2)由(1)知g (x )＝x ＋x 2＝(x ＋12)2－14. 当x ＝0时，函数取得最小值g (0)＝0；当x ＝12时，函数取得最大值g (12)＝12＋14＝34. 故g (x )在区间[0，12]上的值域为[0，34]. 13.已知幂函数f (x )＝(m －1)2242-+m m x在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k . (1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围. 解 (1)依题意，得(m －1)2＝1，解得m ＝0或m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去.∴m ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2.当x ∈[1,2]时，f (x )，g (x )单调递增，∴A ＝[1,4]，B ＝[2－k,4－k ].∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，⇒0≤k ≤1. ∴实数k 的取值范围是[0,1].。
高中数学必修一幂函数教案
高中数学必修一幂函数教课设计教课目的：知识与技术经过详细实例认识幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．感情、态度、价值观领会幂函数的变化规律及包含此中的对称性．教课要点：要点从五个详细幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个详细幂函数的图象并由图象归纳其性质，领会图象的变化规律．教课程序与环节设计：创建情境问题引入．组织研究幂函数的图象和性质．试试练习幂函数性质的初步应用．稳固反省复述幂函数的图象规律及性质．作业回馈幂函数性质的初步应用．课外活动利用图形计算器或计算机研究一般幂函数的图象规律．教课过程与操作设计：环节教课内容设计阅读教材 P90的详细实例（ 1）~（5），思考以下问题：1．它们的对应法例分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？创（答案）设情1．（1）乘以 1；（ 2）求平方；（ 3）求师生双边互动生：独立思虑完成引例．师：指引学生剖析归纳归纳得出结论．师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．境立方；（ 4）开方；（ 5）取倒数（或求－ 1次方）．2．上述问题中波及到的函数，都是形如 y x 的函数，此中 x 是自变量，是常数．资料一：幂函数定义及其图象．师：说明：一般地，形如幂函数的定义y x (a R)来自于实践，它同指数函数、对数函数一的函数称为幂函数，此中为常数．样，也是基本初等函下边我们举例学习这种函数的一些性质．数，相同也是一种作出以下函数的图象：“形式定义”的函（1） y x ；（2）12数，指引学生注意辨y x2；（）；析．3 y x组（4）y x 1；（5） y x 3．织探[ 解]1列表（略）究○2图象○生：利用所学知识和方法试试作出五个详细幂函数的图象，察看所图象，领会幂函数的变化规律．师：指引学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．师生共同剖析，重申绘图象易犯的错误．环节教课内容设计师生双边互动资料二：幂函数性质归纳．师：指引学生观（1）全部的幂函数在（ 0， +∞）都有定察图象，归纳归纳幂义，而且图象都过点（ 1，1）；函数的的性质及图（2）0时，幂函数的图象经过原点，象变化规律．而且在区间 [ 0,) 上是增函数．特别地，当生：察看图象，分组议论，研究幂函组1时，幂函数的图象下凸；当 01时，数的性质和图象的织幂函数的图象上凸；变化规律，并展现各探（ 3 ）0 时，幂函数的图象在区间自的结论进行沟通究评析，并填表．(0, ) 上是减函数．在第一象限内，当 x 从右边趋势原点时，图象在 y 轴右方无穷地迫近 y轴正半轴，当 x 趋于时，图象在 x 轴上方无穷地迫近 x 轴正半轴．资料三：察看与思虑察看图象，总结填写下表：y xy x 2y x31y x1y x2定义域值域奇偶性单一性定点资料五：例题[例1]（教材 P92例题）[例2]比较以下两个代数值的大小：（1）(a1) ， a22（2）(2a2 ) 3，232[例 3]议论函数 y x 3的定义域、奇偶性，作出它的图象，并依据图象说明函数的单一性．环节体现教课资料1．利用幂函数的性质，比较以下各题中两个幂的值的大小：33（1）4，4；66（2）5，5；尝33（3）( 2)2，( 3)2；试11练（4）2， 2 ．习32．作出函数y x2的图象，依据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．3．作出函数y x2和函数y(x 3) 2的图象，求这两个函数的定义域和单一区间．4．用图象法解方程：师：指引学生回首议论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．并指出函数单一性是鉴别大小的重要工具，幂函数的图象能够在单一性、奇偶性基础上较快描出．生：独立思虑，给出解答，共同议论、评析．师生互动设计（1） xx 1；（2） x 3 x 2 3 ．1．如下图， 曲线是幂函数 yx 在第一象限内的图象，已知 分别取11,1, ,2 四个值，则相应2图 象 依 次 探为： ．究 2．在同一坐标系内，作出以下函数的图与 象，你能发现什么规律？发 （1） yx 3 和 y 1现x 3 ；5 4（2） yx 4 和 y x 5 ．1．在 函 数作业 y1, y 2x 2 , y x 2 x, y 1 中，幂函数的 回馈 x 2个数为：A ．0B ．1C ．2D ．3 环节 体现教课资料规律 1：在第一象限，作直线x a(a 1) ，它同各幂函数图象订交，按交点从下到上的次序，幂指数按从小到大的次序摆列．规律 2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象对于直线 y x 对称．师生互动设计2 ．已知幂函数y f ( x) 的图象过点(2, 2) ，试求出这个函数的分析式．3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体经过圆形管道时，其流量速率 R与管道半径 r 的四次方成正比．（1）写出函数分析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流3量速率为400cm/s ，求该气体经过半径为r 的管道时，其流量速率R的表达式；（3）已知（ 2）中的气体经过的管道半径为 5cm，计算该气体的流量速率．4．1992 年末世界人口达到54．8 亿，若人口的均匀增加率为x%，2008 年末世界人口数为 y（亿），写出：（1）1993 年末、 1994 年末、 2000 年末的世界人口数；（2）2008 年末的世界人口数y 与 x 的函数分析式．课外利用图形计算器研究一般幂函数y x 活的图象随的变化规律．动收1．说说五个基本幂函数的定义域与对应获幂函数的奇偶性、单一性之间的关系？与2．幂函数与指数函数的不一样点主要表现体在哪些方面？会。
高中数学人教A版必修1高中数学必修一第二章2.3《幂函数》表格教学设计
优质资料---欢迎下载教学设计教学环节教师活动学生活动设计意图复习回顾，引入课题请将下列问题中的y表示成x的函数：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要支付=y元；（2）如果正方形的边长为x,那么正方形的面积=y；（3）如果正方体的边长为x,那么正方（4）如果一个正方形场地的面积为x,那么正方形的边长=y；（5）如果某人x s内骑车行进km1,那么他骑车的平均速度=yskm/．板演结果（1）xy=；（2）2xy=；（3）3xy=；（4）21xxy==；（5）11-==xxy．共同特征（1）都是以指数幂的底数为自变量；（2）指数幂的指数为常数；（3）指数幂的前的系数均为1．引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征．思考：这5个问题中的函数具有什么共同特征？探究新知一、幂函数的定义一般地，函数αxy=叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数.（R∈α）引导学生分析掌握幂函数的结构，区分幂函数与指数函数的异同点．加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 思考：幂函数与指数函数有什么区别？（判断：xy2.0=，21xy=，1-=xy，xy5=，5xy=是否为幂函数）二、幂函数的图象与简单性质根据课程标准的要求，我们只讨论以下几种函数：xy=，2xy=，3xy=，xy=，1-=xy让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图象通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.我们学习指数、对数函数的性质时，用了什么样的思路？研究幂函数的性质呢？问题①：所有图象都过第几象限，所有图象都不过第几象限，为什么？问题②: 第一象限内函数图象的变化趋势与指数有什么关系,为什么？问题③：所有图象都过哪些点，为什么？ 问题④：对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.3y x =2y x =y x =12y x =1y x -=定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x ≠值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}0|≠y y奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 递增（-∞，0）减递增[0，+∞）增（-∞，0）减 （0，+∞）增（0，+∞）减定点（1，1）用几何画板展示其它幂函数的图象并进行总结：在第一象限内（1）当1>α时,幂函数αx y =的图象呈下凸式单调递增；（2）当10<<α时,幂函数αx y =的图象呈上凸式单调递增；（3）当0<α时,幂函数αx y =的图象呈下凸式单调递减；幂函数在第二、第三象限的图象可由奇偶性得到．画出下列函数的图象： （1）31x y =； （2）21-=xy ；（3）23x y =；经过感知、确认、总结、使得幂函数的图象及性质得到很好的完善．便于以后幂函数的应用．三、课堂检测1、如图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象，已知α分别取 2,21,1,2-四个值，则相应图象依次为:________2、比校大小： 321.2 32)6.1(- 525.2- 527.2-。
高中数学《幂函数》教学设计(表格式、完美、值得收藏)
高中数学《幂函数》公开课教案幂函数y=x y=x2y=x3y=y=x-1定义域R R R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上是增函数在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数在R上是增函数在[0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数公共点(1,1)题型一幂函数的概念例1函数f(x)=(m2-m-5)x m-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值. 【答案】m=3【解析】根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.解题技巧：（判断一个函数是否为幂函数）判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.跟踪训练一1.如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,求实数m的取值.【答案】m=1或m=2.【解析】由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.2跟踪训练二1.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=x m和y=x n在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( )A.n<m<0B.m<n<0C.n>m>0D.m>n>0【答案】 A【解析】画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n<m<0.故选A.题型三利用幂函数的单调性比较大小例3比较下列各组中两个数的大小:(1); (2); (3).【答案】见解析【解析】(1)∵幂函数y=在[0,+∞)上是增函数,又,∴.(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是减函数,又-<-,∴.(3)∵函数y1=在定义域内为减函数,且,∴.又函数y2=在[0,+∞)上是增函数,且,∴.∴.3。
人教高中数学必修一第二章幂函数教学设计
人教高中数学必修一第二章幂函数教学设计一、课程规范要求1.了解幂函数的概念；2.结合函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解它们的变化状况.二、教材剖析教材内容是高中数学人教A 版教材必修1课本§2.3幂函数.幂函数作为基本初等函数之一，之前先生曾经系统的学习了函数的基本概念、性质，研讨了三个特殊函数：二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研讨函数曾经有了明晰的思绪和方法．从教材的全体编排来看，环环紧扣，十分紧凑，充沛表达了知识的发作、开展进程，编者想经过幂函数的教学主要是使先生进一步较系统的掌握幂函数的图象性质和研讨函数的普通方法，为今后学习三角函数等其他函数打下一个良好的基础．教材将幂函数放在指数函数和对数函数的学习之后,缘由有三：第一，幂函数中有一特殊函数21x y =，先生在没有学习分数指数幂之前，不能从基本上了解此式；第二，先生在初中曾经学习了12,,-===x y x y x y 三个复杂的幂函数，在第一章中也经过信息技术运用知晓了函数3x y =，对它们的图象和性质曾经有了一定的直观认知，如今明白提出幂函数的概念，有助于先生构成系统的知识结构；第三，有了之前的铺垫，幂函数的学习进程可以类比二次函数、指数函数、对数函数的研讨方法，浸透分类讨论、数形结合的数学思想，到达培育先生归结、概括的才干的目的，使先生熟练的应用它们处置一些实践效果，体会从特殊到普通的研讨进程，进一步树立应用函数的定义域、值域、奇偶性与单调性研讨一个未知函数的看法，以便能为研讨普通函数图象与性质提供一个可操作性步骤，从这个角度看，本节课的教学更是一个对先生研讨函数的方法和才干的综合评测，是对之前研讨函数的一个升华.三、教学目的鉴于课程规范的要求以及上述对教材的剖析，制定如下的教学目的： 1.知识与技艺目的了解幂函数的概念, 会画五个复杂的幂函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，能依据图象概括出幂函数的普通性质，同时能运用幂函数的图象和性质处置相关的复杂效果； 2.进程与方法目的引导先生从详细幂函数的图象与性质中归结出特性，培育先生的识图才干和笼统概括才干，培育先生数形结合的看法；经过对幂函数的学习，了解类比法在研讨效果中的作用，使先生进一步熟练掌握研讨普通函数的思想方法；3.情感、态度与价值观目的经过师生、生生彼此之间的讨论、互动，引导先生自动参与作图、剖析图象的特征，培育先生协作、交流、探求的意志质量，并在研讨函数变化的进程中体会事物的质变、质变规律，感受数学的对称美、谐和美，同时信息技术的运用也会激起先生的求知愿望.四、教学重难点：重点：经过详细实例看法幂函数的概念，研讨其性质，体会图象的变化规律． 难点：幂函数的图象与性质的复杂运用 重、难点打破措施： 1.以情感人，以理醒人创设情境中：效果开题，扣人心弦；层层探求中：分类探求，步步为营，丝丝入扣.2.数形结合现代的多媒体技术直观、笼统展现幂函数的指数与图象之间的关联，打破重难点.五、设计理念与义务剖析本节课遵照教员为主导，以先生为主体的原那么，采用先生自主探求式的教学方法，注重思想发作的进程，注重提高先生的数学思想才干，注重开展先生的创新看法，注重信息技术与数学课程的有效整合，充沛表达数学的运用价值、思想价值.围绕本节课的教学重点，教学进程中以〝效果串〞 的方式展开教学，逐渐引导先生观察、思索、归结、总结。
高一数学《幂函数》公开课优秀教案(表格式,经典、完美)
高一数学《幂函数》公开课教案★课程标准：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数12132,,,,-=====x y x y x y xy x y 的图象，了解它们的变化情况.一、教学目标：1.了解幂函数概念,会用描点法画幂函数图象，通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并会简单应用.2.通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美.二、教学重点：通过五个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律． 三、教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质. 四、教学用具：实物投影仪等多媒体 五、教学过程： （一）创设情境①如果某人购买了每千克1 元的蔬菜w 千克，那么他需要付的钱数p （元）关于购 买的蔬菜量w （千克）的函数解析式为_____________.②如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S 关于a 的函数解析式为___________. ③如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V 关于a 的函数解析式为___________. ④如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长a 关于s 的函数解析式为_________. ⑤如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的速度v 关于t 的函数解析式为_________. 问题1.观察这些函数解析式，它们有什么共同的结构特征吗？【设计意图】从特殊到一般，将实际问题转化为数学问题，经历一次发现之旅. （二）引入新知幂函数的定义：一般地，函数αx y =叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 幂函数是一种特殊的基本初等函数. 问题2.请同学们举出一些具体的幂函数.从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数α可以是正数、负数，也可以是0.（三）探究建构21212.(22)23my m m x n m n -=+-+-若是幂函数，求、.问题3.研究函数一般包括哪些方面？你准备用什么方法来研究？【设计意图】提出通过研究函数的图象，从而归纳出函数的奇偶性、单调性等性质. 画图：按照从特殊到一般的原则，我们先来研究五个具有代表意义的幂函数..,,,,12132-=====x y x y x y x y x y请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象，在作图之前请大家思考，如何画图更加准确快捷.【设计意图】图象是函数的灵魂，能否准确的画出图象是研究性质的前提，也是本节的重点. 问题4：根据图象的特征，填写下面的表格y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x ≠值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}0|≠y y奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 R 上增（-∞，0）减 R 上增[0，+∞）增（-∞，0）减 （0，+∞）增（0，+∞）减定点（1，1）【设计意图】由形到数，发现5个幂函数的性质.进一步，从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据图象和表格，寻找这5个幂函数的共性？ 探究1：图象在4个象限的分布情况及原因？探究2：幂函数在第一象限的单调性如何？从特殊到一般：0>α时，幂函数αxy =在),0(+∞上是增函数0<α时，幂函数αx y =在),0(+∞上是减函数0=α时，幂函数αx y =在),0(+∞上是常数函数探究3：在第一象限，4个增函数的图象异同之处？【设计意图】问题是思维的“启发剂”，由于幂函数的性质相对比较多，很难一个个找出来，于是设计这几个探究引导学生思考和解决.αx y =性质总结如下：(1)幂函数过点(1, 1),在(0,+∞)都有定义; (2)当α >0,幂函数过(0,0),且在(0,+∞)单调递增; (3)当α <0，在(0,+∞)单调递减，以两坐标轴为渐近线;(4)α 为奇数的幂函数是奇函数； α 为偶数的幂函数是偶函数 ； (5)y=(x-m)n 的图像是由y=x n 向左(m<0)或右(m>0)平移得到； 【设计意图】创新总结方式，让学生耳目一新，便于记忆.（四）目标检测1.比较下列各组数的大小： ①6.06.03.0______5.0 ②126.0-__________127.0-课堂练习：1．设)1,0(∈x ，幂函数αx y =的图象在x y =的上方，则α的取值范围是__________.2．已知点)2,2(在幂函数)(x f 的图象上，点)41,2(-在幂函数)(x g 的图象上，问当x 分别取何值时，满足下列条件：（1）)()(x g x f > （2）)()(x g x f = （3）)()(x g x f < 3．证明：函数3x y =在R 上单调递增. 六、课堂总结、作业布置；().,,,.;.;.;.;a b c d y x y x y x y x a b c d A a b c d B d b c a C d c b a D b c d a ====>>>>>>>>>>>>2幂函数,在第一象限的图像如图,则、、、关系为2332=y x x =3.讨论的定义域、值域与奇偶性，画出图象；()()()223224.()()0+132;mm m m f x x m N a a --=∈∞+<-幂函数是偶函数,且在，递减，解11--33.(1)(32)a a +<-5解不等式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.3幂函数
教学目标：
知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．
过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．
情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
教学重点：
重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．
难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．
教学程序与环节设计：
问题引入．
幂函数的图象和性质．
教学过程与操作设计：
环节教学内容设计师生双边互动
创设情境
阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列
问题：
1．它们的对应法则分别是什么？
2．以上问题中的函数有什么共同特征？
（答案）
1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）
开方；（5）取倒数（或求－1次方）．
2．上述问题中涉及到的函数，都是形如αx
y=
的函数，其中x是自变量，是α常数．
生：独立思考完成引
例．
师：引导学生分析归纳
概括得出结论．
师生：共同辨析这种新
函数与指数函数的异
同．
组织探究
材料一：幂函数定义及其图象．
一般地，形如
α
x
y=)
(R
a∈
的函数称为幂函数，其中α为常数．
下面我们举例学习这类函数的一些性质．
作出下列函数的图象：
（1）x
y=；（2）2
1
x
y=；（3）2x
y=；
（4）1-
=x
y；（5）3x
y=．
[解] ○1列表（略）
○2图象
师：说明：
幂函数的定义来
自于实践，它同指数函
数、对数函数一样，也
是基本初等函数，同样
也是一种“形式定义”
的函数，引导学生注意
辨析．
生：利用所学知识和方
法尝试作出五个具体
幂函数的图象，观察所
图象，体会幂函数的变
化规律．
师：引导学生应用画函
数的性质画图象，如：
定义域、奇偶性．
师生共同分析，强调画
图象易犯的错误．
环节教学内容设计师生双边互动
尝试练习
1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1）4
3
3.2，4
3
4.2；
（2）5
6
31
.0，5
6
35
.0；
（3）2
3
)2
(-，2
3
)3
(-；
（4）2
1
1.1-，2
1
9.0-．
2．作出函数2
3
x
y=的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．
3．作出函数2-
=x
y和函数2)3
(-
-
=x
y的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．
4．用图象法解方程：
（1）1
-
=x
x；（2）3
2
3-
=x
x．
探究与发现
1．如图所示，曲线是幂
函数αx
y=在第一象限内的
图象，已知α分别取
2,
2
1
,1,1
-四个值，则相应图
象依次为：．
2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，
你能发现什么规律？
（1）3-
=x
y和3
1
-
=x
y；
（2）4
5
x
y=和5
4
x
y=．
规律1：在第一象限，
作直线)1
(>
=a
a
x，
它同各幂函数图象相
交，按交点从下到上的
顺序，幂指数按从小到
大的顺序排列．
规律2：幂指数互为倒
数的幂函数在第一象
限内的图象关于直线
x
y=对称．
作业回馈
1．在函数1
,
,
2
,
1
2
2
2
=
+
=
=
=y
x
x
y
x
y
x
y
中，幂函数的个数为：
A．0 B．1 C．2 D．3
环节呈现教学材料师生互动设计。