论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用

滨江学院

《计算机图像处理》课程设计报告

题目论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用专业12计算机科学与技术

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二Ｏ一五年六月十日

目录

1课程设计目的 (2)

2课程设计要求 (2)

3 正交变换的概述 (2)

3.1 信号的正交分解 (2)

3.2 正交变换的定义 (3)

3.3 正交变换的分类 (4)

3.4 正交变换的标准基 (4)

3.4.1 一维DFT的标准基 (4)

3.4.2 二维DFT (6)

3.4.3 正交变换的标准基图像 (7)

3.5 正交变换在图像处理中的应用 (8)

6 总结 (9)

7 参考文献 (9)

1课程设计目的

(1) 理解正交变换的基本概念及分类。

(2) 了解正交变换在图像处理中的应用

2课程设计要求

（1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。

（2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。

（3）熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。

（4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。

3 正交变换的概述

3.1 信号的正交分解

完备的内积空间称为希尔伯特空间。折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即

X=∑=N

n n n a 1φ （式3-1）

式（3-1）中a 1 , a 2 , ⋯, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。假设φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是一组两两互相正交的向量,则式(3-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。系数a 1 , a 2 , ⋯, a N 是x 在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图3-1 所示。

图3-1 信号的正交分解

3.2 正交变换的定义

一维序列 }10),({-≤≤N x x f

可以表示成一个N 维向量 [])1(),...,1(),0(-=

N f f f T U 其酉变换可以表示为 AU V = 或 )(),()(10x f x u a u g N x ∑-==，10-≤≤N u 其中变换矩阵A 满足A A T *-=

1（酉矩阵），若A 为实数阵，则满足A A T =-1，称为正交阵。

向量 =

V [])1(),...,1(),0(-N g g g T

由此，U 可以表示为 V U A T

*= 或 ),()()(10x u u g x f N x a ∑-=*

= 10-≤≤N u 可知，给定基向量,}10),,({-≤≤*=→*N x x u a a T 10-≤≤N u ，原序列f （x ）可以由一组系数g （u ）（10-≤≤N u ）表示，这组系数（变换）可以用于滤波，

数据压缩，特征提取等。 若矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A .....................212222111211 满足：I A A A A T T == 则矩阵A 就成为正交矩阵。

对于某向量f ，用上述正交矩阵进行运算：

Af g =

若要恢复f ，则

g g f A A T

==-1 以上过程称为正交变换（酉变换）。

3.3 正交变换的分类

正交变换总的可分为两大类,即非正弦类正交变换和正弦类正交变换。我们经常使用的离散傅立叶变换(DFT) 、离散余弦变换(DCT) 、离散正弦变换(DST) 等属于正弦类变换,其中还包括离散Hartley 变换(DHT) 及离散W 变换(DWT) 等。非正弦类变换包括Walsh —Hadamard 变换(WHT) 、Haar 变换( HRT) 等。由于正弦类变换在理论价值和应用价值上都优于非正弦类变换,从而在正交变换中占据主导地位。

除了正弦类和非正弦类正交变换,还有两种特殊的正交变换,K-L 变换和正交小波变换。K-L 变换去除信号中的相关性最彻底,且有着最佳的统计特性,被称为最佳变换。但是K-L 变换的基函数依赖与原始数据,没有固定的变换核,限制了它的普遍应用。小波变换能够具有很高的时频分辨率,进行局部化分析,通过伸缩平移运算对信号进行多尺度细化,达到高频处时间细分,低频处频率细分。但是小波正交基的结构复杂,具有紧支集的小波正交基不可能具有对称性。随着小波理论及算法的成熟,必将大有作为。

3.4 正交变换的标准基

傅立叶变换是正交变换中最常用的变换,以它为例来讨论正交变换标准基具有普遍意义。

3.4.1 一维DFT 的标准基

首先从傅立叶级数进行考虑。假设函数f ( t)满足收敛定理,则函数f ( t) 的傅立叶级数为

()∑∞=++10sin cos 2n n n nt b nt a a （式3-2） a 0 , a 1 , b 1 , ⋯是函数f ( t) 的傅立叶系数。例如,一矩形波f ( t) 是周期为

2π的周期函数,在[ -π,π] 上

-1 -π≤t ＜0

（式3-3）

1 0≤t ＜π

由下式求得傅立叶系数,

ntdt t f a n cos )(1⎰=πππ

⎰=ππ

πntdt t f b n sin )(1

（式3-4） 得到矩形波f （t ） 的傅立叶级数展开为:

)(t f =π4⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++...)12sin(121...3sin 31sin t k k t t ,....)2,,0;(ππ±±≠∞<<-∞t t （式3-5）

上面得到的展开式表明:矩形波是由一系列不同频率的正弦波乘以一个权值叠加而成。这些波的频率依次为基波频率的奇数倍。可以看到,求傅立叶系数的过程相当于傅立叶变换的过程,把原始信号展开,相当于傅立叶逆变换的过程。

实际上,“任意”满足收敛的一个波、一个信号都可以分解成无穷多个不同频率的信号。这里说的这些无穷多的不同频率的信号就是标准基波。在DFT 中也是类似的意思。假设有限长序列f( x) ( x = 0 ,1 , ⋯, N - 1) ,一维DFT 变换对如下:

其中e N j W π

2-=称为变换核。将式（6）写成矩阵形式F = W ·f 即:

W 是正交变换矩阵, 矩阵元素是变换核函数不同次幂构成。W 是正交矩阵,有W - 1 = W T 。可以看出F( u) 是角频率为2πu/ N 信号的加权系数,也就是它在原始信号中分量的大小。如此诸多标准基波乘以其各自系数再求和得到了原始信号,