空间向量复习PPT课件
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空间向量基本定理(18张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
如裸本是面例1OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上， 点P在线段AN上，且 ,用OA,OB,OC表示OP
课本12页练习题1.已知向量{a,b,c} 是空间的一个基底，从a,b,c 中选哪一个向量， 一定可以与向量p=a+b,q=a—b 构成空间的另一个基底?2.已知O,A,B,C 为空间的四个点，且向量OA,OB,O 不构成空间的一个基底，那么点0,A,B,C 是否共面?3.如图，已知平行六面体 OABC-O'A'B℃', 点 G 是侧面BB'℃'℃的中心，且OA=a,OC=b,O0=c.(1){a,b,c} 是否构成空间的一个基底?(2)如果{a,b,c} 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向 (第3题)
H
我们用它们表示MN,AC, 则 9
=0所以MN⊥AC₁
AC₁=AB+BC+CC₁=a+b+c.
如谬本正方例&-A'B'CD的棱长为1,E,F,G 分别为 C'D',A'D',D'D的中点.(1)求证： EF//AC;(2) 求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
3.如图，已知正方体ABCD-A'B℃'D',CD '和DC'相交于点O, 连接AO, 求证AO⊥CD'.
( 第 2 题 )
( 第 3 题 )
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年
授课老师：
时间：2024年9月1日
小试牛刀1. 思考辨析(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)(1)若{0 A,OB,OC}不能构成空间的一个基底，则0,A,B,C 四 点 共 面.( √ )(2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量. ( √ )(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底. ( × )2.已知{a,b,c} 是空间的一个基底，则可以和向量p=a+b,q=a—b构成基底的向量是( D )A.a B.b C.a+2b D.a+2c
课本12页练习题1.已知向量{a,b,c} 是空间的一个基底，从a,b,c 中选哪一个向量， 一定可以与向量p=a+b,q=a—b 构成空间的另一个基底?2.已知O,A,B,C 为空间的四个点，且向量OA,OB,O 不构成空间的一个基底，那么点0,A,B,C 是否共面?3.如图，已知平行六面体 OABC-O'A'B℃', 点 G 是侧面BB'℃'℃的中心，且OA=a,OC=b,O0=c.(1){a,b,c} 是否构成空间的一个基底?(2)如果{a,b,c} 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向 (第3题)
H
我们用它们表示MN,AC, 则 9
=0所以MN⊥AC₁
AC₁=AB+BC+CC₁=a+b+c.
如谬本正方例&-A'B'CD的棱长为1,E,F,G 分别为 C'D',A'D',D'D的中点.(1)求证： EF//AC;(2) 求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
3.如图，已知正方体ABCD-A'B℃'D',CD '和DC'相交于点O, 连接AO, 求证AO⊥CD'.
( 第 2 题 )
( 第 3 题 )
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年
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时间：2024年9月1日
小试牛刀1. 思考辨析(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)(1)若{0 A,OB,OC}不能构成空间的一个基底，则0,A,B,C 四 点 共 面.( √ )(2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量. ( √ )(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底. ( × )2.已知{a,b,c} 是空间的一个基底，则可以和向量p=a+b,q=a—b构成基底的向量是( D )A.a B.b C.a+2b D.a+2c
第1章1.2空间向量基本定理课件(人教版)
2
2
1
3
1
+ − ＝ − − ，
2
2
2
1
1
3
1
3
1
2
所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
1
1
1
3
1
1
1
2
2
· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
3
2
2
6
2
1
1
+ + ＝－ − + .因为＝
3
6
6
2
1
1
+ ，所以x＝－ ，＝ − ，＝ .
3
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6
1
−
2
−
问题式预习
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+ − ＝ − − ，
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所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
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2
2
· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
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+ ，所以x＝－ ，＝ − ，＝ .
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2
−
问题式预习
空间向量基本定理--课件(共25张PPT)
都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
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A. a- b+ c
2 3
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C. a+ b- c
2 2 2
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B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
空间向量基本定理PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
CA
/
a
b
c
OG
1
ab
1
c
2
2
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
e2
M
C 对向量a进行分
解：
a
e 1 OCOMON
O N
t1e1 t2e2
问题 情境
在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 即空间任一向量能用三个不共面的向量来 线性表示吗?
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
CA
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a
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ab
1
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85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
e2
M
C 对向量a进行分
解：
a
e 1 OCOMON
O N
t1e1 t2e2
问题 情境
在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 即空间任一向量能用三个不共面的向量来 线性表示吗?
1.2 空间向量基本定理 课件(49张)
·
情
课
景 导
第一章 空间向量与立体几何
堂 小
学
结
·
探
提
新
素
知
1.2 空间向量基本定理
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
情
景
学习目标
课
核心素养
堂
导 学
1.了解空间向量基本定理及其意义.
1.通过基底概念的学习，培
小 结
·
探
提
新 2.掌握空间向量的正交分解．(难点) 养学生数学抽象的核心素养. 素
提 素 养
合 作
C．D→1A1，D→1C1，D→1D
D．A→C1，A→1C，C→C1
课
探
时
究 释
C
[由题意知，
→ D1A1
，
→ D1C1
，
→ D1D
不共面，可以作为空间向量
分 层 作
疑
业
难 的一个基底．]
·
返 首 页
·
情
课
景 导
4．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb
堂 小
导
小
学
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯 结
·
探
提
新
素
知 一？
养
合 作
[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个 课
探
时
究 非零向量共面．
分 层
释
作
疑 难
(2)唯一确定．
情
课
景 导
第一章 空间向量与立体几何
堂 小
学
结
·
探
提
新
素
知
1.2 空间向量基本定理
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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情
景
学习目标
课
核心素养
堂
导 学
1.了解空间向量基本定理及其意义.
1.通过基底概念的学习，培
小 结
·
探
提
新 2.掌握空间向量的正交分解．(难点) 养学生数学抽象的核心素养. 素
提 素 养
合 作
C．D→1A1，D→1C1，D→1D
D．A→C1，A→1C，C→C1
课
探
时
究 释
C
[由题意知，
→ D1A1
，
→ D1C1
，
→ D1D
不共面，可以作为空间向量
分 层 作
疑
业
难 的一个基底．]
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情
课
景 导
4．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb
堂 小
导
小
学
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯 结
·
探
提
新
素
知 一？
养
合 作
[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个 课
探
时
究 非零向量共面．
分 层
释
作
疑 难
(2)唯一确定．
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
空间向量与立体几何复习课ppt课件
一、空间向量及其运算
（一）基本概念 1. 空间向量：空间中具有大小和方向的量 叫做向量． 2. 空间向量也用有向线段表示，并且同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3. 向量的模：向量的大小叫向量的长度或 模。即表示向量的有向线段的长度。 4. 单位向量：模是 1 的向量。
5. 零向量：模是 0 的向量。零向量的方向 是任意的。有向线段的起点与终点重合。
a b
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向 量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
3.空间向量基本定理:如果两个向量 a 、b、c 不共面, 则对空间中的任意向量 p ，存在唯一的有序实数对 (x, y , z) 使 p xa yb zc .
(二)、空间角的向量方法：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法பைடு நூலகம்量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos cosa b ；
2
直线 l 与平面 所成角 ( 0 ≤ ≤ ), sin cosa u ；
2
二面角 ─l ─ 的为 ( 0≤ ≤ ), cos cosu v.
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 由此带 来的痛 苦和灾 难，可 以进一 步了解 吸烟对 人民健 康的危 害，提 高师生 的控烟 意识
理论知识点
一、空间向量及其运算
1、基本概念；
2、空间向量的运算；
3、三个定理；
4、坐标表示。
二、立体几何中的向量方法
1、判断直线、平面间的位置关系； 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
(人教A版)高考数学复习：7.6《空间向量及其运算》ppt课件
a－b，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是( C )
A．a
B．b
C．c
D．2a
解析：∵a＋b，a－b分别与a，b，2a共面，
∴它们分别与a＋b，a－b均不能构成一组基底．
栏目 导引
第七章 立体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ何
1．辨明四个易误点 (1)注意向量夹角与两直线夹角的区别． (2)共线向量定理中a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R，使a＝λb易 忽视b≠0. (3)共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的． (4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即 (a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，
a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b32
.
(2)设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则A→B＝O→B－O→A＝__(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1，__z_2_－__z_1)_．
1，0，1)，
∴B→A1＝(0，1，1)， A→C1＝(－1，0，1)， ∴cos〈B→A1，A→C1〉
＝|BB→→AA11|··A|A→→CC11|＝
1 2×
2＝12，
∴〈B→A1，A→C1〉＝60°，
∴异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 60°.
栏目 导引
第七章 立体几何
4．已知 A(3，2，1)，B(1，0，4)，则线段 AB 的中点坐标 和|A→B|分别是___(2_，__1_，__52_)_，___1_7_____． 解析：设 P(x，y，z)是 AB 的中点，则 O→P＝12(O→A＋O→B)＝12[(3，2，1)＋(1，0，4)] ＝(2，1，52)， dAB＝|A→B|＝ （3－1）2＋（2－0）2＋（1－4）2＝ 17.
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
空间向量基本定理课件(共23张PPT)
空间向量基本定理
基底 空间任意三个不共面的向量
单位正交基底 正交分解
两两垂直，且长度都为1的基地
本课结束 课后要记得巩固哦!
P k
O
i
j
α
Q
目
录
3 题型
03 题型1－空间向量基底的理解
解： ×， × ，√，×.
03 题型1－空间向量基底的理解
对于任意一组向量，如 何判断是否不共面呢？
03 题型1－空间向量基底的理解
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03 题型2－用基底表示空间向量
03 题型2－用基底表示空间向量
A
∵M 为 A1C1 的中点，A→B＝a，B→C＝b，A→A1＝c， ∴N→M＝A→A1＝c，B→N＝12(B→A＋B→C) ＝12(－A→B＋B→C)＝－12a＋12b，∴B→M＝B→N＋N→M＝－21a＋12b＋c＝－12a＋12b＋c.
P ka iO j
Q
01 新知探究
探究2 如何用三个两两垂直的向量表示空间中任意一个向量？
P k
O
i
j
α
Q
01 新知探究
OA a,O B b,OC c
O
A A′
C′ C
P p B B′
P′
01 新知1——空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
目
2 单位正交基底和正交分解
录
01 新知1——单位正交基底与正交 2.单分位解正交基底与正交分解
03 题型3－证明平行和垂直
例6 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E， F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰 当的基底向量证明：EG∥AC；
基底 空间任意三个不共面的向量
单位正交基底 正交分解
两两垂直，且长度都为1的基地
本课结束 课后要记得巩固哦!
P k
O
i
j
α
Q
目
录
3 题型
03 题型1－空间向量基底的理解
解： ×， × ，√，×.
03 题型1－空间向量基底的理解
对于任意一组向量，如 何判断是否不共面呢？
03 题型1－空间向量基底的理解
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03 题型2－用基底表示空间向量
03 题型2－用基底表示空间向量
A
∵M 为 A1C1 的中点，A→B＝a，B→C＝b，A→A1＝c， ∴N→M＝A→A1＝c，B→N＝12(B→A＋B→C) ＝12(－A→B＋B→C)＝－12a＋12b，∴B→M＝B→N＋N→M＝－21a＋12b＋c＝－12a＋12b＋c.
P ka iO j
Q
01 新知探究
探究2 如何用三个两两垂直的向量表示空间中任意一个向量？
P k
O
i
j
α
Q
01 新知探究
OA a,O B b,OC c
O
A A′
C′ C
P p B B′
P′
01 新知1——空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
目
2 单位正交基底和正交分解
录
01 新知1——单位正交基底与正交 2.单分位解正交基底与正交分解
03 题型3－证明平行和垂直
例6 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E， F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰 当的基底向量证明：EG∥AC；
人教版数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何章末复习课件
• 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的
法向量所夹的锐角，则其余角就是斜线和平面所成的角．
题型三
空间向量与空间角
二面角
➢ 利用空间向量求二面角也可以有两种方法
• 分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个
向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；
• 通过平面的法向量来求，设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和
n2，则二面角的大小等于<n1，n2>(或π－<n1，n2>)．
利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．
[例3]
如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，
A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
3
则λ的值为________．
由|λa＋b|＝ 29 ，得
代入①得2λ2－2λ＋17＝29，
λ2|a|2＋ |b|2＋2λa·
b＝29， ①
即λ2－λ－6＝0，
又|a|＝ 02 + −1
2
+ 12 ＝ 2 ， 解得λ＝3或λ＝－2，
|b|＝ 42 + 12 + 02 ＝ 17 ，
又λ>0，
a·
b＝(0,－1,1)·(4,1,0)
∴λ＝3.
＝0×4＋(－1)×1＋1×0
＝－1
法一
(2)已知向量a＝(0,－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝ 29 ，且λ>0，
3
则λ的值为________．
由于a＝(0,－1,1)，b＝(4,1,0)．
法向量所夹的锐角，则其余角就是斜线和平面所成的角．
题型三
空间向量与空间角
二面角
➢ 利用空间向量求二面角也可以有两种方法
• 分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个
向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；
• 通过平面的法向量来求，设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和
n2，则二面角的大小等于<n1，n2>(或π－<n1，n2>)．
利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．
[例3]
如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，
A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
3
则λ的值为________．
由|λa＋b|＝ 29 ，得
代入①得2λ2－2λ＋17＝29，
λ2|a|2＋ |b|2＋2λa·
b＝29， ①
即λ2－λ－6＝0，
又|a|＝ 02 + −1
2
+ 12 ＝ 2 ， 解得λ＝3或λ＝－2，
|b|＝ 42 + 12 + 02 ＝ 17 ，
又λ>0，
a·
b＝(0,－1,1)·(4,1,0)
∴λ＝3.
＝0×4＋(－1)×1＋1×0
＝－1
法一
(2)已知向量a＝(0,－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝ 29 ，且λ>0，
3
则λ的值为________．
由于a＝(0,－1,1)，b＝(4,1,0)．
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
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时间：2024年9月1日
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的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
空间向量基本定理ppt课件
定理的必要性是由平面向量基本定理保证的，而充分性只要
注意到当 xa 与 xb 不共线时，xa，xb，xa+xb 分别是平行四边形的
两条邻边和一条对角线即可．
例 1 如图所示，已知斜三棱柱
= ，
=
1
= ，在
1上和
−
1
1 1 中，
上分别有一点 和 ，且
，其中 0⩽ ⩽1. 求证：
，a，c 共面.
= ，
( x y )e1 ( x 2 y )e2 ( x 2 y )e3 .因为 e1, e2 , e3 是空间的一组基底，所以
5
x
,
2
k x y,
1
x 2 y 3, 解得 y , 故选 D.
4
x 2 y 2,
9
k
AC1 113 .
9.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，BC1 与 B1C 交于点 O，A1 AB A1 AC 60 ，
BAC 90 ， A1 A 4 ， AB AC 2 ， AO xAB yAC z AA1 ，则
xyz _________， | AO | __________.
第一章 空间向量与立体几何
课标要点
核心素养
1.理解共线向量
数学抽象
2.了解共面向量定理
数学运算
3.了解空间向量基本定理
数学运算
共线向量基本定理 如果 a≠0 且 b∥a，则存在唯一的实数 λ，使得
b＝λa．
平面向量基本定理 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习(共24张PPT)教育课件
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
些
计
划
，
有
的
计
划
《
几
乎
不
去
做
或
者
做
了
坚
持
不
了
多
久
。
其
实 我
成
功
的
关
键
是
做
很
坚
持
。
上
帝
没
有
在
我 是
们
出
生
的
时
候
给
我
们
什
么
额
外
的
装
备
， 算
也
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
•
•
•
•
•
•
《
极
，
那有 就些 在人 于经 坚常 持做 。一
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习课件(共24张PPT)
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2பைடு நூலகம்
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
(2)解 AC→′＝－a＋c，C→E＝b＋1c， 2
∴|AC→′|＝ 2|a|，|C→E|＝ 5|a|. 2
AC→′·C→E＝(－a＋c)·（b＋1c）＝1c2＝1|a|2， 2 22
∴cos〈A→C′，C→E〉＝
1|a|2 2
＝ 10.
2· 5|a|2 10
2
即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10. 10
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴C→E＝b＋1c，A→′D＝－c＋1b－1a，
2
22
∴C→E·A→′D＝－1c2＋1b2＝0. 22
∴C→E⊥A→′D，即 CE⊥A′D．
空间向量的数量积及其应用
【训练 3】 如图，在直三棱柱 ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′， ∠ACB＝90°，D，E 分别为 AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．
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向量法
例题1．如图，在空间四边形ABCD中，E、F分 别是OC与AB的中点，求证O若A8 NhomakorabeaF
E
4 6
B
C
求OA与BC夹角的余弦
5
在平行六面体 中，底面ABCD是边长a为 的正方形，侧棱长为b，且 （1）求 的长； （2）证明：AA1⊥BD， AC1⊥BD （3）求当a：b为多少时，能使AC1⊥BDA1
空间向量基础知识
• 空间向量的坐标表示： • 空间向量的运算法则：若
王新敞
奎屯 新疆
向量的共线和共面
• 共线:
• 共面
• 两点间的距离公式 • 模长公式 • 夹角公式 • 方向向量：
• 法向量
空间角及距离公式
• 夹角 • • • • • 距离 • • • 线线 线面 面面 点面 点线 点面 线线 线面 面面
堂上基础训练题
1.已知点A（3，-5，7），点B（1，-4，2），则 的坐 标是_______ ，AB中点坐标是______ = ____
2. 已知 与 平行，则a+b=_____
3.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为（ ） A (1,7,5) B (1,-7,5) C(-1,-7,5) D (1,-7,-6)
E D G A F B
中点，
C1
H
C
例题2
已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴 OO1折成直二面角， 如图2. （Ⅰ）证明：AC⊥BO1； （Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.
例题3
如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （Ⅰ）证明AB⊥平面VAD （Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小
4.已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）， 若 的坐标为 .
5.已知向量
，
，a与b的夹角为____
6、已知 =（2，-1，3）， =（-4，2，x），若 夹角是钝角，则x取值范围是_____ 7.若 的夹角为
与
.
8.设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n， b＝7m＋2n，则 ＝________
例题4
已知菱形 ABCD，其边长为 2 ，∠ BAD=60O，今 以其对角线 BD 为棱将菱形折成直二面角，得 空间四边形ABCD（如图），求： （a）AB与平面ADC的夹角； 二面角B-AD-C的大小。
A D B C
小测
王新敞
奎屯 新疆
1 . 在 长方 体 ABCD－A1B1C1D1 中 ， AB＝2，BC＝2，AA1＝6， 求(1)异面直线BD1和B1C所成角的余弦值 （2）BD1与平面AB1C的夹角
例题2
小测
1．棱长为a的正四面体 ABCD中， 2．向量 两两夹角都是 ， 则 。
，
。
3、已知SABC是棱长为1的空间四边形，M、N分别是 AB，SC的中点，求异面直线SM，BN与所成角的余弦值
S N
A M B
C
坐标法
例1．在棱长为的正方体 中， 分别是 G在CD棱上， ，H是 的中点， （1）求证： ； D 1 （2）求EF与 所成的角的余弦； B1 （3）求的FH长 A1
D 1 C 1 A 1 B 1 D A B C
2 、如图， RtΔABC 在平面 α 内，∠ ACB=900, 梯 形 ACDE 中,AC∥DE,CD⊥α,DE=1,AC=2,∠ECA=450, 求AE与BC之间的距离