离散空间直接建模的计算流体力学方法
计算流体力学CFD的基本方法与应用
CFD的作用像在计算机上做实验，故也称数值实验, 它 不但能取代很多实验工作，而且能做实验室无法进 行的研究。
作， Patankar也在美国工程师协会的协助下，举行了大范围的培训， 皆在推广应用 CFD。 1985年的第四界国际计算流体力学会议上，Spalding 作了 CFD 在工程 设计中的应用前景的专题报告。他将工程中常见的流动、传热、化学 反应等分为十大类问题，并指出CFD都有能力加以解决。
2、CFD的发展历程
性、可靠性及工业化推广应用。
1977年，Spalding等开发的用于预测二维边界层内的迁移现象的GENMIX 程序公开，其后，他们首先意识到公开计算源程序很难保护自己的知 识产权。
在1981年，组建的CHAM公司将包装后的计算软件（PHONNICS－凤凰）正 式投放市场，开创了CFD商业软件的先河。
LES——穷人的DNS
CFD的未来，近期的展望
CFD的未来，远期的展望
• 非线性计算方法的突破 • LES模型的逐步成熟 • 大规模计算、并行计算的发展可以解决DNS、LES、非定
常计算的海量计算等问题 • 先进的湍流模型，反应动力学模型，多相流模型等的逐
步ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ善
CFD的路还很长很长
• CFD是一个新兴的学科 • CFD具有重要的应用 • CFD还有很多问题
计算流体力学CFD的基本 方法与应用
CFD (Computational Fluid Dynamics) 计算流体力学——为您打开通向高科技之门
计算流体力学
湍流/紊流
3/18/2014
• 湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。 湍流流体的各种物理参数，如速度、压力、温度等都随时间 与空间发生随机的变化。 • 从物理结构上说，湍流是由各种不同尺度的涡旋叠合而成的 流动，这些漩涡的大小及旋转轴的方向分布是随机的。大尺 度的涡旋主要是由流动的边界条件所决定，其尺寸可以与流 场的大小相比拟，是引起低频脉动的原因；小尺度的涡旋主 要是有粘性力所决定，其尺寸可能只有流场尺度的千分之一 量级，是引起高频脉动的原因。大尺度的涡旋破裂后形成小 尺度涡旋。较小尺度的涡旋破裂后形成更小尺度的涡旋。大 尺度的涡旋不断地从主流获得能量，通过涡旋间的相互作用， 能量组建向小的涡旋传递。最后由于流体粘性的作用，小尺 度的涡旋不断消失，机械能就转化（或称为耗散）为流体的 热能。同时，由于边界作用、扰动及速度梯度的作用，新的 涡旋又不断产生，这就构成了湍流运动。
数学模型就好理解了，就是对物理模型的数学描写。
比如N-S方程就是对粘性流体动力学的一种数学描写，值得注意的是，数学 模型对物理模型的描写也要通过抽象，简化的过程。
3/18/2014
总体思路 建立控制方程
确立初始条件及边界条件 划分计算网格，生成计算节点 建立离散方程
离散初始条件和边界条件 给定求解控制参数 解收敛否 显示和输出计算结果 否
• 1、对流项中心差分在不发生振荡的参数范围内，比 一阶迎风格式的误差更小。 • 2、一阶迎风格式离散方程系数永远大于零，不会引 起解的振荡，得到物理上看似合理的解。 • 3、一阶迎风格式截差阶数低，除非采用相当密的网 格，否则计算结果的误差较大。 • 4、一阶迎风格式的启示：应当在迎风方向取更多的 信息构造格式，更好地反映对流过程的物理本质。 • 5、在调试程序或计算的中间过程仍可以采用一阶迎 风格式。
计算流体力学CFD课件
V
dV
0
空间位置固定的无穷小微团模型 V 0 t
随流体运动的无穷小微团模型
方程不同形式之间的转换
空间位置固定的有限控制体模型 tV dVSVdS0
空间位置固定的无穷小微团模型 V 0 t
方程不同形式之间的转换
空间位置固定的无穷小微团模型 V 0 t
随流体运动的无穷小微团模型
流动控制方程经常用物质导数来表达。
物质导数（运动流体微团的时间变化率）
采用流体微团模型来理解物质导数的概念：
沿流线运动的无穷小 流体微团，其速度等 于流线上每一点的当
物质导数（运动流体微团的时间变化率）
流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图
物质导数（运动流体微团的时间变化率）
考虑非定常流动：
随流体运动的无穷小微团模型
动量方程
作用在流体微团上的体 积力的X方向分量＝
fxdxdydz
随流体运动的无穷小微团模型
动量方程
作用在流体微 团上的X方向的 压力＝
动量方程
作用在流体微 团上的X方向的 正应力＝
动量方程
作用在流体微 团上的X方向的 切应力＝
动量方程
作用在流体微 团上的X方向总 的表面力＝
t
或
txuyv zw0
空间位置固定的无穷 小微团模型
空间位置固定的无穷小微团模型
连续性方程：
txuyv zw0
或
V0
t
空间位置固定的无穷 小微团模型
随流体运动的无穷小微团模型
随流体运动的无穷小微团模型
连续性方程 流体微团的质量：
质量守恒定律
随流体运动的无穷小 微团模型
随流体运动的无穷小微团模型
流体微团在流场中的 运动－物质导数的示 意图
计算流体力学常用的五大类数值方法简介
计算流体力学常用的五大类数值方法简介流体力学数值方法有很多种，其数学原理各不相同，但有二点是所有方法都具备的，即离散化和代数化。
总的来说其基本思想是：将原来连续的求解区域划分成网格或单元子区域，在其中设置有限个离散点(称为节点)，将求解区域中的连续函数离散为这些节点上的函数值；通过某种数学原理，将作为控制方程的偏微分方程转化为联系节点上待求函数值之间关系的代数方程(离散方程)，求解所建立起来的代表方程以获得求解函数的节点值。
不同的数值方法，其主要区别在于求解区域的离散方式和控制方程的离散方式上。
在流体力学数值方法中，应用比较广泛的是有限差分法、有限元法、边界元法、有限体积法和有限分析法，现简述如下。
一、有限差分法这是最早采用的数值方法，它是将求解区域划分为矩形或正交曲线网格，在网格线交点(即节点)上，将控制方程中的每一个微商用差商来代替，从而将连续函数的微分方程离散为网格节点上定义的差分方程，每个方程中包含了本节点及其附近一些节点上的待求函数值，通过求解这些代数方程就可获得所需的数值解。
有限差分法的优点是它建立在经典的数学逼近理论的基础上，容易为人们理解和接受；有限差分法的主要缺点是对于复杂流体区域的边界形状处理不方便，处理得不好将影响计算精度。
二、有限元法有限元法的基本原理是把适定的微分问题的解域进行离散化，将其剖分成相连结又互不重叠的具有一定规则几何形状的有限个子区域(如：在二维问题中可以划分为三角形或四边形；在三维问题中可以划分为四面体或六面体等)，这些子区域称之为单元，单元之间以节点相联结。
函数值被定义在节点上，在单元中选择基函数(又称插值函数)，以节点函数值与基函数的乘积的线性组合成单元的近似解来逼近单元中的真解。
利用古典变分方法(里兹法或伽辽金法)由单元分析建立单元的有限元方程，然后组合成总体有限元方程，考虑边界条件后进而求解。
由于单元的几何形状是规则的，因此在单元上构造基函数可以遵循相同的法则，每个单元的有限元方程都具有相同的形式，可以用标准化的格式表示，其求解步骤也就变得很规范，即使是求解域剖分各单元的尺寸大小不一样，其求解步骤也不用改变，这就为利用计算机编制通用程序进行求解带来了方便。
工程流体力学的计算方法CFD基础课件
云计算技术使得大规模CFD模拟成为 可能，同时提供了灵活的计算资源和 数据管理方式。未来，云计算技术将 进一步优化，以降低计算成本和提高 计算效率。
THANKS
CFX
工业标准的CFD软件
CFX是全球公认的工业标准的CFD软件之一，广泛应用于能源、化工、航空航天、汽车等领域。它具 有强大的求解器和先进的物理模型，能够模拟复杂的流体流动和传热问题，并提供丰富的后处理功能 。
OpenFOAM
开源CFD软件
OpenFOAM是一款开源的CFD软件，由C编写，具有高度的灵活性和可定制性。它提供了丰富的工具包和案例库，适用于各 种流体动力学模拟，包括复杂流动、传热、化学反应等问题。
粘性。
热传导
流体在温度梯度作用下会产生 热传导现象。
流体动力学基本方程
质量守恒方程
表示流体质量随时间的变化规律 。
动量守恒方程
表示流体动量随时间的变化规律。
能量守恒方程
表示流体能量随时间的变化规律。
流体流动的分类
层流流动
均匀流动和非均匀流动
流体质点仅沿流线方向作有规则的线 运动，互不混杂。
根据流动是否具有空间均匀性进行分 类。
06
CFD未来发展与挑战
高精度算法与求解器
总结词
随着计算能力的不断提升，高精度算法和求解器在 CFD领域的应用将更加广泛。
详细描述
高精度算法和求解器能够提供更精确的流场模拟结果 ，有助于更深入地理解流体动力学现象。未来，高精 度算法和求解器将进一步优化，以适应更复杂、更高 要求的CFD模拟。
多物理场耦合模拟
有限体积法的优点在于能够很好地处 理流体流动中的非线性特性和复杂边 界条件，因此在工程流体力学中得到 了广泛应用。
计算流体力学离散化方法
计算流体力学离散化方法
计算流体力学离散化方法是计算流体力学中重要的一种数值解法。
它是将连续的流场分割成有限数量的小体积，然后利用数值方法求解这些小体积中的流动变量。
其中最常用的方法是有限体积法和有限元法。
有限体积法是将控制体积内的守恒方程进行离散化，然后利用迭代方法求解离散后的方程。
有限元法则是将流场分割成许多小单元，然后在每个单元内建立一个离散方程，最终求解整个流场。
这些方法在实际工程中有广泛的应用，例如在航空、汽车、涡旋流等领域中。
- 1 -。
第六章 计算流体力学的基本方法
Nanjing University of Technology
守恒形式
还用欧拉方程进行讨论。
二维流动的适用于CFD计算的守恒型方程：
U F G J t x y
（6-23）
显然，用麦考马克方法和拉克斯-温德罗夫方法，都
可以计算U的分量 、u 、v 、(e V 2 / 2) 在各时间步的
方程（6－24）中的向量F，它在网格点（i＋1，j） 处的值可从下式求出：
F i1 j
Fji
F x
av
x
（6-24）
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Nanjing University of Technology
空间推进
通过预估－校正法得到这个平均值
预估步
➢用向前差分替代对y的导数:
F x
i
j
J
i j
Gi j 1
u x
p
v y
（6-4）
4
Nanjing University of Technology
拉克斯-温德罗夫方法
➢拉克斯-温德罗夫方法的基础是时间导数的 泰勒展开式。
➢任意选择一个流动参量，为明确起见，选
择密度 。
➢ t 时t刻，同一网格点(i,j)处的密度
可由tt i, j
泰勒级数给出：
tt i, j
(x)2 (y)2 2(y)2 2(x)2
麦考马克方法与拉克斯-温德罗夫方法对比：
➢麦考马克方法在预估步中用向前差分在校正步中用向后差 分，具有二阶精度，与拉克斯-温德罗夫方法具有同样的精 度。 ➢但是麦考马克方法不像拉克斯-温德罗夫方法那样需要计 算二阶时间导数，所以麦考马克方法更容易应用。
15
Nanjing University of Technology
计算流体力学课件-part1
2024/2/28
19
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的概念
➢完整方程
连续方程
动量方程
能量方程
2024/2/28
20
❖Computational Fluid Dynamics
沿特征线，扰动波的幅值不变，传播速度为c
则在t>0时，传播过程如下图：
2024/2/28
27
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的特征
➢单波方程
➢c>0时，传播沿x正向 ➢C<0时，传播沿x负向 ❖扰动波以有限速度传播是双曲型方程的重要 特征（波形和波幅可能会变化，此处为什么不 变？）
如何表达初始形状三角形
如何存储数据 如何积分
数值积分，HOW？
如何显示结果
TECPLOT
尝试改变几个常数，看看结果有何变化，常数反映了什么？
2024/2/28
22Biblioteka ❖Computational Fluid Dynamics
回顾
控制方程
模型方程
➢NS ➢EULER ➢Impressible NS ➢RANS
➢单波方程可以模拟EULER方程的一些特征
2024/2/28
28
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的特征
计算流体力学基础
物理模型与数学模型在概念上的区别
数学模型：对物理模型的数学描写。
比如N-S方程就是对粘性流体动力学的一种数学描写，值得注意的 是，数学模型对物理模型的描写也要通过抽象，简化的过程。
物理模型是指把实际的问题，通过相关的物理定律概括和抽象出来并满足 实际情况的物理表征。
比如，我们研究管道内的流体流动，抽象出来一个直管，和粘性流体模型， 或者我们认为管道内的液体是没有粘性的，使用一个直管和无粘流体模型. 还有，我们根据热传导定律，认为固体的热流率是温度梯度的线形函数， 相应的傅立叶定律就是导热问题的物理模型。因此，不难理解物理模型是 对实际问题的抽象概念，对实际问题的一种描述方式，这种抽象包括了实 际问题的几何模型，时间尺度，以及相应的物理规律。
确定边界条件与初始条件 初始条件与边界条件是控制方程有确定解的前提，控制方程与 相应的初始条件、边界条件的组合构成对一个物理过程完整的数学 描述。 初始条件是所研究对象在过程开始时刻各个求解变量的空间分 布情况。对于瞬态问题，必须给定初始条件。对于稳态问题，不需 要初始条件。 边界条件是在求解区域的边界上所求解的变量或其导数随地点 和时间的变化规律。对于任何问题，都需要给定边界条件。例如， 在锥管内的流动，在锥管进口断面上，我们可给定速度、压力沿半 径方向的分布，而在管壁上，对速度取无滑移边界条件。 对于初始条件和边界条件的处理，直接影响计算结果的精度。
划分计算网
采用数值方法求解控制方程时，都是想办法将控制方程在空 间区域上进行离散，然后求解得到的离散方程组。要想在空间域 上离散控制方程，必须使用网格。现已发展出多种对各种区域进 行离散以生成网格的方法，统称为网格生成技术。 不同的问题采用不同数值解法时，所需要的网格形式是有一 定区别的，但生成网格的方法基本是一致的。目前，网格分结构 网格和非结构网格两大类。简单地讲，结构网格在空间上比较规 范，如对一个四边形区域，网格往往是成行成列分布的，行线和 列线比较明显。而对非结构网格在空间分布上没有明显的行线和 列线。
微尺度流体力学问题数值模拟方法
微尺度流体力学问题数值模拟方法微尺度流体力学是研究微小尺度下的流体行为和性质的一门学科。
在微尺度下，介观和纳米尺度下的流体物理现象开始发挥作用，如毛细效应、界面张力和界面流动等。
提供一个准确且高效的数值模拟方法对于理解和预测微尺度流体力学问题至关重要。
本文将介绍几种常用的微尺度流体力学问题数值模拟方法。
首先，格子Boltzmann方法是一种适用于多孔介质流动和微通道流动的数值模拟方法。
该方法基于玻尔兹曼方程，通过对流体分子在离散速度空间上的概率密度函数进行模拟，来计算流体的宏观性质。
格子Boltzmann方法通过将流体分为网格单元，模拟从一个时间步到另一个时间步的碰撞和分布函数的传播。
该方法具有高效、精确和可扩展性的优点，适用于微通道中复杂的流动和传热问题。
其次，分子动力学方法也是一种常用的微尺度流体力学数值模拟方法。
该方法通过对流体分子的运动进行直接模拟，来研究微尺度下的流体行为。
分子动力学方法将流体系统建模为一组相互作用的粒子，并通过求解牛顿运动方程来模拟流体分子的动力学行为。
该方法可以模拟流体的微观行为，并能捕捉到一些重要的纳米尺度效应，如界面张力和毛细效应等。
分子动力学方法可以提供详细的流体结构和动力学信息，但计算成本较高。
第三，无尺度方法是近年来发展起来的一种用于微尺度流体力学数值模拟的方法。
无尺度方法将流体行为建模为微观和宏观尺度的相互作用，通过数值计算来模拟微尺度流体的行为。
无尺度方法是基于连续介质力学和分子动力学的方法，结合了二者的优点。
该方法通过引入无量纲参数来简化模拟，并利用尺度分析来确定重要的物理效应。
无尺度方法可以在较低的计算成本下模拟微尺度下的流体行为，是一种高效且准确的数值模拟方法。
此外，在微尺度流体力学中，还有一些其他的数值模拟方法，如边界元方法、有限元方法和有限差分方法等。
这些方法在不同的问题和条件下具有不同的适用性。
边界元方法适用于具有复杂几何形状的问题，有限元方法适用于高精度和复杂耦合的场景，有限差分方法适用于粗粒度模拟和大规模并行计算。
流体力学模拟和仿真技术
流体力学模拟和仿真技术流体力学模拟和仿真技术是一种通过数学模型和计算机模拟来研究和预测流体行为的方法。
它在各个领域有着广泛的应用，从航空航天到汽车工业，从医学领域到天气预报。
本文将探讨流体力学模拟和仿真技术的原理、应用以及未来发展趋势。
流体力学模拟和仿真技术的原理基于牛顿运动定律和连续介质假设。
它通过离散化空间和时间，将流体系统分割成小的控制体元，然后根据质量、动量和能量守恒的方程来计算流体在每个控制体元上的状态变化。
这些方程可以通过Navier-Stokes方程来描述，它包含了流体的速度、压力和密度等相关参数。
通过数值方法，如有限差分法或有限元法，结合计算机算力，可以对流体在不同条件下的行为进行模拟和预测。
在航空航天领域，流体力学模拟和仿真技术广泛应用于飞行器的气动性能研究。
例如，利用计算流体力学方法，可以模拟飞机在起飞和降落过程中的气动力状况，以及在高速飞行时的阻力和升力分布。
这些模拟结果可以用于设计优化和飞行性能评估，有助于提高飞机的性能和安全性。
在汽车工业中，模拟和仿真技术可以用于优化车辆的空气动力学性能，以减少阻力和提高燃油效率。
通过模拟不同车型在不同速度下的空气流动，可以识别出造成阻力的关键因素，并设计出相应的改进措施，如改变车身形状或添加空气动力学套件。
这些优化措施可以显著减少燃料消耗，降低排放并提高车辆的稳定性。
在医学领域，流体力学模拟和仿真技术被用来研究血流和气流在人体内的行为。
通过模拟血管内的血流，可以了解血液在各个部位的速度分布和压力变化，对血管堵塞、动脉瘤等疾病的治疗方案提供指导。
此外，在呼吸系统中，模拟气流在肺部的流动可以帮助理解肺疾病的病理机制，并辅助设计更有效的治疗方法。
天气预报也是流体力学模拟和仿真技术的一个重要应用领域。
通过模拟大气中的气流和海洋中的洋流，可以预测天气和气候的变化趋势。
这些模拟结果对于气象学家提供了重要的数据和线索，以便更准确地预测暴风雨、台风或其他极端天气事件。
CFDcourse计算流体力学概述
1 计算流体力学概述计算流体力学(Computational Fluid Dynamics，简称CFD)是以数值离散方法为数学基础，借助于计算机求解描述流体运动的基本方程，研究流体运动规律的学科。
CFD的基本思想可以归结为：把原来在时间域及空间域上连续的物理量的场，如速度场和压力场，用一系列有限个离散点上的变量值的集合来代替，通过一定的原则和方式建立起关于这些离散点上场变量之间关系的代数方程组，然后求解代数方程组获得场变量的近似值。
CFD可以看做是在流动基本方程(质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程)控制下对流动的数值模拟。
通过这种数值模拟，可以得到极其复杂问题的流场内各个位置上的基本物理量(如速度、压力、温度、浓度等)的分布，以及这些物理量随时间的变化情况，确定旋涡分布特性、空化特性及脱流区等。
还可据此算出相关的其他物理量，如旋转式流体机械的转矩、水力损失和效率等。
此外，与CAD联合，还可进行结构优化设计等。
CFD可用来进行流体动力学的基础研究，复杂流动结构的工程设计，分析实验结果等。
CFD的特点：给出流体运动区域内的离散解，而不是解析解。
它的发展与计算机技术的发展直接相关。
若物理问题的数学提法（包括数学方程及其相应的边界条件）是正确的，则可在较广法的流动参数（如马赫数、雷诺数、飞行高度、气体性质、模型尺度等）范围内研究流体力学问题，且能给出流场参数的定量结果。
计算流体力学的技术原理任何流体运动的规律都是由以下3个定律为基础的：质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。
这些基本定律可由数学方程组来描述。
如欧拉(Euler)方程，N-S方程。
首先确定了这些能够描述对象流动参量连续变化的微分方程组后，然后采用数值计算方法，通过离散化方法（如有限差分法或有限元法）对连续变化的参量用离散空间和时间的值来表示，使微分方程组转变成代数方程组形式，空间的离散位置可用计算网格上的节点描述，最后这些离散数学方程组通过计算机求解，来研究流体运动特性，给出流体运动空间定常或非定常流动规律，这样的学科就是计算流体力学。
计算流体力学
第一部分 计算流体力学（CFD）的基本思想一、什么是计算流体力学（CFD）？计算流体力学（Computational Fluid Dynamics）是流体力学的一个新兴的分支，是一个采用数值方法利用计算机来求解流体流动的控制偏微分方程组，并通过得到的流场和其它物理场来研究流体流动现象以及相关的物理或化学过程的学科。
事实上，研究流动现象就是研究流动参数如速度、压力、温度等的空间分布和时间变化，而流动现象是由一些基本的守恒方程（质量、动量、能量等）控制的，因此，通过求解这些流动控制方程，我们就可以得到流动参数在流场中的分布以及随时间的变化，这听起来似乎十分简单。
但遗憾的是，常见的流动控制方程如纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程或欧拉（Euler）方程都是复杂的非线性的偏微分方程组，以解析方法求解在大多数情况下是不可能的。
实际上，对于绝大多数有实际意义的流动，其控制方程的求解通常都只能采用数值方法的求解。
因此，采用CFD 方法在计算机上模拟流体流动现象本质上是流动控制方程（多数情况下是纳维-斯托克斯方程或欧拉方程）的数值求解，而CFD 软件本质上就是一些求解流动控制方程的计算机程序。
二、计算流体力学的控制方程计算流体力学的控制方程就是流体流动的质量、动量和能量守恒方程。
守恒方程的常见的推导方法是基于流体微元的质量、动量和能量衡算。
通过质量衡算可以得到连续性方程，通过动量守恒可以得到动量方程，通过能量衡算可以得到能量方程。
式（1）-（3）是未经任何简化的流动守恒微分方程，即纳维-斯托克斯方程（N-S 方程）。
0)(=⋅∇+∂∂V tv ρρ （1） x zx xy xx f zy x x p V u t u ρτττρρ+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂−=⋅∇+∂∂)()(v （2a） y yz yy xy f zy x y p V v t v ρτττρρ+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂−=⋅∇+∂∂)()(v （2b） z zz yz xz f zy x z p V w t w ρτττρρ+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂−=⋅∇+∂∂)()(v （2c） V f w zw yw x v z v y v x u z u y u x z wp y vp x up zT k z y T k y x T k x q V E t E zz yz xz zy yy xy zx yx xx v v &v ⋅+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂−∂∂−∂∂−∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+=⋅∇+∂∂ρτττττττττρρρ)()()()()()()()()()()()()()()()()( （3） N-S 方程可以表示成许多不同形式，上面的N-S 方程是所谓的守恒形式，之所以称为守恒形式，是因为这种形式的N-S 方程求解的变量ρ、u ρ、v ρ、w ρ、E ρ是守恒型的，是质量、动量和能量的守恒变量。
计算流体力学CFD(2)PPT课件
13
有限差分基础
泰勒级数展开：
离散网格点
14
有限差分基础
泰勒级数展开：
15
有限差分基础
一阶向后差分：
上述差分表达式用到了(i,j)点及其左边(i-1,j)点的 信息，没有右边(i+1,j)点的信息，且精度为一阶
有限差分基础
在边界上怎样构造差分 近似？
边界网格点 39
有限40
有限差分基础
在边界上如何得到二阶 精度的有限差分呢？
边界网格点 41
有限差分基础
不同于前面的泰勒级数 分析，下面采用多项式 来分析。
边界网格点 42
有限差分基础
设 在网格点1， 在网格点2， 在网格点3，
截断误差： 原微分方程与相应的差分方程之间的区别
61
差分方程
离散误差： 原微分方程的解析解与差分方程的解之间的区别
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显式方法与隐式方法
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显式方法
64
显式方法
65
显式方法
上述方程是抛物型方程，可以推进求解，推进变量是时间t
66
显式方法
边界条件已知
67
显式方法
边界条件已知
68
显式方法
16
有限差分基础
两式相减得：
17
有限差分基础
得：
18
有限差分基础
二阶中心差分：
上述差分表达式用到了左边(i-1,j)点及右边(i+1,j) 点的信息， (i,j)点位于它们中间，且精度为二阶
19
有限差分基础
Y方向的差分表达式：
计算流体力学基础ppt课件
它不受物理模型和实验模型的限制，省钱省时，有较多的灵活性， 能给出详细和完整的资料，很容易模拟特殊尺寸、高温、有毒、 易燃等真实条件和实验中只能接近而无法达到的理想条件。
8
数值解法是一种离散近似的计算方法，依赖于物理上合理、数学上适 用、适合于在计算机上进行计算的离散的有限数学模型，且最终结果 不能提供任何形式的解析表达式，只是有限个离散点上的数值解，并 有一定的计算误差。
对于初始条件和边界条件的处理，直接影响计算结果的精度。
16
划分计算网 采用数值方法求解控制方程时，都是想办法将控制方程在空间区
域上进行离散，然后求解得到的离散方程组。要想在空间域上离 散控制方程，必须使用网格。现已发展出多种对各种区域进行离 散以生成网格的方法，统称为网格生成技术。
不同的问题采用不同数值解法时，所需要的网格形式是有一定区 别的，但生成网格的方法基本是一致的。目前，网格分结构网格 和非结构网格两大类。简单地讲，结构网格在空间上比较规范， 如对一个四边形区域，网格往往是成行成列分布的，行线和列线 比较明显。而对非结构网格在空间分布上没有明显的行线和列线。
数学模型就好理解了，就是对物理模型的数学描写。 比如N-S方程就是对粘性流体动力学的一种数学描写，值得注意的是，数学 模型对物理模型的描写也要通过抽象，简化的过程。
14
建立控制方程 确立初始条件及边界条件 划分计算网格，生成计算节点
建立离散方程
离散初始条件和边界条件
给定求解控制参数
解收敛否
否
显示和输出计算结果
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给定求解控制参数 在离散空间上建立了离散化的代数方程组，并施加离散化的
计算流体力学C++编程离散化网格
作业：已知一流场满足下面的稳态对流扩散方程：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂Γ=∂∂+∂∂2222y xyv xρu ϕϕϕρϕ其中：5=uρ，3=v ρ，5.0=Γ。
下图中，流场为正方形，边长为1，且50=ABϕ，100=BCϕ，300=CD ϕ，200=ADϕ。
用数值解法，计算此流场的ϕ分布。
解：一、离散化：原式代入数据并变形有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂⨯=∂∂⨯+∂∂⨯22225.035y xy x ϕϕϕϕ对上式进行数值求解，取各边步长均相等，并分别设0.1，0.05，0.04三种网格，此三种网格的贝克利数：Γ∆∙=∆xu P ρ，均大于零小于2，可以采用中心差分，离散后公式变为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆+-+∆+-⨯=∆-⨯+∆-⨯++++21-j i,j ,i 1j ,i 2j,1-i j ,i j ,1i 1-j i,1j ,i j,1-i j ,1i 225.02325x x xxϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ整理后有：()()()()1-j ,i j ,1-i 1j ,i j ,1i j ,i 75.025.025.125.075.0-25.025.1-25.0ϕϕϕϕϕx x x x ∆++∆++∆+∆=++二、源程序：根据上式，利用C++进行编程，主要程序如下： float f1[200][200],f2[200][200],x; int i,j,n,a; printf("%s","输入步长x:");scanf("%f",&x);n=1.00/x;for(i=0;i<=n;i++) //给AB边赋值{ j=0;f1[i][j]=50;}for(j=0;j<=n;j++) //给AD边赋值{ i=0;f1[i][j]=200;}for(i=0;i<=n;i++) //给CD边赋值{ j=n;f1[i][j]=300;}for(j=0;j<=n;j++) //给BC边赋值{ i=n;f1[i][j]=100;}for(i=1;i<n;i++){for(j=1;j<n;j++) //给内部节点设初值f1[i][j]=50;}do{ a=0;for(i=0;i<=n;i++){for(j=0;j<=n;j++)f2[i][j]=f1[i][j]; //将f1的值赋给f2}for(i=1;i<n;i++){for(j=1;j<n;j++){f1[i][j]=(0.25-1.25*x)*f1[i][j+1]+(0.25-0.75*x)*f1[i-1][j]+(0.25+1.25*x)*f1[i][j-1]+(0.25+0.75 *x)*f1[i+1][j];}}for(i=1;i<n;i++){for(j=1;j<n;j++){if(fabs(f1[i][j]-f2[i][j])>=1e-3) //保证每个节点值的误差都小于0.001a=1;}}}while(a==1);三、计算结果（1）步长为0.1，则共有11行节点。
cfd仿真的离散方法
cfd仿真的离散方法CFD（Computational Fluid Dynamics，计算流体动力学）是一种通过数值方法模拟流体运动和相互作用的技术。
在CFD仿真中，离散方法是其中一种重要的数值方法。
本文将介绍CFD仿真中离散方法的基本原理和应用。
离散方法是将连续的物理问题转化为离散的数学问题，通过对离散方程进行求解，得到问题的数值解。
在CFD仿真中，离散方法主要包括网格离散和时间离散两个方面。
首先，网格离散是指将流体领域划分为有限数量的小单元，即网格。
每个网格单元内的流体性质被近似为常数，通过在网格节点上建立数值解的逼近函数，将流体性质在整个流场中进行离散化表示。
常用的网格离散方法有结构化网格和非结构化网格。
结构化网格是由规则的矩形或立方体单元组成的网格，每个单元都有相同的形状和大小。
结构化网格的优点是计算效率高，数值精度较高，适用于简单的流动问题。
然而，对于复杂的几何形状，结构化网格的生成和调整较为困难。
非结构化网格是由不规则形状的多边形或多面体单元组成的网格，每个单元的形状和大小可以不同。
非结构化网格的优点是适用于复杂的几何形状，网格生成和调整相对容易。
然而，非结构化网格的计算效率较低，数值精度较差。
其次，时间离散是指将流体问题的时间域划分为一系列离散的时间步长，通过在每个时间步长上求解流体问题的数值解，得到整个时间域上的流体运动情况。
常用的时间离散方法有显式方法和隐式方法。
显式方法是通过已知的边界条件和初始条件，根据离散方程的形式，直接计算下一个时间步长的数值解。
显式方法的优点是计算速度快，适用于稳定流动和较小的时间步长。
然而，显式方法的稳定性条件较为严格，对于不稳定流动和较大的时间步长，可能导致数值解的不稳定。
隐式方法是通过已知的边界条件和初始条件，根据离散方程的形式，通过迭代计算下一个时间步长的数值解。
隐式方法的优点是稳定性较好，适用于不稳定流动和较大的时间步长。
然而，隐式方法的计算速度较慢，需要更多的计算资源。
计算流体力学基础
For personal use only in study and research; not for commercial use一、计算流体力学的基本介绍一、什么是计算流体力学(CFD)?计算流体力学(Computational Fluid Dynamics)是流体力学的一个新兴的分支，是一个采用数值方法利用计算机来求解流体流动的控制偏微分方程组，并通过得到的流场和其它物理场来研究流体流动现象以及相关的物理或化学过程的学科。
事实上，研究流动现象就是研究流动参数如速度、压力、温度等的空间分布和时间变化，而流动现象是由一些基本的守恒方程（质量、动量、能量等）控制的，因此，通过求解这些流动控制方程，我们就可以得到流动参数在流场中的分布以及随时间的变化，这听起来似乎十分简单。
但遗憾的是，常见的流动控制方程如纳维一斯托克斯(Navier-Stokes)方程或欧拉(Euler)方程都是复杂的非线性的偏微分方程组，以解析方法求解在大多数情况下是不可能的。
实际上，对于绝大多数有实际意义的流动，其控制方程的求解通常都只能采用数值方法的求解。
因此，采用CFD方法在计算机上模拟流体流动现象本质上是流动控制方程（多数情况下是纳维一斯托克斯方程或欧拉方程）的数值求解，而CFD软件本质上就是一些求解流动控制方程的计算机程序。
二、计算流体力学的控制方程计算流体力学的控剖方程就是流体流动的质量、动量和能量守恒方程。
守恒方程的常见的推导方法是基于流体微元的质量、动量和能量衡算。
通过质量衡算可以得到连续性方程，通过动量守恒可以得到动量方程，通过能量衡算可以得到能量方程。
式(1)一(3)是未经任何简化的流动守恒微分方程，即纳维一斯托克斯方程( N-S方程)。
N-S方程可以表示成许多不同形式，上面的N-S方程是所谓的守恒形式，之所以称为守恒形式，是因为这种形式的N-S方程求解的变量p、pu、pv、pw、pE是守恒型的，是质量、动量和能量的守恒变量。
欧拉隐式时间离散法
欧拉隐式时间离散法是计算流体力学中的一种数值方法,用于求解非定常流体的运动方程。
其基本思想是:
1. 将时间和空间离散化,在离散的时间和空间点上求解流体运动方程。
2. 运用隐式差分格式对运动方程进行近似,实现时间和空间的耦合,提高计算稳定性。
3. 对每一个时间步的解采用迭代method 求解,直到达到误差容限。
4. 重复上述步骤,推进求解过程,得到流体在时间和空间上演化的数值解。
与显式方法相比,欧拉隐式时间离散法的主要优点有:
1. 计算稳定性好,时间步长不受限制。
2. 空间和时间离散格式之间有效耦合,求解精度高。
3. 适用于求解高Reynolds数underline Re 流动。
欧拉隐式时间离散法运用广泛,是计算非定常流体important 的一类数值方法,为气体和液体动力学的数值模拟提供了重要工具。
离散空间直接建模的计算流体力学方法
业领域得到了广泛的应用. 然而, 现有数值方法与实 际应用的要求仍然存在很长的距离. 湍流、跨流域流 动等多尺度流动问题就是其中比较典型的例子 . 在 计算资源有限的条件下 , 工业领域迫切要求对流场 进行越来越细致的时空刻画 . 因此 , 发展新型高精 度、 高效的数值方法是 CFD 领域面临的重要挑战[3–5]. 传统 CFD 方法是通过直接离散描述流体运动的 偏微分方程而建立起来的, 如 Euler, Navier-Stokes(NS), Burnett, Boltzmann 方程等. 不同 PDE 的建立基础(假 设)不同, 因而具有不同的适用范围. 比如, NS 方程基 于连续介质假设, 只能适用于宏观流动. 而 Boltzmann
摘要
本文提出了一种发展适合多尺度、 多物理流动的 CFD 格式的全新途径, 即直接在离散空间利用
ห้องสมุดไป่ตู้
物理模型的跨尺度演化解来建立数值格式的新方法. 与直接离散偏微分方程的传统做法相比, 基于离散 空间直接建模构造出的数值方法考虑了网格尺度和物理模型之间的匹配, 能做到不同尺度上物理模型的 连续过渡, 从而实现对多尺度流动的高效模拟. Boltzmann 方程的模型演化解为直接建模方法提供了重要 的支撑. 本文提出了直接建模构造计算流体力学方法的理论基础, 并给出了在建立统一气体动理学格式 中的成功运用, 验证了新方法的可行性和优越性. 关键词 偏微分方程数值解, 离散空间直接建模, 多尺度流动, 统一气体动理学格式, BGK 方程
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描述流体运动 , 对应最小尺度则是分子的平均自由 程 . 在时间方向也存在类似的尺度问题 , 这里不再 赘述. 需要注意的是, 当物理模型由微分方程来描述 后, 数学意义上的最小可分辨尺度变成了无限小(零 ). 如果采用离散模型 , 则最小可分辨尺度对应于离散 尺度. 换句话说, 物理模型表现出的性质会受到描述 方式的限制. 在 CFD 计算中, 数值离散本身将引入一个新的 最小可分辨尺度, 即网格尺度∆x. 小于网格尺度的流 动变化同样只能通过(数值 )模型来表达 . 最小尺度的 差异决定了数值解、 物理解和偏微分方程的解析解之 间存在差异. 为了准确捕捉最小尺度为 l 的流场脉动, 网格尺度必须满足∆x<l. 对直接离散 PDE 而建立的 传统 CFD 方法, 还必须要求 PDE 隐含的物理模型最 小尺度 lPDEl. 对于多尺度流动问题 , 一个优秀的 CFD 方法应该能按实际需要自动而高效地刻画出相 应尺度上的流动特征. 也就是说, 如果实际应用要求 给出小尺度上的流动, 在满足要求的网格尺度上, 数 值方法能捕捉到该小尺度上的物理量 ; 如果只要求 给出较大尺度上的流动特征 , 数值方法也能在相应 较粗的网格上给出合理的流场物理量. 当然, 一个比 较直观的想法是以流动的最小尺度来布置计算网格 , 从而能将大大小小的各种不同尺度的流场脉动同时 捕捉出来 . 不过 , 如高雷诺数湍流的直接数值模拟 (DNS)一样, 这种方法可能需要极其巨大的计算资源, 甚至根本不可行. 实际上, 科学研究的目的是对自然 的最有效的描述 , 如果所有真实的描述都要归结为 最细致的描述 , 那么世界上除了粒子物理之外就没 有其他科学了. 上面提到的采用不同尺度网格计算得到的流场 物理量之间的关系中, “合理”是指采用粗网格得到的 单元内物理量应该与采用细网格得到的流场按粗网 格尺度平均后得到的平均量近似相同. 同时, 为捕捉 边界条件等大尺度因素的影响 , 网格的尺度必须足 够小. 因此, 随着计算网格的逐步加密, CFD 计算得 到的流场平均量应该趋于定值 , 这就是网格收敛性 . 需要注意的是, 这里的网格收敛性与传统 CFD 计算 中的提法不同. 后者通常是指随着网格加密, 数值解 逐渐趋近于 PDE 的解析解; 而前者是指数值解与物 理解的逼近程度随网格尺度的变化 , 包含了不同尺 度下 PDE 本身对真实流动的逼近程度. 比如, 如果 网格大小和分子直径相近, CFD 应该可以看到独立的
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2014 年
第 44 卷
第 5 期: 519–530
《中国科学》杂志社
SCIENCE CHINA PRESS
SCIENTIA SINICA Physica, Mechanica & Astronomica
论文
离散空间直接建模的计算流体力学方法
徐昆
①④
, 李启兵 *, 黎作武
②
③
① 香港科技大学数学系, 香港; ② 清华大学航天航空学院, 北京 100084; ③ 中国空气动力研究与发展中心, 绵阳 621000; ④ 北京大学湍流和复杂系统国家重点实验室, 北京 100871 *联系人, E-mail: lqb@ 收稿日期: 2013-09-04; 接受日期: 2013-11-20 国家自然科学基金 (批准号: 11172154)和香港大学教育资助委员会 (编号 : 621011)资助项目
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基于直接离散 PDE 的 CFD 方法
传统 CFD 方法是通过直接离散描述流体运动的 偏微分方程建立起来的 . 借助偏微分方程数值解理 论 , 对简单流动 , 特别是具有线性变化特征的流动 , 可以比较容易地对 CFD 方法的基本性质, 如稳定性 和收敛性等进行理论分析. 实际计算中, 可以根据需 要通过加密网格 , 从而更好地逼近 PDE 的解析解 . 此时 , 数值解对物理解的逼近问题实际上是要解的 PDE 对真实流动的近似问题. 这里的理念(原理)实际 和计算关系不大 , 更像牛顿发明微积分用小单元取 极限描述连续曲线一样 . 但实际的计算一定是在有 限网格大小上进行的, 所以传统的 CFD 方法得到的 只是相应 PDE 的一个近似解, 而且在理论上通常也 不可能知道在数值上求解的确切方程. 对于多尺度流动问题 , 上述方法存在的不足就 更加明显 . 其一 , 对于非线性问题 , 基于直接离散 PDE 的数值格式的理论分析非常困难 , 至少到目前 为止 , 仍亟需分析方法的突破 . 其二 , 对于流动的不 同尺度, 需要求解不同的 PDE, 对应的数值方法也可 能完全不同 , 其间的切换和搭接非常困难 . 其三 , 对 于某些尺度上的流动 , 难以建立起有效的宏观输运 方程, 就更谈不上数值求解了. 从连续到稀薄这种跨 流域多尺度流动就是其中最为典型的例子 . 实际上 现存的大多数跨尺度计算方法采用的是直接分辨不 切实际的最小尺度, 即所谓的蛮力方法. 跨流域流动主要出现在微机电系统 (MEMS) 和 航天气动领域 . 近年来近空间飞行器研究的迅猛发 展更是对跨流域流动模拟提出了迫切的要求 . 无论 是飞船从太空(如 100 km 以上)返回地面还是飞行器
从地面运行到太空 , 都经历了包括稠密和稀薄大气 环境的变化, 给数值模拟带来了极大的困难. 根据飞 行器的大小和飞行高度估算出流动的稀薄程度 ( 用 Knudsen 数表示 Kn=/L, L 为流动的特征长度), 对飞 行器面临的流态进行划分. 当 Kn<0.001 时采用 NS 方 程求解; 而当 0.001<Kn<0.1 时也采用 NS 方程来近似, 同时还需要考虑飞行器表面的速度滑移和温度跳跃 . 对于更高 Knudsen 数的区域, 目前还未找到有效的宏 观方程 , 因而必须采用基于粒子的直接模拟 Monte Carlo 方法(DSMC)[7]. DSMC 方法完全基于单一尺度 ( 分子平均自由程 )来描述流体的运动 . 实际上 , 对于 同一飞行高度 , 飞行器的不同部位同样可能面临不 同的流态, 因而同样需要进行分区, 从而采用不同的 方法求解 . 这就需要在不同求解方法之间进行切换 , 并且界面上不同方法得到的数据如何交换也是一个 非常值得研究的问题 . 近年来航空航天领域关心的 近空间飞行器(20–100 km 之间)正是要在跨流域中长 时间飞行. 从理论上讲 , 适合从连续到稀薄跨流域流动的 PDE 是存在的, 那就是 Boltzmann 方程及其简化模型 方程. Boltzmann 方程本身的模型尺度是和 DSMC 的 尺度是一样的, 即分子的平均自由程. 通常说 Boltzmann 方程适合于所有尺度, 隐含的也是用蛮力 的意思, 在所有区域分辨出最小尺度. 这在绝大多数 实际应用中基本上是不可能的 . 再有 , 从 Boltzmann 方程出发通过不同的渐近展开可以得到不同的宏观 方程. 通过一阶 Chapman-Enskog 展开得到 NS 方程 是一个成功的例子 , 但在历史上还得到了很多不太 成功的方程, 比如更高阶的 Burnett 和 Super-Burnett 方程. 所以 Boltzmann 方程只是在其模型尺度上描述 流动, 本身并没有对其他尺度的适应性. 在数值上发 展一种跨尺度的格式比写出 Boltzmann 方程更困难. 对一维单原子气体流动, Boltzmann 方程可以写为
引用格式: 徐昆, 李启兵, 黎作武. 离散空间直接建模的计算流体力学方法. 中国科学: 物理学 力学 天文学, 2014, 44: 519–530
Xu K, Li Q B, Li Z W. Direct modeling-based computational fluid dynamics (in Chinese). Sci Sin-Phys Mech Astron, 2014, 44: 519–530, doi: 10.1360/SSPMA2013-00054
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描述流体运动 , 对应最小尺度则是分子的平均自由 程 . 在时间方向也存在类似的尺度问题 , 这里不再 赘述. 需要注意的是, 当物理模型由微分方程来描述 后, 数学意义上的最小可分辨尺度变成了无限小(零 ). 如果采用离散模型 , 则最小可分辨尺度对应于离散 尺度. 换句话说, 物理模型表现出的性质会受到描述 方式的限制. 在 CFD 计算中, 数值离散本身将引入一个新的 最小可分辨尺度, 即网格尺度∆x. 小于网格尺度的流 动变化同样只能通过(数值 )模型来表达 . 最小尺度的 差异决定了数值解、 物理解和偏微分方程的解析解之 间存在差异. 为了准确捕捉最小尺度为 l 的流场脉动, 网格尺度必须满足∆x<l. 对直接离散 PDE 而建立的 传统 CFD 方法, 还必须要求 PDE 隐含的物理模型最 小尺度 lPDEl. 对于多尺度流动问题 , 一个优秀的 CFD 方法应该能按实际需要自动而高效地刻画出相 应尺度上的流动特征. 也就是说, 如果实际应用要求 给出小尺度上的流动, 在满足要求的网格尺度上, 数 值方法能捕捉到该小尺度上的物理量 ; 如果只要求 给出较大尺度上的流动特征 , 数值方法也能在相应 较粗的网格上给出合理的流场物理量. 当然, 一个比 较直观的想法是以流动的最小尺度来布置计算网格 , 从而能将大大小小的各种不同尺度的流场脉动同时 捕捉出来 . 不过 , 如高雷诺数湍流的直接数值模拟 (DNS)一样, 这种方法可能需要极其巨大的计算资源, 甚至根本不可行. 实际上, 科学研究的目的是对自然 的最有效的描述 , 如果所有真实的描述都要归结为 最细致的描述 , 那么世界上除了粒子物理之外就没 有其他科学了. 上面提到的采用不同尺度网格计算得到的流场 物理量之间的关系中, “合理”是指采用粗网格得到的 单元内物理量应该与采用细网格得到的流场按粗网 格尺度平均后得到的平均量近似相同. 同时, 为捕捉 边界条件等大尺度因素的影响 , 网格的尺度必须足 够小. 因此, 随着计算网格的逐步加密, CFD 计算得 到的流场平均量应该趋于定值 , 这就是网格收敛性 . 需要注意的是, 这里的网格收敛性与传统 CFD 计算 中的提法不同. 后者通常是指随着网格加密, 数值解 逐渐趋近于 PDE 的解析解; 而前者是指数值解与物 理解的逼近程度随网格尺度的变化 , 包含了不同尺 度下 PDE 本身对真实流动的逼近程度. 比如, 如果 网格大小和分子直径相近, CFD 应该可以看到独立的
业领域得到了广泛的应用. 然而, 现有数值方法与实 际应用的要求仍然存在很长的距离. 湍流、跨流域流 动等多尺度流动问题就是其中比较典型的例子 . 在 计算资源有限的条件下 , 工业领域迫切要求对流场 进行越来越细致的时空刻画 . 因此 , 发展新型高精 度、 高效的数值方法是 CFD 领域面临的重要挑战[3–5]. 传统 CFD 方法是通过直接离散描述流体运动的 偏微分方程而建立起来的, 如 Euler, Navier-Stokes(NS), Burnett, Boltzmann 方程等. 不同 PDE 的建立基础(假 设)不同, 因而具有不同的适用范围. 比如, NS 方程基 于连续介质假设, 只能适用于宏观流动. 而 Boltzmann
பைடு நூலகம்
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流动的描述尺度与物理模型
对真实流动的描述首先应该基于一定的最小可 分辨尺度 , 不同描述尺度下能看到不同的流动细节 , 以此可以建立不同的流动物理模型 , 通常为偏微分 方程. 事实上, 工程应用中关心的也是在某个有限分 辨率下的物理量, 如速度、温度和压力等, 或者说是 具有最小可分辨尺度的微元内的平均值 . 小于最小 尺度的流动变化则反映在物理模型中 , 如宏观方程 中耗散与内能的关系. 也就是说, 不同 PDE 模型隐 含的最小尺度 lPDE 不同. NS 方程基于连续介质假设, 对应宏观耗散尺度, 而 Boltzmann 方程从介观角度
摘要
本文提出了一种发展适合多尺度、 多物理流动的 CFD 格式的全新途径, 即直接在离散空间利用
物理模型的跨尺度演化解来建立数值格式的新方法. 与直接离散偏微分方程的传统做法相比, 基于离散 空间直接建模构造出的数值方法考虑了网格尺度和物理模型之间的匹配, 能做到不同尺度上物理模型的 连续过渡, 从而实现对多尺度流动的高效模拟. Boltzmann 方程的模型演化解为直接建模方法提供了重要 的支撑. 本文提出了直接建模构造计算流体力学方法的理论基础, 并给出了在建立统一气体动理学格式 中的成功运用, 验证了新方法的可行性和优越性. 关键词 偏微分方程数值解, 离散空间直接建模, 多尺度流动, 统一气体动理学格式, BGK 方程