清华大学自主招生数学试题
2020年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷(强基计划)-学生用卷
2020年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷(强基计划)-学生用卷1、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第1题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试 已知x 2+y 2⩽1,求x 2+xy −y 2的最值.2、【来源】设a ,b ,c 均为大于零的实数,若一元二次方程ax 2+bx +c =0有实根,则( ). A. max {a,b,c }⩾12(a +b +c) B. max {a,b,c }⩾49(a +b +c) C. min {a,b,c }⩽14(a +b +c) D. min {a,b,c }⩽13(a +b +c)3、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第13题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试|a →|⩽1,|b →|⩽1,|a →+2b →+c →|=|a →−2b →|,则|c →|的最值为( ) A. 最大值为4√2 B. 最大值为2√5 C. 最小值为0 D. 最小值为24、【来源】在△ABC 中,AC =1, BC =√3,AB =2,M 为AB 的中点,将△BCM 沿CM 折起,使得三棱锥B −ACM 的体积为√212,则折起后AB 的长可以为( ).A. 1B. √2C. √3D. 25、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第5题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试P为椭圆x24+y23=1上一点,A(1,0),B(1,1),求|PA|+|PB|的取值范围.6、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第7题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试P为双曲线x24−y2=1上一点,A(−2,0),B(2,0),令∠PAB=α,∠PBA=β,下列为定值的是()A. tanαtanβB. tanα2tanβ2C. S△PAB tan(α+β)D. S△PAB cot(α+β)7、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第2题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试非等边三角形ABC中,BC=AC,O,P分别为△ABC的外心和内心,D在BC上,OD⊥BP,下列选项正确的是()A. BODP四点共圆B. OD//ACC. OD//ABD. DP//AC8、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第3题已知集合A,B,C⊆{1,2,3,⋯,2020},且A⊆C,B⊆C,则有序集合组(A,B,C)的个数是().A. 22020B. 32020C. 42020D. 520209、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第4题已知数列{a n }满足a 0=1,|a i+1|=|a i +1|(i ∈N ),则A =|∑a k 20k=1|的值可能是( ). A. 0B. 2C. 10D. 1210、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第6题 已知△ABC 的三条边长均为整数,且面积为有理数,则|AB |的值可能是( ). A. 1B. 2C. 3D. 411、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第8题甲、乙、丙三人一起做同一道题,甲说:“我做错了.”,乙说:“甲做对了.”,丙说:“我做错了.”,而事实上仅有一人做对题目且仅有一人说谎了,那么谁可能做对了题目( ). A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 没有人12、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第9题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =√3,BC =1,PA→|PA →|+PB →|PB →|+PC →|PC →|=0→,以下正确的是( ).A. ∠APB =120°B. ∠BPC =120°C. 2BP =PCD. AP =2PC13、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第10题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试 lim n→∞∑arctan n k=12k 2=( )A. 34π B. π C. 3π2D. 7π314、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第11题从0∼9这十个数中任取五个数组成一个为五位数ABCDE (A 可以为0),则396|ABCDE 的概率是( ). A.1396B.1324C.1315D.121015、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第12题随机变量X (=1,2,3,⋯),Y (=0,1,2),满足P (X =k )=12k 且Y ≡X (mod3),则E (Y )=( ). A. 47B. 87C. 127D. 16716、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第14题若存在x ,y ∈N ∗,使得x 2+ky ,y 2+kx 均为完全平方数,则正整数k 可能是( ). A. 2B. 4C. 5D. 617、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第15题 求值:sin(arctan1+arccos√10+arcsin√5)=( ).A. 0B. 12C. √22D. 118、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第16题已知正四棱锥中,相邻两侧面构成的二面角为α,侧棱和底面夹角为β,则().A. cosα+tan2β=1B. secα+tan2β=−1C. cosα+2tan2β=1D. secα+2tan2β=−119、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第17题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试已知f(x)=2e xe x+e−x+sinx,x∈[−2,2],则f(x)上下界之和为.20、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第18题已知函数f(x)的图象如图所示,记y=f(x),x=a,x=t(a<t<c)及x轴围成的曲边梯形面积为S(t),则下列说法正确的是().A. S(t)⩽cf(b)B. S′(t)⩽f(a)C. S′(t)⩽f(b)D. S′(t)⩽f(c)21、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第19题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试定义数列{a n },若∀n ∈N ∗,∃m ∈N ∗,使得S n =a m ,则称数列{a n }为“某数列”,以下正确的是( )A. a n ={1,n =12n−2,n ⩾2,数列{a n }为“某数列”B. a n =kn ,k 为常数,则{a n }为“某数列”C. 存在任意两项均不相同的某数列a n ,且对于任意n ∈N ∗,|a n |<√nD. 对任意等差数列{a n },存在“某数列”{b n }和{c n },使得a n =b n +c n22、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(强基计划)第20题求值:∫sin 2xsin 4x+cos 4x2πdx =( ).A. πB. √2πC. 2πD. √5π23、【来源】已知f(z)=z 10+z −10+12(z 5+z −5),则( ). A. f(z)=0存在实数解B. f(z)=0共有20个不同的复数解C. f(z)=0复数解的模长都等于1D. f(z)=0存在模长大于1的复数解24、【来源】设多项式f(x)的各项系数都是非负实数,且f(1)=f ′(1)=f ′′(1)=f ′′′(1)=1,则f(x)的常数项的最小值为( ). A. 12B. 13C. 14D. 1525、【来源】《红楼梦》《三国演义》《水浒》《西游记》四部书分列在只有四层架子的书柜的不同层上,小赵、小钱、小孙,小李分别借阅了四部书中的一部,现已知:小钱借阅了第一层的书籍,小赵借阅了第二层的书籍,小孙借阅的是《红楼梦》,《三国演义》陈列在第四层,则().A. 《水浒》一定陈列在第二层B. 《西游记》一定陈列在第一层C. 小孙借阅的一定是第三层的书籍D. 小李借阅的一定是第四层的书籍26、【来源】设数列{a n}的前n项和为S n=(−1)n a n+12n+n−3,且实数t满足(t−a n+1)(t−a n)<0,则t的取值范围是().A. (−34,11 4)B. (−34,11 5)C. (−35,11 4)D. (−35,11 5)27、【来源】已知实数a,b满足a3+b3+3ab=1,设a+b的所有可能取值构成的集合为M,则().A. M为单元素集B. M为有限集,但不是单元素集C. M为无限集,且有下界D. M为无限集,且无下界28、【来源】设A ,B 分别是x 轴,y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y −4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ). A. π5B. 2π5C. 4π5D. π29、【来源】设α,β为锐角,且cos(α+β)=sin αsin β ,则tanα的最大值为( ). A. √24B. √33 C. 1 D. √230、【来源】设函数f(x)=e x +a(x −1)+b 在区间[1,3]上存在零点,则a 2+b 2的最小值为( ). A. e2 B. e C. e 22 D. e 231、【来源】设复数z 满足|3z −7i |=3,令z 1=z 2−2z+2z−1+i,则|z 1|的( ).A. 最大值为83B. 最大值为73C. 最小值为43D. 最小值为2332、【来源】在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点,所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形.若一个格点多边形内部有8个格点,边界上有10个格点,则这个格点多边形的面积为( ). A. 10B. 11C. 12D. 1333、【来源】设实数x 1,x 2,⋯,x 21满足0⩽x i ⩽1(i =1,2,⋯,21),则∑21i=1∑|x i −x k |21k=1的最大值为( ). A. 110B. 120C. 220D. 24034、【来源】已知实数x ,y ,z 满足{ 19x 3−13y 2−y =119y 3−13z 2−z =119z 3−13x 2−x =1,则( ).A. (x,y,z)只有1组B. (x,y,z)有4组C. x ,y ,z 均为有理数D. x ,y ,z 均为无理数35、【来源】使得nsin1>1+5cos1成立的最小正整数n 的值为( ). A. 3B. 4C. 5D. 636、【来源】已知复数z 1,z 2在复平面内对应的点为Z 1,Z 2,O 为坐标原点,若|z 1|=1,5z 12−2z 1z 2+z 22=0,则△OZ 1Z 2的面积为( ).A. 1B. √3C. 2D. 2√31 、【答案】见解析;2 、【答案】 B;C;D;3 、【答案】 B;C;4 、【答案】 B;C;5 、【答案】[4−√5,4+√5];6 、【答案】 A;C;7 、【答案】 A;D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;D;10 、【答案】 C;D;11 、【答案】 A;B;12 、【答案】 A;B;C;D;13 、【答案】 A;14 、【答案】 C;15 、【答案】 B;16 、【答案】 C;D;17 、【答案】 D;18 、【答案】 D;19 、【答案】 2;20 、【答案】 A;C;21 、【答案】 A;B;C;D;22 、【答案】 B;23 、【答案】 B;C;24 、【答案】 B;25 、【答案】 C;D;26 、【答案】 A;27 、【答案】 B;28 、【答案】 C;29 、【答案】 A;30 、【答案】 D;31 、【答案】 A;D;32 、【答案】 C;33 、【答案】 C;34 、【答案】 A;D;35 、【答案】 C;36 、【答案】 A;第11页,共11页。
近十年清华北大自主招生试题汇总
1.(2007清华)对于集合2M R ⊆(表示二维点集),称M 为开集,当且仅当0,0P M r ∀∈∃>,使得{}2P R PP r M ∈<⊆⎰。
判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集,并证明你的结论。
2,(2009北大)已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立,求max ()a b +3,(2009清华)已知,,0x y z >,a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。
求证:3a b c x y z ++≥。
4,(2006清华)已知a ,b 为非负数,44M a b =+,a+b=1,求M 的最值。
5,(2008北大)实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++,122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++,123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。
求证:12312m a x (,,)m a x (,,)a a a b b b ≤。
6,(2009清华)试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…,使得()0f x =有一根为7,(2009清华)x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数,求证:222112n n n xy -+≥8,(2007北大) 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+,求f(1)+f(2)+…+f(50)。
9,(2006清华)设正三角形1T 的边长为a ,1n T +是n T 的中点三角形,n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和,求1lim n k n k A →∞=∑。
10,(2008北大)数列{}1n n a ∞=定义如下:1234561,2,3,a a a a a a ======……(1) 给定自然数n ,求使l a n =的L 的范围;(2) 令221m m l l b a ==∑,求3limm m b m →∞。
清华大学自主招生试题数学
2021年自主招生华约数学试题一、选择题(1) 设复数z满足|z|<1且15||2zz+=那么|z| = ( )4321 A B C D 5432解:由15||2zz+=得25||1||2z z+=,已经转化为一个实数的方程。
解得|z| =2〔舍去〕,12 。
(2) 在正四棱锥P-ABCD中,M、N分别为PA、PB的中点,且侧面与底面所成二面角。
那么异面直线DM与AN所成角的余弦为( )1111A B C D36812[分析]此题有许多条件,可以用“求解法〞,即假设题中的一局部要素为,利用这些条件来确定其余的要素。
此题中可假设底面边长为〔不妨设为2〕,利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素,如正四棱锥的高等。
然后我们用两种方法,一种是建立坐标系,另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一:如图,设底面边长为2,。
如图建立坐标系,那么A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,),那么1111(,,),(,,222222M N-,31213(,,),(,,222222DM AN=-=-。
设所成的角为θ,那么1 cos6DM ANDM ANθ==。
解法二:如图,设底面边长为2,。
平移DM 与AN 在一起。
即M 移到N ,D 移到CD 的中点Q 。
于是QN = DM = AN 。
而PA = PB = AB = 2,所以QN = AN= AQ= ,容易算出等腰ΔAQN 的顶角1cos 6ANQ ∠=。
解法三:也可以平移AN 与DM 在一起。
即A 移到M ,N 移到PN 的中点Q 。
以下略。
(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切,且(-1, 1)不是切点,那么直线l 的斜率为 ( )A 2B1C 1D 2 - -此题有误,原题丢了,待重新找找。
(4)假设222cos cos 3A B A B π+=+,则的最小值和最大值分别为 () 3131A1,B ,C1D ,122222222--+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +,沿着两个方向:①降次:把三角函数的平方去掉;②去角:原来含两个角,去掉一个。
清华大学自主招生试题 数学 Word版含解析
一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π,则2111-1z z +-=( ) (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点,O 是坐标原点,若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1),且满足:①()f x >0,x ∈(-1,0);②()f x +()f y =()1x yf xy++,x 、y ∈(-1,1),则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图,已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点,则F(x)=f (x)−kx 有( )(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c .若c=2,∠C=3π,且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有( ) (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3 (C)△ABC 的面积为33(D)△ABC 的外接圆半径为337.设函数2()(3)xf x x e =-,则( )(A)()f x 有极小值,但无最小值 (B) ()f x 有极大值,但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根,则b>36e(D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根,则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=},B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=,已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )},则( )(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ,12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3,则5x+4y+3z 的最小值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ,若对任意正整数n ,总存在正整数m ,使得n S =m a ,则( )(A ){n a }可能为等差数列 (B ){n a }可能为等比数列(C ){n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ,总存在正整数m ,使得n a =m S11.运动会上,有6名选手参加100米比赛,观众甲猜测:4道或5道的选手得第一名;观众乙猜测:3道的选手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6道选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6道的选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是( ) (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中,AB=2,AD=A 1A =1,则A 到平面1A BD 的距离为( )(A)13 (B)23(C)22 (D)6313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ,其面积为S ,则( )(A)若S=4,则k 的值唯一 (B)若S=12,则k 的值有2个(C)若D 为三角形,则0<k ≤23(D)若D 为五边形,则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4,其外心为O ,则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=( ) (A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立,且P(B)=0.5,P(A −B)=0.2,则( )(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分,则这两部分的面积之比的( ) (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形,则不同的选法有( )(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ,使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点,则n 可以等于( ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|,则( ) (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数,a =(mcosα,msinα),b =(ncosβ,nsinβ),其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π).定义向量12a =(2m α2m α),12b =(2n β2n β),记θ=α−β,则( )(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2mn θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足:1a =6,13n n n a a n++=,则( ) (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中,下列方程表示的图形是椭圆的有( ) (A )ρ=1cos sin θθ+ (B )ρ=12sin θ+ (C )ρ=12cos θ- (D )ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+,则( )(A )()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ,若△ABC 为锐角三角形,则( ) (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的定义域是(−1,1),若(0)f =(0)f '=1,则存在实数δ∈(0,1),使得( ) (A)()f x >0,x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1,x ∈(0,δ) (D)()f x >1,x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中,已知A(−1,0),B(1,0).若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n),总存在两个不同的点i P ,j P ,使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13,则n 的最小值为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1,则22x y + )(A)最小值为45 (B)最小值为25(C)最大值为1 (D)最大值为12328.对于50个黑球和49个白球的任意排列(从左到右排成一行),则( )(A)存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数,其中有两个数字各用两次,例如12231,则能得到的不同的五位数有( ) (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0,则( ) (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+--=212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()333(cossin )22i i ππππ-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]663i ππ-+- 31sin )6623i i ππ+=1,选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ,与公差d 的符号有关,选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅2211221111(1)(1)x x x x ++2121111x x +++11122||||x x +⋅=2,正确;答案(B),|OA|+|OB|≥2||||OA OB ⋅22,正确;答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程,错误;答案(D),原点到直线AB :(111x x -)x-y+1=0的距离2111()1x x -+1,正确。
2020年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷(1月)(TDA)-学生用卷
2020年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷(1月)(TDA)-学生用卷一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第1题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考(十校联盟)第1题4分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第1题5分若集合A={x|−1<x<2},B={−2,0,1,2},则A∩B=().A. ∅B. {0,1}C. {0,1,2}D. {−2,0,1,2}2、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第2题5分若(2+i)z=5,则z的虚部为().A. −1B. 1C. −iD. i3、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第3题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考(十校联考)第2题4分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考(十校联盟)第2题4分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第3题5分已知双曲线x 22−y2b2=1(b>0)的两条渐近线互相垂直,则b=().A. 1B. √2C. √3D. 24、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第4题5分函数f(x)=(x2−2x)e x的图象可能是().A.B.C.D.5、【来源】 2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第6题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考(杭二,学军,杭高、嘉兴一中、宁波效实五校联考)第5题4分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考(五校联考)第5题4分2020~2021学年湖北武汉江岸区武汉市第二中学高一上学期单元测试《一元二次函数、方程和不等式》第1题已知关于x的不等式ax2−2x+3a<0在(0,2]上有解,则实数a的取值范围是().)A. (−∞,√33)B. (−∞,47,+∞)C. (√33,+∞)D. (476、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA )第6题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考(五校联考)第6题4分已知a ,b 为实数,则0<b <a <1,是log a b >log b a 的( ).A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA )第7题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考(十校联考)第9题4分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考(十校联盟)第9题4分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第9题5分在△ABC ,若AB →⋅BC →=BC →⋅CA →=2CA →⋅AB →,则|AB →||BC →|=( ).A. 1B. √22C. √32D. √628、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA )第8题5分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第10题5分2020~2021学年5月广东深圳南山区北京师范大学南山附属学校高三下学期周测A 卷第8题5分 在矩形ABCD 中,已知AB =3,AD =4,E 是边BC 上的点,EC =1,EF//CD ,将平面EFDC 绕EF 旋转90°后记为平面α,直线AB 绕AE 旋转一周,则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是( ).A. 圆B. 双曲线C. 椭圆D. 抛物线二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA )第9题5分已知函数f(x)=(lnx −1)(x −2)i −m(i =1,2),e 是自然对数的底数,存在m ∈R ( ).A. 当i =1时,f(x)零点个数可能有2个B. 当i =1时,f(x)零点个数可能有4个C. 当i =2时,f(x)零点个数可能有3个D. 当i =2时,f(x)零点个数可能有4个10、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA )第10题5分已知A ,B 是圆C 1:x 2+y 2=1上的动点,AB =√3,P 是圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=1上的动点,下列命题中正确的是( ).A. 线段AB 的中点M 的轨迹方程为x 2+y 2=12B. 线段AB 的中点M 的轨迹方程为x 2+y 2=14C. |PA →+PB →|的取值范围是[7,13]D. |PA →+PB →|的取值范围是[5,7]11、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第11题5分2020~2021学年4月广东深圳福田区深圳市红岭中学高二下学期月考(特优班)第9题5分2020~2021学年广东深圳南山区北大附中深圳南山分校高二下学期期中第11题5分下列说法中,正确的命题是().A. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,δ2),P(ξ<4)=0.84,则P(2<ξ<4)=0.16.B. 以模型y=ce kx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,将其变换后得到线性方程z=0.3x+4,则c,k的值分别是e4和0.3.C. 已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为y=a+bx,若b=2,x=1,y=3,则a=1.D. 若样本数据x1,x2,⋯,x10的方差为2,则数据2x1−1,2x2−1,⋯,2x10−1的方差为16.12、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第12题5分已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n(2S n−a n)=1,则下列结论正确的是().A. 数列{S n2}是等差数列B. a n<2√nC. a n a n+1<1D. a n<S n三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第13题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考(十校联考)第15题4分2019~2020学年6月重庆南岸区重庆市第十一中学高二下学期月考第14题5分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第13题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考(十校联盟)第15题4分1742年6月7日,哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出:任一大于2的偶数都可写成两个质数的和.这就是著名的“哥德巴赫猜想”,可简记为“1+1”.1966年,我国数学家陈景润证明了“1+2”,获得了该研究的世界最优成果.若在不超过30的所有质数中,随机选取两个不同的数,则两数之和不超过30的概率是.14、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第14题5分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第15题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考(十校联盟)第16题4分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考(十校联考)第16题4分已知F是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,P是C上的任意一点,则|FP|称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A,B,若存在以A为圆心,|FP|为半径长的圆经过点B,则椭圆C的离心率的最小值为.15、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第15题5分如图矩形ABCD中,M为BC的中点,已知BC=2AB=2.将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M,连接B1D,N为B1D的中点,则CN的长是;当三棱锥B1−AMD的体积最大时,三棱锥B1−AMD外接球的体积为.16、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第16题5分2019~2020学年浙江高三上学期开学考试名校协作体第16题4分2019~2020学年5月重庆渝中区重庆市巴蜀中学高一下学期周测C卷第14题4分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第14题5分已知△ABC的面积等于1,若BC=1,则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时,sinA=.四、解答题(本大题共6小题,共70分)17、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第17题10分已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(−1,√3).(1) 求cos(α+π2)的值.(2) 求函数f(x)=sin2(x+α)−cos2(x−α)(x∈R)的最小正周期与单调递增区间.18、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第18题12分2019~2020学年浙江高三上学期开学考试第19题15分如图,ABCDEF是由两个全等的菱形ABEF和CDEF组成的空间图形,AB=2,∠BAF=∠ECD=60∘.(1) 求证:BD⊥DC.(2) 如果二面角B−EF−D的平面角为60∘,求直线BD与平面BCE所成角的正弦值.19、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第19题12分已知等比数列{a n}的公比q>1,且a1+a3+a5=42,a3+9是a1,a5的等差中项.数列{b n}的通项公式b n=n√a−1+√a−1,n∈N∗.(1) 求数列{a n}的通项公式.(2) 证明:b1+b2+⋯+b n<√2n+1−1,n∈N∗.20、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第20题12分已知抛物线C:x2=2py(p>0),焦点为F,准线与y轴交于点E.若点P在C上,横坐标为2,且满足:|PE|=√2|PF|.(1) 求抛物线C的方程.(2) 若直线PE交x轴于点Q,过点Q做直线l,与抛物线C有两个交点M,N(其中,点M在第一象限).若QM→=λMN→,当λ∈(1,2)时,求S△OMPS△ONP的取值范围.21、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第21题12分已知函数f(x)=(x+1)(e x−1).(1) 求f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程.(2) 若方程f(x)=b有两个实数根x1,x2,且x1<x2,证明:x2−x1⩽1+b+e+13e−1+ebe−1.22、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生(1月)(TDA)第22题12分某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测,为了了解玩家对游戏的体验感,研究人员随机调查了300名玩家,对他们的游戏体验感进行测评,并将所得数据进行统计,如图所示,其中a−b=0.016.(1) 求这300名玩家测评分数的平均数.(2) 由于该公司近年来生产的游戏体验感较差,公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测,如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进,则公司将回收该款游戏进行改进;若3人中仅1人认为游戏需要改进,则公司将另外聘请2位专家二测,二测时,2人中至少有1人认为游戏需要改进的话,公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为p(0<p<1),且每款游戏之间改进与否相互独立.①对该公司的任意一款游戏进行检测,求该款游戏需要改进的概率.②每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人,今年所有游戏的研发总费用为50万元,现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测,假设公司的预算为110万元,判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算,并通过计算说明.(以聘请专家费用的期望为决策依据)1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 D;9 、【答案】 A;C;10 、【答案】 B;C;11 、【答案】 B;C;12 、【答案】 A;B;C;13 、【答案】2;3;14 、【答案】√3−12;15 、【答案】√5;3;16 、【答案】81717 、【答案】 (1) −√32;(2) T=π,[kπ−π2,kπ](k∈Z) ;18 、【答案】 (1) 证明见解析.;(2) 2√77.;19 、【答案】 (1) a n=2n;(2) 见解析;20 、【答案】 (1) x2=4y;(2) (12,2 3 );21 、【答案】 (1) y=1−ee(x+1) ;(2) 见解析;22 、【答案】 (1) 76.;(2)①3p5+12p4−17p3+9p2.②超过,证明见解析.;。
2019年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(解析版)
清华大学自主招生暨领军计划数学试题(解析版)1.已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值,则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为( )A .0B .1C .2D .取决于a 的值 【答案】C【解析】注意)()(/x g e x f x =,答案C .2. 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,.下列条件中,能使得ABC ∆的形状唯一确定的有( )A .Z c b a ∈==,2,1B .B bC a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+= C .060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B AD .060,1,3===A b a【答案】AD .3.已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=,下列说法中正确的有( ) A .)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B .存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C .)(),(x g x f 有且只有一个交点D .)(),(x g x f 有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线,如图,因此答案BD .4.过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点,M 为线段AB 的中点.下列说法中正确的有( )A .以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离B .||AB 的最小值为4C .||AB 的最小值为2D .以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB【解析】对于选项A ,点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+,于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切,进而与直线23-=x 一定相离;对于选项B ,C ,设)4,4(2a a A ,则)1,41(2a a B -,于是2414||22++=a a AB ,最小值为4.也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值;对于选项D ,显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等,因此命题错误.5.已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点,P 是椭圆C 上一点.下列说法中正确的有( )A .b a 2=时,满足02190=∠PF F 的点P 有两个B .b a 2>时,满足02190=∠PF F 的点P 有四个C .21F PF ∆的周长小于a 4D .21F PF ∆的面积小于等于22a【答案】ABCD .【解析】对于选项A ,B ,椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点;对于选项C ,21PF F ∆的周长为a c a 422<+;选项D ,21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅.6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛,有两花获奖.比赛结果揭晓之前,四个人作了如下猜测:甲:两名获奖者在乙、丙、丁中; 乙:我没有获奖,丙获奖了; 丙:甲、丁中有且只有一个获奖; 丁:乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两个获奖者是( ) A .甲B .乙C .丙D .丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误,分类即可,答案:BD .7.已知AB 为圆O 的一条弦(非直径),AB OC ⊥于C ,P 为圆O 上任意一点,直线PA 与直线OC 相交于点M ,直线PB 与直线OC 相交于点N .以下说法正确的有( ) A .P B M O ,,,四点共圆 B .N B M A ,,,四点共圆 C .N P O A ,,,四点共圆D .以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A ,OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得;对于选项B ,若命题成立,则MN 为直径,必然有MAN ∠为直角,不符合题意;对于选项C ,MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得.答案:AC .8.C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性:由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π, 类似地,有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ,于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++.不充分性:当4,2ππ===C B A 时,不等式成立,但ABC ∆不是锐角三角形.9.已知z y x ,,为正整数,且z y x ≤≤,那么方程21111=++z y x 的解的组数为( )A .8B .10C .11D .12【答案】B【解析】由于x z y x 311121≤++=,故63≤≤x .若3=x ,则36)6)(6(=--z y ,可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ; 若4=x ,则16)4)(4(=--z y ,可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ;若5=x ,则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ,进而解得)10,5,5(),,(=z y x ;若6=x ,则9)3)(3(=--z y ,可得))6,6(),(=z y . 答案:B . 10.集合},,,{21n a a a A =,任取Aa a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立,则n 的最大值为( ) A .6B .7C .8D .9【答案】B11.已知000121,61,1===γβα,则下列各式中成立的有( )A .3tan tan tan tan tan tan =++αγγββαB .3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC . 3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβα D . 3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα【答案】BD【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ,则3111=+-=+-=+-zx zx yz y z xy x y ,所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-,以上三式相加,即有3-=++zx yz xy .类似地,有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zx x z yz z y xy y x ,以上三式相加,即有3111-=++=++xyz zy x zx yz xy .答案BD .12.已知实数c b a ,,满足1=++c b a ,则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间( )A .)12,11(B .)13,12(C .)14,13(D .)15,14(【答案】B【解析】设函数14)(+=x x f ,则其导函数142)(/+=x x f ,作出)(x f 的图象,函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ,以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ,如图,于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ,左侧等号当41-=x 或23=x 时取得; 右侧等号当31=x 时取得.因此原式的最大值为21,当31===c b a 时取得;最小值为7,当23,41=-==c b a 时取得,从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈.答案B .13.已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ,则下列结论正确的有( ) A .xyz 的最大值为0B .xyz 的最大值为274-C .z 的最大值为32D .z 的最小值为31-【答案】ABD14.数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++,对任意正整数n ,以下说法中正确的有( ) A .nn n a a a 221++-为定值 B .)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC .741-+n n a a 为完全平方数 D .781-+n n a a 为完全平方数【答案】ACD 【解析】因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a nn n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=,选项A 正确;由于113=a ,故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ,又对任意正整数恒成立,所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++,故选项C 、D 正确.计算前几个数可判断选项B 错误. 说明:若数列}{n a 满足nn n a pa a -=++12,则nn n a a a 221++-为定值.15.若复数z 满足11=+z z ,则z 可以取到的值有( )A .21B .21-C .215-D . 215+【答案】CD【解析】因为11||1||=+≤-z z z z ,故215||215+≤≤-z ,等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得.答案CD .16. 从正2016边形的顶点中任取若干个,顺次相连构成多边形,若正多边形的个数为( )A .6552B .4536C .3528D .2016 【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1,2,其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形,这样的正多边形有k 2016个,因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008.考虑到732201625⨯⨯=,因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++.答案C .17.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==,过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线,分别交21,l l 于N M ,两点.若||MN 为定值,则=b a( )A .2B .3C .2D .5【答案】C【解析】设点),(00y x P ,可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++,故意2020441||y x MN +=为定值,所以2,1641422===b ab a ,答案:C .说明:(1)若将两条直线的方程改为kx y ±=,则k b a 1=;(2)两条相交直线上各取一点N M ,,使得||MN 为定值,则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆.18. 关于y x ,的不定方程yx 21652=+的正整数解的组数为( )A .0B .1C .2D .3【答案】B19.因为实数的乘法满足交换律与结合律,所以若干个实数相乘的时候,可以有不同的次序.例如,三个实数c b a ,,相乘的时候,可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序.记n 个实数相乘时不同的次序有nI 种,则( )A .22=IB .123=IC .964=ID .1205=I【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义,可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n n n n n C n n C n A C I .答案:AB .关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》.20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛,规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛,两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示:表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率,例如甲击败乙的概率是0.3,乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是 . 【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式 ,所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯. 21.在正三棱锥ABC P -中,ABC ∆的边长为1.设点P 到平面ABC 的距离为x ,异面直线CP AB ,的距离为y .则=∞→y x lim .【答案】23【解析】当∞→x 时,CP 趋于与平面ABC 垂直,所求极限为ABC ∆中AB 边上的高,为23.22.如图,正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,中心为A A E A BC BF O 1141,21,==,则四面体OEBF 的体积为 .【答案】196【解析】如图,EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V .23.=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ .【答案】0【解析】根据题意,有)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ.24.实数y x ,满足223224)(y x y x =+,则22y x +的最大值为 .【答案】1【解析】根据题意,有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+,于是122≤+y x ,等号当2122==y x 时取得,因此所求最大值为1.25.z y x ,,均为非负实数,满足427)23()1()21(222=+++++z t x ,则z y x ++的最大值与最小值分别为 . 【答案】2322-【解析】由柯西不等式可知,当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时,z y x ++取到最大值23.根据题意,有41332222=+++++z y x z y x ,于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x .于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得,为2322-. 26.若O 为ABC ∆内一点,满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ,设AC AB AO μλ+=,则=+μλ . 【答案】23【解析】根据奔驰定理,有329492=+=+μλ.27.已知复数32sin 32cos ππi z +=,则=+++2223z z z z .【答案】12i - 【解析】根据题意,有i z z z z z z 35sin 35cos 122223+=-=+=+++ππ28.已知z 为非零复数,z z 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数,则在复平面中,z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 .【答案】2003003π+-【解析】设),(R y x yi x z ∈+=,由于2||4040z z z =,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222y x y y x x y x 如图,弓形面积为1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ,四边形ABCD 的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ.29.若334tan =x ,则=+++x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin .【解析】根据题意,有x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x .30.将16个数:4个1,4个2,4个3,4个4填入一个44⨯的数表中,要求每行、每列都恰好有两个偶数,共有 种填法.【答案】44100031.设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集,从A 中任取3个元素,由小到大排列之后都不能构成等差数列,则A 中元素个数的最大值为 .【答案】8【解析】一方面,设},,,{21k a a a A =,其中141,*≤≤∈k N k .不妨假设k a a a <<< 21.若9≥k ,由题意,7,33513≥-≥-a a a a ,且1335a a a a -≠-,故715≥-a a .同理759≥-a a .又因为1559a a a a -≠-,所以1519≥-a a ,矛盾!故8≤k .另一方面,取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ,满足题意.综上所述,A 中元素个数的最大值为8.。
清华大学自主招生试题含答案
、选择题2( )(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)3.设A、B是抛物线y=x2上两点,0是坐标原点,若OAL 0B,则()(A)|OA| •|OB| > 2 (B)|OA|+|OB| (C)直线AB过抛物线y=x2的焦点(D)O至煩线AB的距离小于等于X yf (x) >0,x € (-1,0);② f (X) + f (y) = f ( ) , X、y €1 xy(-1,1),则f (x)为(A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数5. 如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)= f (x) - kx有(/ C=—,且sinC+sin(B - A) -2sin2A=0,则有(3(A)b=2 a (B) △ ABC的周长为2+2-. 3 (C) △ ABC的面积为一空(D) △ ABC的外接圆半径为37.设函数f(x) (x23)e x,则( )(A) f (x)有极小值,但无最小值(B) f (x)有极大值,但无最大值(C)若方程f (x) =b恰有一个实根,则b>-6| (D)若方程f (x) =b恰有三个不同实根,则0<b<£e e1.设复数z=cos -3+isin (A)0 (B)1 (C) 2 冲13 ,则仁(D)3211 z22.设数列{aj为等差数列, p,q,k, l为正整数,则p+q>k+l ”是“ a p aqa k a l ”的()条件既不充分也不必要4.设函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足:①个极小值点(D)3个极小值点8.已知 A={(x,y) 1 x 22 2y r },B={(x,y)1 (x2 2 2a) (y b) r ,已知 A n B={(x 1,yJ ,( X 2,y 2)},则()(A)0< a 2 b 2 <2r 2(B)aXX 2) b(y1 y 2) 0(C)X 1 X 2 = a , y 1y 2=b (D)2a b 2 = 2ax 1 2by 19.已知非负实数x,y,z满足4x 24y 22z +2z=3, 则5x+4y+3z 的最小值为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{ a n }的前n 项和为S n ,若对任意正整数n ,总存在正整数 m,使得S n =a m ,则( )(A ){ a n }可能为等差数列(B ){ a n }可能为等比数列(c ){a n }的任意一项均可写成{a n }的两项之差(D)对任意正整数n ,总存在正整数 m 使得a n = S m 11.运动会上,有6名选手参加100米比赛,观众甲猜测:4道或5道的选手得第一名;观众乙猜测: 3道的选手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6道选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6道的选手都不可能获得第一名•比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有 1人猜对比赛结果,此人是( )(A)甲(B)乙(C)丙(D) 丁1(A)若S=4,则k 的值唯一(B) 若S=^,贝U k 的值有2个22(C)若D 为三角形,则0<k <(D)若D 为五边形,则312.长方体 ABCDAEGD 中,AB=2, AD=A A 1=1,贝U A 到平面 A BD 的距离为((A) - (B)3(D)13.设不等式组|x| |y| 2 y 2 k(x 1)所表示的区域为 D,其面积为S,U(k>414. △ ABC 勺三边长是 2,3,4,其外心为 0,则 uuu uuu OA AB uuu uuu uuur uuu OB BC 0C CA =((A)0 (B)-15 (C) -21(D)229 215. 设随机事件 A 与B 互相独立,且 P(B)=0.5(A)P(A)=0.4 (B)P(B -A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916. 过厶ABC 的重心作直线将厶 3(A)最小值为一(B)最小值为417. 从正15边形的顶点中选出,P(A- B)=0.2,则(ABC 分成两部分,则这两部分的面积之比的(4 4(C)最大值为一533个构成钝角三角形,5(D 最大值为一4则不同的选法有((A)105 种(B)225 种(C)315 种(D)420 种18. 已知存在实数r,使得圆周x2y2 r2上恰好有n个整点,则n可以等于(22.在极坐标系中,下列方程表示的图形是椭圆的有(4 2 1 V2(A)最小值为一(B)最小值为一 (C)最大值为1 (D)最大值为--------------------5 5 3(A)4 (B)6 (C)8 (D)1219. 设复数z 满足2|z| w |z-1|,则(1(A)|z|的最大值为1 (B)|z| 的最小值为—(C)z321的虚部的最大值为2(D)z 的实部的最大值为13320.设 m,n 是大于零的实数, a =(mcos a ,msin a ),b =(ncos 3 ,nsin 3 ),其中 a , B€ [0,2 n ) a , B€r 1, _[0,2 n ) •定义向量 a 2 =( 、、. m cos — ,、. m sin 一 ), b 2=(、. n 2cos — 2 ,、齐 sin —),记 9 = a - 3,贝U2r [ r 1 r r 1 r 1 ___ (A) a 2 • a 2 = a (B) a 2 b 2=、.mn cos — (C) 2r] r] … |a 2 b 2|4、一 mn sin 2 —4r 1 r] 2 _ 2 (D) |a 2 b 2 |24, mncos 2 —421.设数列{ a n }满足:a 1=6, an 1,则((A) ? n € N?, a n <(n 1)3 (B) ? n € N?, a n 丰 2015 (C) ? n € N?, a n 为完全平方数(D)? n € N?, a n 为完全立方数1 (A )p=cos sin23. 设函数 f(x)s in x,则( x x 14(A ) f(x) w (B)| f (x) | w 5|x| (C)曲线 y= f (x)存在对称轴324. △ ABC 的三边分别为a ,b,c ,若△ ABC 为锐角三角形,则((B )p=—1(C ) 2 sin1p= —2 cos(D )(D) 1 1 2si n曲线y= f (x)存在对称中心(A)si nA>cosB (B)ta nA>cotB (C) a 2 b 2 c 2 (D) a 3 b 3 c 325.设函数f (x)的定义域是(-1,1), 若f(0) = f (0) =1,则存在实数 s€ (0,1),使得()(A) f (x) >0, x € (- S , S) (B)f (x)在(-S , S )上单调递增 (C) f (x) >1, x € (0, S) (D)f (x)>1 , x € (- S ,0)26.在直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,0) •若对于y 轴上的任意n 个不同的点 P k (k=1,2,…,n),总存在两个不同的点R ,P j ,1使得 |sin / A P j B-sin / A P j B| w —,贝V n 的最小值为( 3(A)3 (B)4(C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1,则 x+ x 2 y 2 的()128.对于50个黑球和49个白球的任意排列(从左到右排成一行),则((A)存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多(B)存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个 29.从1,2,3,4,5 中挑出三个不同数字组成五位数, 同的五位数有( (A)300 个(B)450其中有两个数字各用两次,例如 12231,则能得到的不 30.设曲线L 的方程为 (A)L 是轴对称图形 (C)L ? {(x,y) I ##A nswer##1.【解析】 丄1-z) 个(C)900 y 4 (2x 2(B)L 个(D)1800 个 2 4 2 2)y (x 2x ) =0,则(是中心对称图形 1 (D)L ? {(x,y)zz 1 zz_______ 1 - 2. 21-cos i sin332 cos 3..2 i sin ___ 3 2 2i sin32sin 2 i 2sin cos —3 3 3 cos0 isinO 2sin — [cos( —) i sin(-)i sin(3、、3(cos —2-洽 2os(cos( i sin ) 27) i sin(67)]丄(cos — isi n —.3 6 6△ )=1,选 B22.【简解】 a p (a k Q )=[(p+q)-(k+l)]d ,与公差 d 的符号有关,选 3.【解析】设A( 2X 1,X 1 ),B( 2 uuu uuu X 2,X 2 ), OA OB =X 1X 2(1 X 1X 2) =0 X 2 X1 答案(A), |0A| l OBI ^x^(1 好)4(1 —1^) = j1 X2 1 2 X 11 > /2 2|X 1 | 丄=2,正确; |X 1 | 答案(B),|OA|+|OB| > 2..|OA 「|OB| > 2 .2,正确;答案(C),直线 AB 的斜率为 2 22^=X 2 x 2 x 1X1程为 y- xj =( x 1 1)(x-x 1),焦点(0, 1)不满足方程,错误;答案(D),原点到直线AB :(4X11)x-y+ 仁X 1的距离d=w 1,正确。
高三清华北大自主招生数学训练题含答案
数学自主招生训练题(2)1.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ,B 两点,与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ) (A )()13, (B )()14, (C )()23, (D )()24,2.已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD,点,E F 分别在边,BC DC 上,BEBC ,DFDC .若1AE AF,23CE CF,则( )(A )12 (B )23 (C )56 (D )7123.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- (m 为实数)为偶函数,记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ,则,,a b c 的大小关系为(A )a b c << (B )a c b << (C )c a b << (D )c b a <<4.已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ,其中b R ∈ ,若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点,则b 的取值范围是(A )7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ (B )7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ (C )70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D )7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N (0,32),从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附:若随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P (μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%) A . 4.56% B . 13.59% C . 27.18% D . 31.74%6.一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y ﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A . ﹣或﹣ B . ﹣或﹣ C . ﹣或﹣ D .﹣或﹣ 7.设函数f (x )=,则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )A .[,1]B . [0,1]C .[,+∞)D . [1,+∞)8.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ,双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ,1C 与2C 的离心率之积为23,则2C 的渐近线方程为 (A ) 02x =±y (B )02=±y x (C )02y x =±(D )0y 2x =± 9.若实数x ,y 满足x 2+y 2≤1,则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 .10.某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储存温度x (单位:C )满足函数关系bkx ey +=( 718.2=e 为自然对数的底数,k 、b 为常数)。
清华自主招生数学创新试题大全
1、(Ⅰ)已知函数:1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;(Ⅱ)证明:()(0,0,)22n n n a b a b a b n N *++≥>>∈;(Ⅲ)定理:若123,,k a a a a L 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥L L 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数.请你构造一个函数()g x ,证明:当1231,,,,,k k a a a a a +L 均为正数时,12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L .解:(Ⅰ)令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分当0x a ≤≤时,2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减.当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增.所以,当x a =时,()f x 的最小值为()0f a =.….4分(Ⅱ)由0b >,有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故 ()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈.………………………………………5分(Ⅲ)证明:要证: 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L只要证:112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++L L设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++L L …………………7分 则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++L令'()0g x =得12ka a a x k+++=L …………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++L 时,1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++L故12()[0,]k a a a g x k +++L 在上递减,类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞L 在递增所以12()k a a a x g x k +++=L 当时,的最小值为12()ka a a g k+++L ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n n k k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++L L L L L =1121212(1)[()()(1)()]n n n n nn n k k k nk k a a a a a a k a a a k -++++++++-++++L K L =11212(1)[()()]n n n n n n k k nk k a a a k a a a k -++++-+++L L =1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k---++++-+++L L 由定理知: 11212()()0n n n nn k k k a a a a a a -+++-+++≥L L 故12()0ka a a g k+++≥L故112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++L L即: 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L .…………………………..14分2、用类比推理的方法填表答案:5354321b b b b b b =••••3、10.定义一种运算“*”:对于自然数n 满足以下运算性质:(i )1*1=1,(ii )(n +1)*1=n *1+1,则n *1等于A .nB .n +1C .n -1D .2n 答案:D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和,如:1971142=+,17791=++,则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则K ____ 答案:55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。
清华自主招生试题
清华自主招生试题一、数学题1. 某校有3000名学生,其中男生占总人数的60%,女生占总人数的40%。
男女生中,有20%的人精通数学。
问:该校男女生中,精通数学的人数分别是多少?解析:根据题意得知男生占总人数的60%,女生占总人数的40%。
所以男生总数为3000 * 60% = 1800,女生总数为3000 * 40% = 1200。
由于精通数学的人占男女生总数的20%,所以男生中精通数学的人数为1800 * 20% = 360,女生中精通数学的人数为1200 * 20% = 240。
答案:男生中精通数学的人数为360人,女生中精通数学的人数为240人。
2. 已知正方形ABCD的边长为2,点E是AD的中点,F是BC的中点。
连接AE、BF,交于点G。
问:三角形AEG的面积为多少?解析:根据题意,AE的长度为1,EG的长度为√2(正方形相邻两边长的一半),所以三角形AEG的面积为1/2 * 1 * √2 = √2/2。
答案:三角形AEG的面积为√2/2。
二、物理题1. 一辆汽车在匀速行驶时,刹车后停下需要的时间是20秒。
若汽车的质量为1000kg,刹车时产生的加速度为5m/s²,求:汽车刹车时作用在车体上的力大小为多少?解析:根据牛顿第二定律,力的大小等于质量乘以产生的加速度。
所以汽车刹车时作用在车体上的力大小为1000kg * 5m/s² = 5000N(牛顿)。
答案:汽车刹车时作用在车体上的力大小为5000N。
2. 物体A和物体B质量相同,在水平面上相互作用力F = 20N。
已知物体A的重力为30N,物体B的摩擦力为8N。
问:物体A和物体B 的加速度分别是多少?解析:根据牛顿第二定律,力的大小等于质量乘以产生的加速度。
所以物体A的加速度为(20N - 8N)/30kg = 12/30 = 0.4m/s²,物体B的加速度同样为0.4m/s²。
答案:物体A和物体B的加速度分别是0.4m/s²。
2021年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷(语言类保送暨高水平艺术团)
2021年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷(语言类保送暨高水平艺术团)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)A.B.C.D.1.已知复数,设是的共轭复数,则等于( ).A.B.C.D.2.已知集合,,且,则实数等于( ).A.或B.C.或D.3.已知正整数数列满足,则等于( ).,A.B.C.D.4.已知椭圆 的两个焦点分别为,,为椭圆上一点,的平分线与轴交于点 ,作交于点,则等于( ).A.B.C.D.5.已知非负实数,满足,则的最大值为( ).A.B.C. D.6.已知函数在区间上恰有一个极大值点与一个极小值点,则正实数的取值范围是( ).A.B.C.D.7.在四面体中,,为的中点,,且,则四面体外接球的半径为( ).二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)8.展开式中的常数项为 .9.已知是定义在上的偶函数,且,当时,有,则的解集为 .10.在平面直角坐标系中,设,,向量,其中,动点满足,则的最小值为 .三、解答题(本大题共4小题,共50分)(1)(2)11.已知是公差不等于的等差数列,且是,的等比中项,记数列前项和为,.求数列的通项公式.设数列满足,,且,求数列的前项和.(1)(2)12.在三棱台中,,, ,,且平面,设,,分别为棱,,的中点.证明:平面平面.求二面角的正弦值.13.(1)(2)已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于,两点,且.求抛物线的方程.设,是抛物线上的不同两点,且轴,直线与轴交于点,再在轴上截取线段,且点介于点与点之间,连接,过点作直线的平行线,证明:为抛物线的切线.(1)(2)14.已知函数在点处的切线与直线:垂直.设函数,求函数的单调区间.证明:.【答案】解析:∵,∴,∴,则.故选.解析:∵,∴,∴,∴,又∵,∴,而,∴必有解,∴,则,∴.故选.A 1.C 2.B3.依题意,有,则,假设,则,故,,则,矛盾,当时,则,矛盾,从而,故选.解析:设,,则,故是直角三角形,且,从而,故选.解析:由不等式,得,又,是非负实数,则,设,则,上式当,时取等号.故选.A 4.C 5.解析:由,得,依题意,有,解得.故选.解析:依题意,有,则,又,,则平面,如图,设四面体的外接球球心为点,球心在平面与平面上的射影分别为,两点,注意到,均为正三角形,则,,即四面体的外接球半径.故选.解析:仅需考虑展开式中项的系数与常数项.一方面,的常数项为.另一方面,的项的系数为.从而原式展开式中常数项为.解析:D 7.8.9.(1)(2)设.当时,有.即函数在上单调递增.当时,有,又注意到是偶函数.则原不等式的解集为.解析:依题意,得,则点在直线上运动,设线段的中点为,则点在以为圆心,为半径的圆周上运动,又点到直线的距离,则.故答案为:.解析:设数列的公差为(),则,,,又是,的等比中项,且,则.从而.当时,有,则当时,有10.(1).(2),.11.(1)(2),又注意到,上式也成立,从而,.解析:如图,连接,则四边形是矩形.又,则,从而,由平面,且平面,得,由,且为的中位线,得,又,则平面,注意到平面,则,又,则平面,从而平面平面.以为原点,为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,(1)证明见解析.(2).12.(1)则,,,,故,,,设是平面的法向量,则,取,,,即,设是平面的法向量,则,取,,, 即,设二面角的平面角为,则,故,从而二面角的正弦值为.解析:设直线的方程为,联立直线与抛物线的方程,得,设,,则,,(1).(2)证明见解析.13.(2)(1)故,注意到,,则,即抛物线的方程为.如图:yOx不妨设点在第一象限,点在第四象限,当时,有,则,即抛物线在点处的切线斜率为,注意到轴,则,设,由,,三点共线,得 ,则,设,由,得,故直线的斜率,从而为抛物线的切线.解析:.依题意,有,,解得,,(1),.(2)证明见解析.14.(2)则,,设,则,当时,有,单调递增,当,时,有,单调递减,故函数在处取到唯一极小值,则,故在区间,上单调递增.①首先证明:,设,则,注意到,这是熟知的,当时,有,单调递减,当时,有,单调递增,故函数在处取到唯一极小值,则,②然后证明:.设,则.当时,有,单调递增,当时,有,单调递减,故函数在处取到唯一极小值,则,结合①与②这两个不等式,得.从而原不等式成立.11。
清华自主招生数学创新试题汇编
1、(Ⅰ)已知函数:1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;(Ⅱ)证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈; (Ⅲ)定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥ 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数.请你构造一个函数()g x ,证明:当1231,,,,,k k a a a a a + 均为正数时,12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ . 解:(Ⅰ)令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分当0x a ≤≤时,2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减.当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增.所以,当x a =时,()f x 的最小值为()0f a =.….4分(Ⅱ)由0b >,有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈.………………………………………5分(Ⅲ)证明:要证:12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ 只要证:112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++ …………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++令'()0g x =得12ka a a x k+++= (8)分 当0x ≤≤12ka a a k+++ 时,1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=故12()[0,]k a a a g x k +++ 在上递减,类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞ 在递增所以12()k a a a x g x k +++=当时,的最小值为12()ka a a g k+++ ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n n k k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++ =1121212(1)[()()(1)()]n n n n n n n k k knk k a a a a a a k a a a k -++++++++-++++ =11212(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a k a a a k -++++-+++ =1112121(1)[()()]n n n n n nk kn k k a a a a a a k ---++++-+++ 由定理知: 11212()()0n n n nn k k k a a a a a a -+++-+++≥ 故12()0ka a a g k+++≥1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥故112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++即:12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ .…………………………..14分答案:5354321b b b b b b =∙∙∙∙3、10.定义一种运算“*”:对于自然数n 满足以下运算性质:(i )1*1=1,(ii )(n +1)*1=n *1+1,则n *1等于A .nB .n +1C .n -1D .2n 答案:D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和,如:1971142=+,17791=++,则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____答案:55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。
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2006届清华大学自主招生数学试题
考试时间:2005.11.28
1.求最小正整数n ,使得n i I )32121
(+=为纯虚数,并求出I .
2.已知b a 、为非负数,1b a ,b a M 44=++=,求M 的最值.
3.已知θαθco s s i n s i n 、、为等差数列,θβθc o s s i n s i n 、、为等比数列,求
β-
α2cos 2
12cos 的值. 4.求由正整数组成的集合S ,使S 中的元素之和等于元素之积. 5.随机取多少个整数,才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数.
6.2x y =上一点P (非原点),在P 处引切线交y x 、轴于R Q 、,求PR PQ .
7.已知)(x f 满足:对实数b a 、有)()()(a bf b af b a f +=⋅,且1)(≤x f ,求证)(x f 恒为零.
(可用以下结论:若M x f x g x ≤=∞→)(,0)(lim ,M 为一常数,那么0))()((lim =⋅∞
→x g x f x ) 8.在所有定周长的空间四边形ABCD 中,求对角线AC 和BD 的最大值,并证明.。