清华大学自主招生数学试题

2006届清华大学自主招生数学试题

考试时间：2005.11.28

1．求最小正整数n ，使得n i I )32121

(+=为纯虚数，并求出I ．

2．已知b a 、为非负数，1b a ,b a M 44=++=，求M 的最值．

3．已知θαθco s s i n s i n 、、为等差数列，θβθc o s s i n s i n 、、为等比数列，求

β-

α2cos 2

12cos 的值． 4．求由正整数组成的集合S ，使S 中的元素之和等于元素之积． 5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数．

6．2x y =上一点P (非原点)，在P 处引切线交y x 、轴于R Q 、，求PR PQ ．

7．已知)(x f 满足：对实数b a 、有)()()(a bf b af b a f +=⋅，且1)(≤x f ，求证)(x f 恒为零．

(可用以下结论：若M x f x g x ≤=∞→)(,0)(lim ，M 为一常数，那么0))()((lim =⋅∞

→x g x f x ) 8．在所有定周长的空间四边形ABCD 中，求对角线AC 和BD 的最大值，并证明．