数列求和题型归纳

数列求和题型归纳Revised on November 25, 2020

数列求和

考点1

错位相减法：求{}n n b a 型数列的前n 项和，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列

例1：已知等差数列{}n a 的前3项和为6,前8项和为－4. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1(4)((0,)n n n b a q q n N -*=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S 例2：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ﹡,数列{b n }满足 a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡.

（1）求a n ，b n ； （2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .

练习1：推导等比数列求和公式q q a S n n --=1)

1(1 （1≠q ）

练习2：已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （1）求数列{a n }的通项公式；

（II ）求数列12n n a -⎧⎫

⎨⎬

⎩⎭

的前n 项和 练习3：在数列{}n a 中，11a =，211

2(1)n n a a n

+=+⋅．

（Ⅰ）证明数列2{}n a

n 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11

2

n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n

S 考点二 裂项相消法：

（1）111)1(1+-=+⨯n n n n （2）)

1

1(1)(1d n n d d n n +-=+⨯

（3）)

1

1(111

1++-=n n n n a a d a a 其中d 是等差数列{}n a 的公差 例1：已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令2

1

1

n n b a =

-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 例2：等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.

(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭的前项和.

练习1：已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为

'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()

y f x =的图像上。

（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）、设1

3

+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T

练习2：设正数数列{n a }的前n 项和n S 满足2)1(4

1

+=n n a S ． （I ）求数列{n a }的通项公式；（II ）设1

1

+⋅=

n n n a a b ，求数列{n b }的前n 项和

n T