丰富的图形世界---培优题库2(含解析)

丰富的图形世界培优题库21．老师用10个1cm×1cm×1cm的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（1cm）共享，或有一面（1cm×1cm）共享．老师拿出一张3cm×4cm的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为cm3．3．一个正方体的8个顶点被截去后，得到一个新的几何体，这个新的几何体有个面，个顶点，条棱．4．当太阳斜照或直照时，一个放在水平地面上的长方形状的箱子在地面上留下的影子是．5．如图，在长方体ABCD─EFGH中，与棱AB相交的棱有．6．如图所示，是三棱柱的表面展开示意图，则AB＝，BC＝，CD＝，BD＝，AE＝．7．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由个这样的正方体组成．8．如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这6个数的和为．9．由若干小立方体叠成的几何体的三视图如图所示：（1）分别说出A，B，C，D这4个方格位置上的小立方体的个数；（2）这个几何体共有多少个小立方体？10．用若干相同的小正方体搭成一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如图．这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？11．如图（1）是一个正方体，不考虑边长的大小，它的平面展开图为图（2），四边形APQC是切正方体的一个截面．问截面的四条线段AC、CQ、QP、PA以分别在展开图的什么位置上？12．从不同方向看一个物体得到的图形如图所示，你能说出该物体的形状吗？13．六盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须以完全一样的面对接，最后得到的包装形状是一个长方形．已知磁带盒的大小为abc＝11×7×2（单位cm）．（1）请画出示意图，给出一种打包方式，使其表面积最小；（2）若不给出a、b、c的具体尺寸，只假定a≥b≥c，3问能否按照已知的方式打包，使其表面积最小？并说明理由．14．图甲是用3个小立方体构成的，图乙是用9个图甲组成的立方体，如果从图乙的底面看，可能有多少种不同的连接方式？15．棱长为a的正方体，摆放成如图所示的形状．（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．16．如果用平面截掉一个长方体的一个角，剩下的几何体有几个顶点、几条棱、几个面？17．用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色．（1）把正方体的棱二等分，然后沿等分线把正方体切开，得到8个小正方体．观察其中三面被涂色的有a 个，如图①，那么a等于；（2）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体．观察其中三面被涂色的有a 个，各面都没有涂色的b个，如图②，那么a+b＝；（3）把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．观察其中两面被涂成红色有c个，各面都没有涂色的b个，如图③，那么b+c＝．18．用6根火柴能摆成含有4个三角形的图形吗？有几种方法？19．一个正方体，六个面上分别写着六个连续整数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，如图所示，能看到的所写的数为16，19，20，问这6个整数的和为多少？20．把图形与对应的图形名称用线连接．21．将正方形纸片先沿对角线对折，再剪成图所示图形，则它展开后是什么图案，请画出来．22．一位画家有若干个边长为1cm的正方体，他在地面上把它们摆成如图（三层）的形式，然后，他把露出的表面都涂上颜色．（1）图中的正方体一共有多少个？（2）一点颜色都没涂上颜色的正方体有多少个？（3）如果画家摆按此方式摆成七层，那又要多少个正方体？同样涂上颜色，又有多少个正方体没有涂上一点颜色？23．一个直棱柱的三视图如图．（1）请描述这个直棱柱，按三视图的尺寸，画出它的表面展开图；（2）求这个直棱柱的表面积．24．小明家的客厅长5m，宽3m，高2.5m．现要在离地面0.5m的A处装一个电源，开关装在离天花板1m的B处．用电线把A，B两处连起来，且A，B点都在墙的中间（如图）．为完全起见，电线应固定在厅的天花板、地板或墙上，而不能从客厅中穿过．电工最少需多长的电线？25．（1）在如图（1）所示的正方体表面展开图中的三个空白正方形内各填入一个质数，使该图复原成正方体后，三组对面上的两数之和都相等．（2）图（2）是由四个如图（1）所示的正方体拼成的长方体，其中有阴影的面上为合数，无阴影的面上为质数，并且整个表面上任意两个相邻正方形内的数都不是图（1）所示的正方体相对面上的两数．已知长方体正面上的四个数之和为质数，那么其左侧面上的数是（填具体数）．（3）如果把图（2）中的长方体从中间等分成左右两个小长方体，它们各自表面上的各数之和分别为S左和S右，那么S左与S右的大小关系是S左S右．26．哪种几何体的表面能展成如图所示的平面图形？需剪几条棱才能得到如此形状的平面图？你是怎样数出来的？请总结其规律．27．如图，该物体是由14块棱长为1厘米的小正方体堆积而成的，求它的表面积．（含底面）28．能不能将一个大正方体分割成20个小正方体，这些小正方体的大小不一定相同．若能，说明分法；若不能，说明理由．29．如图，分别从正面、左面、上面观察该立体图形，能得到什么平面图形．30．一个正方体小木块，六个面上分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，我们从不同角度可以看到的正方体的一个面或几个面上的数字，最多可以有多少种不同的情况？31．如图是一多面体的展开图，每个面上都标住了字母，请根据要求回答问题：（1）如果面A在多面体的上面，那么哪一面在底部？（2）如果F在前面，从右面看是面B，那么哪一面在上面？（3）从左面看是面C，面D在后面，那么哪一面在上面？32．如下图是一个正方体纸盒的两个表面展开平面图，请在其余三个正方形内填入适当的数，使得折成正方体后，相对的面上的两个数互为相反数．33．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所示尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的表面积．34．如图所示的是某个几何体从三种不同方向所看到的图形．（1）说出这个几何体的名称；（2）根据图中有关数据，求这个几何体的表面积．35．如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；（2）若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积：cm3．36．根据如图视图（单位：mm），求该物体的体积．37．如图是某长方体盒子的展开图，已知长比宽多4cm，求这个长方体盒子的表面积．38．某种产品形状是长方形，长为8cm，它的展开图如图：（1）求长方体的体积；（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸箱的表面积尽可能小）39．如图是一个长为4cm，宽为3cm的长方形纸片，该长方形纸片分别绕长、宽所在直线旋转一周（如图1、图2），会得到两个几何体，请你通过计算说明哪种方式得到的几何体的体积大（结果保留π）40．将一个正方体的表面全涂上颜色．（1）如果把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，设其中3面被涂上颜色的有a个，则a＝；（2）如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体．设这些小正方体中有3个面涂有颜色的有a个，各个面都没有涂色的有b个，则a+b＝；（3）如果把正方体的棱4等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到64个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b＝；（4）如果把正方体的棱n等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b＝．41．一个物体是由棱长为3cm的正方体模型堆砌而成的，其视图如图：（1）请在俯视图上标出小正方体的个数（2）求出该物体的体积是多少．（3）该物体的表面积是多少？42．如图，一个圆柱体的侧面展开图为长方形ABCD，若AB＝6.28cm，BC＝18.84cm，则该圆柱体的体积是多少？（π取3.14，结果精确到十分位）．43．张明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．（1）共有种弥补方法；（2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；（3）在你帮忙设计成功的图中，要把﹣8，10，﹣12，8，﹣10，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上）44．将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为4cm，宽为3cm的长方形，分别绕它的长、宽所在直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的表面积分别是多大？（结果保留π）45．底面半径为10cm，高为40cm的圆柱形水桶中装满了水．小明先将桶中的水倒满3个底面半径为3cm，高为5cm的圆柱形杯子，如果剩下的水倒在长、宽、高分别为50cm，20cm和12cm的长方体容器内，会满出来吗？若没有满出来，求出长方体容器内水的高度（π取3）．46．某几何体从三个方向看到的图形分别如图：（1）该几何体是（2）求该几何体的体积？（结果保留π）47．如图所示，说出下列几何体截面（阴影部分）的形状．48．如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成的，现想用毛毡搭建底面积为9πm3，高为6m，外围高为2m的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡？（结果保留π）49．一个几何体是由若干个棱长为3cm的小正方体搭成的，从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图所示：（1）在“从上面看”的图中标出各个位置上小正方体的个数；（2）求该几何体的体积．50．如图是某几何体的三视图（1）说出这个几何体的名称；（2）若主视图的宽为4cm，长为15cm，左视图的宽为6cm，俯视图中直角三角形的斜边为10cm，求这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？参考答案1．老师用10个1cm×1cm×1cm的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（1cm）共享，或有一面（1cm×1cm）共享．老师拿出一张3cm×4cm的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有16 种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）【分析】小荣摆放完后的左视图有：①从左往右依次是3个正方形、1个正方形、1个正方形；②从左往右依次是3个正方形、1个正方形、2个正方形；③从左往右依次是3个正方形、2个正方形、1个正方形；④从左往右依次是3个正方形、2个正方形、2个正方形；⑤从左往右依次是2个正方形、3个正方形、1个正方形；⑥从左往右依次是2个正方形、3个正方形、2个正方形；⑦从左往右依次是2个正方形、1个正方形、3个正方形；⑧从左往右依次是2个正方形、2个正方形、3个正方形；⑨从左往右依次是1个正方形、3个正方形、1个正方形；⑩从左往右依次是1个正方形、3个正方形、2个正方形；（11）从左往右依次是1个正方形、1个正方形、3个正方形；（12）从左往右依次是1个正方形、2个正方形、3个正方形；（13）从左往右依次是3个正方形、1个正方形；（14）从左往右依次是3个正方形、2个正方形；（15）从左往右依次是2个正方形、3个正方形；（16）从左往右依次是1个正方形、3个正方形；【解答】解：由题意可知，立体图形只有一排左视图有3个正方形，有两到三排．三排的左视图有：3×4＝12种；两排的左视图有：2×2＝4种；共12+4＝16种．故答案为：16．【点评】本题考查了组合体的左视图，有一定的难度，用到数学中的分类思想，解题关键是得出立体图形只有一排左视图有3个正方形，有两到三排．2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为120 cm3．【分析】根据题意，该几何体是由两个大小不同的长方体所组成．根据所给出的数据可求出体积．【解答】解：根据图中三视图可得出其体积＝上下两个长方体的体积和＝4×1×5+4×5×5＝120cm3．【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．3．一个正方体的8个顶点被截去后，得到一个新的几何体，这个新的几何体有14 个面，24 个顶点，36 条棱．【分析】每截去一个顶点就会多出1个面，2个顶点和3条棱，故能得到答案．【解答】解：每截去一个顶点就会多出1个面，2个顶点和3条棱，那么得到的新的几何体就应该有6+8＝14个面，8+8×2＝24个顶点，12+8×3＝36条棱．故填14、24、36．【点评】本题结合截面考查多面体的相关知识．要注意截去顶点后，新几何体中，面，顶点和棱的变化．4．当太阳斜照或直照时，一个放在水平地面上的长方形状的箱子在地面上留下的影子是矩形，五边形或六边形．【分析】太阳直照箱子时，影子为矩形，当斜照时，有可能是五边形或六边形．【解答】解：当太阳斜照或直照时，一个放在水平地面上的长方形状的箱子在地面上留下的影子是矩形，五边形或六边形．【点评】本题考查了学生的空间想象能力和几何体的视图；空间想象能力的掌握是解本题的关键．5．如图，在长方体ABCD─EFGH中，与棱AB相交的棱有AD，AE，BC，BF ．【分析】在长方体中，棱与棱之间有平行，相交（垂直），和异面等关系．【解答】解：观察图形可知，与棱AB相交的棱有AD，AE，BC，BF．故答案为AD，AE，BC，BF．【点评】棱与棱之间有平行，相交（垂直），和异面等关系．6．如图所示，是三棱柱的表面展开示意图，则AB＝ 4 ，BC＝ 5 ，CD＝ 6 ，BD＝ 4 ，AE＝8 ．【分析】三棱柱的表面展开图知，棱AB与BD与4是相对的，棱BC与5是相对的，棱CD与6是相对的，棱AE与8是相对的，即可求解．【解答】解：由图可知，棱AB与BD与4是相对的，棱BC与5是相对的，棱CD与6是相对的，棱AE与8是相对的，所以AB＝4，BC＝5，CD＝6，BD＝4，AE＝8．故填4、5、6、4、8．【点评】要弄清楚展开之前哪两条棱是相对的，是解题的前提条件．7．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由8 个这样的正方体组成．【分析】由主视图可得组合几何体有3列，由左视图可得组合几何体有2行，可得最底层几何体最多正方体的个数；由主视图和左视图可得第二层2个角各有一个正方体，相加可得所求．【解答】解：∵由主视图可得组合几何体有3列，由左视图可得组合几何体有2行，∴最底层几何体最多正方体的个数为：3×2＝6，∵由主视图和左视图可得第二层2个角各有一个正方体，∴第二层共有2个正方体，∴该组合几何体最多共有6+2＝8个正方体．故答案为：8．【点评】此题考查由视图判断几何体；得到最底层正方体的最多的个数是解决本题的突破点；用到的知识点为：最底层正方体的最多的个数＝行数×列数．8．如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这6个数的和为81 ．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15，然后分析符合题意的一组数即可．【解答】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15；且每个相对面上的两个数之和相等，11+16＝27，10+15＝25，故可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15，其和为81和75（不合题意）故答案为：81．【点评】本题主要考查整数问题的综合运用和几何体的展开图的知识点，解答本题的关键是对几何图形的观察能力和空间想象能力．9．由若干小立方体叠成的几何体的三视图如图所示：（1）分别说出A，B，C，D这4个方格位置上的小立方体的个数；（2）这个几何体共有多少个小立方体？【分析】（1）利用首先结合主视图和俯视图确定A的个数，然后根据左视图确定C、D的个数．（2）从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【解答】解：（1）先结合主视图和俯视图确定A处有2个正方体，B处有2个，C处有1个，D处有3个小正方体；（2）共有两层，上层有1个，底层有4个小正方体，共有5个小正方体．【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．10．用若干相同的小正方体搭成一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如图．这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，相加即可；【解答】解：不是一种，有多种，搭这样的几何体最多需要7+6+3＝16个小正方体，最少需要，7+2+1＝10个小正方体；【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．11．如图（1）是一个正方体，不考虑边长的大小，它的平面展开图为图（2），四边形APQC是切正方体的一个截面．问截面的四条线段AC、CQ、QP、PA以分别在展开图的什么位置上？【分析】把立体图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出．【解答】解：（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见图．（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：A﹣A，C﹣C，P在EF边上，Q在GF边上．边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上．（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线．需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面，连好线的图形如图．【点评】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是抓住四边形APQC四个顶点所在的位置，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出．12．从不同方向看一个物体得到的图形如图所示，你能说出该物体的形状吗？【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图可判断出此几何体为三棱锥．【解答】解：∵主视图和左视图都是三角形，∴此几何体为椎体，∵俯视图是一三角形且从顶点引出的线段交与一点，∴此几何体为三棱锥．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．13．六盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须以完全一样的面对接，最后得到的包装形状是一个长方形．已知磁带盒的大小为abc＝11×7×2（单位cm）．（1）请画出示意图，给出一种打包方式，使其表面积最小；（2）若不给出a、b、c的具体尺寸，只假定a≥b≥c，3问能否按照已知的方式打包，使其表面积最小？并说明理由．【分析】一盒火柴的图形如图甲所示，则三个面的面积记为A＝bc，B＝ac，C＝ab；考虑到6盒火柴，6＝1×6＝2×3，因此，规则方式打包有两类：“1×6”和“2×3”．（1）已知磁带盒的大小为abc＝11×7×2，分别求出两种方式的表面积，比较大小即可；（2）已知a≥b≥c，可设a＝46mm，b＝36mm，c＝16mm，分别求出两种方式的表面积，比较大小即可．【解答】解：（1）设：三个面的面积记为A＝bc，B＝ac，C＝ab，①在1×6的方式下，打包方式如图乙，这时，表面积S乙＝2C+12B+12A＝2×11×7+12×11×2+12×7×2＝586（cm2）；②在2×3的方式下，打包方式如图丙，这时，表面积S丙＝4C+6B+12A＝4×11×7+6×11×2+12×7×2＝608（cm2）；因为S乙＜S丙，所以最小表面积的打包方式是1×6．（2）若a≥b≥c，则单叠（即1*6方式）打包的最小表面积S＝2ab+12ac+12bc；双叠（即2*3方式）打包最小表面积S'＝4ab+6ac+12bc．所以S﹣S'＝2a（3c﹣b）．所以：当a≥b，且c≤b＜3c时，最小表面积为双叠当a≥b＞3c时，最小表面积为单叠当a≥b＝3c时，两种方式一样大【点评】此题考查了平面图形的有关知识，培养学生的观察能力和图形的组合能力；注意其中的一个面被上面的立方体覆盖．14．图甲是用3个小立方体构成的，图乙是用9个图甲组成的立方体，如果从图乙的底面看，可能有多少种不同的连接方式？【分析】去掉在顶点A、B、C、E、F处的五个图甲后，立体变成图（1）．去掉在顶点G与D的图甲后，有3种可能，将后面转到前面来的形状如图（2）．【解答】解：有6种可能．【点评】本题考查了组合体的视图，需要很好的空间想象力与识图的能力．如果能用27个小积木做成模型，对解答有很大的帮助．15．棱长为a的正方体，摆放成如图所示的形状．（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．【分析】由题中图示，从上、下、左、右、前、后等六个方向直视的平面图相同，（1）每个方向上均有6个等面积的小正方形．（2）每个方向上均有（1+2+3+…+20）个等面积的小正方形．【解答】解：（1）6×（1+2+3）•a2＝36a2．故该物体的表面积为36a2；（2）6×（1+2+3+…+20）•a2＝1260a2．故该物体的表面积为1260a2．【点评】本题考查了平面图形的有关知识，关键是要注意立体图形的各个面，及每个面的正方形的个数．16．如果用平面截掉一个长方体的一个角，剩下的几何体有几个顶点、几条棱、几个面？【分析】当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个顶点、12条棱、7个面；当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个顶点、13条棱、7个面；当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点、14条棱、7个面；当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何体有10个顶点、15条棱、7个面．【解答】解：剩下的几何体可能有：7个顶点、12条棱、7个面；或8个顶点、13条棱、7个面；或9个顶点、14条棱、7个面；或10个顶点、15条棱、7个面．如图所示：【点评】本题考查了截一个长方体一个角的问题，注意分情况讨论，做到不重复不遗漏，有一定的难度．17．用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色．（1）把正方体的棱二等分，然后沿等分线把正方体切开，得到8个小正方体．观察其中三面被涂色的有a 个，如图①，那么a等于8 ；（2）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体．观察其中三面被涂色的有a 个，各面都没有涂色的b个，如图②，那么a+b＝9 ；（3）把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．观察其中两面被涂成红色有c个，各面都没有涂色的b个，如图③，那么b+c＝32 ．【分析】根据正方体的性质可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，涂色位于表面中心的一面涂色，处于正中心的没涂色．依此可得到（1）棱二等分时的所得小正方体表面涂色情况；（2）棱三等分时的所得小正方体表面涂色情况；（3）棱四等分时的所得小正方体表面涂色情况．。