椅子能否放稳

1 椅子在不平的地面上能放稳吗

（一）问题的分析与假设

由三点构成一个平面可知，通常情况下，在不平的地面椅子是三只脚着地，如果要达到放稳的要求，必须是四只椅脚同时着地。问题中，椅子四脚呈长方形，在以下建模过程中，为方便讨论，我们作出以下假设：

（1）椅子的四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四角连线呈矩形；

（2）地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；

（3）地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。（二）模型的建立与求解

问题的解决，是通过建立直角坐标系，利用矩形的对角线平分且相等，以AC所在直线作为X轴，以垂至于AC的直线作为为Y轴，以矩形的中心点为原点建立直角坐标系。如图所示：

错误!

用对角线AC与X轴的夹角α表示椅子当前的位置，此时，可设椅脚与地面的距离是α的函数。椅子的四脚与地面应有四个距离的函数，但由于矩形的对称性，对角上的两点距离之和可用一个函数表示。设A,C两脚与地面的距离之和为，B,D两脚与地面的距离之和为。

已知地面是连续曲面，椅子可在任意位置至少三只脚着地，把已知条件转化为数学问题为已知，是连续函数，即α为任意值，·=0总成立；且。现只需证明存在α0,使。

现给出证明方法：

开始α=0，将椅子旋转角度大小为∠AOB=a，此时对角线AC和BD互换。由，知,。

令, 则有。

因为，为连续函数，所以也为连续函数，根据连续函数的基本性质，必存在α0使=0，即，又因为·=0，所以可得，证毕。

由证明的结果看，在不平的平面上，椅子呈矩形四脚距离地面的距离能同时为零，即椅子能在不平的地面放平稳。

若椅子的四脚呈等腰梯形，同理可证这样的椅子也能在不平的地面上放稳。