相似三角形与圆、二次函数综合题

相似三角形的中考综合题

相似三角形知识点大总结

知识点1 有关相似形的概念 知识点2 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 ，或写成 ．注：在求线段比时，线段单位要 。

（2）注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： ．②

()a c

a b c d b d

==在比例式：：中，

a 、d 叫 ，

b 、

c 叫 , a 、c 叫 ，b 、

d 叫 ，d 叫 ，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的 ， 此时有 。

（3）黄金分割： 。

注：黄金三角形：顶角是360

的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）

（1） 基本性质：

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除

了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．

（2） 更比性质(交换比例的项或外项)：()()

()a b

c d a c d c

b d b a d b

c a ⎧=⎪⎪

⎪=⇔=⎨⎪

⎪=⎪⎩

，

交换内项，交换外项．

同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： （4）合、分比性质：

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+-=+--=-⇒=d

c d

c b a b a c c

d a a b d c b a 等等．

（5）等比性质：如果

)0(≠++++====n f d b n

m

f e d c b a ΛΛ，那么

b a n f d b m e

c a =++++++++ΛΛ． 注：

①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

b

a f d

b e

c a f e

d c b a f

e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-

f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理

1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

由DE ∥BC 可得：

AC

AE

AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD =

==或或 注： ①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. ②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. ③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.

2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例

已知AD ∥BE ∥CF,

可得

AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC

BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF

=====

或或或或等.

注：平行线分线段成比例定理的推论：

平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

知识点5 相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：

①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理

(1)相似三角形的等价关系：

①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．

②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．

③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆

(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

定理的基本图形： B

D

用数学语言表述是：BC DE //Θ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆．

知识点7 三角形相似的判定方法

1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在

斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2

=BD ·DC ，AB 2

=BD ·BC ，AC 2

=CD ·BC 。

知识点8全等与相似的比较：

知识点9相似三角形的性质

(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．

(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．

注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．

B

C