2009-2010-2-2.5 矩阵的秩+2-习题课(1)(2)

⑦ r(A)+ r(B) – A的列数 r(AB)min{r(A) r(B)}
特别地，若Amn BnlO 则r(A)r(B)n
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作业 P65：5（3） ，6
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第二章 矩阵 习题课
主要内容 典型例题
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典 型 例 题
一、矩阵的运算 二、逆矩阵、矩阵方程问题 三、分块矩阵问题 四、求矩阵的秩 五、初等矩阵及其应用
线性代数
数学与信息学院 柏钦玺 baiqinxi98@163.com
复习
A aij
r ~ 行阶梯形矩阵 (形式不唯一) r ~ 行最简形矩阵 (形式唯一)
c ~ 标准形
Er F O O O m n
mn
其中由 数 r 完全确定 这个数也就是A的行阶梯形中非零行的行数 这个数便是矩阵A的秩
E A 初等列变换 1 . E A
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二、逆矩阵、矩阵方程问题
逆矩阵的计算： 习题2-3: 1;习题2-5: 4,5,6;总习题二P66:15,21,27,29,30
P60: 4（4） 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵
A E 初等列变换 BA1 . B
XA B :
A X B
T T T
A B
T
T
初等行变换 E A

T

1
BT .

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一、矩阵的运算
习题2-2： 3，4，6，8，11，12，14 例1.3
设A为3阶矩阵 | A| 1 求|(3A)12A*| 解：
由 A1 1 A * 得 | A| 1 1 1 1 1 1 1 1 | (3 A) 2 A* || A 2 | A | A | | A 2 A | 3 2 3 3 3 2 2 1 2 1 | A |1 | A | | A | 3 3 3
解: A
n T
T
...
n
T T
T T T ... T


n个




T

n个
n1
T
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典 型 例 题
一、矩阵的运算 二、逆矩阵、矩阵方程问题 三、分块矩阵问题 四、求矩阵的秩 五、初等矩阵及其应用
⑦ r(A)+ r(B) – A的列数 r(AB)min{r(A) r(B)}
特别地，若Amn BnlO 则r(A)r(B)n
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小结
1. 矩阵的秩的概念 2. 求矩阵的秩的方法
(1)定义法
寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2)初等变换法 把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
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二、逆矩阵、矩阵方程问题
逆矩阵的计算： 习题2-3: 1;习题2-5: 4,5,6;总习题二P66:15,21,27,29,30
1 待定系数法;
A 2 利用公式A ; A
1
3 初等变换法 .
A
或
E 初等行变换 E A1 .
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三、矩阵的秩的性质
① 0r(Amn)min{m n}，且 r(A) =0 A=O．
② r(AT)r(A). ③ 若A~B 则r(A)r(B) ④ 若P、Q可逆 则r(PAQ)r(A) ⑤|r(A)－r(B) | r(AB)r(A)R(B) ⑥ 0≤ r( kA ) ≤r(A); r( kA ) r(A), k≠0.
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3、矩阵的秩的性质
① 0r(Amn)min{m n}，且 r(A) =0 A=O． ② r(AT)r(A). ③ 若A~B 则r(A)r(B) ④ 若P、Q可逆 则r(PAQ)r(A) ⑤|r(A)－r(B) | r(AB)r(A)R(B) ⑥ 0≤ r( kA ) ≤r(A); r( kA ) r(A), k≠0.
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1、k 阶子式 在mn矩阵A中 任取 k 行与 k 列(km kn) 位于这些行 列 交叉处 的 k2 个元素 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式
例如
1 1 2 1 A 2 3 3 6
2 1 1 1 1 1 9 7
4 2 2 9
百度文库
1 1 3 1
是 A的一个二阶子式
说明 mn矩阵的k阶子式有 C k C k 个. m n
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2、矩阵的秩 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式 D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么 D 称为矩阵A的最高阶非零子式 数 r 称为 矩阵A的秩 记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) 规定 零矩阵的秩 等于0 故r(A) =0 A=O． 几个简单结论
m , 称A为行满秩矩阵； (3) r(Am×n) min{m n} ,称 n A为列满秩矩阵．
(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 r(A)n 当|A|0时 r(A)n 可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵
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例1 求矩阵A和B的秩 其中
2 1 0 3 2 1 2 3 2 3 5 B 0 3 1 2 5 A 0 0 0 4 3 4 7 1 0 0 0 0 0 解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的 2阶子式 行阶梯形矩阵 其所有4阶子 式全为零 以三个非零行的首 1 2 1 0 2 3 非零元为对角元的3阶子式 A的3阶子式只有一个|A| 经计 2 1 3 算可知|A|0 因此r(A)2 0 3 2 0 0 4 提示 对于行阶梯形矩阵 它 是一个上三角行列式 它显然 的秩就等于非零行的行数 不等于0 因此r(B)3
求矩阵X 使满足 XB C . X CB1.
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二、逆矩阵、矩阵方程问题
求解矩阵方程： 习题2-3: 2,7;习题2-5: 5,6，总习题二,P67:29,30
求解矩阵方程的初等变换法
AX B :
A B 初等行变换 E A1 B ；
(1)若矩阵A中有某个 s 阶子式不为0 则r(A) s 若A中所有 t 阶子式全为0 则r(A) t (2) 若A为 mn 矩阵 则 0 r(A) min{m n}
说明矩阵A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数
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2、矩阵的秩
几个简单结论 (1)若矩阵A中有某个 s 阶子式不为0 则r(A) s 若A中所有 t 阶子式全为0 则r(A)t (2) 若A为mn矩阵 则 0 r(A) min{m n}
0 0 0 0 1 0 0 1
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二、逆矩阵、矩阵方程问题
求解矩阵方程： 习题2-3: 2,7;习题2-5: 5,6，总习题二,P67:29,30 A、B 均可逆，
求矩阵X 使满足 AXB C . X A1CB 1 .
特别地，
求矩阵X 使满足 AX C . X A1C.
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例2 求矩阵A的秩 并求A 所以r(A)3 的一个最高阶非零子式 其中 为求A的最高阶非零子式 考虑由A的 1、2、4 列构成的 3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 矩阵 A 2 0 1 5 3 3 2 5 1 6 1 1 6 4 1 4 3 2 6 0 4 1 A0 0 0 4 2 0 5 解 因为 1 6 1 0 0 0 3 2 0 5 0 可见r(A0 )＝3, 3 2 3 6 1 A 2 0 1 5 3 又因A0的子式 3 2 5 1 6 4 1 4 3 2 6 0 2 0 5 行变换 1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 ~ 0 0 0 4 8 所以这个子式是A的最高阶非 0 0 0 0 0 零子式
k
A E A E A
2
E
2
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一、矩阵的运算
习题2-2： 3，4，6，8，11，12，14
例1.2
举反例说明下列命题是错误的
(1)若A2O 则AO
0 0 A 0 0
A0 0
(2)若A2A
则AO或AE
1 0 A 0 0
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二、矩阵的秩的求法
任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。
问题：经过初等变换后，矩阵的秩 变 吗？ 定理 若A与B等价 则 r(A)r(B) 即初等变换不改变矩阵的秩 . 根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩
§25 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念 二、矩阵的秩的求法 三、矩阵的秩的性质
一、矩阵的秩的概念
秩(rank)是矩阵更深层的性质，是矩阵
理论的核心概念．
秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在1879
年首先提出的．
矩阵的秩是讨论线性方程组解的存在
性、向量组的线性相关性等问题的重
Frobenius
要工具．
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一、矩阵的运算
习题2-2： 3，4，6，8，11，12，14
例1.1 设同阶方阵A、B,求下列结果成立的充要条件:
(1) A B A B A2 B 2
(2) A B A2 2 AB B 2
2
AB BA
(3) AB Ak B k
2 1 16 . 3 2 27
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3 1
2
一、矩阵的运算
习题2-2： 3，4，6，8，11，12，14
习题2-2：P41：11
1 1 已知 1， 3 ， 1， ， ，设A T ，求An . 2， 2 3
3 2 0 1 0 2 2 1 1 2 3 2 0 1 2 1
0 0 0 3 0 2 2 1 修改 0 2 3 2 1 2 1 0
0 1 1 0 3 2 0 2 2 1 0 1 1 2 3 2 0 0 1 2 1 0 0 0
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给定一个mn矩阵 A 它的标准形
Er O F O O mn
由 数 r 完全确定 这个数也就是A的行阶梯形中非零行的行数
这个数便是矩阵A的秩
由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明， 我们将从另一个角度，借助于行列式来定义矩阵的秩．
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1 0 0 0 或A 1 0
0 0 或A 0 1

(3)若AXAY 且AO 则XY A 1 0 若AXAY 且|A|0 则XY.
√
0 X 1 0 Y 1 0 0 0 2 0 3