人教版八年级第二学期数学专题1 二次根式章末重难点题型(原卷版)
二次根式的运算(原卷版)
2021-2022学年人教版数学八年级下册压轴题专题精选汇编专题01 二次根式的运算一．选择题1．（2021秋•福田区校级期末）下列计算正确的是（ ）A．+＝B．3﹣＝3C．＝﹣＝3﹣1＝1D．＝2．（2021春•龙岩期末）下列计算结果正确的是（ ）A．B．C．D．3．（2021春•荔湾区校级期中）下列计算中，正确的是（ ）A．＝5B．＝ C．÷＝3D．＝﹣34．（2021春•天河区校级月考）下列计算正确的是（ ）A．B．C．D．5．（2019春•西湖区校级期中）计算（﹣3）2018（+3）2019的值为（ ）A．1B．+3C．﹣3D．36．（2017秋•南昌期末）在化简时，甲、乙两位同学的解答如下，那么两人的解法（ ）甲：＝＝＝乙：＝＝＝A．两人解法都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错7．（2017春•高唐县期末）下列各式中，正确的是个数有（ ）①+2＝2；②+＝a+b；③＝；④3＝A．1个B．2个C．3个D．0个8．（2021春•龙口市期中）下列计算中，正确的是（ ）A．+＝B．（）2020•（）2021＝+C．＝﹣5D．2﹣2＝二．填空题9．（2021春•綦江区期中）已知：，则ab3+a3b的值为 ．10．（2021春•九龙坡区期末）计算：（﹣）（+）＝ ．11．（2020秋•德惠市校级月考）计算÷+×＝ ．12．（2020春•武川县期中）化简：（）2﹣＝ ．13．（2021春•永嘉县校级期末）已知a为实数，且与都是整数，则a的值是 ．14．（2019•盘锦）计算：（2+3）（2﹣3）＝ ．15．（2019春•交城县期中）计算：＝ ．16．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：6×＝ ，÷（2﹣）＝ ．17．（2018•湖北）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1＝ ．三．解答题18．（2020秋•肃州区期末）计算（1）（2﹣1）2+（+2）（﹣2）（2）（﹣2）×﹣6．19．（2021秋•崇川区校级月考）化简：①﹣a﹣1；②（﹣）÷；③；④3（2﹣4+3）．20．（2021秋•温江区校级期中）（1）﹣2+3；（2）×÷；（3）﹣（+1）2+；（4）解方程组．21．（2021秋•南召县期中）我们知道：这一化简变形过程叫分母有理化，类似地：＝，式子也可以这样化简：，这些化简变形也是分母有理化．利用以上信息解答以下问题：（1）直接写出化简结果：＝ ；＝ ；（2）用两种不同的方法化简：；（3）化简：．22．（2021春•青川县期末）计算：（1）（1﹣π）0+|﹣|﹣+（）﹣1；（2）（+﹣）2﹣（﹣+）2．23．（2021春•饶平县校级期中）计算：（1）÷+2×﹣（2+）2（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+24．（2020春•兴县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ ，b＝ ；（2）试着把7+4化成一个完全平方式．（3）若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：．25．（2019秋•昌江区校级期末）（+）÷（+﹣）（a≠b）．26．（2019秋•市中区校级期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）2＝（2）3＝验证：2＝×＝＝＝＝＝验证：3＝×＝＝＝＝＝（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：4＝ ；5＝ ；（2）通过上述探究你能猜测出：n＝ （n＞0），并验证你的结论．27．（2019春•邗江区校级月考）阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，我们来进行以下的探索：设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m+2n2，b＝2mn，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法．请仿照上述方法探索并解决下列问题：（1）当a，b，m，n都为正整数时，若a﹣b＝（m﹣n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a ＝ ，b＝ ；（2）利用上述方法，找一组正整数a，b，m，n填空： ﹣ ＝（ ﹣ ）2（3）a﹣4＝（m﹣n）2且a，m，n都为正整数，求a的值．28．（2018春•常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与 互为有理化因式，将分母有理化得 ；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．。
2018年人教版八年级数学下册期末复习----二次根式
八年级数学期末复习二次根式知识结构图本章知识在考试中主要考查二次根式有意义的条件和二次根式的运算，实数的运算中涉及二次根式的化简，在分式的化简求值中，所给值含根号也是广西常考的形式．重难点突破重难点1 二次根式有意义的条件【例1】要使式子x＋3x－1＋（x－2）0有意义，则x的取值范围为____________．【思路点拨】从式子的结构看分为三部分，二次根式、分式、零次幂，每一部分都应该有意义．所给代数式的形式x的取值范围整式全体实数.分式使分母不为零的一切实数．注意不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义.偶次根式被开方式为非负数.0次幂或负整数指数幂底数不为零.复合形式列不等式组，兼顾所有式子同时有意义.1．若12x －1有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≥12B ．x ≥－12C ．x ＞12D ．x ≠122．若代数式x ＋1（x －3）2有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．x ≥－1B ．x ≥－1且x ≠3C ．x ＞－1D ．x ＞－1且x ≠3重难点2 二次根式的非负性【例2】 （2016·南宁）若实数a ，b 满足|a ＋2|＋b －4＝0，则ab＝____________.这一类问题主要利用非负数的和为0，进而得出每一个非负数的式子为0构造方程求未知数的值，通常利用的非负数有：（1）||x ≥0；（2）x 2≥0；（3）x ≥0.3．（2016·泰州）实数a ，b 满足a ＋1＋4a 2＋4ab ＋b 2＝0，则b a的值为（ ）A ．2B.12C ．－2D ．－12重难点3 二次根式的运算【例3】 （2017·南宁月考）计算： （1）（24－2）－（8＋6）；（2）212×34÷ 2. 【解答】二次根式的运算是实数运算中的一种，运算顺序与运算律都遵循有理数的运算顺序与运算律．4．（2017·玉林期中）计算：45＋45－20.5．计算：3（1－3）＋12＋（13）－1.重难点4 与二次根式有关的化简求值【例4】 （2016·青海）先化简，再求值：（x －4－x x －1）÷x 2－4x ＋4x －1，其中x ＝2＋ 3.【解答】将二次根式的运算与分式的化简求值相结合考查，是最常见的考查形式．当未知数的值含根号时，求值时就用到二次根式的运算．6．（2017·钦州钦南区月考）先化简，再求值：x y （x ＋y ）－yx （x ＋y ），其中x ＝2＋1，y ＝2－1.重难点5 与二次根式有关的规律探究 【例5】 （2016·黄石）观察下列等式： 第1个等式：a 1＝11＋2＝2－1；第2个等式：a 2＝12＋3＝3－2； 第3个等式：a 3＝13＋2＝2－3；第4个等式：a 4＝12＋5＝5－2.按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n 个等式：a n ＝__________________； （2）a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝________________.【思路点拨】 （1）观察上面四个式子可得第n 个等式；（2）根据所得的规律可得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2－1＋3－2＋2－3＋5－2＋…＋n ＋1－n.规律的探究都遵循从特殊到一般的思维过程，在探究过程中要认真分析等式左右两边“变的量”与“不变的量”．7．下面是一个按某种规律排列的数阵：1 2 第1行3 2 5 6 第2行7 2 2 3 10 11 2 3 第3行13 14 15 4 17 3 2 19 2 5 第4行………………………根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第n－2个数是________________（用含n的代数式表示）．备考集训一、选择题（每小题4分，共32分）1．（2017·南宁月考）以下式子中，一定是二次根式的是（）A.9B.3xC.39 D.2x＋12．（2017·玉林期中）下列各式成立的是（）A.（－2）2＝－2B.（－2）2＝2C.62＝±6D.（－5）2＝±53．下列二次根式中，可与12进行合并的二次根式为（）A. 6B.32C.18D.754．（2017·钦州月考）计算：2a·6ab＝（）A．a12ab B．12a2bC．a212b D．2a3b5．设m＝32，n＝23，则m，n的大小关系为（）A．m＞n B．m＝nC．m＜n D．不能确定6．已知x＋y＝3＋22，x－y＝3－22，则x2－y2的值为（）A．4 2 B．6C．1 D．3－2 27．若a3＋3a2＝－a a＋3，则a的取值范围是（）A．－3≤a≤0 B．a≤0C．a＜0 D．a≥－38．已知一个等腰三角形的两条边长a，b满足|a－23|＋b－52＝0，则这个三角形的周长为（）A．43＋5 2 B．23＋5 2C．23＋10 2 D．43＋52或23＋10 2二、填空题（每小题3分，共18分）9．（2017·南宁期末）当x____________时，3x－6有意义．10．（2016·金华）能够说明“x2＝x不成立”的x的值是____________（写出一个即可）．11．（2016·南京）比较大小：5－3____________5－22.（填“＞”“＜”或“＝”）12．若m，n都是无理数，且m＋n＝2，则m，n的值可以是m＝________________，n＝________________.（填一组即可）13．在实数范围内分解因式：4m2－7＝________________.14．当x≤0时，化简|1－x|－x2的结果是____________．三、解答题（共50分）15．（8分）计算：（1）75×63÷12；（2）（2017·钦州期末）（218－324）÷ 6.16．（10分）（2017·玉林期末）已知x＝5－12，y＝5＋12，求yx＋xy的值．17．（10分）先化简，再求值：2（a＋3）（a－3）－a（a－6）＋6，其中a＝2－1.18．（10分）若实数a，b，c满足|a－2|＋b－2＝c－3＋3－c.（1）求a，b，c；（2）若满足上式的a，b为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．19．（12分）如图，在8×10的网格内取A，B，C，D四个格点，使AB＝BC＝2CD＝4.P是线段BC上的动点，连接AP，DP.（1）设BP＝a，CP＝b，用含字母a，b的代数式分别表示线段AP，DP的长；（2）设k＝AP＋DP，k是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．参考答案【例1】 x ≥－3且x ≠1，x ≠2 【例2】 －12【例3】 (1)原式＝26－2－22－6＝6－3 2. (2)原式＝2×14×12×3×12＝322.【例4】 原式＝x 2－x －4＋x x －1÷（x －2）2x －1＝x 2－4x －1·x －1（x －2）2＝（x ＋2）（x －2）x －1·x －1（x －2）2＝x ＋2x －2.当x ＝2＋3时，原式＝2＋3＋22＋3－2＝4＋33＝43＋33.【例5】 (1)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n (2)n ＋1－1变式训练 1．C 2.B 3.B4．原式＝45＋35－25＝5 5. 5．原式＝3－3＋23＋3＝3 3.6．原式＝x 2xy （x ＋y ）－y 2xy （x ＋y ）＝x 2－y 2xy （x ＋y ）＝x －yxy.当x ＝2＋1，y ＝2－1时，原式＝（2＋1）－（2－1）（2＋1）（2－1）＝21＝2.7.n 2－2 备考集训1．A 2.B 3.D 4.D 5.A 6.C 7.A 8.C 9.≥2 10.答案不唯一，如：－1 11.＜ 12.1＋ 2 1－ 2 13.(2m ＋7)(2m －7) 14.1 15．(1)原式＝53×63×2＝10. (2)原式＝218÷6－324÷6＝23－6.16．∵x ＋y ＝252＝5，xy ＝5－14＝1，∴y x ＋x y ＝y 2＋x 2xy ＝（x ＋y ）2－2xy xy ＝（5）2－2×11＝3.17．原式＝a 2＋6a.当a ＝2－1时，原式＝42－3.18．(1)由题意，得c －3≥0，3－c ≥0，即c ＝3.∴|a －2|＋b －2＝0.∴a －2＝0，b －2＝0，即a ＝2，b ＝2.(2)当a 是腰长，b 是底边长时，等腰三角形的周长为2＋2＋2＝22＋2；当b 是腰长，a 是底边长时，等腰三角形的周长为2＋2＋2＝2＋4.综上，这个等腰三角形的周长为22＋2或2＋4.19．(1)AP＝a2＋16，DP＝b2＋4.(2)k存在最小值．作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于点P，连接AP，过A′作A′E⊥DC于点E.∴AP＝A′P.∴k＝AP＋DP＝A′P＋DP＝A′E2＋DE2＝16＋36＝52＝213.。
人教版八年级数学下册试卷二次根式单元测试题及答案
人教版八年级数学下册试卷二次根式单元测试题及答案八年级下册数学目标单元检测题（一）《二次根式》一、选择题：（每小题2分，共26分）1、下列代数式中，属于二次根式的是（）A、3√x-2B、-AC、-4BD、a-√21（a≥1）2、在二次根式√x-1中，x的取值范围是（）C、x≤13、已知（x-1）²=0，则（x+y）²的算术平方根是（）A、14、下列计算中正确的是（）C、√(a/3)=√(2/3)5、化简√(2/3)+√(1/3)，得（）B、√56、下列二次根式：12.5a，a，b，1/a，m+y/√(2anx)中最简二次根式的有（）D、4个7、若等式(m-3)/(m+3)=1成立，则m的取值范围是（）B、m＞38、已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A、5cm9、把二次根式√(x^4+x^2y^2)化简，得（）A、x^2+xy10、下列各组二次根式中，属于同类二次根式的为（）C、a+1/12a^2b和D、a-1/ab^211、如果a≤1，那么化简√(a/(1-a))=（）C、1/√(1-a)12、下列各组二次根式中，x的取值范围相同的是（）B、x+1与x-1二、填空题：（每小题3分，共36分）13、化简√(42x-3)/(x-4x+1)，得（）B、4-4x14、用“＞”或“＜”符号连接：（1）-26<-33；（2）3＜5；（3）3/(-5)＞-7/(-3)26<-33＜3＜5＜3/(-5)＞-7/(-3)15、3（-5）的相反数是-15，绝对值是1516、如果最简二次根式3a-3与7-2a是同类二次根式，那么a的值是a=3/217、计算：8√(24)=8√3；（1/2）²=1/4；(-5)²=2518、当$x\geq -\frac{1}{3}$时，二次根式$3x+1$有意义；当$x>-1$时，代数式$x+1$有意义。
人教版八年级下册二次根式章末复习(共38张)
)A
B.2个
C.3个
D.4个
2.估算 5的0 值( 2 ) 3
A.在4和5之间
2
C.在6和7之间
D B.在5和6之间
D.在7和8之间
3.如图是一个正方体的展开图，已知这个正方体各对面的式子之积是相等的，那么x 为( )
A
6 A . 3 B.23 C .26 D .
2
4.计算:
(1 )2 7 1 2 4 5 ;
学习重、难点
重难点点：：熟练运用a 法· 则b 进＝ 行化简a 和b 计和 算. a b a · b ( a 0 ， b 0 ) 的 运 用 .
知识回顾
a(a0)
1.二次根式：一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式.
2.最简二次根式满足条件：
①被开方数不含
；
分母
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.
解： (1)原式3 32 33 5
5 33 5
(2 )8 31 13 ; 3 22
(2)原 式 22 3 2 3 22
3 23 3 22
( 3 ) ( 3 2 ) 1 0 0 ( 3 2 ) 1 0 1 ; ( 4 ) ( 5 2 ) 2 ( 5 1 ) ( 5 3 ) .
(3)原式 32
x x
y y
= ( 2 1) ( 2 1) = 2 = 2 ( 2 1) ( 2 1) 2 2 2
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
教学反思
本节课是复习课，首先帮助学生构建知识框图，其作用在于进行知识梳理，目的是让学 生更好地回顾本章的知识点，理解本章的知识体系然后精选部分例题，让学生感受转化思想 、整体思想、类比思想、分类讨论思想在本章节中的综合运用，使学生对本章的知识点不光 停留在掌握上，更能综合灵活运用.
人教版八年级初二数学第二学期二次根式单元 期末复习质量专项训练试卷
一、选择题1．下列各式计算正确的是（ ） A ．235+=B ．2222+=C ．236⨯=D ．1222= 2．2的倒数是（ ） A ．2B ．22C ．2-D ．22-3．计算()21273632÷+⨯--的结果正确的是( ) A ．3 B ．3 C ．6D ．33- 4．下列式子中，是二次根式的是( )A ．2B ．32C ．xD ．x5．在实数范围内，若2x +有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x≠2B ．x >-2C ．x <-2D ．x≠-26．下列各式中,正确的是（ ） A ．16=±4 B ．±16=4C ．26628⨯= D ．42783+⨯=- 4 7．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.A ．4B ．5C ．6D ．78．当11994x +=时，多项式()20193419971994x x --的值为( ).A ．1B ．1-C ．20022D ．20012-9．若化简2816x x -+的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数B ．1≤x ≤4C ．x ≥1D ． x ≤410．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记2a b cp ++=，那么三角形的面积为()()()S p p a p b p c =---ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若5a =，6b =，7c =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．66B ．63C ．18D ．192二、填空题11．设a ﹣b=2+3，b ﹣c=2﹣3，则a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____． 12．已知13x x+=，且01x <<，则2691x x x =+-______．13．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()22b a b +-﹣|a +b |的结果是_____．14．甲容器中装有浓度为a 的果汁40kg ，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________．15．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.16．把1m m-_____________. 17．若实数x ，y ，m 满足等式()23532322x y m x y m x y x y +--+-=+---m+4的算术平方根为________．18．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13＝_____.19．函数y＝2x-中，自变量x的取值范围是____________．20．观察分析下列数据：0，，-3，的规律得到第10个数据应是__________．三、解答题21．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式a =，)111=11互为有理化因式．（1）1的有理化因式是；（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：3==，25384532++====-进行分母有理化．（3）利用所需知识判断：若a=，2b=a b，的关系是．（4）直接写结果：)1=．【答案】（1）1；（2）7-；（3）互为相反数；（4）2019【分析】（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；（2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可；（3）将a=（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．【详解】解：（1）∵()()1111=，∴1的有理化因式是1；（22243743--==--（3）∵2a===，2b=-，∴a和b互为相反数；（4）)1 ++⨯=)11⨯=)11=20201-=2019，故原式的值为2019.【点睛】本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．22．已知x=2，求代数式（7+x2+（2）x【答案】2【解析】试题分析：先求出x2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.试题解析：x2=（2）2=7﹣则原式=（7﹣+（2=49﹣23．先将2x-x的值，代入后，求式子的值.【答案】答案见解析.【解析】试题分析：先把除式化为最简二次根式，再用二次根式的乘法法则化简，选取的x的值需要使原式有意义.试题解析：原式==222x x x x x -=⋅⋅-=- 要使原式有意义,则x ＞2.所以本题答案不唯一,如取x ＝4.则原式＝224．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如3、3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：535==33333⨯⨯；22(31)2(31)=313+1(3+1)(31)(3)1⨯-⨯-==--- . 以上这种化简过程叫做分母有理化.3+1还可以用以下方法化简：22(3)1(3+1)(31)=313+13+13+13+1--===-. （1）请用其中一种方法化简1511-；（2）化简：++++3+15+37+599+97.【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.25．先化简再求值：321943x y x y x x x x y ⎛- ⎝，其中340x y --=． 【答案】(25x x xy -3 【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．26．在一个边长为（cm 的正方形的内部挖去一个长为（）cm ，cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．【答案】 【解析】试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．试题解析：剩余部分的面积为：（2﹣（）=（）﹣（﹣）=（cm 2）． 考点：二次根式的应用27．计算（1（2）21)-【答案】（1）4；（2）3+ 【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）解：原式=4=+4=-（2）解：原式()22161=---63=-+3=+ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．28．先阅读下面的解题过程，然后再解答.a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==±>.这里7m =，12n =， 由于437+=，4312⨯=，所以22+==，2===.. 【答案】见解析 【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法． 【详解】根据题意，可知13m =，42n =， 由于7613+=，7642⨯=，所以2213+=，====【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】计算出各个选项中的正确结果，即可得到哪个选项是正确【详解】A错误；∵2+B错误；=，故选项C正确；=，故选项D错误.2故选C.【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．2．B解析：B【分析】根据倒数的定义，即可得到答案.【详解】，；2故选：B.【点睛】本题考查了倒数的定义和化为最简二次根式，解题的关键是熟记倒数的定义进行解题. 3．A解析：A【分析】分别根据二次根式的除法和乘法法则以及二次根式的平方计算每一项，再合并即可．【详解】=+=解：原式333故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关键．4．A解析：A【分析】a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论．【详解】解：A是二次根式，符合题意；B是三次根式，不合题意；C、当x＜0D、x属于整式，不合题意；故选：A．【点睛】此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数．5．B解析：B【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，可得答案．【详解】有意义，得：x+>，20x>-．解得：2故选：B．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．6．C解析：C【分析】根据算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法逐项判断即可．【详解】A4=，此项错误B 、164±=±，此项错误C 、26268262⨯⨯==，此项正确 D 、42227833322366333+⨯=+⨯=+，此项错误 故选：C ． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法，掌握二次根式的运算法则是解题关键．7．C解析：C 【解析】 【分析】利用分母有理化进行计算即可. 【详解】 由原式得：所以，因为，,所以.故选：C 【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.8．B解析：B 【解析】 【分析】由原式得()2211994x -=，得244+11994x x -=，原式变形后再将244+11994x x -=代和可得出答案. 【详解】 ∵119942x +=， ()2211994x ∴-=，即24419930x x --=，()()32241997199444199344199311x x x x x x x ∴--=--+---=-． ∴原式()201911=-=-．【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.9．B解析：B【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．【详解】原式可化简为|1-x|-|x-4|，当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，故选B．【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．10．A解析：A【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算ABC∆的面积；【详解】7a=，5b=，6c=．∴56792p++==，∴ABC∆的面积S==故选A．【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．二、填空题11．15【解析】根据题意，由a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，两式相加得，得到a﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=====15.故答案为：15.解析：15【解析】根据题意，由a﹣b﹣c=2，两式相加得，得到a﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac=2222222222a b c ab ac bc ++﹣﹣﹣=2222222222a ab b b bc c a ac c +++++﹣﹣﹣=222()()()2a b b c a c -+-+-=15. 故答案为：15.12．．【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．【详解】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴原式．故答案是：．【点睛】本题考查二次根式的运． 【分析】，再把它们相乘得到1x x -，再对原式进行变形凑出1x x-的形式进行计算． 【详解】3=，∴221239xx =++==，∴17x x+=，∴212725x x =-+=-=， ∵01x <<，=，∴1x x =-=-∴原式====．． 【点睛】 本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．13．3b【分析】先判断a ，b 的取值范围，并分别判断a-b ，a+b 的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．【详解】解：由数轴可知：b ＞0，a ﹣b ＜0，a+b ＜0，∴原式＝|解析：3b【分析】先判断a ，b 的取值范围，并分别判断a-b ，a+b 的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．【详解】解：由数轴可知：b ＞0，a ﹣b ＜0，a +b ＜0，∴原式＝|b |+|a ﹣b |﹣|a +b |＝b ﹣（a ﹣b ）+（a +b ）＝b ﹣a +b +a +b＝3b ，故答案为：3b【点睛】=和绝对值的性质是解题的关a键．14．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg，乙容器【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利=，求出m即可．【详解】，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，，=，整理得，-6b=5ma-5mb，∴（a-b）=5m（a-b），∴m=．5【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．15．a+3【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2∵a＞0+3.a=a+3.【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键.16．-【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案【详解】由题意可得：，即∴故答案为【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定解析：【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案【详解】由题意可得：1m，即0m∴11mm m mm mm故答案为【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定m的取值范围.17．3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y ，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3解析：3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：35302302x y mx y mx y+--=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩，解得：x=1，y=1，m＝5，∴==3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．18．5【解析】◇==5.故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a对应，b对应，即将a=，b=，代入到代数式a(a－b)＋b(a＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则解析：5【解析】32==5.故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a，b，即将，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.19．x≤4且x≠2【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．【详解】解：由y=，得4-x≥0且x-2≠0．解得x ≤4且x≠2．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方解析：x≤4且x≠2【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．【详解】解：由，得4-x≥0且x-2≠0． 解得x≤4且x≠2．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数、分母不能为零得出4-x≥0且x-2≠0是解题关键．20．6【分析】通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．【详解】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，∴第13个答案为：．故答案为6．解析：6【分析】 通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，(1)3(131)6．∴第13个答案为：131故答案为6．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题01二次根式重难点知识(原卷版).doc
【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】1专题01 二次根式期末总复习重难点一遍过一、基础知识点综述（1）算数平方根：如果一个正数a 的平方等于x ，则a 是x 的算术平方根.规定0的算术平方根是0.（2）平方根：如果一个数a 的平方等于x ，则a 是x 的平方根.0的平方根是0.（3）立方根：如果一个数a 的立方等于x ，则a 是x 的立方根.（4）乘法公式 ()()()222222222112a b a b a b a b a ab b x x x x +-=-±=±+⎛⎫⎛⎫±=±+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1. 定义 )0a ≥的式子叫二次根式.2. 有意义条件被开方数是非负数.3. 性质双重非负性（00a ≥≥）.4. 非负数性质的几种常见运用【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】20,x a y b +=⇒==0,y b x a y b +-=⇒== ()20,x a y b x a y b -+-=⇒==()20,x a x a y b -=⇒==y x a =⇒=5. 二次根式化简依据00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩；()20a a =≥6. 二次根式的运算)0,0a b =≥≥；)0,0a b =≥> 7. 最简二次根式、同类二次根式最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.8. 分母有理化a =a b =-a b +=- 二、典型例题讲解题1. 基础知识题型（1）下列各式中属于最简二次根式的是（ ）ABCD【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】 3（2a 的取值范围是（3a 的取值范围是（4b>0，c>0）的结果是（55x =--成立的条件是（6）计算：()()55=（7是同类二次根式，则a=（8）等式(2x =成立的条件是（9）把(3x -根号外面的因式移到根号内，则原式等于（10=x 的范围是 题2. 基础知识拓展题型（1）已知实数a 、b 、b ，满足0a a +=，0ab ab -=，0c c -=，那么代数式a b a b -+-化简的结果为（2m 的最大整数值是（3）若5<a<10=（4a =b =，用含a 、b（58，则x 的取值范围 .（6）已知：480x -=，且y>0，则m 的取值范围是 .（7）若04144222=+-++++-c c b b a ，则c a b ⋅⋅2=【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】4 题3. 化简求值题目（1）22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭，其中2+（2）若121,121+=-=b a ，求)(a b b a ab -的值.（3）已知a 2+3ab+b 2=0（a≠0，b≠0），求代数式b a a b +的值.（4）先化简，再求值：211121a a a a ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中1.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】5（5）先化简，再求值：，其中a =1+，b =1﹣．（6）先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-a b ab a a b a 22，其中，．题4. 二次根式的计算 （1）18213222+⎪⎭⎫ ⎝⎛----（2【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6（3）(题5.综合题型 （1）已知x=的值.（2）若2019a a -=，求22019a -的值.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】7（3）已知1x x +=，求1x x-的值.（4）在实数范围内分解因式①235x -；②243x -+；。
人教版八年级初二数学下学期二次根式单元 期末复习质量专项训练试卷
一、选择题1．下列各式中，运算正确的是（ ） A ．222()-=-B ．284⨯=C ．2810+=D ．222-=2．下列根式是最简二次根式的是（ ） A ．4B ．21x +C ．12D ．40.53．下列各式计算正确的是（ ） A ．2+3=5 B ．43﹣33=1C ．27÷3=3D ．23×33=64．下列计算结果正确的是（ ）A ．2+5=7B ．3223-=C ．2510⨯=D ．25105= 5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．15B ．8C ．13D ．266．下列各式中，正确的是（ ） A ．32 >23B ．a 3 • a 2=a 6C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2D ．5m + 2m = 7m 27．对于已知三角形的三条边长分别为a ,b ,c ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：()()()S p p a p b p c =---，其中2a b cp ++=,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ） A ．3154 B ．3152C ．352D ．3548．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b 的结果是（ ）A ．1B ．b+1C ．2aD ．1﹣2a9．下列计算正确的是（ ） A 235=B ．332-= C ．222= D 393=10．下列运算一定正确的是( ) A 2a a =B ab a b =C ．222()a b a b ⋅=⋅D ()0n mnaa m=≥ 二、填空题11．若0a >，把4ab-化成最简二次根式为________． 12．化简322+=___________．13．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则2b c +=________．14．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=2[2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．15．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．16．把31a-根号外的因式移入根号内，得________ 17．已知函数1x f xx，那么21f _____．18．()()22223310x y x y ++-+=，则222516x y +=______.19．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行722310 11233第行 13 1541732 19254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）． 20．如果332y x x --，那么y x =_______________________．三、解答题21．已知x=23，求代数式（7+3x 2+（23）x 3 【答案】23【解析】试题分析：先求出x 2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.试题解析：x 2=（2）2=7﹣则原式=（7﹣+（2=49﹣22．先化简，再求值：a ，其中【答案】2a-1，【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：1a =-∴原式=1a a --=21a -当1a =-∴原式=(211-=1-【点睛】此题主要考查化简求值，正确理解二次根式的性质是解题关键．23．先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）． 【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数）【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．试题解析：(1)=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.24．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）． （2（3【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小. 【详解】解：（1）根据题意得：第n 个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019==-=；（3-==，<∴>．【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.25．观察下列各式：11111122=+-=11111236=+-=111113412=+-= 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1=_____________ （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式：______________；（3【答案】（1）1120；（211(1)n n =++；（3）1156，过程见解析【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】解：（1111114520=+-=； 故答案为：1120；（2111111(1)n n n n =+-=+++；11(1)n n =++；（31156== 【点睛】此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．26．计算下列各式：（1；（2【答案】（12 ；（2） 【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可. 【详解】（1）原式2=-2=；（2）原式==. 【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，)0,0a b =≥≥=（a ≥0，b >0）.27．在一个边长为（cm 的正方形的内部挖去一个长为（）cm ，cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．【答案】 【解析】试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．试题解析：剩余部分的面积为：（2﹣（）=（）﹣（﹣）=（cm 2）． 考点：二次根式的应用28．（1）计算)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭（2）已知,,a b c 为实数且2c =2c ab-的值【答案】（1）13；（2）12-【分析】（1）利用完全平方公式、负整数指数幂、零指数幂分别计算再合并即可； （2）先依据二次根式有意义的条件，求得a 、b 、c 的值，然后再代入计算即可． 【详解】 （1）)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭31=+⨯=4+9 =13；（2）根据二次根式有意义的条件可得：∵()2303010a a b ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪-+≥⎪⎩， ∴3a =，1b =-，∴2c =∴(()2223112c ab -=-⨯-=-【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件以及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】=（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可． 【详解】 A2=，故原题计算错误；B=，故原题计算正确；C=D、2不能合并，故原题计算错误；故选B．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则．2．B解析：B【分析】可以根据最简二次根式的定义进行判断．【详解】A，原根式不是最简二次根式；BC=，原根式不是最简二次根式；==D、=4故选B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的化简方法是解题关键．3．C解析：C【分析】根据二次根式的化简进行选择即可．【详解】AB、C，故本选项正确；D、=18，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．4．C解析：C【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、分母有理化逐一进行计算判断即可．【详解】A不能合并，故A选项错误；B．-=B选项错误；C===D选项错误，D故选C．【点睛】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，熟练掌握各运算法则是解题的关键．5．D解析：D【分析】根据最简二次根式的特点解答即可.【详解】A，故该选项不符合题意；B=C、D不能化简，即为最简二次根式，故选：D.【点睛】此题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的特点：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能再开方的因式或因数，牢记特点是解题的关键.6．A解析：A【分析】比较两个二次根式的大小可判别A，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B、C、D的正误．【详解】A、=，=>，∵1812∴>，故该选项正确；B、3a•25=，故该选项错误；a aC 、()()22224b a a b a b +-=-，故该选项错误；D 、527m m m +=，故该选项错误； 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．7．A解析：A 【分析】根据公式解答即可． 【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则2+349=222a b c p +++== ∴其面积为99999531315()()()(2)(3)(4)22222222S p p a p b p c =---=⨯-⨯-⨯-=⨯⨯⨯=故选：A ． 【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．8．A解析：A 【解析】﹣+b=111a a b b a a b b ---+=-+-+= ，故选A.9．C解析：C 【分析】根据立方根、二次根式的加减乘除运算法则计算． 【详解】A 、非同类二次根式，不能合并，故错误；B 、2333=C 、222=，正确；D 39 故选C ． 【点睛】本题考查二次根式、立方根的运算法则，熟练掌握基本法则是关键．10．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．【详解】A|a|，故此选项错误；B．，则a，b均为非负数，故此选项错误；C．a2•b2=（a•b）2，正确；D m n a（a≥0），故此选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．二、填空题11．【分析】先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵∴∴所以答案是：【点睛】本题考查了二次根式的性质.解析：【分析】先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵40,0 aab-≥>∴0b<2a bb b b=--所以答案是：【点睛】a =.12．+1【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.【详解】因为,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二+1【分析】先将3+,()()()0000a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩进行化简即可.【详解】因为(2231211+=+=+=+,11===故答案为:1.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解. 13．21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．【详解】∵∴∴∴∴∴∴∴．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的解析：21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案．【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123===∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．14．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和 解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．15．﹣2b【解析】由题意得：b ＜a ＜0，然后可知a-b ＞0，a+b ＜0，因此可得|a ﹣b|+=a ﹣b+[﹣（a+b ）]=a ﹣b ﹣a ﹣b=﹣2b ．故答案为﹣2b ．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对解析：﹣2b【解析】由题意得：b ＜a ＜0，然后可知a-b ＞0，a+b ＜0，因此可得|a ﹣=a ﹣b+[﹣（a+b ）]=a ﹣b ﹣a ﹣b=﹣2b ．故答案为﹣2b ．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a ．b 都是数轴上的实数，注意符号的变换． 16．【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】 本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质解析：a 【分析】根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵310a -≥， ∴0a <，∴===故答案为：a ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．17．【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.【详解】因为函数，所以当时，．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.解析：2+【分析】根据题意可知1x=，代入原函数即可解答.【详解】因为函数1xf xx，所以当1x=时，211()2221f x．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 18．【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】移项得，两边平方得，整理得，两边平方得，所以，两边除以400得，1.故答案为1.【点睛】解析：【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】10=-两边平方得，()()22223=1003x y x y ++--+整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以，221625400x y +=两边除以400得，222516x y +=1. 故答案为1.【点睛】本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.19．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n （n ≥3且n 是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．20．【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x－3≥0，3－x≥0，∴x=3，∴y=﹣2，∴．故答案为：．【点睛】 解析：19【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x －3≥0，3－x ≥0，∴x =3，∴y =﹣2， ∴2139y x -==． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
人教版八年级初二数学第二学期二次根式单元 易错题难题质量专项训练试卷
一、选择题1．下列运算结果正确的是（ ）A ．()299-=-B ．623÷=C ．()222-=D ．255=- 2．下列计算正确的为（ ）．A ．2(5)5-=-B ．257+=C ．6432+=+D ．362= 3．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A ．9 B ．13 C ．20 D ．74．下列计算正确的是（ ）A ．2×3=6B ．2+3=5C ．8=42D ．4﹣2=25．下列等式正确的是（ ）A ．497-=-B ．2(3)3-=C ．2(5)5--=D ．822-=6．如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）A ．（8﹣3cm 2B ．（4﹣3cm 2C ．（16﹣3cm 2D ．（﹣3）cm 2 7．下列计算正确的是（ ）A 2510=B 623=C 12315=D ．241=8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A 12B 0.1C 12D 21a +9．751m +m 的值为（ ）A ．7B ．11C ．2D ．110．32的结果是（ ）A ．±3B ．﹣3C ．3D ．9二、填空题11．322+=___________．12．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，设...S =S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为正整数)．13．10=，则222516x y +=______.14的最小值是______．15．计算：2015·2016＝________． 16．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13＝_____.17．若实数a =，则代数式244a a -+的值为___.18．化简(3+-的结果为_________.19．函数y 中，自变量x 的取值范围是____________．20．x 的取值范围是_____三、解答题21．计算：（1（2）)((222+-+．【答案】(1)【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可.【详解】（1==（2）)((222+-+=2223--+ =5-4-3+2=022．（112=3==；……写出④ ；⑤ ； （2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律；（3）证明这个猜想．【答案】（12=5==；（2n =；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果；(2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题.【详解】解：（1）由例子可得，④5=25，（2）如果n 为正整数，用含n （3）证明：∵n 是正整数，n．n ．故答案为5=25 n；(3)证明见解析. 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.23．阅读下面的解答过程，然后作答：m 和n ，使m 2+n 2=a 且，则a 可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2例如：∵=）2+）2=）2∴请你仿照上例将下列各式化简（12【答案】（1）2-【分析】参照范例中的方法进行解答即可.【详解】解：（1）∵22241(1+=+=，1=（2）∵2227-=-=，∴==24．计算（1+（2+-（3）2b ÷ （4）(【答案】（1）234）7． 【分析】 （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘除法则运算；（4）利用平方差公式计算；【详解】（1+==；（2==；（3÷2b =4=；（4）( (22=- =7【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了平方差公式．25．先化简再求值：（a ﹣22ab b a -）÷22a b a-，其中，b=1．【答案】原式=a b a b-=+【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.【详解】 原式=()()222a ab b a a a b a b -+⨯+- =()()()2·a b a aa b a b -+- =a b a b-+，当，b=1时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.26．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值；(2)已知b =，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±2；（2）2． 【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解．【详解】（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4，（a-b ）2=4，a-b=±2．（2）a ===b === 2222()22312a b a b ab +=+-=-=-=⎝⎭ 【点睛】本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．27．已知x²+2xy+y²的值.【答案】16【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算．本题解析：∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.28．先阅读下面的解题过程，然后再解答.a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==±>.这里7m =，12n =，由于437+=，4312⨯=，所以22+==，2===..【答案】见解析【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【详解】根据题意，可知13m =，42n =，由于7613+=，7642⨯=，所以2213+=，====【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二次根式的性质及除法法则逐一判断即可得答案．【详解】9=，故该选项计算错误，不符合题意，=C.(22=，故该选项计算正确，符合题意，5=，故该选项计算错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查二次根式的性质及运算，理解二次根式的性质并熟练掌握二次根式除法法则是解题关键．2．D解析：D【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可．【详解】A 5=，故A 选项错误；B B 选项错误；C ．++=222，故C 选项错误；D 2=，正确， 故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据直角二次根式满足的两个条件进行判断即可．【详解】被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项A 错误；=被开方数中含分母，不是最简二次根式，故选项B 错误；=被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项C 错误；是最简二次根式，故选项D 正确.故选D ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式是最简二次根式．4．A解析：A【解析】分析：根据二次根式的加、减、乘、除的法则计算逐一验证即可.详解： , 此选项正确;≠此选项错误;, 此选项错误;，此选项错误.故选A.点睛：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.5．B解析：B【分析】根据二次根式的性质求出每个式子的值，再得出选项即可．【详解】解：AB3=，故本选项符合题意；C、5=-，故本选项不符合题意；D、=-，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．6．D解析：D【分析】根据正方形的面积求出边长AB＝4cm，BC＝（）cm，利用四边形ABCD的面积减去两个阴影的面积即可列式求出答案.【详解】∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，4cm＝cm，∴AB＝4cm，BC＝（+4）cm，∴空白部分的面积＝（）×4﹣12﹣16，＝﹣12﹣16，＝（﹣）cm2，故选：D.【点睛】此题考查正方形的性质，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解图形中空白面积的计算方法是解题的关键.7．A解析：A【分析】分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案．【详解】解：======，原式计算错误；D. 2220=-=，原式计算错误；故应选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．8．D解析：D【分析】最简二次根式的被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，其中小数要转化为分数，分数中分母不可以是二次根式，注意这几点即可得出答案．【详解】ABC，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；2D故选：D．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，本题属于基础题型．9．C解析：C【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式即为同类二次根式.【详解】解=m=7时==，故A错误；当m=11时==B错误；当m=1时=故D错误；当m=2时=故C 正确；故选择C.【点睛】 本题考查了同类二次根式的定义.10．C解析：C【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】原式＝3，故选C ．【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．二、填空题11．+1【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.【详解】因为,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二+1【分析】先将3+,()()()0000a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩进行化简即可.【详解】因为(2231211+=+=+=+,11===故答案为:1.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解.12．【分析】先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．【详解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；……∵，∴；∴．故答案为：【点睛】本题 解析：221n n n ++ 【分析】n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．【详解】 解：∵1221191=124S =++311122===+-； ∵222114912336S =++=7111116623===+=+-； ∵32211169134144S =++=1311111121234===+=+-； …… ∵()()()222222111111n n n S n n n n ++=++=++，()()2111111111n nn n n n n n++===+=+-+++；∴...S=1111111112231n n=+-++-++-+…+111nn=+-+．221n nn+=+故答案为：221n nn++【点睛】本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子()11111n n n n=-++的理解．13．【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】移项得，两边平方得，整理得，两边平方得，所以，两边除以400得，1.故答案为1.【点睛】解析：【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】10=-两边平方得，()()22223=1003x y x y++--+整理得，253x=-两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+所以，221625400x y +=两边除以400得，222516x y +=1. 故答案为1.【点睛】本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.14．0【解析】【分析】先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解。
八年级数学下册专题01 二次根式压轴(四大类型)(原卷版)
专题01 二次根式化简常考压轴（四大类型）本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。
【类型一】利用数轴化简根式】【类型二】含字母的二次根式化简(注意范围)】【类型三】双重二次根式化简【类型四】二次根式有意义的条件【类型一：利用数轴化简根式】【典例1】已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：．【变式1-1】已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简：，得（）A．﹣3a B．﹣a+2b C．﹣2a D．a﹣b【变式1-2】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：．【变式1-3】已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+﹣| a﹣b|．【变式1-4】已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简．【类型二：含字母的二次根式化简(注意范围) 】【典例2】化简﹣x的结果是（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【变式2-1】已知a＞b，则的化简结果是（）A．B．﹣C．D．﹣【变式2-2】化简的结果正确的是（）A．2m2B．﹣2m2C．﹣2m2﹣D．2m2【变式2-3】化简﹣a的结果是（）A．﹣2a B．﹣2a C．0D．2a【变式2-4】化简二次根式的正确结果是（）A．B．C．D．【类型三：双重二次根式化简】【典例3】材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m•n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，双重二次根式得以化简．例如化简：因为3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）填空：＝，＝；（2）化简：；（3）计算：+．【变式3-1】阅读材料：小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小李同学进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：．【变式3-2】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；+2×1×＝（1+）2．【类比归纳】（1）请你仿照小明的方法将7+2化成另一个式子的平方；（2）请运用小明的方法化简；．【变式探究】（3）若a+2＝，且a，m，n均为正整数，求a的值．【变式3-3】先阅读下列解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．例如：化简：解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．问题：（1）填空：＝，＝；（2）化简：（请写出计算过程）；（3）化简：．【类型四：二次根式有意义的条件】【典例4】已知x，y为实数，y＝，求xy的平方根．【变式4-1】已知y＝﹣+9x，求的平方根．【变式4-2】已知+2＝b+8．（1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根．【变式4-3】已知x满足|2015﹣x|+＝x，求x﹣20152的值．1．若2＜a＜3，则等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5D．2a﹣12．把a中根号外面的因式移到根号内的结果是．3．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝．4．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：﹣+|b+c|+|a﹣c|．5．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的康康进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有（有理数和无理数分别对应相等），∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且e、f均为正整数，试化简：；（3）化简：．6．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn ＝，则a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简．例如，因为5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2，所以＝＝+．请仿照上面的例子化简下列根式：（1）；（2）．7．x、y均为实数y＜++，化简：．8．若＝•，求（x+1）的值．9．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝，那么便有＝＝±（a ＞b），例如：化简．解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝＝2+．由上述例题的方法化简：（1）；（2）；（3）．10．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|+|﹣a|﹣．11．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简+﹣．。
专题01 二次根式重难点题型分类(解析版)八年级数学下册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题01二次根式重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《二次根式》这一章的四类重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含四类题型：二次根式的双重非负性、二次根式的乘除、最简二次根式、二次根式的混合运算。
适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一二次根式的双重非负性第一层非负性：被开方数0≥1．（2022春·a 的取值范围是（）A ．a ≥-1B ．a ≠2C ．a ≥-1且a ≠2D ．a ＞2【详解】解：由题意得，a 10,a 2+≥≠，解得，a ≥-1且a ≠2，故答案为：C.2．（2019·1有意义时，x 应满足的条件是______.3.（青竹湖）函数x x y 2-=中，自变量x 的取值范围是.【解答】解：根据题意得，x ﹣2≥0且x ≠0，解得x ≥2且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥2．4．（2022秋·山东济南）若a ，b 都是实数，b ﹣2，则a b的值为_____．5.（雅礼）已知实数x 、y 满足0115=-+-y x ，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是.【解答】解：根据题意得，x ﹣5＝0，y ﹣11＝0，解得x ＝5，y ＝11，①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形．②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，5+11+11＝27；所以，三角形的周长为：27；故答案为27．第二层非负性：二次根式的计算结果为非负数,0,0a a a a a ≥⎧⇒==⎨-<⎩6．（2022春·21a -，那么（）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥7．（2018·广东广州）如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a=_____．8．（2021·湖南娄底）2,5,m ）A ．210m -B ．102m -C ．10D ．49．（2020·四川攀枝花）实数a 、b +-（）．A ．2-B ．0C ．2a -D ．2b10．（2021春·山东淄博）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：||a【详解】由数轴，得a<0，0a c +<，0c a -<，0b >.则原式()a a c c a b a b =-++---=-.11．（2021春·全国）探究题：＝_，＝，＝，＝，＝，＝，根据计算结果，回答：（1a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算：①若x＜2＝；＝；（3）若a，b，c题型二二次根式的乘除12．（2021春·=____．14．（2022春·=____．_____．15．（2022春·16．（2023春·（）B C D．A19.（2021秋·八年级课时练习）计算:-⋅；（1(-，（2(15)(20．（2022秋·八年级课时练习）计算:21．（2021秋·上海虹口）计算：（1(；（2）0,0)a b ÷>>题型三最简二次根式22．（2022春·天津）下列二次根式中，最简二次根式是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个不是最简二次根式，不符合题意，综上，是最简二次根式的有24．（2022秋·a的值是（）A．2B．3C．4D．5m=__________．25．（2020秋·题型四二次根式的混合运算26．（2021春·全国）计算:（1）1|3|-+---（2）27．（2021春·新疆乌鲁木齐）计算：28．（2021春·全国）(1)﹣529．（2022秋·陕西西安）已知a ＝2b ＝2（1）a 2﹣3ab ＋b 2；（2）（a ＋1）（b ＋1）．30．（2021秋·上海）已知3x =+求：2267x x x x ++++的值．31.（雅实）已知a =b =,求值：（1）a b +；（2）22a b ab +.【解答】解：（1）原式=222(a b)212;a b ab ab ab++-==（2）原式=(a b)2ab +=⨯=32.（广益）先化简，再求值：322222222a b a b a ab a ab b a b +-÷++-，其中2a =-2b =+。
专题1.1 二次根式章末重难点题型(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题1.1 二次根式章末重难点题型【人教版】【考点1 二次根式相关概念】【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y ≤0），和（a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④ 【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①； ②； ③； ④中，与是同类二次根式的是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）【变式1-3】A．﹣1B．4或﹣1C．1或﹣4D．4【考点2 二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜0D．x≤0【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2B．x＞﹣2且x≠2C．x＞2D．x＞2或x≤﹣2【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3【考点3 利用二次根式性质化简符号】【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）A．﹣1B．C．﹣D．﹣【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（）A．（x﹣1 ）B．（1﹣x）C．﹣（x+1 ）D．（x﹣1 ）【考点4 利用二次根式的性质化简】【方法点拨】二次根式的性质：（1））（）（02≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==）（）（）（00002a a a a a a a【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）A ．a ﹣b +3B ．a +b ﹣1C ．﹣a ﹣b +1D ．﹣a +b +1 【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a ＜3，则＝（ ） A ．5﹣2aB ．1﹣2aC ．2a ﹣1D ．2a ﹣5【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a 、b 、C 在数轴上的位置所示，那么化简|c +a |+﹣的正确结果是（ ）A ．2b ﹣cB ．2b +cC ．2a +cD ．﹣2a ﹣c【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x ＜1，则﹣等于（ ）A ．B ．﹣C ．﹣2xD ．2x【考点5 二次根式的乘除运算】 【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则 （1）），（00≥≥=⋅b a ab b a（2）），（00>≥=b a b aba 【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算： （1）÷ （2）÷3×【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a ＞0）【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【考点6 利用二次根式性质求代数式的值】【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【考点7 二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．【例7】（2019春•武昌区期中）计算：（1）（2）【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）（2）【考点8 二次根式的混合运算】【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：（1）（2）3【变式8-1】（2019春•广东期中）计算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：（1）（2）【考点9 分母有理化的应用】【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化简解：+1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．【考点10 二次根式的应用】【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【变式10-2】已知一个三角形的三边长分别为12，，．（1）求此三角形的周长P（结果化成最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的a的值，使P为整数，并求出此时P的值．【变式10-3】斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数a n可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间a n﹣1，a n，a n+1存在以下关系：a n+1﹣a n＝a n﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．。
人教版八年级数学下册期末复习二次根式解答题专项练习 含答案
人教版八年级数学下册期末复习二次根式解答题专项练习一、解答题1．观察下列等式：回答问题：111111112=+-=+111112216=+-=+1111133112=+-=+，…(1)=________； (2)请你找出其中规律，并将第()1n n ≥个等式写出来．2．已知ABC 2-记ABC 的周长为ABC C． (1)当2x =时，ABC 的最长边的长度是___________（请直接写出答案）． (2)请求出ABC C （用含x 的代数式表示，结果要求化简）．(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S =a ，b ，c ，三角形的面积为S ．若x 为整数，当ABC C 取得最大值时，请用秦九韶公式求出ABC 的面积．3．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如(231+．善于思考的小明进行了以下探索：若设(22222a m m n +=+=++a b m n 、、、均为整数），则有22=2=2a m n b mn +，．这样小明就找到了一种把类似a +的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：【问题解决】（1）若(2a m +=+，当ab m n 、、、均为整数时，则a ＝ ，b ＝ ．（均用含m 、n 的式子表示）（2）若(2x m +=+，且x m n 、、均为正整数，分别求出x m n 、、的值．【拓展延伸】（3＝ ．4．阅读下面计算过程：111⨯；1⨯==请解决下列问题=______． (2)1100++ 5．小明在解决问题：已知a =，求2281a a -+的值．他是这样分析与解的：∵2a =∴2a -=∴()2223,443a a a -=-+=，∴241a a -=-，∴()()222812412111a a a a -+=-+=⨯-+=-． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)1121++ (2)若121a ， ①求2481a a -+的值；②直接写出代数式的值3231a a a ++-=___________． 6．【说读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当0a >，0b >时：∵20≥，∴0a b -≥．∴a b +≥a b =时取等号，即当a b =时，a b +有最小值为【学以致用】根据上面材料回答下列问题：(1)已知0x >，则当x = 时，式子1x x+取到最小值，最小值为 ； (2)已知0x ≥，求当x 值为多少时，分式229x x x-+取到最小值，最小值是多少？ (3)用篱笆围一个面积为2100m 的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？7．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当0a >时，∵22212aa+=-+=+，∴即1a =时，1a a+的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题：(1)当0a >时，4a a +的最小值为___________；当0a <时，4a a+的最大值为___________； (2)当0a >时，求2234a a a++的最小值； (3)如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，若AOD △的面积为3，BOC 的面积为6，求四边形ABCD 面积的最小值．8．阅读下列材料：材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如将分式2312x x x --+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：设x ＋2＝t ，则x ＝t ﹣2．∴原式22(2)3(2)17997t t t t t t t t-----+===-+ ∴2319522x x x x x --=-+++材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解，它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当a ＞0，b ＞0时，∵2222a b b a +=+=+∴a ＝b 时，+a b b a 有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题：(1)将分式231x x x +++拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ；(2)已知分式2410821x x x -+-的值为整数，求整数x 的值； (3)当﹣1＜x ＜1时，求代数式4221214522x x x -+--+的最大值及此时x 的值． 9．观察下列各式及其验证过程：=；===(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 (2)写出用n （n 为任意自然数，且2n ≥）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明． 10．阅读理解：观察下列等式：1；…(1)(2)若a b a ，b 大小．11．观察下列等式：112=+；116=+；1112=+．解决下列问题：（1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子；（2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明；（3⋅⋅⋅12．观察下列各式：=11112+-=112；11123+-=116；11134+-=1112；请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1；（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3．13．小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．5的过程．m，与原方程相乘得：×5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，1，与原方程相加得：+5＋1，6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．1．14．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（12．（2）实数a ，b﹣|b ﹣a |；已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，化简：++15． 阅读下列解题过程：===请回答下列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出= ； （2）请你用含n （n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的解法，请化简： ......16．观察下面的式子：S 1=1+221112+，S 2=1+221123+，S 3=1+221134+…S n =1+2211(1)n n ++（1= ，= ；猜想= （用n 的代数式表示）；（2）计算：n 的代数式表示）．17．阅读理解题.11==-=；2==-. 试求：（1= . （2= . （3= .（n 为正整数）参考答案1．(1)11201111n n =+-+ 2．(1)353．（1）2252m n mn +，；（2）=1=2=13m n x ，，或=2=1=7m n x ，，；（34．(2)95．(1)5(2)①5，②06．(1)12；(2)当9x x=时，最小值为4 (3)当这个长方形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米7．(1)4，4-(2)3+(3)9+8．(1)31x x ++ (2)0或1(3)最大值为-1，x 的值为9．(1)猜想：=(2)=n 为任意自然数，且2n ≥），证明见解析．10．(1)(2)a ＜b11．（11130=+；（211(1)n n =++，证明见解析；（3）221n n n ++12．（1）1120；（211(1)n n =++；（3）1190 13．x ＝714．（1）1；（2）﹣a ﹣2b ；（3）2a +2b +2c ．15．（1）10-（21=-（3）9．16．(1)313(1)1,,212(1)n nn n+++;(2)221n nn++17．（1（2）（3。
人教版八年级数学下《二次根式》期末专题复习附答案(优选精编)
八年级数学下册二次根式期末专题培优复习一、选择题： 1、在函数y ＝中，自变量x 的取值范围是( )A.x ＞2B.x ≠2C.x ＜2D.x ≤2 2、下列二次根式中，不能与合并的是( ) A.B.C.D.3、在根式① ② ③ ④中，最简二次根式是( )A.① ②B.③ ④C.① ③D.① ④ 4、下列运算中，错误的有（ ）. （1）A.1个B.2个C.3个D.4个 5、若有意义，则满足条件的a 的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 6、在数轴上实数a ，b 的位置如图所示，化简|a+b|+的结果是（ ）A.﹣2a ﹣bB.﹣2a+bC.﹣2bD.﹣2a 7、下列计算正确的是( ). A. B.C. D.8、计算的结果是（ ）A.1B.-1C.2x-5D.5-2x 9、已知a=25+，b=25-，则722++b a 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10、按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为，则最后输出的结果是（ ）A.14B.16C.8+5D.14+11、△ABC 的三边长分别是1、k 、3，则化简的结果为（ ）A.﹣5B.19﹣4kC.13D.1 12、设a 为﹣的小数部分，b 为﹣的小数部分.则﹣的值为（ ） A.+-1 B.﹣+1 C.﹣﹣1 D.++1二、填空题： 13、计算 .14、函数y=的自变量x 的取值范围是 .15、如果，那么= .16、当时，代数式的值为______. 17、已知﹣1＜a ＜0，化简得 .18、已知直角三角形的两边长为x ，y ，且满足065422=+-+-y y x ，则第三边长为三、计算题： 19、 20、；四、解答题： 21、如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值。
22、若的整数部分是，小数部分是，求的值.23、已知，求的值.24、阅读下面问题：；.试求：（1）的值；（2）（为正整数）的值.（3）的值.25、先阅读下面的解题过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数，使，，即，，那么便有：.例如：化简：.解：首先把化为，这里，，由于，，即，，所以.根据上述方法化简：.参考答案1、D2、C3、C4、A5、A6、D7、D.8、D9、C10、C11、D12、B13、答案为：14、答案为：x＞1.15、答案为：-1；16、答案为：17、答案为：﹣.18、答案为：2，或.19、0，20、原式=21、解：由题意得：解得：故22、（1）；（2）10；23、.24、（1）-；（2）-；(3)-9；25、解：根据题意，可知，由于，所以.。
二次根式 (原卷版)-2020-2021学年八年级数学下册章节与期末重难点突破训练汇编(人教版)
2020-2021学年八年级数学下册章节与期末重难点突破训练汇编（人教版）16.1 二次根式【典型例题】1．（2021·全国八年级）①＝（）＝（）＝（）．②探索规律，对于任意的有理数a＝（）．③有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简【专题训练】一、选择题1．（2021·河北唐山市·的值为（）A．2B．4C．2±D．2．（2021·陕西宝鸡市·1≥x ））A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．（2020·浙江杭州市·八年级期中）已知||5a =7=b a =-，则a b +=（ ） A ．2 B ．12 C ．2或12 D ．2-或12-4．（2021·湖南邵阳市·八年级期末）若表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，则化简a b -+等于（ ）A ．2b -B ．2bC ．2a -D ．2a二、填空题5．（2021·广东佛山市·八年级期末）计算：2(=_______．6．（2021·山东日照市·有意义，则x 的取值范围是______________．7．（2021·北京顺义区·1a =-，则实数a 的取值范围是__________．8．（2021·四川成都市·石室中学八年级期末）已知2y =，则y x =__________． 三、解答题9．（2021·全国九年级）已知8y x =，求456x y +－的算术平方根．10．（2021·全国八年级）如果实数x 、y 满足2y =，求3x y +的平方根11．（2021·全国八年级）a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简a b -12．（2021·全国八年级）若实数a 、b 、c b c a c ++-．13．（2021·湖南怀化市·+=b+8．（1）求a、b的值；（2）求a2-b2的平方根．14．（2021·江苏南通市·八年级期末）（1）判断下列各式是否成立？并选择其中一个说明理由；===（2）用字母表示（1）中式子的规律，并给出证明．15．（2021·全国八年级）探究题：＝_，＝，＝，＝，＝，＝，根据计算结果，回答：（1a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算：①若x＜2＝；＝；（3）若a，b，c。
人教版八年级初二数学下学期二次根式单元 易错题难题质量专项训练
一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A =B ．12=C 3=D ．14= 2．下列二次根式是最简二次根式的是( )A B C D3．(2的结果正确的是( )A B ．3 C ．6 D ．34．有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x≠2 B ．x >-2 C ．x <-2 D ．x≠-25．下列说法中正确的是（ ）A ±5B ．两个无理数的和仍是无理数C ．-3没有立方根.D .6．若a b > ）A ．-B ．-C ．D ．7．已知m ＝1n ＝1 （ ） A ．±3 B ．3 C ．5 D ．98．下列计算正确的是（ ）A =B ．2-=C ．22=D 3=9．下列计算正确的是（ ）A ．=B C 3=D 3=- 10．下列运算错误的是（ ）A B2 C ．D 1=二、填空题11．设42-的整数部分为 a,小数部分为 b.则1a b -= __________________________. 12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()22b a b +-﹣|a +b |的结果是_____．13．14(1)(1)(2)(8)(9)x x x x x x +⋅⋅⋅=+++++的解是______． 14．若实数x ，y ，m 满足等式()23532322x y m x y m x y x y +--+-=+---m+4的算术平方根为 ________． 15．已知整数x ，y 满足20172019y x x =+--，则y =__________． 16．化简：321x17．11122323-=11113-23438⎛⎫= ⎪⎝⎭11114-345415⎛⎫= ⎪⎝⎭据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________．18．已知4a 2(3)|2|a a +--=_____．191262_____． 20．2121=-+3232=+4343=+20202324320202019+++++……=___________． 三、解答题21．先阅读下列解答过程，然后再解答： 2m n +,a b ，使a b m +=，ab n =，使得22)a b m +=a b n =22())m n a b a b a b ±=±=>743+743+7212+7,12m n ==，由于437,4312+=⨯=，即：22(4)(3)7+=，4312=2===+。
八年级下册二次根式章末重难点突破训练卷(人教版)(原卷+解析版)
第16章 二次根式章末重难点突破训练卷第Ⅰ卷（选择题）评卷人得 分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2020春•大悟县期中）下列式子是二次根式的是（ ） A ．√−7B ．√83C ．√aD ．√x 2+12．（3分）（2019秋•闵行区校级月考）下列说法中，正确的是（ ） A ．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式B ．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式C ．同类二次根式一定都是最简二次根式D ．两个最简二次根式不一定是同类二次根式 3．（3分）（2019春•萧山区期中）代数式√x+4x−2中，x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣4B ．x ＞2C ．x ≥﹣4且x ≠2D ．x ＞﹣4且x ≠24．（3分）（2019秋•虹口区校级月考）下列各式中，互为有理化因式的是（ ）A ．√a +b ，√a −bB ．√5−√2，√5−√2C ．√x −1，√x −1D ．−√a +√b ，√a −√b 5．（3分）（2020春•郯城县期中）已知n 是一个正整数，√45n 是整数，则n 的最小值是（ ） A ．3B ．5C ．15D ．456．（3分）（2020春•石城县期中）实数a 在数轴上的位置如图所示，则√(a −3)2+√(a −10)2化简后为（ ）A ．7B ．﹣7C ．2a ﹣15D ．无法确定7．（3分）（2020春•芝罘区期中）若x +1x =7，则√x +1√x的值是（ ） A ．3B ．±3C ．√5D ．±√58．（3分）（2020春•奉化区期中）我们把形如a √x +b （a ，b 为有理数，√x 为最简二次根式）的数叫做√x 型无理数，如2√5+3是√5型无理数，则(√2+√6)2是（ ） A ．√2型无理数B ．√3型无理数C ．√6型无理数D ．√12型无理数9．（3分）（2020春•铁东区期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm 2和24cm 2的两个小正方形，则余下的面积为（ ） A ．16√6cm 2B ．40 cm 2C ．8√6cm 2D ．（2√6+4）cm 2果是（）A．3k﹣11B．k+1C．1D．11﹣3k第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2020春•民权县期末）在根式√3，√4x，√35，√0.25，√20，最简二次根式的个数有个．12．（3分）（2020春•玄武区期中）如果最简二次根式√3a−4与√16−a可以合并，那么使√5a−2x有意义的x的取值范围是．13．（3分）（2020春•郯城县期中）若式子√(x−2)2=2﹣x成立，则x的取值范围为．14．（3分）（2019秋•二七区校级期中）若y=√x2−4+√4−x2+3，则y x＝．15．（3分）（2020春•桦南县期中）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则√yx+√x y=．16．（3分）（2019春•海阳市期中）若m满足等式√m−2020+|2019﹣m|＝m，则m﹣20192的值为．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2020春•安丘市期中）计算题：（1）2√12÷12√50×12√34−35√2；（2）先化简，再求值．（6x√yx+3y√xy3）﹣（4x√x y+√36xy），其中x=32，y＝27．18．（8分）（2020春•齐齐哈尔期末）计算（1）√18−√92√3+√6√3+（√3−2）0+√(1−√2)2；（2）（2√3+√6）（2√3−√6）．评卷人得分19．（8分）（2018秋•金牛区校级月考）已知√x−3y+|x 2−9|(x+3)2=0，求√x+√y √x−√y −√x−√y√x+√y的值；20．（8分）（2019春•确山县期中）已知a ，b ，c 满足等式|a −√7|+（c ﹣4√2）2=√b −5+√5−b （1）求a ，b ，c 的值．（2）判断以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由．21．（10分）（2020春•安丘市期中）阅读材料：把根式√x ±2√y 进行化简，若能找到两个数m 、n ，是m 2+n 2＝x 且mn =√y ，则把x ±2√y 变成m 2+n 2±2mn ＝（m ±n ）2开方，从而使得√x ±2√y 化简． 例如：化简√3+2√2解：∵3+2√2=1+2+2√2=12+（√2）2+2×1×√2=（1+√2）2 ∴√3+2√2=√(1+√2)2=1+√2； 请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）√5+2√6； （2）√7−4√3．22．（10分）（2020春•遵义期末）材料阅读： 在二次根式的运算中，经常会出现诸如√2，√3−√2的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：√2=√2(√2)2=√22；√3−√2=√3+√2)(√3−√2)×(√3+√2)=√3+2√2(√3)2−(√2)2=2√3+2√23−2=2√3+2√2．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：√2=√21=√2)22=2；√3−1√3=√3−1)×(√3+1)√3×(√3+1)=√3)22(√3)2+√3=3+√3=3+√3．根据上述知识，请你完成下列问题： （1）运用分母有理化，化简：√5−2−√5；（2）运用分子有理化，比较√7−√6与√6−√5的大小，并说明理由； （3）计算：1+√2+√2+√3+√3+√4+√4+√5+⋯+√99+√100的值．第16章 二次根式章末重难点突破训练卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2020春•大悟县期中）下列式子是二次根式的是（ ） A ．√−7B ．√83C ．√aD ．√x 2+1【答案】D 解：A 、√−7无意义，故本选项不符合题意；B 、√83的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意； C 、当a ＜0时，根式无意义，故本选项不符合题意；D 、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意； 2．（3分）（2019秋•闵行区校级月考）下列说法中，正确的是（ ） A ．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式B ．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式C ．同类二次根式一定都是最简二次根式D ．两个最简二次根式不一定是同类二次根式【答案】解：A 、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，故本选项不符合题意； B 、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故本选项不符合题意； C 、同类二次根式不一定都是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 、两个最简二次根式不一定是同类二次根式，故本选项符合题意；故选：D ． 3．（3分）（2019春•萧山区期中）代数式√x+4x−2中，x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣4B ．x ＞2C ．x ≥﹣4且x ≠2D ．x ＞﹣4且x ≠2【答案】解：由题意得：x +4≥0，且x ﹣2≠0，解得：x ≥﹣4且x ≠2，故选：C ． 4．（3分）（2019秋•虹口区校级月考）下列各式中，互为有理化因式的是（ ）A ．√a +b ，√a −bB ．√5−√2，√5−√2C ．√x −1，√x −1D ．−√a +√b ，√a −√b 【答案】解：√x −1与√x −1互为有理化因式，故选：C ．5．（3分）（2020春•郯城县期中）已知n 是一个正整数，√45n 是整数，则n 的最小值是（ ） A ．3B ．5C ．15D ．45【答案】解：由于45n ＝32×5n ，∴√45n =3√5n ，由于√45n 是整数，∴n 的最小值为5，故选：B ．6．（3分）（2020春•石城县期中）实数a 在数轴上的位置如图所示，则√(a −3)2+√(a −10)2化简后为（ ）A ．7B ．﹣7C ．2a ﹣15D ．无法确定【答案】解：由数轴上点的位置，得4＜a ＜8．√(a −3)2+√(a −10)2=a ﹣3+10﹣a ＝7，故选：A ． 7．（3分）（2020春•芝罘区期中）若x +1x =7，则√x √x 的值是（ ）【答案】解：∵x +1x =7，∴（√x +1√x ）2＝x +2+1x =7+2＝9，∵√x +1√x ＞0，∴√x +1√x =3，故选：A ．8．（3分）（2020春•奉化区期中）我们把形如a √x +b （a ，b 为有理数，√x 为最简二次根式）的数叫做√x 型无理数，如2√5+3是√5型无理数，则(√2+√6)2是（ ） A ．√2型无理数B ．√3型无理数C ．√6型无理数D ．√12型无理数【答案】解：(√2+√6)2=2+2√12+6＝4√3+8，所以(√2+√6)2是√3型无理数．故选：B ．9．（3分）（2020春•铁东区期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm 2和24cm 2的两个小正方形，则余下的面积为（ ） A ．16√6cm 2B ．40 cm 2C ．8√6cm 2D ．（2√6+4）cm 2【答案】解：从一个大正方形中裁去面积为16cm 2和24cm 2的两个小正方形， 大正方形的边长是√16+√24=4+2√6，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2√6）2﹣16﹣24＝16+16√6+24﹣16﹣24＝16√6（cm 2）．故选：A ． 10．（3分）（2020春•新泰市期中）如果一个三角形的三边长分别为1、k 、4．则化简|2k ﹣5|−√k 2−12k +36的结果是（ ） A ．3k ﹣11B ．k +1C ．1D ．11﹣3k【答案】解：∵三角形的三边长分别为1、k 、4，∴{1+4＞k 4−1＜k，解得，3＜k ＜5，所以，2k ﹣5＞0，k ﹣6＜0，∴|2k ﹣5|−√k 2−12k +36=2k ﹣5−√(k −6)2=2k ﹣5﹣[﹣（k ﹣6）]＝3k ﹣11．故选：A ． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2020春•民权县期末）在根式√3，√4x ，√35，√0.25，√20，最简二次根式的个数有 1 个． 【答案】解：最简二次根式有√3这1个，故答案为：1．12．（3分）（2020春•玄武区期中）如果最简二次根式√3a −4与√16−a 可以合并，那么使√5a −2x 有意义的x 的取值范围是 x ≤252． 【答案】解：∵最简二次根式√3a −4与√16−a 可以合并，∴3a ﹣4＝16﹣a ，解得：a ＝5，∴√5a −2x =√25−2x ， 要使√25−2x 有意义，必须25﹣2x ≥0，解得：x ≤252，故答案为：x ≤252．13．（3分）（2020春•郯城县期中）若式子√(x −2)2=2﹣x 成立，则x 的取值范围为 x ≤2 ． 【答案】解：由题意得：x ﹣2≤0，解得：x ≤2，故答案为：x ≤2．14．（3分）（2019秋•二七区校级期中）若y =√x 2−4+√4−x 2+3，则y x ＝ 9或19 ．【答案】解：∵y =√x 2−4+√4−x 2+3，∴x ＝±2，∴y ＝3，∴y x ＝32＝9或y x ＝3﹣2=19．故答案为：9或19．15．（3分）（2020春•桦南县期中）已知x +y ＝﹣5，xy ＝4，则√y x +√xy =5 ．【答案】解：∵x +y ＝﹣5，xy ＝4，∴x ＜0，y ＜0，√y x +√x y=−（√xy x +√xy y）=−√xy(x+y)xy ，∵x +y ＝﹣5，xy ＝4，∴原式=−√xy(x+y)xy=−√4×(−5)4=52．故答案为：52．16．（3分）（2019春•海阳市期中）若m 满足等式√m −2020+|2019﹣m |＝m ，则m ﹣20192的值为 2020 ． 【答案】解：∵m ﹣2020≥0，∴m ≥2020，∴√m −2020+|2019﹣m |＝m ，√m −2020+m ﹣2019＝m ， √m −2020=2019，∴m ﹣2020＝20192，m ﹣20192＝2020，故答案为：2020． 三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2020春•安丘市期中）计算题：（1）2√12÷12√50×12√34−35√2； （2）先化简，再求值．（6x √yx +3y √xy 3）﹣（4x √xy +√36xy ），其中x =32，y ＝27．【答案】解：（1）原式＝2×2×12√12÷50×34−35√2＝2×310√2−35√2=35√2−35√2 ＝0；（2）原式＝6x √y x +3y √xy 3−4x √x y −√36xy ＝6√xy +3√xy −4x y √xy −6√xy ＝（3−4xy ）√xy =3y−4xy √xy ， 当x =32，y ＝27时，原式=81−627√812=252√2． 18．（8分）（2020春•齐齐哈尔期末）计算（1）√18−√92−√3+√63+（√3−2）0+√(1−√2)2；（2）（2√3+√6）（2√3−√6）．【答案】解：（1）原式=3√2−32√2−1−√2+1+√2−1=32√2−1；（2）原式＝（2√3）2﹣（√6）2＝6． 19．（8分）（2018秋•金牛区校级月考）已知√x−3y+|x 2−9|(x+3)2=0，求√x+√y √x−√y −√x−√y√x+√y的值；【答案】解：∵√x−3y+|x 2−9|(x+3)2=0，∴x ﹣3y ＝0，x 2﹣9＝0，且x +3≠0，解得：x ＝3，y ＝1，故√x+√y √x−√y −√x−√y√x+√y=√3+1√3−1−√3−1√3+1=(√3+1)22−(√3−1)22 ＝2+√3−（2−√3）＝2√3．20．（8分）（2019春•确山县期中）已知a ，b ，c 满足等式|a −√7|+（c ﹣4√2）2=√b −5+√5−b （1）求a ，b ，c 的值．（2）判断以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由．【答案】解：（1）∵|a −√7|+（c ﹣4√2）2=√b −5+√5−b ∴b ﹣5≥0，5﹣b ≥0∴b ＝5 ∴|a −√7|+（c ﹣4√2）2＝0∴a −√7=0，c ﹣4√2=0∴a =√7，b ＝5，c ＝4√2．（2）∵a =√7，b ＝5，c ＝4√2．∴a +b =√7+5＞4√2．∴以a ，b ，c 为边能构成三角形；∵a 2+b 2＝7+25＝32，c 2=(4√2)2=32∴a 2+b 2＝c 2∴此三角形是直角三角形．此三角形的面积为：12×√7×5=5√72．22且mn =√y ，则把x ±2√y 变成m 2+n 2±2mn ＝（m ±n ）2开方，从而使得√x ±2√y 化简． 例如：化简√3+2√2解：∵3+2√2=1+2+2√2=12+（√2）2+2×1×√2=（1+√2）2∴√3+2√2=√(1+√2)2=1+√2； 请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）√5+2√6； （2）√7−4√3．【答案】解：（1）∵5+2√6=3+2+2√6＝（√3）2+（√2）2+2×√3×√2＝（√3+√2）2， ∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2；（2）∵7﹣4√3=4+3﹣4√3=22+（√3）2﹣2×2×√3＝（2−√3）2，∴√7−4√3=√(2−√3)2=2−√3． 22．（10分）（2020春•遵义期末）材料阅读： 在二次根式的运算中，经常会出现诸如√2，√3−√2的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：√2=√2(√2)2=√22；√3−√2=√3+√2)(√3−√2)×(√3+√2)=√3+2√2(√3)2−(√2)2=2√3+2√23−2=2√3+2√2．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：√2=√21=√2)22=2；√3−1√3=√3−1)×(√3+1)√3×(√3+1)=√3)22(√3)2+√3=3+√3=3+√3．根据上述知识，请你完成下列问题：（1）运用分母有理化，化简：√5−2−√5；（2）运用分子有理化，比较√7−√6与√6−√5的大小，并说明理由； （3）计算：1+√2+√2+√3+√3+√4+√4+√5+⋯+√99+√100的值．【答案】解：（1）原式=√5+2(5−2)(5+2)√55×5=√5+2−√5 ＝2；（2）√7−√6＜√6−√5． 理由如下：∵√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5，而√7+√6＞√6+√5，∵√7−√6√6−√5，∴√7−√6＜√6−√5；（3）原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√100−√99=√100−1＝10﹣1＝9．。
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人教版八年级第二学期数学 专题1 二次根式章末重难点题型【考点1 二次根式相关概念】【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y ≤0），和（a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④ 【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①； ②； ③； ④中，与是同类二次根式的是（ ） A ．①和②B ．①和③C ．②和④D ．③和④【变式1-3】（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n 的值是（ ） A ．﹣1B ．4或﹣1C ．1或﹣4D ．4【考点2 二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零． 【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ＞1C ．x ＜0D ．x ≤0【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x 的取值范围是（ ）A ．x ≥﹣2且x ≠2B ．x ＞﹣2且x ≠2C ．x ＞2D ．x ＞2或x ≤﹣2【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x 有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x 的取值范围（ ） A ．x ≥3B ．x ≤3C ．x ＞3D ．x ＜3【考点3 利用二次根式性质化简符号】【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键． 【例3】（2019春•海阳市期中）把a 根号外的因式移入根号内，运算结果是（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab ＜0，则化简后为（ ） A ．aB ．﹣aC ．aD ．﹣a【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a ﹣1）变形正确的是（ ） A ．﹣1B ．C ．﹣D ．﹣【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（ ）A ．（x ﹣1 ）B ．（1﹣x ）C ．﹣（x +1 ）D ．（x ﹣1 ）【考点4 利用二次根式的性质化简】 【方法点拨】二次根式的性质：（1））（）（02≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==）（）（）（00002a a a a a a a【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）A ．a ﹣b +3B ．a +b ﹣1C ．﹣a ﹣b +1D ．﹣a +b +1 【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a ＜3，则＝（ ） A ．5﹣2aB ．1﹣2aC ．2a ﹣1D ．2a ﹣5【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a 、b 、C 在数轴上的位置所示，那么化简|c +a |+﹣的正确结果是（ ）A ．2b ﹣cB ．2b +cC ．2a +cD ．﹣2a ﹣c【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x ＜1，则﹣等于（ ）A ．B ．﹣C ．﹣2xD ．2x【考点5 二次根式的乘除运算】 【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则 （1）），（00≥≥=⋅b a ab b a（2）），（00>≥=b a b aba 【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算： （1）÷ （2）÷3×【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a ＞0）【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【考点6 利用二次根式性质求代数式的值】 【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：（1）a 2b +ab 2； （2）a 2﹣30b +b 2； （3）（a ﹣2）（b ﹣2）．【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【考点7 二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．【例7】（2019春•武昌区期中）计算：（1）（2）【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）（2）【考点8 二次根式的混合运算】【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：（1）（2）3【变式8-1】（2019春•广东期中）计算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：（1）（2）【考点9 分母有理化的应用】【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化简解：+1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．【考点10 二次根式的应用】【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【变式10-2】已知一个三角形的三边长分别为12，，．（1）求此三角形的周长P（结果化成最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的a的值，使P为整数，并求出此时P的值．【变式10-3】斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数a n可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间a n﹣1，a n，a n+1存在以下关系：a n+1﹣a n＝a n﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．。