开发教学资源挖掘教学价值--对一道课本例题教学的思考
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具体过程为 ：
公式得 ｒ＝（ ２ ３—１ １ ）＝５ ）＋（ —０ 。 ， 故所求圆的方程是 （ 一３ Ｙ ）＝５ ）＋（ 一１ ． 既然发现了 ＡＢＬＡ Ｃ，说明线段 Ｂ Ｃ为 △ Ｃ外接圆的方程 Ｂ 的直径．我们 就可 以用轨迹法迅速写出ＡＡ Ｃ外接 圆的方程． Ｂ 解法 ５ ：设点 尸 ） ＡＡ Ｃ外接圆上的任意一点 ，则葡 （ ，ｙ是 Ｂ ・
一
、
已知顶点的坐标为 Ａ（ ，３ ， （ ，２ ， （ ，０ ，求 △Ａ Ｃ外 ４ ）ｅ ５ ） Ｃ １ ） Ｂ
接 圆的 方 程 ．
笔者 听的一节课 中 ，有几个学生运 用待定系数法 ，采用 圆 的标准方程来解决 问题 ，但运算不下去了． 其解题过程 如下 ．
解法 ３ ：设 ＡＡ Ｃ外 接 圆 的方 程 为 （ Ｂ —ｎ ： ｖ ）＝ｒ， ）＋（ —ｂ ： ２
初等数学 （ 曲线） 圆锥 、数 学竞赛研 究．
８ ４
—
—
釜
ｙ
深对 圆的一般方程 的理解．进而感悟一般方程解决这类 问题 的优 成分 ．所 以我们 解决解 析几何 的步骤往 往是 ，根 据题 目中的条
越性 ，学习 圆的标准方程 的必要性．为进一步学会合理选择 圆的 件 ，画出相应 的图形 ，将几何 条件要代数 语言来表征 ，然后用 方程 ，减少运算量 ，优化解题过程做好铺垫 ． 另外 ，整体换元是 解析几何的工具来处理几何问题 ． 处理解析几何 中多变元问题的有效方法 ． 画 出本题 的图形 ，你 发现了什 么？ 其理 由二 ：解 析几何是 用代数 的方法来解 决几何 问题 ，计 可 以证 明吗 ？ 算是不 可避免 的 ，一些稍 复杂 的计算 的出现是 必然 的 ，这是我
挖掘文本背后 隐藏 的玄机 ，开发 新的教 学资源． 关键词 ：教 学资源；教学价值 ；教 学思考
解法 ２ 已知 到未知 ，是综合法 ，几何味道浓厚． 从 江苏教育 出版社 出版的数学课本 必修 ２ 》第 ９ —９ ８ ９页有
这 样 一 道 例题 ：
引起笔者思考 的是 ，本题果真只有这另一种解法吗？ 关 注 学 生 困惑 ，捕 捉 教 学 资 源
的 联 系 ，促 进 学 生 思 维 的 发展 ，优 化认 知 结 构 ；深入 研 读课 本 ，
所以 线段Ａ 的垂直平 Ｃ 分线的方 程为ｙ ÷ ＝ １ （一 １ 一 一・ ÷ ，
二 、 二
Ｂ ＋Ｙ一４＝０，（
由①②解得 圆心坐标为（ ，１ ， ３ ）
由两点间的距离公式得 ｒ＝（ —１ １ ）＝５ ２ ３ ）＋（ —０ ， 故所求圆的方程是（ 一３２ Ｙ一１一 ５ ＋（ ） ．
（ 一５ （ ） 一１ ＋（ ） Ｙ一２ （ ０ ＝０ ）ｙ一 ） ，
＝（ 一 １ ，０一 ） Ｙ ，所以
展开得 ＡＡＢ Ｃ外接圆的方 程 ＋ 一 一２ ｙ＋５ ． ＝０ 解法 ４ 、解法 ５考虑到 问题 的特殊性 ，发现 ＡＢ上Ａ Ｃ，具体
引导学生反思 ：由⑥—⑦得 。 ｂ ２ ０ ⑨ 一 一 ＝ ， 《—⑧得 ｎ 一 ＝ ， — ＋ｂ ４ ０ ⑩ 它们的几何含义是什么？ 将⑨⑩两式与①②两式做 比较 ， 发现 了什 么？ 你 ⑨⑩两式与①②结构相同． 由③④得到 、 ＝ ／
２ １ 年 第 １２ ０ ２ —期
＼
Ｊｕｎ ｌｏ ｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓＥ ｕ ａ ｏ ｏ ｒａ ｆＣ ｉｅｅ Ｍａｈｍａｉ ｄ ｃｔ ｎ ｃ ｉ
Ｎ — ２ｔ Ｏ１２ ０２
张乃 贵 （ 苏省兴化 市周庄 高级 中学） 江
摘 要 ：从课 本 中的一 个不显眼的例题 出发 ，谈教 学 中要 关 注 学生中出现 的典型有教 学价 值的疑难 问题 ，适 时捕捉 、开发 教 学资 源；引导学生反 思，揭 示知识 、方法之 间的 内在 的本质
听课 中 ，笔者思考 的是 ，学生 出现 的这 个问题 ，对教学有 价值 吗？或者 狭隘一点讲 ，对本节课 的教学有价值 吗？或许有 老师会认 为本 节课的重点 是圆的一般方 程 ，学生 的这 个问题无
故所求 圆的方程是 ＋ ｘ一２ ＋５＝０ Ｙ 一６ ｙ ． 解法 １ 将未知与 已知融为一体 ，解析几何味道浓厚 ． 接着课本 给出思考题 ：本题有其他解法吗？
＿
０ ＼ ｃ
／
解法４ 为直线Ａ ， Ｃ 斜率 ：因 ＢＡ 的 分别为ｋ 孚 ＝ １ ＝‘ 二 一 ， ｌ— Ｄ
ｋｃ ＾＝
‘ 一 ． Ｉ
观察 、比较⑥⑦⑧三式 ，有什么共 同点 ？
＝１ ，所 以 ｋＢ・ ＝一 ， 所 以 Ａ ４ｃ，所 以 圆 心 ｋｃ １ Ｂ上
由③⑤得到 、 二＝ ／
问题具体分析 ，获得简捷的解法 ，是思维灵活性 的具体体现． 至此 ，我们解读了教材 编写者 的良苦用心 和独到的匠心．编
写者设计 一个特殊 的问题 ，让 学生的思维 的触 角可 以从多个 方
面介入 ，让不同思维层 次的学生都有所作为．
四 、一 点 感 ・ 晤
因为点 Ａ，日，Ｃ在所求 的圆上 ，故有
ｆＤ ＋３ ４ Ｅ＋Ｆ＋２ ５＝０ ，
｝ ＋Ｆ＋ １＝０． Ｄ
课堂 中老 师没有关心学生 出现 的这 个问题 ，就匆 忙讲 Байду номын сангаас充
例 题 了．
『 ＝一 ， Ｄ ６
【 Ｆ＝５ ．
贝 ｛Ｄ ＋２ ０５ Ｅ＋Ｆ＋２ ９＝０ 争Ｅ＝一 ， ，＝ ｛ ２
由圆的标 准方程（ 一０ Ｙ—ｂ 。 ２ ）＋（ ）＝ｒ展开得 ＋ 一２ｘ一 ａ
２ ｙ＋ ＋ｂ 一ｒ ＝０． ｂ ２
的 程 一 一． 一 ）即 Ｙ ２ ０ ① 方 为Ｙ 】 （ ， — 一 ＝， ５＝
ｆ 一ａ Ｄ＝ ２ ，
线 ４ 的 点 标 （ ， １即｝ 孚１直 段 ｃ 中 坐 为 三 ， （ ， ，
当然 我们 还 可 以将 （ ４一ｎ ３一ｂ ２③ ；（ ） ＋（ ）＝ｒ ５一ｏ 学生所 思 ，以人 为本 ，充分尊 重学生 的思考 ，教学力求触及 学 ）＋ 为了及时判 断课堂教学中生成的 （ 一ｂ ｚ ２④ ；（ —０ ： ０一ｂ ｚ ２⑤ 分别看作三个等 圆的 生心灵 的深处 ，实现有效教 学． ２ ）＝ｒ １ ）＋（ ）＝ｒ 问题 的价值性 ，教 师要不 断学 习 ，更新教 学观念 ，提高教学 能 方程 ，③—④ 、③—⑤ 分别得 到两圆公共 弦 （ 或公切 线） 所在
要 的任 务 ．
观 察 右 图 ，猜 想 Ａ Ｂ上ＡＣ ，进而 们无法 回避 的矛盾．所以培养学生的运算 能力是解析几何一个重 尝试证 明． 可 以计算 Ａ Ｂ，ＡＣ的斜 率 ，证 明 分析学 生产生 困惑 的原 因 ，初 中不涉及三元 一次方程 组 的 ｋ ・ ＝一 ；也 可 以用 向量 法 ，利 用 ｋ。 １ 解法 ，更不涉及三元二次方程组的解法 ． 勾股定理的逆定理等等． 了解 学生 的知 识结 构 ，能力状 况 ，面对束 手无 策 的学生 ， 老师做学生学习 的帮助者．
故有 ｛ 一 ）＋ ２ ｂ ｒ ④ （ Ⅱ （一 ） ２ ５ ＝ ， 【１ Ⅱ ＋ ０ ｂ ｒ ⑤ （一 ） （一 ） ２ ＝ ， ｆ 一８ ＋ｂ 一６ ０ ｂ＋２ ＝ｒ， ⑥ ５ ２
即 ｛２ Ｏ ＋ｂ 一 ｂ＋２ ． ７ Ｃ一ｌａ ４ ｔ ９＝／ ） ２ ，（
１２ ａ ０ ＝ｒ —２ ＋ｂ ＋１ ２ Ｃ ｔ ． （ ８ ）
线Ａ 的 率 ｝ ＝ ， Ｃ 斜 为ｋ ： １
收稿 Ｅ期 ：２ １ － ６ ２ ｔ ０ １０ — ８
采用整体代换｛ 一ｂ Ｅ： ２ ，
便得到圆的一般方程．
Ｉ：２ｂ ｒ Ｆａ ２ ＋ 一
有 了上 面的引导 ，学 生 自己会用整 体换元解决 问题 ，并 加
作者简介 ：张乃贵 （９６ ） １６一 ，男，江苏兴化人 ， 中学高级教 师，江苏省 中学数 学特级教 师 ，主要从事 中学数 学教育 （ 堂教 学与学 习心理） 课 、
此题是学生学 习了圆的一般方程后 ，课本给 出的例题． 生 学 学 习圆的方程的顺序是 ，先学 圆的标 准方程 ，再学 圆的一般 方 程． 这道 例题 初看似平淡无奇 ，没有 多大的教学价值 ． 不知 ， 殊 就是在这些看似平淡 的地方 ，如果我们老 师关 注学生学 习中出 现的问题 ，引导学生研读课本 ，与文本对话 ，深入挖掘 、探索 、
多大 的价值．笔者持不 同的观 点 ，学生 的这个 问题有极 高 的价
值 ，就是对这节课 的学习也有极 高的价值．
笔者听 了 ６节同题异构课 （ 圆的一般方程） ，这 ６节课无一
其理 由一 ：学生 出现上 面的 困惑 ，说明对 圆一般 方程产生
例外 的都 只得到了另一种解 法 ：根据 三角形外接 圆的作法 ，用 的过程没有理解 ，更没有理解学习圆一般方程的必要性．帮助解 三角形 两边的垂直平分线 的交点 ，求 出圆心坐标 ，求出圆 的半 决学 生这个 问题 ，会加深 学生对 圆的一 般方程 的理解 ，这样 的 径 ，依据圆的标 准方程 ，写出圆的方程 ． 其具体过程为 ： 教学还是 围绕圆的一般方程这个中心 的． 笔者 当时的想法 ：引导学生再 次学 习圆 的标 准方程与 圆的
⑥⑦⑧存在相 同的二次项．
解二元一次方程组有哪些方法？
为 段Ｂ 的 点ｆ 线 Ｃ 中
、
二
， 寺 １ ｌ ，）由 间 距 ，Ｊ １ 两点 的 离 ￣３ ． （
二 ，
代入消元法 、加减消元法．
通 过这样 的对 话后 ，学 生会用 加减 消元 法 ，消去二 次项 ， 将 ３ 问题变为 ２ 问题 ，将高次问题变为低次 问题 ，走 出困惑． 元 元
一
￣ ２线 Ａ的 点 标 （ ， 一 即孚 ｝ ， ｉ ： 段 中 坐 为 ） （， ） ｄ ｛ ，
直 Ｂ的 线Ａ 斜率为ｋ 孚＝ ＝ １ 所以 ＝斗 一 一， 线段Ａ 的 Ｂ 垂直平分线 ）
般方程之间的关 系．
圆 的一 般 方 程 ＋ ＋ ＋ ＋Ｆ：０ 怎 样 产 生 的 ？ 是
因为点 Ａ，Ｂ ，Ｃ在所求 的圆上，
『４— ） ＋（ （ ０ ３一ｂ ２ （ ）＝ｒ ， ３ ）
发现 ，能够开发 出新的有较高价值 的教学资源．
课本选择 圆的一般方 程 ，采用待定系数法 ，其解题过程为 ：
解法 １ ：设 ＡＡ Ｃ外 接 圆 的 方程 为 ＋ 。 ＋ ＋Ｆ＝０ Ｂ Ｙ＋ ，
由⑥一⑦得 。 一ｂ一２＝０ ，⑨ ⑥—⑧得 １ 一４＝０ ３ ， ＋ｂ ，⑩
ｆ 一
由 ⑨⑩解得ｔ 一 ’ ＝ ： 代入⑧得ｒ ５ ２ ． ＝ ｂ １．
故所求 圆的方程是（ 一３ Ｙ一１。 ． ）＋（ ）＝５
二 、反 思 思 维 成 果 ，生 成 教 学 资 源
－ Ｐ ｄ＝０ － ，其ｅｅ ＝（ 一 ｅ￣ － ５ ，２ Ｙ ， 一 ）
可
可
＝／ 、 ＝ ＋ ＝ ｌ
＝、 （ Ｔ ／１
＝， ｒ
由于数学 教学 归根结 底是数 学思 维 的教 学 ，所 以教学 中 ，
＿ ） ＿ ２＝ｒ 一 ，
我们不 但要关注 知识 的发生 、发展 、知识形成 过程 中所蕴含 的
联想 到线段 的两个端 点距离相 等的点 的轨迹是线段 的垂直 数 学思想 方法 ，更要关 注以知识 为载 体培养 学生 的思维 能力 ， 全 面提高学生的素质．千方百计地设计好的数学 问题 ，调动学生 平分线 ， 发现这里隐藏着一个轨迹问题 ． ⑨⑩两式实质就是线段 ＡＢ、ＡＣ的 垂直 平 分 线 的方 程 ，解 析 几何 中的数 形 结 合 的思 的学 习主动性 ，引发学生的积极 的思维．关注学生学习 中产生的 有价值 的问题 、困惑 ，开发教学资源．努力做到想学生所想 ，思 想—— 由数想形 ，由形想数昭然若 揭．
公式得 ｒ＝（ ２ ３—１ １ ）＝５ ）＋（ —０ 。 ， 故所求圆的方程是 （ 一３ Ｙ ）＝５ ）＋（ 一１ ． 既然发现了 ＡＢＬＡ Ｃ，说明线段 Ｂ Ｃ为 △ Ｃ外接圆的方程 Ｂ 的直径．我们 就可 以用轨迹法迅速写出ＡＡ Ｃ外接 圆的方程． Ｂ 解法 ５ ：设点 尸 ） ＡＡ Ｃ外接圆上的任意一点 ，则葡 （ ，ｙ是 Ｂ ・
一
、
已知顶点的坐标为 Ａ（ ，３ ， （ ，２ ， （ ，０ ，求 △Ａ Ｃ外 ４ ）ｅ ５ ） Ｃ １ ） Ｂ
接 圆的 方 程 ．
笔者 听的一节课 中 ，有几个学生运 用待定系数法 ，采用 圆 的标准方程来解决 问题 ，但运算不下去了． 其解题过程 如下 ．
解法 ３ ：设 ＡＡ Ｃ外 接 圆 的方 程 为 （ Ｂ —ｎ ： ｖ ）＝ｒ， ）＋（ —ｂ ： ２
初等数学 （ 曲线） 圆锥 、数 学竞赛研 究．
８ ４
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釜
ｙ
深对 圆的一般方程 的理解．进而感悟一般方程解决这类 问题 的优 成分 ．所 以我们 解决解 析几何 的步骤往 往是 ，根 据题 目中的条
越性 ，学习 圆的标准方程 的必要性．为进一步学会合理选择 圆的 件 ，画出相应 的图形 ，将几何 条件要代数 语言来表征 ，然后用 方程 ，减少运算量 ，优化解题过程做好铺垫 ． 另外 ，整体换元是 解析几何的工具来处理几何问题 ． 处理解析几何 中多变元问题的有效方法 ． 画 出本题 的图形 ，你 发现了什 么？ 其理 由二 ：解 析几何是 用代数 的方法来解 决几何 问题 ，计 可 以证 明吗 ？ 算是不 可避免 的 ，一些稍 复杂 的计算 的出现是 必然 的 ，这是我
挖掘文本背后 隐藏 的玄机 ，开发 新的教 学资源． 关键词 ：教 学资源；教学价值 ；教 学思考
解法 ２ 已知 到未知 ，是综合法 ，几何味道浓厚． 从 江苏教育 出版社 出版的数学课本 必修 ２ 》第 ９ —９ ８ ９页有
这 样 一 道 例题 ：
引起笔者思考 的是 ，本题果真只有这另一种解法吗？ 关 注 学 生 困惑 ，捕 捉 教 学 资 源
的 联 系 ，促 进 学 生 思 维 的 发展 ，优 化认 知 结 构 ；深入 研 读课 本 ，
所以 线段Ａ 的垂直平 Ｃ 分线的方 程为ｙ ÷ ＝ １ （一 １ 一 一・ ÷ ，
二 、 二
Ｂ ＋Ｙ一４＝０，（
由①②解得 圆心坐标为（ ，１ ， ３ ）
由两点间的距离公式得 ｒ＝（ —１ １ ）＝５ ２ ３ ）＋（ —０ ， 故所求圆的方程是（ 一３２ Ｙ一１一 ５ ＋（ ） ．
（ 一５ （ ） 一１ ＋（ ） Ｙ一２ （ ０ ＝０ ）ｙ一 ） ，
＝（ 一 １ ，０一 ） Ｙ ，所以
展开得 ＡＡＢ Ｃ外接圆的方 程 ＋ 一 一２ ｙ＋５ ． ＝０ 解法 ４ 、解法 ５考虑到 问题 的特殊性 ，发现 ＡＢ上Ａ Ｃ，具体
引导学生反思 ：由⑥—⑦得 。 ｂ ２ ０ ⑨ 一 一 ＝ ， 《—⑧得 ｎ 一 ＝ ， — ＋ｂ ４ ０ ⑩ 它们的几何含义是什么？ 将⑨⑩两式与①②两式做 比较 ， 发现 了什 么？ 你 ⑨⑩两式与①②结构相同． 由③④得到 、 ＝ ／
２ １ 年 第 １２ ０ ２ —期
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Ｎ — ２ｔ Ｏ１２ ０２
张乃 贵 （ 苏省兴化 市周庄 高级 中学） 江
摘 要 ：从课 本 中的一 个不显眼的例题 出发 ，谈教 学 中要 关 注 学生中出现 的典型有教 学价 值的疑难 问题 ，适 时捕捉 、开发 教 学资 源；引导学生反 思，揭 示知识 、方法之 间的 内在 的本质
听课 中 ，笔者思考 的是 ，学生 出现 的这 个问题 ，对教学有 价值 吗？或者 狭隘一点讲 ，对本节课 的教学有价值 吗？或许有 老师会认 为本 节课的重点 是圆的一般方 程 ，学生 的这 个问题无
故所求 圆的方程是 ＋ ｘ一２ ＋５＝０ Ｙ 一６ ｙ ． 解法 １ 将未知与 已知融为一体 ，解析几何味道浓厚 ． 接着课本 给出思考题 ：本题有其他解法吗？
＿
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解法４ 为直线Ａ ， Ｃ 斜率 ：因 ＢＡ 的 分别为ｋ 孚 ＝ １ ＝‘ 二 一 ， ｌ— Ｄ
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观察 、比较⑥⑦⑧三式 ，有什么共 同点 ？
＝１ ，所 以 ｋＢ・ ＝一 ， 所 以 Ａ ４ｃ，所 以 圆 心 ｋｃ １ Ｂ上
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问题具体分析 ，获得简捷的解法 ，是思维灵活性 的具体体现． 至此 ，我们解读了教材 编写者 的良苦用心 和独到的匠心．编
写者设计 一个特殊 的问题 ，让 学生的思维 的触 角可 以从多个 方
面介入 ，让不同思维层 次的学生都有所作为．
四 、一 点 感 ・ 晤
因为点 Ａ，日，Ｃ在所求 的圆上 ，故有
ｆＤ ＋３ ４ Ｅ＋Ｆ＋２ ５＝０ ，
｝ ＋Ｆ＋ １＝０． Ｄ
课堂 中老 师没有关心学生 出现 的这 个问题 ，就匆 忙讲 Байду номын сангаас充
例 题 了．
『 ＝一 ， Ｄ ６
【 Ｆ＝５ ．
贝 ｛Ｄ ＋２ ０５ Ｅ＋Ｆ＋２ ９＝０ 争Ｅ＝一 ， ，＝ ｛ ２
由圆的标 准方程（ 一０ Ｙ—ｂ 。 ２ ）＋（ ）＝ｒ展开得 ＋ 一２ｘ一 ａ
２ ｙ＋ ＋ｂ 一ｒ ＝０． ｂ ２
的 程 一 一． 一 ）即 Ｙ ２ ０ ① 方 为Ｙ 】 （ ， — 一 ＝， ５＝
ｆ 一ａ Ｄ＝ ２ ，
线 ４ 的 点 标 （ ， １即｝ 孚１直 段 ｃ 中 坐 为 三 ， （ ， ，
当然 我们 还 可 以将 （ ４一ｎ ３一ｂ ２③ ；（ ） ＋（ ）＝ｒ ５一ｏ 学生所 思 ，以人 为本 ，充分尊 重学生 的思考 ，教学力求触及 学 ）＋ 为了及时判 断课堂教学中生成的 （ 一ｂ ｚ ２④ ；（ —０ ： ０一ｂ ｚ ２⑤ 分别看作三个等 圆的 生心灵 的深处 ，实现有效教 学． ２ ）＝ｒ １ ）＋（ ）＝ｒ 问题 的价值性 ，教 师要不 断学 习 ，更新教 学观念 ，提高教学 能 方程 ，③—④ 、③—⑤ 分别得 到两圆公共 弦 （ 或公切 线） 所在
要 的任 务 ．
观 察 右 图 ，猜 想 Ａ Ｂ上ＡＣ ，进而 们无法 回避 的矛盾．所以培养学生的运算 能力是解析几何一个重 尝试证 明． 可 以计算 Ａ Ｂ，ＡＣ的斜 率 ，证 明 分析学 生产生 困惑 的原 因 ，初 中不涉及三元 一次方程 组 的 ｋ ・ ＝一 ；也 可 以用 向量 法 ，利 用 ｋ。 １ 解法 ，更不涉及三元二次方程组的解法 ． 勾股定理的逆定理等等． 了解 学生 的知 识结 构 ，能力状 况 ，面对束 手无 策 的学生 ， 老师做学生学习 的帮助者．
故有 ｛ 一 ）＋ ２ ｂ ｒ ④ （ Ⅱ （一 ） ２ ５ ＝ ， 【１ Ⅱ ＋ ０ ｂ ｒ ⑤ （一 ） （一 ） ２ ＝ ， ｆ 一８ ＋ｂ 一６ ０ ｂ＋２ ＝ｒ， ⑥ ５ ２
即 ｛２ Ｏ ＋ｂ 一 ｂ＋２ ． ７ Ｃ一ｌａ ４ ｔ ９＝／ ） ２ ，（
１２ ａ ０ ＝ｒ —２ ＋ｂ ＋１ ２ Ｃ ｔ ． （ ８ ）
线Ａ 的 率 ｝ ＝ ， Ｃ 斜 为ｋ ： １
收稿 Ｅ期 ：２ １ － ６ ２ ｔ ０ １０ — ８
采用整体代换｛ 一ｂ Ｅ： ２ ，
便得到圆的一般方程．
Ｉ：２ｂ ｒ Ｆａ ２ ＋ 一
有 了上 面的引导 ，学 生 自己会用整 体换元解决 问题 ，并 加
作者简介 ：张乃贵 （９６ ） １６一 ，男，江苏兴化人 ， 中学高级教 师，江苏省 中学数 学特级教 师 ，主要从事 中学数 学教育 （ 堂教 学与学 习心理） 课 、
此题是学生学 习了圆的一般方程后 ，课本给 出的例题． 生 学 学 习圆的方程的顺序是 ，先学 圆的标 准方程 ，再学 圆的一般 方 程． 这道 例题 初看似平淡无奇 ，没有 多大的教学价值 ． 不知 ， 殊 就是在这些看似平淡 的地方 ，如果我们老 师关 注学生学 习中出 现的问题 ，引导学生研读课本 ，与文本对话 ，深入挖掘 、探索 、
多大 的价值．笔者持不 同的观 点 ，学生 的这个 问题有极 高 的价
值 ，就是对这节课 的学习也有极 高的价值．
笔者听 了 ６节同题异构课 （ 圆的一般方程） ，这 ６节课无一
其理 由一 ：学生 出现上 面的 困惑 ，说明对 圆一般 方程产生
例外 的都 只得到了另一种解 法 ：根据 三角形外接 圆的作法 ，用 的过程没有理解 ，更没有理解学习圆一般方程的必要性．帮助解 三角形 两边的垂直平分线 的交点 ，求 出圆心坐标 ，求出圆 的半 决学 生这个 问题 ，会加深 学生对 圆的一 般方程 的理解 ，这样 的 径 ，依据圆的标 准方程 ，写出圆的方程 ． 其具体过程为 ： 教学还是 围绕圆的一般方程这个中心 的． 笔者 当时的想法 ：引导学生再 次学 习圆 的标 准方程与 圆的
⑥⑦⑧存在相 同的二次项．
解二元一次方程组有哪些方法？
为 段Ｂ 的 点ｆ 线 Ｃ 中
、
二
， 寺 １ ｌ ，）由 间 距 ，Ｊ １ 两点 的 离 ￣３ ． （
二 ，
代入消元法 、加减消元法．
通 过这样 的对 话后 ，学 生会用 加减 消元 法 ，消去二 次项 ， 将 ３ 问题变为 ２ 问题 ，将高次问题变为低次 问题 ，走 出困惑． 元 元
一
￣ ２线 Ａ的 点 标 （ ， 一 即孚 ｝ ， ｉ ： 段 中 坐 为 ） （， ） ｄ ｛ ，
直 Ｂ的 线Ａ 斜率为ｋ 孚＝ ＝ １ 所以 ＝斗 一 一， 线段Ａ 的 Ｂ 垂直平分线 ）
般方程之间的关 系．
圆 的一 般 方 程 ＋ ＋ ＋ ＋Ｆ：０ 怎 样 产 生 的 ？ 是
因为点 Ａ，Ｂ ，Ｃ在所求 的圆上，
『４— ） ＋（ （ ０ ３一ｂ ２ （ ）＝ｒ ， ３ ）
发现 ，能够开发 出新的有较高价值 的教学资源．
课本选择 圆的一般方 程 ，采用待定系数法 ，其解题过程为 ：
解法 １ ：设 ＡＡ Ｃ外 接 圆 的 方程 为 ＋ 。 ＋ ＋Ｆ＝０ Ｂ Ｙ＋ ，
由⑥一⑦得 。 一ｂ一２＝０ ，⑨ ⑥—⑧得 １ 一４＝０ ３ ， ＋ｂ ，⑩
ｆ 一
由 ⑨⑩解得ｔ 一 ’ ＝ ： 代入⑧得ｒ ５ ２ ． ＝ ｂ １．
故所求 圆的方程是（ 一３ Ｙ一１。 ． ）＋（ ）＝５
二 、反 思 思 维 成 果 ，生 成 教 学 资 源
－ Ｐ ｄ＝０ － ，其ｅｅ ＝（ 一 ｅ￣ － ５ ，２ Ｙ ， 一 ）
可
可
＝／ 、 ＝ ＋ ＝ ｌ
＝、 （ Ｔ ／１
＝， ｒ
由于数学 教学 归根结 底是数 学思 维 的教 学 ，所 以教学 中 ，
＿ ） ＿ ２＝ｒ 一 ，
我们不 但要关注 知识 的发生 、发展 、知识形成 过程 中所蕴含 的
联想 到线段 的两个端 点距离相 等的点 的轨迹是线段 的垂直 数 学思想 方法 ，更要关 注以知识 为载 体培养 学生 的思维 能力 ， 全 面提高学生的素质．千方百计地设计好的数学 问题 ，调动学生 平分线 ， 发现这里隐藏着一个轨迹问题 ． ⑨⑩两式实质就是线段 ＡＢ、ＡＣ的 垂直 平 分 线 的方 程 ，解 析 几何 中的数 形 结 合 的思 的学 习主动性 ，引发学生的积极 的思维．关注学生学习 中产生的 有价值 的问题 、困惑 ，开发教学资源．努力做到想学生所想 ，思 想—— 由数想形 ，由形想数昭然若 揭．