1.3 定解条件解析
三类典型的数学物理方程
数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律
第一章 三类典型方程和定解条件
a 其中，ij (x), bi (x), c x , f (x)都只是 x1 , x2, , xm 的已知 函数，与未知函数无关。
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数学物理方程
第一章 三类典型方程和定解条件 第二章 分离变量法 第三章 Laplace方程的格林函数法
第四章 贝塞尔函数及勒让德多项式
第一章 三类典型方程和定解条件
数学物理方程的研究对象——定解问题。 一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解 条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：
三类典型方程
一、波动方程 二、热传导方程
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
Байду номын сангаасu t 0 是已知。
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
偏微分方程
无热源的情况下得到的热传导方程： 有热源的情况下得到的热传导方程：
称为齐次热传导方程 称为非齐次热传导方程
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 热传导方程的导出
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1.2 拉普拉斯方程的导出
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1.2 泊松方程的导出
设空间中有一电荷密度为ρ(x,y,z)的静电场。
在此电场内任取一由封闭曲面S包围的区域Ω，
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1.5 线性叠加原理
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1.5 线性叠加原理
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1.5 线性叠加原理
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1.5 线性叠加原理
叠加原理的适用范围非常广泛。 叠加原理对于用线性方程和线性定解条件描述的物理现象来说， 都是成立的。
例如，一维热传导方程及其定解问题的叠加原理。
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1.5 线性叠加原理
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方程中的各阶偏导数连续。
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1.1 基本概念
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（1.1.1） （1.1.2） （1.1.3） （1.1.4） （1.1.5）
1.1 基本概念
如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是 线性的，且它们的系数都是仅依赖于自变量的已知函数， 则这样的偏微分方程称为线性偏微分方程。
（1.1.1） （1.1.2）
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
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2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
根据复合函数求导法则，有
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2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
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2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
记
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的符号是自变量可逆 变换下的不变量
1.3一阶线性偏微分方程的通解法
1.3 一阶线性偏微分方程的通解法1.3.1 (3)，1.3.2 (3)，1.3.3(2)通解法：对某些偏微分方程，通过积分先求出通解，再由定解条件定出特解的解法。
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程(,)(,)(,)(,)0.1(,),(,),(,),(,)D (,),(,)u ua x yb x yc x y u f x y x y a x y b x y c x y f x y a x y b x y ∂∂++=∂∂（）其中，为平面区域上的连续函数，且不同时为0.1D (,)0,(,)0,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)=exp -exp ()0.3(,)(,)(,)()a x y b x y u c x y f x y u y b x y b x y x c x y c x y f x y u x y dy dy dy g x b x y b x y b x y g x C ≡≠∂+=∂⎡⎤⎛⎞⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫∫若在上，则（0.2）可看做含参数的常微，其通解.（其中，为任意函数。
）D (,)(,)0,=,)(,)(,)(,)0(,)a x y b x y x y x y xyJ x y xyξϕηψϕϕϕψϕψψψ≠⎧⎨=⎩∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂若在上，则方程（0.2）不能直接积分求解。
试作变量代换（（0.4）要求其雅可比行列式（保证新变量的独立性）利用链式法则++(,)=((,,(,)(,.=,)(,)(,)=0u u u u u ux x x y y y u x y u u x y u u u a b a b cu f xy x y x y a x y b x y x y ϕψϕψξηξηξηξηξηϕϕψψξηξϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂++++=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂+∂∂，的方程（0.1）变成)))的新方程（0.5）若取（是一阶齐次线性偏微分方程（0.6）的解，则新(,(,)u a b cu f xy u u ψψηηξη⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂⎝⎠方程（0.5）成为（0.2）型的方程，（0.7）对积分即可求出其通解)，代回原自变量即得通解。
数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题
第1章 数学物理方程的定解问题§1.1 数学物理方程的一般概念本节讨论：①数学物理方程的基本概念，②三类基本方程的数学表示，③一些简单解法▲数学物理方程的任务与特点 数学物理方程（亦称数理方程）在数学上为二阶偏微分方程。
它的任务有两个方面：①寻找数学定解问题的求解方法，给出解的表达式和计算方法；②通过理论分析得出问题的通解或某些特解的一般性质。
数学物理方程有如下特点：①它紧密地、直接地联系物理学、力学与工程技术中的许多问题。
②它广泛地运用数学物理中许多的技术成果。
如：数学中的复变函数、积分变换、常微分方程、泛函分析、广义函数等等，物理学中的力学、电学、磁学、热力学、原子物理学、振动与波、空气动力学等等。
⒈ 一些基本概念数学物理方程是物理过程中的一些偏微分方程。
由于物理过程是十分复杂的，故它们的数学表达式也是十分广泛的。
本书不能将众多的数学物理方程一一讨论，仅讨论一些常用的二阶线性微分方程。
一般而言，二阶线性偏微分方程可写为2,11nn ij i i j i i j i u u Lu a b cu f x x x ==∂∂=++=∂∂∂∑∑ （1.1.1） 式中：自变量),,(1n x x x ⋅⋅⋅=，系数ij a 、i b 、c 为x 的函数或为常数，并且ji ij a a =。
由于式中关于未知函数u 的导数最高为二阶导数，故方程称为二阶微分方程；同样，由于x 为n 维向量，方程也称为n 维方程；由于方程中对u 的各阶偏导数为线性的，故称为线性方程，否则就称为非线性方程。
若系数ij a 、i b 、c 均为常数，则称为常系数方程，否则称为变系数方程；若0≡f ，则称为齐次方程，反之称为非齐次方程。
▲方程的数学形式 在所有的自变量i x 中，时间变量t 常常被使用，由于它的独特性，人们常常直接用t 表示而不置于i x 之中，关于t 的导数式为：22u u L u a b t t t∂∂=+∂∂ (1.1.2) 故上述方程可改写为：f Lu u L t += (1.1.3)上述方程习惯上也称为n 维方程。
1.3.1-圆幂定理-课件-(人教B版选修4-1)
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知识点三 圆幂定理 圆幂定理：已知⊙O(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割 线交圆于A、B两点，则当点P在圆外时，k＝PO2－r2； 当点P在圆内时，k＝r2－PO2； 当点P在圆上时，k＝0. 其中k叫点P对⊙O的“幂”．
(3)解：对于五边形 MEAFN 的五条边，从是否相等考虑，有： MN＝AE＝AF，EM＝FN. 证明如下： 先证明 AE＝AF，不妨假设正方形 ABCD 边长为 1，易证四边形 OMCN 是正方形，则 MO＝NO＝MC＝R＝2－ 2， MN＝ OM2＋ON2＝ 2R＝2 2－2. 而 BM＝DN＝1－MC＝1－(2－ 2)＝ 2－1，BC 切⊙O 于 M， ∴BM2＝BE·BA，即( 2－1)2＝BE·1， ∴BE＝3－2 2.同理 DF＝3－2 2. ∴AE＝AF＝1－BE＝2 2－2.
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分析：由于PO既不是⊙O的切线，也不是割线，故需将PO延 长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半 径，于是运用切割线定理的推论，问题得解．
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解：将 PO 延长交⊙O 于 D，根据割线定理， 可得 PA·PB＝PC·PD. 设半径为 r，则 6×(6＋8)＝(10.9－r)(10.9＋r)， 所以 r＝5.9 (cm)．
∴BDDA＝196.
答案：196
1.3 动量守恒定律(解析版)
第3节动量守恒定律一、动量守恒的条件1．如图所示，木块a和b用一根轻弹簧连接起来，放在光滑的水平面上，a紧靠在墙壁上，在b上施加向左的水平力使弹簧压缩。
当撤去外力后，下列说法中不正确的是（）A．a尚未离开墙壁前，a和b组成的系统的动量守恒B．a尚未离开墙壁前，a和b组成的系统的动量不守恒C．a离开墙壁后，a和b组成的系统动量守恒D．a离开墙壁后，a和b组成的系统动量不守恒2．如图所示，一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为M的平板，静止在O点，一质量为m的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为h，如图所示，让环自由下落，撞击平板．已知碰后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长，则下列说法正确的是（）A．若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒B．若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒C ．环撞击板后，板的新的平衡位置在O 点正下方D ．碰撞后新平衡位置与下落高度h 无关3．如图所示，质量为m 、带有四分之一光滑圆弧槽的小车停放在光滑水平面上，一质量为m 的小球以水平速度0v 从底端滑上小车，到达某一高度后，小球又返回底端。
下列说法正确的是（ ）A ．小车一直向左运动B ．小球到达最高点时速度为零C ．小球和小车组成的系统机械能守恒D ．小球和小车组成的系统动量守恒二、动量守恒定律的应用4．如图所示，质量为M 的小车置于光滑的水平面上，车的上表面粗糙，有一质量为m 的木块以初速度0v 水平地滑至车的上表面，若车足够长，则（ ）A ．木块的最终速度为0M v M mB ．由于车上表面粗糙，小车和木块所组成的系统动量不守恒C ．车上表面越粗糙，木块减少的动量越多D ．改变车上表面的粗糙程度，小车获得的动量不变5．如图所示，光滑水平面上甲、乙两球间粘少许炸药，一起以速度0.5m/s 向右做匀速直线运动。
已知甲、乙两球质量分别0.1kg 和0.2kg 。
某时刻炸药突然爆炸，分开后两球仍沿原直线运动，从爆炸开始计时经过3.0s ，两球之间的距离为x =2.7m ，则下列说法正确的是（ ）A ．刚分离时，甲、乙两球的速度方向相同B ．刚分离时，甲球的速度大小为0.6m/sC ．刚分离时，乙球的速度大小为0.3m/sD ．爆炸过程中释放的能量为0.027J6．在光滑的水平轨道上放置一门质量为m 1的旧式炮车（不包含炮弹质量），炮弹的质量为m 2，当炮车沿与水平方向成θ角发射炮弹时，炮弹相对炮口的速度为v 0，则炮车后退的速度为（ ）A ．201cos m v m θ B ．102cos m v m θ C ．2012cos +m v m m θ D ．1012cos +m v m m θ7．如图所示，所有接触面均光滑，质量为M 的半圆弧槽静止地靠在竖直墙面处，A 、B 是槽的两个端点，C 为槽的底部中点。
最新高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修2-3(考试必备)
1.3.1 二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点 二项式定理及其相关概念思考1 我们在初中学习了(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，试用多项式的乘法推导(a ＋b )3，(a ＋b )4的展开式．答案 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，(a ＋b )4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4. 思考2 能用类比方法写出(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式吗？ 答案 能，(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．梳理1．(a ＋b )n展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × ) 3．C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( × )4．(a －b )n与(a ＋b )n的二项式展开式的二项式系数相同．( √ )类型一 二项式定理的正用、逆用例1 (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．考点 二项式定理题点 运用二项式定理求展开式解 方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 解 原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n. 引申探究若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________. 答案 44解析 ∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a ＝28，b ＝16，∴a ＋b ＝28＋16＝44.反思与感悟 (1)(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1. 考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5. 类型二 二项展开式通项的应用 命题角度1 二项式系数与项的系数 例2 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －23x 10. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 解 ⎝⎛⎭⎪⎫3x －23x 10的展开式的通项是 T k ＋1＝C k 10(3x )10－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x k ＝C k 10310－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k ·1032kx- (k ＝0,1,2，…，10)．(1)展开式的第4项(k ＝3)的二项式系数为C 310＝120. (2)展开式的第4项的系数为C 31037⎝ ⎛⎭⎪⎫－233＝－77 760. (3)展开式的第4项为T 4＝T 3＋1＝－77 760x .反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． (2)第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C kn .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.跟踪训练2 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)因为T 3＝C 2n (x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n 62n x-，T 2＝C 1n (x )n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n 32n x -，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81， 所以n 2＝81，n ∈N *，故n ＝9.(2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k 9(x )9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k9932k x-，所以9－3k 2＝3，k ＝1，所以第二项为含x 3的项为T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3. 二项式系数为C 19＝9.命题角度2 展开式中的特定项例3 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 解 通项公式为T k ＋1＝C kn3n k x-(－3)k3k x-＝C k n(－3)k23n k x-.(1)∵第6项为常数项，∴当k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)令10－2k 3＝2，得k ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2k3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N .令10－2k3＝t (t ∈Z )， 则10－2k ＝3t ，即k ＝5－32t .∵k ∈N ，∴t 应为偶数．令t ＝2,0，－2，即k ＝2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2. 反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1；②求含x k 的项(或x p y q 的项)；③求常数项；④求有理项．(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练3 (1)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 1解析 展开式的通项为T k ＋1＝C k 9x 9－k(－a )k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xk＝C k9·(－a )k x9－2k(0≤k ≤9，k ∈N )．当9－2k ＝3时，解得k ＝3，代入得x 3的系数， 根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1.(2)已知n 为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x n的二项展开式的常数项是________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 160解析 由题意得n ＝6，∴T k ＋1＝2k C k 6x6－2k，令6－2k ＝0得k ＝3，∴常数项为C 3623＝160.1．(x ＋2)n的展开式共有11项，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．8 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 B解析 因为(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n的展开式共有11项，所以n ＝10，故选B.2．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn 等于( ) A ．1 B ．1 C ．(－1)nD ．3n考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 C解析 逆用二项式定理，将1看成公式中的a ，－2看成公式中的b ，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 D解析 展开式的通项为T k ＋1＝C kn (x 2)n －k·(－1)k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝(－1)k C k n x 2n －3k.令2n －3k ＝0，得n ＝32k (n ，k ∈N *)，若k ＝2，则n ＝3不符合题意，若k ＝4，则n ＝6，此时(－1)4·C 46＝15，所以n ＝6.4．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式的通项为T k ＋1＝C k 24·(x )24－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x k ＝C k 245126kx -，故当k ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项． 5．求二项式(x －3x )9展开式中的有理项． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项解 T k ＋1＝C k 9912kx -⎛⎫ ⎪⎝⎭·13kx ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(－1)k C k9·276kx -，令27－k 6∈Z (0≤k ≤9)，得k ＝3或k ＝9，所以当k ＝3时，27－k 6＝4，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4，当k ＝9时，27－k 6＝3，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.综上，展开式中的有理项为－84x 4与－x 3.1．注意区分项的二项式系数与系数的概念． 2．要牢记C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．一、选择题1．S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3，则S 等于( ) A ．x 4B ．x 4＋1 C ．(x －2)4D ．x 4＋4考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 A解析 S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44＝[(x －1)＋1]4＝x 4，故选A.2．设i 为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为( ) A ．－20i B ．15i C ．20D ．－15考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中的特定项 答案 D解析 (1＋i)6展开式中的第3项为C 26i 2＝－15. 3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数是( ) A ．－840 B ．840 C ．210D ．－210考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 B解析 在通项公式T k ＋1＝C k 10(－2y )k x 10－k中，令k ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数为C 410×(－2)4＝840.4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式中，若常数项为60，则n 等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 B解析 T k ＋1＝C k n(x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝2k C kn 32n k x-.令n －3k2＝0，得n ＝3k .根据题意有2k C k3k ＝60，验证知k ＝2，故n ＝6.5．若(1＋3x )n (n ∈N *)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( ) A ．4 B ．27 C ．36D ．108考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 D解析 T k ＋1＝C kn (3x )k，由C 2n ＝6，得n ＝4，从而T 4＝C 34·(3x )3，故第四项的系数为C 3433＝108.6．在二项式121412nx x ⎛⎫⎪+⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 C解析 二项展开式的前三项的系数分别为1，C 1n ·12，C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122，由其成等差数列，可得2C 1n ·12＝1＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122⇒n ＝1＋n (n －1)8，所以n ＝8(n ＝1舍去)．所以展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12k344kx -.若为有理项，则有4－3k4∈Z ，所以k 可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项答案 B解析 依据分段函数的解析式， 得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 4，∴T k ＋1＝C k4(－1)k xk －2.令k －2＝0，则k ＝2，故常数项为C 24(－1)2＝6. 二、填空题8.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 7的展开式中倒数第三项为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案84x8解析 由于n ＝7，可知展开式中共有8项， ∴倒数第三项即为第六项，∴T 6＝C 57(2x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝C 57·221x 8＝84x8.9．若(x ＋1)n ＝x n＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 11解析 a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n .∵a ∶b ＝3∶1， ∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31，即n (n －1)(n －2)·26n (n －1)＝3， 解得n ＝11.10．已知正实数m ，若x 10＝a 0＋a 1(m －x )＋a 2(m －x )2＋…＋a 10(m －x )10，其中a 8＝180，则m 的值为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 2解析 由x 10＝[m －(m －x )]10，[m －(m －x )]10的二项展开式的第9项为C 810m 2(－1)8·(m －x )8， ∴a 8＝C 810m 2(－1)8＝180， 则m ＝±2.又m >0，∴m ＝2.11．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 5解析 展开式的通项公式T k ＋1＝C k n(3x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x k，∴T k ＋1＝3n －k C kn52n k x-，k ＝0,1,2，…，n .令n －52k ＝0，n ＝52k ，故最小正整数n ＝5. 三、解答题12．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，且B ＝4A ，求a 的值．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数解 ∵T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝⎛⎭⎪⎫－a x k ＝(－a )k C k6362kx -，令6－3k 2＝3，则k ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2；令6－3k 2＝0，则k ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4.由B ＝4A 可得a 2＝4，又a >0， ∴a ＝2.13．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数； (3)含x 的整数次幂的项的个数． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项解 已知二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C kn 522n k x -.(1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2×10－52k ＝5，得k ＝25(20－5)＝6.所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．四、探究与拓展14．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i ) (i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 3解析 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．即a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n的展开式的通项公式知T k ＋1＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a k(k ＝0,1,2，…，n )．故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.15．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中含x 项的系数是19(m ，n ∈N *)．(1)求f (x )的展开式中含x 2项的系数的最小值；(2)当f (x )的展开式中含x 2项的系数取最小值时，求f (x )的展开式中含x 7项的系数． 考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)由题设知m ＋n ＝19，所以m ＝19－n ，含x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n＝(19－n )(18－n )2＋n (n －1)2＝n 2－19n ＋171＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋3234.因为n ∈N *，所以当n ＝9或n ＝10时，x 2项的系数的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3234＝81.(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2项的系数取最小值，此时x7项的系数为C710＋C79＝C310＋C29＝156.。
数学物理方法1-1数学物理方程及其定解条件资料讲解
9
教学基本要求
掌握波动方程、热传导方程、Laplace方程的 物理背景及其定解问题的提法；
熟练掌握三类方程定解问题的解法：分离变量 法，行波法、积分变换法等；
ds
M
gds
在弦上任取一弧段 M M ，' 其长度为ds， T
弧段两端所受张力为 T 和 T '
N
N'
O
x
x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
14
现在考虑弧段 M M ' 在t时刻的受力和运动情况。
根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的
由
cos12
4
2! 4!
略去 和 ' 的所有高于一次方的项时，就有
cos1, cos' 1 u
T'
代入式 T c o s T 'c o s' 0
便可近似得到： T T '
M'
'
ds
M
gds
T
在u方向弧段 M M ' 受力总和为
N
N'
O
x
x dx
x
TsinT'sin'g d s,
其中， gds 是 M M ' 的重力。
第四章 Bessel函数的性质及其应用 §4.1 Bessel方程的引出 §4.2 Bessel函数的性质 §4.3 Bessel函数的应用 *§4.4 修正Bessel函数 *§4.5 可化为Bessel方程的方程
2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1：第一章 1.3 1.3.1 圆 幂 定 理
1．3.1圆幂定理[对应学生用书P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则P A·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26][例1] 如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，求CP 的长．[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt △OAP 中，求得AP 的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析] ∵P 为AB 的中点， ∴由垂径定理得OP ⊥AB .在Rt △OAP 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a . 由相交弦定理，得BP ·AP ＝CP ·DP ， 即⎝⎛⎭⎫32a 2＝CP ·23a ，解之得CP ＝98a .在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：因为AF ＝3，EF ＝32，FB ＝1，所以CF ＝AF ·FB EF ＝3×132＝2，因为EC ∥BD ，所以△ACF ∽△ADB ， 所以AF AB ＝CF BD ＝AC AD ＝AD －CD AD ＝34，所以BD ＝CF ·AB AF ＝2×43＝83，且AD ＝4CD ，又因为BD 是圆的切线，所以BD 2＝CD ·AD ＝4CD 2， 所以CD ＝43.答案：43[例2] 自圆O 外一点P 引圆的一条切线P A ，切点为A ，M 为P A 的中点，过点M 引圆的割线交圆于B ，C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°.求∠MPB 的大小．[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP ∽△PMC 而后转化角相等进行求解．[精解详析] 因为MA 为圆O 的切线， 所以MA 2＝MB ·MC . 又M 为P A 的中点， 所以MP 2＝MB ·MC . 因为∠BMP ＝∠PMC ， 所以△BMP ∽△PMC ， 于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．2.(北京高考)如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O相交于D .若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.解析：设PD ＝9t ，DB ＝16t ，则PB ＝25t ，根据切割线定理得32＝9t ×25t ，解得t ＝15，所以PD ＝95，PB ＝5.在直角三角形APB 中，根据勾股定理得AB ＝4.答案：95 4[例3] 如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2＝EF ·EC .(1)求证：∠P ＝∠EDF ； (2)求证：CE ·EB ＝EF ·EP ；(3)若CE ∶BE ＝3∶2，DE ＝6，EF ＝4，求P A 的长．[思路点拨] 本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相似三角形的判定与性质的综合应用．解答本题需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用．[精解详析] (1)证明：∵DE 2＝EF ·EC ， ∴DE ∶CE ＝EF ∶ED .∵∠DEF 是公共角，∴△DEF ∽△CED . ∴∠EDF ＝∠C .∵CD ∥AP ，∴∠C ＝∠P . ∴∠P ＝∠EDF .(2)证明：∵∠P ＝∠EDF ，∠DEF ＝∠PEA ， ∴△DEF ∽△PEA . ∴DE ∶PE ＝EF ∶EA . 即EF ·EP ＝DE ·EA . ∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE ·EA ＝CE ·EB . ∴CE ·EB ＝EF ·EP .(3)∵DE 2＝EF ·EC ，DE ＝6，EF ＝4， ∴EC ＝9.∵CE ∶BE ＝3∶2，∴BE ＝6. ∵CE ·EB ＝EF ·EP ， ∴9×6＝4×EP . 解得：EP ＝272.∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452.由切割线定理得：P A 2＝PB ·PC ， ∴P A 2＝152×452.∴P A ＝1523.相交弦定理、切割线定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这三个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题．因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到切线和割线要想到切割线定理．3．如图所示，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若P A ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________．解析：设⊙O 的半径为r (r >0)， ∵P A ＝1，AB ＝2， ∴PB ＝P A ＋AB ＝3.延长PO 交⊙O 于点C ， 则PC ＝PO ＋r ＝3＋r .设PO 交⊙O 于点D ，则PD ＝3－r . 由圆的割线定理知，P A ·PB ＝PD ·PC ， ∴1×3＝(3－r )(3＋r )，∴9－r 2＝3，∴r ＝ 6. 答案：6[对应学生用书P27]一、选择题1.如右图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于P 点，若AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，则⊙O 半径为( )A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5解析：由相交弦定理知AP ·PB ＝CP ·PD ， ∵AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3， ∴PD ＝AP ·BP CP ＝4×63＝8.∴CD ＝3＋8＝11，∴⊙O 的半径为5.5. 答案：A2．如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB ，PD ，P A ＝AB ＝ 5，CD ＝3，则PC 等于( )A ．2或－5B ．2C ．3D ．10解析：设PC ＝x ，由割线定理知P A ·PB ＝PC ·PD .即5×2 5＝x (x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)．故选B.答案：B3.如图，AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D ，E ，F ，如果AD ＝20，则△ABC 的周长为( )A ．20B ．30C ．40D ．35解析：∵AD ，AE ，BC 分别为圆O 的切线．∴AE ＝AD ＝20，BF ＝BD ，CF ＝CE .∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AC ＋BF ＋CF ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝AD ＋AE ＝40.答案：C4．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 的直径CE 在BC 上，且与AB 相切于D 点，若CO ∶OB ＝1∶3，AD ＝2，则BE 等于( )A. 3 B ．2 2 C ．2D ．1解析：连接OD ，则OD ⊥BD ， ∴Rt △BOD ∽Rt △BAC .∴OD AC ＝BDBC. 设⊙O 的半径为a ，∵OC ∶OB ＝1∶3，OE ＝OC ， ∴BE ＝EC ＝2a .由题知AD 、AC 均为⊙O 的切线，AD ＝2，∴AC ＝2. ∴a 2＝BD4a，∴BD ＝2a 2. 又BD 2＝BE ·BC ，∴BD 2＝2a ·4a ＝8a 2. ∴4a 4＝8a 2，∴a ＝ 2. ∴BE ＝2a ＝2 2. 答案：B 二、填空题5．(重庆高考)过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 分别交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________.解析：如图所示，由切割线定理得P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CP A ，故△APB ∽△CP A ，则AB CA ＝AP CP ，即AB 8＝63＋9，解得AB ＝4.答案：46．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为____________．解析：设BE ＝x ，则FB ＝2x ，AF ＝4x ，由相交弦定理得DF ·FC ＝AF ·FB ，即2＝8x 2，解得x ＝12，EA ＝72，再由切割线定理得CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72.答案：727.如图，⊙O 的弦ED 、CB 的延长线交于点A .若BD ⊥AE ，AB＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝________；CE ＝________.解析：由切割线定理知， AB ·AC ＝AD ·AE .即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5.∵BD ⊥AE ，且E 、D 、B 、C 四点共圆，∴∠C ＝90°. 在直角三角形ACE 中，AC ＝6，AE ＝8， ∴CE ＝64－36＝27. 答案：5 278．(重庆高考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．解析：由题意得BC ＝AB ·sin 60°＝10 3. 由弦切角定理知∠BCD ＝∠A ＝60°， 所以CD ＝53，BD ＝15，由切割线定理知，CD 2＝DE ·BD ，则DE ＝5. 答案：5 三、解答题9．如图，PT 切⊙O 于T ，P AB ，PDC 是圆O 的两条割线，P A ＝3，PD ＝4，PT ＝6，AD ＝2，求弦CD 的长和弦BC 的长．解：由已知可得PT 2＝P A ·PB ， 且PT ＝6，P A ＝3，∴PB ＝12. 同理可得PC ＝9，∴CD ＝5. ∵PD ·PC ＝P A ·PB ，∴PD PB ＝P A PC ，∴△PDA ∽△PBC ， ∴AD BC ＝PD PB ⇒412＝2BC，∴BC ＝6. 10．如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P .(1)求证：PM 2＝P A ·PC ；(2)若⊙O 的半径为2 3，OA ＝ 3OM ，求MN 的长．解：(1)证明：连接ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形，则∠OBN ＝∠ONB ，∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ， ∠PNM ＝90°－∠ONB ， ∴∠PMN ＝∠PNM ， ∴PM ＝PN .由条件，根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ， 所以PM 2＝P A ·PC .(2)依题意得OM ＝2，在Rt △BOM 中， BM ＝OB 2＋OM 2＝4.延长BO 交⊙O 于点D ，连接DN . 由条件易知△BOM ∽△BND ， 于是BO BN ＝BM BD ，即2 3BN ＝44 3，得BN ＝6. 所以MN ＝BN －BM ＝6－4＝2.11．如下图，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线，交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 1，⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：P A ·PE ＝PC ·PD ；(2)当AD 与⊙O 2相切，且P A ＝6，PC ＝2，PD ＝12时，求AD 的长． 解：(1)证明：连接AB ，CE ， ∵CA 切⊙O 1于点A ， ∴∠1＝∠D .又∵∠1＝∠E ，∴∠D ＝∠E .又∵∠2＝∠3， ∴△APD ∽△CPE . ∴P A PC ＝PDPE. 即P A ·PE ＝PC ·PD .(2)∵P A ＝6，PC ＝2，PD ＝12. ∴6×PE ＝2×12，∴PE ＝4. 由相交弦定理，得PE ·PB ＝P A ·PC . ∴4PB ＝6×2，∴PB ＝3. ∴BD ＝PD －PB ＝12－3＝9， DE ＝PD ＋PE ＝16. ∵DA 切⊙O 2于点A ，∴DA 2＝DB ·DE ，即AD 2＝9×16，∴AD ＝12.。
1.3 自动控制系统的方案确定与运行解析
1 仪表基本误差 100 % 1.0% 100 0
测温范围为0～40℃的仪表，其基本误差为：
1 仪表基本误差 100 % 2.5% 40 0
仪表的精确度是按国家统一规定的允许误差大小 划分成几个等级。某一类仪表的允许误差是指在规 定的正常情况下，这类仪表所允许具有的最大的仪 表基本误差。如精度等级为1.5级的仪表，其允许 误差不超过1.5%。 常用仪表的精度等级有0.35、1.0、1.5、2.5等。 0.35级以下的仪表可以当作标准仪表。仪表的精度 等级常以圆圈内的数字标在仪表的面盘上或写在说 明书里，如1.0级仪表以1.0表示。
把相同的两个压力表，都通入同样的微小压力，其中一只表 的指针不动，另一只表的指针转动，那么后者比前者要灵敏。 灵敏度越高，越能感觉被测参数的微小变化。
2）灵敏限
仪表的灵敏限是指能引起仪表指针发生动作的被 测参数变化的最小限度，也称灵敏度界限或分辨力。 仪表的精确度越高，灵敏度越高，灵敏限就越小； 但灵敏度高的仪表，易受噪声、振动等外界条件的 影响而使精确度降低。因此，应在仪表的灵敏度和 精度之间加以协调。
3.自动化仪表的选择
Hale Waihona Puke 1、确定仪表的种类 2、考虑仪表的控制规律 3、根据是否要求自动记录与指示等功能 来确定仪表的类型 4、应考虑仪表的量程、精度等级及其它 方面的具体要求 5、最后确定所需仪表的具体方案。
1.3.2控制设备的选择
1.自动化仪表的分类
自动化仪表和元件按其功能不同，大致可分为检 测仪表、显示仪表、控制仪表和执行器四类。按其 结构不同可分为基地式仪表和单元组合式仪表两大 类。
基地式仪表一般以指示或记录仪表为主体，附带 将控制系统中的其余部分(常见的是控制部分)也装在 仪表壳内，构成一个整体，使仪表具有指示、记录 和控制功能，这类仪表常用于简单的控制系统。 单元组合式仪表则是根据自动控制系统组成部分的 各种功能和要求，将整块仪表分为若干能独立完成某 项功能的典型单元（如变送单元、转换单元、运算单 元、给定单元、控制单元、辅助单元和执行单元等）， 各单元之间的联系都采用统一的标准信号（气动仪表 采用0.02～0.1MPa气压信号，电动仪表采用0～10mA 直流电信号）。
1.3 定解条件
，即单位长度上的形变
l 则 u ( x,0) x ——x点处的形变 l
t=0，l点处的力平衡方程
l F F1 Y S l
l F l YS
F1
F
F u ( x, 0) x YS
l
∴初条件
F u ( x, 0) x YS ut ( x, 0) 0
方程导出过程小结： 1）建立合适的坐标系
2）确定描述系统状态的物理量—未知函数 3）作出合理的简化假设 4）找出系统所遵从的主要物理规律
5）利用小块分析法导出方程
各类方程均是对一种连续分布的物理场的逐点、
瞬时的精确描述。也就是说，从空间上看，方程 所反映的是系统中除边界点外所有内部点的运动 规律。从时间上看，方程所反映的是系统在t>0 以后各个时刻的运动规律。
作业
1、一根重量不可忽略的均匀弹性杆垂直放置，上端固定在 自由下落的电梯天花板上，设此电梯速度达到时突然静止， 写出定解问题。引力场忽略。
2、两端固定，长为l的均匀弦，在阻力与速度成比例的介 质中作微小横振动，求定解问题。 3、长为l的均匀杆，侧面绝热，一端温度为零，另一端有 恒定热流密度q流入，杆的初始温度分布函数是 x l x ， 2 写出相应的定解问题。 4、长为l的水平杆以常速度v顺水平轴方向运动，若杆的中 点处突然被钳住，写出相应的定解问题。
结论：第二类齐次边条件在杆纵振动中的物理 意义就是自由端不受力。
【例2】侧面绝热细杆热传导问题，求x=0端边条件
已知：x=0端 1）有热流密度q流入 2）绝热 解：1）有热流q流入的情况： 如图取小块（含端点x＝0） 左端：q 流入（所给边条件） 右端：q1 流出 q
第一章 波动方程
数学物理方程
§1.2 定解条件
第一章 波动方程
1、初始条件——描述系统的初始状态
波动方程的初始条件
u |t0 (x)
u t
t0
(x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
数学物理方程
第一章 波动方程
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
波动方程的三类边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
x x[ u (x ,t t) u (x ,t)] dx
x
t
t
于是由冲量定理：
t t T [ u ( x x , t ) u ( x , t ) ] d x x t [ u ( x , t t ) u ( x , t ) ] d
t
x x x t t
gdx
2u( x, t ) t 2
dx
其中：u(x dx,t) x
u ( x, t ) x
x
u(x,t) x
dx
2u ( x, t ) x2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
dx
数学物理方程
第一章 波动方程
T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
例如: 在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即
u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，
这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为
u ( x , 0 ) ( x ), u ( x , 0 ) ( x )( 0 x l ) t 这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分 方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。
数理方程
1. 基本概念偏微分方程： 含有未知多元函数及其偏导的方程，如2122121(,,,,;,,,;,)0n n u u u u F x x x u x x x x ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 其中：12(,,,)n u u x x x =为多元函数.方程的阶：未知函数导数的最高阶数； 方程的次数：最高阶偏导的幂次；线性方程：未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项：不含未知函数及其导数的项；齐次方程：没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非其次的； 方程的解：若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解：包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数； 特解:不含任意独立函数的方程的解. 例如：22()()sin cos u u x y x y∂∂+=∂∂为一阶非线性非齐次偏微分方程；u 为未知函数。
2222220u u ux y z ∂∂∂++=∂∂∂为二阶线性齐次方程； 二阶线性非其次偏微分方程22uy x x y∂=-∂∂的通解为 221(,)()()2u x y xy x y F x G y =-++其中，(),()F x G y 为两个任意独立的函数.注意：通解所含独立函数的个数＝偏微分方程的阶数.2. 线性偏微分方程解的特征含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为[](,)L u G x y =其中，L 为二阶线性偏微分算符，满足11221122[][].[][][].L cu cL u L c u c u c L u c L u =+=+(1).齐次线性偏微分方程解的特征a.当u 为方程的解，则()c u c R ⋅∈也为方程的解；b.12,u u 为方程的解，则1122c u c u +也为方程的解. (2). 非齐次线性偏微分方程解的特征a. I u 为非齐次方程的特解，II u 为齐次方程的通解，则I II u u +为非其次的通解；b. 若1122[](,),[](,).L u H x y L u H x y ==则1212[][](,)(,).L u L u H x y H x y +=+ (3).线性偏微分方程的叠加原理若k u 是方程[](1,2,)k L u f k ==的解(其中L 为二阶线性偏微分算符),如果级数1()kk k k cu c R ∞=⋅∈∑收敛，且二阶偏导数存在，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是1[]k kk L u c f ∞==⋅∑的解；特别地，若k u 是方程[]0L u =的解，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是[]0L u =的解.4.1数理方程的建立考虑一根均匀柔软的细弦沿x 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，如图1.1所示.设(,)u x t 是平衡时坐标为x 的点t 时刻沿y 方向的位移，现在求弦上各点的运动规律.“采用隔离法”研究一小段(,)x x dx +与外界的相互作用以建立方程. 假设：(1)弦是完全柔软的，所以张力T 沿着弦振动波形的切线方向；(2)只讨论弦做横向振动，故忽略弦在水平方向的位移，弦的横向加速度为tt u ，单位长度的质量为ρ或线密度为ρ；(3)振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角12,αα也是很小的，则332sin ,3!tan ,3cos 1 1.2!iiii i i i i i i αααααααααα=--≈=++≈=--≈ 而2tan [1()].T i i u uk ds dx dx x xαα∂∂==≈⇒=+=∂∂ 根据牛顿第二运动定律，在(纵向)水平方向上有21()cos ()cos 0()().T x dx T x T x dx T x T αα+-=⇒+=≡∈R在横向上有21sin sin ()()[]()().tt tt x dxxT T g ds ds u uuT g ds ds u xx ααρρρρ+--⋅=⋅∂∂⇒--⋅=⋅∂∂ 根据()()'()f x dx f x f x dx +-=，上式可以化简为2222[]()().tt tt u uT dx g ds ds u T g u x xρρρρ∂∂⋅-⋅=⋅⇒⋅-⋅=⋅∂∂即弦的横振动方程为2222.(,)tt xx xx u Tu a u g u a x ρ∂=⋅-==∂此式即为弦做微小横振动的运动方程，简称弦的振动方程，其中a 就是弦上振动传播的速度.图1.1所示讨论：①若弦的重量远远小于弦的张力，则重力加速度可以忽略不计，其运动方程为2.tt xx u a u =(*)此式称为弦的自由振动方程，也称为一维波动方程.②如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)F x t 作用，则(*)式可以改为2(,).(**)tt xx u a u f x t =+则(**)式称为弦的受迫振动，其中(,)(,).F x t f x t ρ=③对于0t ≥，两端固定，则00,0x x l u u ====，弦在0t =时无纵向移动，0000,t t uu v t ==∂==∂。
数学物理方程小结
解 法 二 ： Fourier Fourier 法
数学物理方程小结
1.6‘定解问题
utt − a 2u xx = 0 (t > 0) u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = 0 (−∞ < x < +∞)
utt (λ , t ) − a 2 (iλ ) 2 u (λ , t ) = 0 % Fourier变换 % Fourier % % 定解问题： u (λ , 0) = ϕ (λ ), ut (λ , 0) = 0 %
方程具有傅立叶正弦级数解
nπ x u ( x, t ) = ∑ Tn (t ) sin l n =1
∞
nπ at nπ at nπ x u ( x, t ) = ∑ An cos + Bn sin sin l l l n =1
∞
数学物理方程小结
1.2定解问题
utt − a 2u xx = 0 u x (0, t ) = 0, u x (l , t ) = 0 (t > 0) u ( x, 0) = ϕ ( x), u ( x, 0) = ψ ( x) (0 < x < l ) t
数学物理方程小结
解 法 二 ： Fourier Fourier 变 换 法 2.6’定解问题
ut − a 2u xx = 0 (t > 0) u ( x, 0) = ϕ ( x), (−∞ < x < +∞)
Fourier 定解问题 解 Fourier
ut (λ , t ) − a 2 (iλ ) 2 u (λ , t ) = 0 % % % % u (λ , 0) = ϕ (λ ),
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Scu (q1 q)St
u [k x
x l
q1
q
0
l- l
H (u |l u 0 )]St
同除以 S t，并令→0， t→0
u 0 k x H (u | xl u0 )
x l
即： (kux Hu) xl Hu0 , t 0
方程导出过程小结： 1）建立合适的坐标系
2）确定描述系统状态的物理量—未知函数 3）作出合理的简化假设 4）找出系统所遵从的主要物理规律
5）利用小块分析法导出方程
各类方程均是对一种连续分布的物理场的逐点、
瞬时的精确描述。也就是说，从空间上看，方程 所反映的是系统中除边界点外所有内部点的运动 规律。从时间上看，方程所反映的是系统在t>0 以后各个时刻的运动规律。
u (0, t ) 0 u (l , t ) 0 t 0
【例2】长为l的细杆导热，两端分别与温度为u0和f (t)
的热源接触。
u(0, t ) u 0 u(l , t ) f (t ) t 0
2.第二类边条件：直接给出未知函数在边界上法向偏 导数的变化规律
u 一般形式： n
一、初始条件
定义：描述初始时刻，系统各点状态的定解条件 注：只有非稳定问题，提初始条件才有意义
【例1】长为l弦的横振动
u ( x ,0 ) ( x ) 初条件 u t ( x,0) ( x )
【例2】热传导 初条件：
u(r ,0) (r )
r V
初位移 初速度
结论：第二类齐次边条件在杆纵振动中的物理 意义就是自由端不受力。
【例2】侧面绝热细杆热传导问题，求x=0端边条件
已知：x=0端 1）有热流密度q流入 2）绝热 解：1）有热流q流入的情况： 如图取小块（含端点x＝0） 左端：q 流入（所给边条件） 右端：q1 流出 q
q1 k u x
q1 0
推导方法：小块分析法，选含端点x=l的任一小段
推导思路：把基本物理规律运用于这一小块建立
运动方程，最后令→0
右：受力 F (t )
左：受力 F1
外力 张力
F1
F (t )
u 由胡克定律 F1 Y x
对于小块使用牛二：
S
x l
o
l- l
x
u( xc , t ) u S F (t ) F1 F (t ) YS 2 t x
侧面绝热
x
对小块使用能量守恒定律：q Scu (q q1 )St
q1 0
侧面绝热
x
(q k u x )St
同除以 S t 令→0， t→0
u c (q k u x ) t
0 q ku x (0, t )
q u x (0, t ) k
u x (0, t ) 是边界点x=0处的法向偏导数
2)绝热 可认为1)中的q=0（无热流流入）
ux (0, t ) 0
第二类齐次边条件在热传导问题中表示端点绝热 第二类边条件： 纵振动： 端点受力（不受力） 热传导： 端点有热流流入（绝热）
3.第三类边条件：给出未知函数及它的法向偏导数在 边界上满足的线性关系 一般形式： ( u u) f (M , t )
0 xl
系统中各点的温度 物体所占空间
二、边条件 定义：描述系统任意时刻，边界状态的定解条件 下面介绍常见的几种类型的边条件 1. 第一类边条件：直接给出边界上未知函数u的 数值或随时间的变化规律
一般形式：u(r , t ) r f (M , t ) 边界点M
【例1】两端固定，长为l的弦振动问题中，边条件为
作业
1、一根重量不可忽略的均匀弹性杆垂直放置，上端固定在 自由下落的电梯天花板上，设此电梯速度达到时突然静止， 写出定解问题。引力场忽略。
2、两端固定，长为l的均匀弦，在阻力与速度成比例的介 质中作微小横振动，求定解问题。 3、长为l的均匀杆，侧面绝热，一端温度为零，另一端有 恒定热流密度q流入，杆的初始温度分布函数是 x l x ， 2 写出相应的定解问题。 4、长为l的水平杆以常速度v顺水平轴方向运动，若杆的中 点处突】侧面绝热的细杆，x=l端，自由冷却，外界温 度为u0，求x=l端的边条件 解：自由冷却：散热方式是以辐射和对流为主 这种散热方式满足牛顿冷却定律： 物体表面流出的热流密度∝物体表面与外界的温差。
q H (u | M u0 )
物表温度
外界温度
此定律成立的条件是：物体表面与外界温差不太大 方法：小块分析法 由能量守恒：
f (M , t ) t 0
r 边界点M
【例1】细杆纵振动，x=0端固定，求两种情况下 的x=l端的边条件。 (1) 受力f (t)，(2)不受力, 解：纵振动：杆上各点均在平衡位置附近作往复 运动，振动方向沿杆的轴向。
x=0 端 ：第一类齐次边条件 u(0,t)=0 x=l 端： （1）受力F (t) 注： F (t)仅作用于x=l端
方程反映的是同一类物理问题的共性，跟具体条
件无关—泛定方程。具体问题的个性是由边界条
件和初始条件反映的；要完全确定地解出一个具
体的物理问题，还必须考虑边界条件和初条件－ 定解条件。
§3 定解条件
某系统物理状态的最后确定不仅取决于系统内部的 物理过程，而且还取决于系统周围环境和初始状态。 物理 t>0时刻系统内部的物理过程 t>0时刻系统的周围环境 t=0时刻系统的初始状态 数学 泛定方程 边界条件 初条件
2
x l
令→0，左→0， F (t ) YSux |l 0
F (t ) u x (l , t ) , YS
t 0
所以，受力时：u(0,t)=0， ux (l ,t)=F(t)/YS (2) 不受力（自由端） 可视为F (t)=0，ux (l ,t)=0 ，t > 0 所以，不受力时: u(0,t)=0， ux (l ,t)=0
H H 或： (u x u) u0 k k x l