(全国通用版)201X版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第7节 抛物线学案 理 新人教B版

第7节抛物线

最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

知识梳理

1.抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.

(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).

2.抛物线的标准方程与几何性质

图形

标准方程y2＝2px(p>0)

y2＝

－2px(p>0)

x2＝2py(p>0)

x2＝

－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离

性质

顶点O(0，0)

对称轴y＝0x＝0

焦点F

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

p

2

，0F

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－

p

2

，0F

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

0，

p

2F⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

0，－

p

2离心率e＝1

准线

方程

x＝－

p

2x＝

p

2y＝－

p

2y＝

p

2

范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口

方向

向右向左向上向下

[常用结论与微点提醒]

1.通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.

2.抛物线y 2

＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的

焦半径.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )

(2)方程y ＝ax 2

(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a 4，0，准线方

程是x ＝－a

4

.( )

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )

(4)AB 为抛物线y 2

＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2

＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )

解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.

(2)方程y ＝ax 2

(a ≠0)可化为x 2

＝1

a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0，14a ，准

线方程是y ＝－1

4a

.

(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A.y 2＝2x

B.y 2＝－2x

C.y 2＝4x

D.y 2＝－4x

解析 由准线x ＝1知，抛物线方程为：

y 2＝－2px (p >0)且p

2

＝1，p ＝2，

∴抛物线的方程为y 2＝－4x . 答案 D

3.(2018·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，

则m 的值为( ) A.5 B.－3或5 C.－2或6

D.6

解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，它与直线x ＝m 的距离为d ＝|m －1|＝4，∴m ＝－3或5，故选B. 答案 B

4.(教材练习改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________.

解析 很明显点P 在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x 轴负半轴上或y 轴负半轴上. 当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p ＞0)，把点P (－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p ×(－2)，

解得p ＝4，此时抛物线的标准方程为y 2＝－8x ；

当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p ×(－4)，解得p ＝1

2，此时抛物线的标准方程为x 2＝－y .

综上可知，抛物线的标准方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y

5.已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.

解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范围是[－1，1]. 答案 [－1，1]

考点一 抛物线的定义及应用

【例1】 (1)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点D 到y 轴的距离为( ) A.34

B.1

C.54

D.74