一阶谓词逻辑题目
阶谓词逻辑课件
阶谓词逻辑
5
函数和函数符号 函数是一种映射或指派关系。
设A是前面列出的所有城市的集合，B是所有这些城市的现有的城墙的集合。 那么f可以是这样一个函数，它把A中的每一个城市映射到B中该城市的城墙。 于是，f(西安）＝西安的城墙…….
在我们的讨论中，也可以有函数符号，用f, g, h……来表示。函数符号的定 义域和值域都是论域。
• 但实际上(1)和(2)的推理都是有效的。命题逻辑和词 项逻辑有局限性。
阶谓词逻辑
2
• 命题逻辑和词项逻辑的局限性：
• 1. 都不能处理关系命题及其推理； • 2. 都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其推理。
• 需要用另外的逻辑理论——谓词逻辑。
阶谓词逻辑
3
• 一阶谓词逻辑语言 • 一阶谓词逻辑公式 • 公式赋值/语义 • 普遍有效式 • 逻辑推论 • 形式推演 • 前束范式
阶谓词逻辑
6
•项
• 项类似于自然语言中的名词或名词词组，包括所有的个 体常项和个体变项，并且包括用函数符号加上适当的常 项或变项序列组成的符号串。
• 例如：fx: x的父亲
•
a: 张山
•
fa: 张三的父亲
• 这里的函数符号可以叠加，例如
• gx: x的母亲
• 张三的祖母？gfa
阶谓词逻辑
7
第一节 一阶谓词逻辑语言
第四章 一阶谓词逻辑
阶谓词逻辑
1
• 有些推理的有效性不能用命题逻辑和词项逻辑所讲的 方法判定：
(1)白马是马（p） 所以，骑白马是骑马（q）
• pq （不是重言式，在p=1，q=0, 的赋值值为假） (2) 2是小于3的 3是小于4的 所以，2是小于4的
• 没有相同的中项（小于3的；3），前提和结论之间建立不 起任何的关系
离散数学第四章 一阶逻辑基本概念
(1) 非空个体域DI (2) 对每一个个体常项ai, a i DI, 称作ai在I中的解释 (3) 对每一个函数符号fi, 设其为m元的, 元函数, 称作fi在I中的解释
fi 是DI上的m
是一个n元
(4) 对每一个谓词符号Fi, 设其为n元的, Fi 谓词, 称作Fi在I中的解释
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实例
例4.8 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N (b) a 2 (c) f ( x, y) x y, g ( x, y) xy (d) 谓词 F ( x, y) : x y 说明下列公式在 I 下的含义, 并讨论其真值 (1) xF(g(x,a),x) x(2x=x) 假命题 假命题
合式公式又称谓词公式, 简称公式
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量词的辖域
定义4.5 在公式xA和xA中, 称x为指导变元, A为相应量 词的辖域. 在x和x的辖域中, x的所有出现称为约束出现， A中不是约束出现的其他变项称为自由出现 例4.6 公式 x(F(x,y)yG(x,y,z)) x的辖域:(F(x,y)yG(x,y,z))， 指导变元为x y的辖域:G(x,y,z)， 指导变元为y x的两次出现均为约束出现 y的第一次出现为自由出现, 第二次出现为约束出现 z为自由出现.
第三章一阶谓词逻辑汇编
例：(1)2是素数。 (2)雪是黑的。 (3)今年的十二月一号是个晴天。 (4)X+Y>5
命题若是简单的陈述句，不能分解成更简单的句子，我们称 这样的命题为简单命题或原子命题。可以用英文字母P，Q， R，…或是带有下标的大写英文字母Pi等表示简单命题，将命题 用合适的符号表示，称为命题符号化。
2、一阶谓词逻辑 谓词的一般形式是:
P(x1, x2, … xn) 其中P是谓词，通常才用首字母大写开头的字母字符串 表示。 x1, x2, x3……… 是个体,通常用小写字母来表示。 在谓词逻辑中，命题被细分为谓词和个体两个部分。 n元谓词： 含有n个个体符号的谓词P(x1,x2, …xn)，表示一个映射： P：Dn →{T，F} 或是 (D1×(x1, x2, … xn) 其中P是谓词，通常首字母用大写字母表示。 x1, x2, x3……… 是个体,通常用小写字母来表示。 在谓词逻辑中，命题被细分为谓词和个体两个部分。 n元谓词： 含有n个个体符号的谓词P(x1,x2, …xn)，表示一个映射： P：Dn →{T，F} 或是 (D1×D2×D3…Dn) →{T，F}
例：设变元x和y的个体域是D={1，2}，谓词P（x，y） 表示x大于等于y，给出公式A=( x )(y)P(x,y)在D上的 解释，并指出在每一种解释下公式A的真值。
解： 由于在公式A中没有包括个体常量和函数，所以可由谓 词P（x, y）的定义得出谓词的真值指派。设对谓词P（x,y） 在个体域D上的真值指派为：
–(6)吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P
–(7)补余律 P∨﹁PT P∧﹁PF
–(8)联词化归律 P →Q ¬P∨Q 蕴涵式转化
–
P Q (P→Q)∧(P→Q)
第2章一阶逻辑典型习题知识分享
第2章一阶逻辑典型习题第二章 一阶逻辑1. 用谓词表达式写出下列命题:(1) 王文不是学生;(2) 2是素数且是偶数;(3) 若m 是奇数,则2m 不是奇数;(4) 河北省南接河南省;(5) 若2大于3.则2大于4.解 (1) P(x)：x 是学生 a ：王文于是（1）为：）（a P ⌝.K(2 ) H(x)：x 是素数 M （x ）：x 是偶数 a ：2于是（2）为：H （a ））（a M ∧(3) R(x) ：x 是奇数于是（3）为：R （m ））（m R 2⌝→.(4) L(x,y) ：x 南接y c ：河北省 d ：河南省于是（4）为L （c,d ）.(5) S(x,y)：x 大于y a ：2 b ：3 c ：4于是（5）为：S （a,b ））（c a S ,→.说明 从语法上看，每个被视为命题的语句，是由主语和谓语两部分组成的。
其中，主语是语句中的主动者，称为个体。
谓语是用来表明主语的性质或用来说明几个主语之间的关系，称为谓词。
例如前例（1）中的“王文”，（4）中的“河北省”、“河南省”都是个体；而其中的“ΛΛΛΛ南接”都是谓词。
在一阶逻辑中，表示具体的、特指的个体的词是个体常量；表示抽象的或泛指的或在一定范围内变化的词是个体变量。
个体变量的取值范围是定义域。
例如前例（2）中的“2”是个体常量；（3）中的“m ”是个体变量，它的定义域是整数集。
表示个体性质的谓词，一般形如G（x）,是一元谓词或一元命题函数。
表示n个个体之间关系的谓词，一般形如P（x1，x,Λn）,是n元谓词或n元命题Λ函数。
谓词函数不是命题，实际上是一种不确定的命题形式，但是当其中的变量x 被某个常量替换时，谓词函数便转化为命题。
例如，“x是有理数”是一元谓词，记作G（x），其中G表示谓词Λ”，D：实数集，G（x）：x是有理数，是一元谓词（不是命题，没“是有理数有真值）。
3D∈，G（3）：3是有理数，是命题，真值为1。
4.1一阶谓词逻辑基本概念
(1) (2) (3)
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7)
(8) (9) (10) (11) (12)
x(J(x)→L(x)) (4) x(L(x)∧S(x)) (5) x(J(x)∧O(x)∧V(x)) (6) (7) J(j)∧O(j)∧V(j) (8) x(L(x)→J(x)) (9) x(S(x)∧L(x)∧C(x)) (10) x(C(x)∧V(x)) (11) x((C(x)∧O(x))→L(x)) (12) x(W(x)∧C(x)∧H(x)) x(W(x)∧J(x)∧C(x)) x(L(x)→y(J(y)∧A(x,y))) x(S(x)∧y(L(y)→A(x,y)))
◦ 由一个谓词和若干个个体变元组成的命题形式称为简单命 题函数，表示为P(x1,x2,…,xn)。由一个或若干个简单命题函 数以及逻辑联结词组成的命题形式称为复合命题函数
◦ 命题函数不是命题，没有确定真值，但其中谓词是谓词常量时，可 通过个体指派使其成为命题。如：若简单命题函数P(X)表示“x是 质数”，则P(1)为F，P(2)为T。
(1) 5是质数 (2) 张明生于北京 (3) 7=3×2
P(5)
G(a,b)
H(7,3,2)
P(x)：x是质数
G(x, y)： x生于y ，a：张明，b：北京
H(x, y, z) ：x=y×z
谓词 个体词 谓词函数
例 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论真值。 (1)只有2是素数，4才是素数。 (2)如果5大于4，则4大于6.
除个体指派外，还常用“量”作出判断，如：“所有的人都是要死 的”、“有的数是质数”。这种表述在数理逻辑目标语言中需要引 入量词，当然量化与个体指派之间是有联系的，数理逻辑中常用量 词有两个——全称量词和存在量词。
离散-3-2-谓词逻辑(1)
第二章 一阶谓词逻辑
命题符号化
基本概念:个体、谓词、量词 项、原子公式、合式谓词公式 公式中量词的辖域、自由变元、约束变元 公式的分类 公式间的关系
合式谓词公式
永真公式
1
第二章 一阶谓词逻辑
»
苏格拉底(Socrates)论证：
所有的人都是要死的，苏格拉底是人， 所以，苏格拉底是要死的。
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))
(对∧可分配）
(对∨可分配）
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧x B(x)
合式公式»
令论述域为实数域， E(x,y): x=y; G(x,y):x>y,f(x,y): xy, 则
(1) ‘除非y0 x2=y不存在解’ 可符号化为 . (2) ‘存在一个x,对每一对y和z,使xy=xz’可符号化为 解： (1) xy(¬(G(y,0)∨E(y,0))¬ E(f(x,x),y)) 或 xy(E(f(x,x),y)G(y,0)∨E(y,0)).
把原子命题分解成 个体、谓词和量词, 并分别用符号表示
命题逻辑:
谓词逻辑:
用联接词联接 命题符号 用联接词联接 3 原子命题符号串
分析找出 简单命题
§2.1 命题符号化(2)
例1：将下列命题符号化： （1）存在小于 0 的实数；（2）任意实数的平方都不小于 0. 解：设个体域为实数集，L(x,y): x小于y, f(x): x的平方 (1) x L(x,0) (2) x ┐L(f(x),0) 如果个体域为全总个体域，设 R(x): x是实数 (1) x（R(x)∧L(x,0)） 特性谓词
一阶逻辑
第二章一阶逻辑一、选择：1．设A(x)：x是大学生，B(x)：x要考试，C(x)：x爱唱歌，则：（1）所有大学生都要参加考试。
符号化为：（2）有些大学生爱唱歌。
符号化为：选项：①∀x(A(x)→B(x)) ②∀x(A(x)∧B(x))③∃x(A(x)∧B(x)) ④∃x(A(x)→B(x))2．令P(x)：x是实数，Q(x)：x是无理数。
下列命题：（1）并非每个实数是无理数。
符号化为：（2）虽然有些实数是无理数，但未必一切实数都是无理数。
符号化为：选项：①∀x⌝(P(x)∧Q(x))②⌝∀x(P(x)→Q(x))③∃x(P(x)∧Q(x))∧⌝∀x(P(x)→Q(x))④⌝∃x(P(x)∧Q(x))∧∀x(P(x)→Q(x))3．设个体域为自然数集合，P(x,y,z)：x+y=z，Q(x,y,z)：x·y=z，R(x,y)：x<y。
对于下列命题：（1）∀x⌝R(x,0) （2）∀xP(x,0,x)（3）∀x∀yQ(x,y,y) （4）∃x∀yP(x,y,y)（5）∀x∃yP(y,x,x) （6）∀x∀y∀z(P(x,y,z)∨Q(x,y,z)其真值为假的有：①（1）（2）②（1）（3）③（1）（4）④（2）（5）⑤（4）（6）⑥（3）（6）⑦（3）（5）⑧（2）（3）（6）4．对于下列各式：（1）∀x(P(x)∧Q(x))→∃xP(x)（2）∀xP(x)→∃x(P(x)∨Q(x))（3）∃x(P(x)∧Q(x))∨⌝∃xP(x)永真式有：①（1）（2）②（1）（3）③（2）（3）④（1）（2）（3）二、综合练习题：1．证明下列各等价式：（1）∀xP(x)∧⌝∃xQ(x)⇔∀x(P(x)∧⌝Q(x))（2）∃x(P(x)→Q(x))⇔∀xP(x)→∃xQ(x)2．在一阶逻辑中将下列命题符号化：（1）没有不吃饭的人。
（2）在北京卖菜的人不全是东北人。
（3）自然数全是整数。
（4）有的人天天锻炼身体。
一阶谓词原理
例：XP(X)→Q(X) X的辖域是P(X)
X(P(X,Y)→Q(X，Y) ) P(Y,Z) X的辖域是P(X，Y)→Q(X，Y)
03:00
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定义：在量词X，X辖域内变元X的一切出现叫约束出现，称 这样的X为约束变元。 变元的非约束出现称为自由出现,称这样的变元为自由变元。
∃x(G(x)∧R(x)), 其中G(x):x是偶数; R(x):x是4的倍数
03:00
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D.举例
2.设个体域为D={x|x为人}，将下列命题符号化： (1)人都生活在地球上；
∀xF(x), 其中F(x)：x生活在地球上 (2)有的人长着黑头发；
∃xG(x), 其中G(x)：x长着黑头发 (3)中国人都用筷子吃饭；
P(X1, X2…Xn)称为谓词演算的原子公式。
前面例子中的1元谓词F(x)，G(x)，2元谓词H(x,y)，L(x,y) 等都是原子公式。
03:00
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B.谓词合式公式
谓词合式公式简称谓词公式 定义:
1) 原子公式是谓词合式公式 2)若A， B是谓词合式公式，则
(┐A)，(AB)，(AB)，(A→B)，(AB)， (XA)和(XA)是谓词合式公式
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C.量词
(1)全称量词x x读作‘对任意x’ xP(x)表示‘对一切x,P(x)为真’ ┐x┐P(x)表示 ‘并非对任意x, ┐P(x)是真’
03:00
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C.量词
(2)存在量词x
x读作‘至少有一x’，‘存在一x’
x ┐P(x)表示 ‘存在一x，使┐P(x) 为真’
第5章一阶谓词
(2) S(a)
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
下面我们进行形式推理：
(2)x(S(x)→M(x)) ［前提］
(2)S(a)→M(a)
［(1),US］
(3)S(a)
［前提］
(4)M(a)
［(2),(3),I3］
得结果：M(a)，即“小王学过计算机”。
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
f(x1,x2,…,xn)
表示个体变元x1,x2,…,xn所对应的个体y，并称之为n元个体函数， 简称函数（或函词、函词命名式）。其中f是函数符号，有了 函数的概念和记法，谓词的表达能力就更强了。例如，我们用 Doctor(father(Li))表示“小李的父亲是医生”，用E(sq(x),y))表 示“x的平方等于y”。
部量化。
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
把上面关于量化的概念也可以推广到谓词公式。于 是，我们便可以说，如果一个公式中的所有个体变元都 被量化，或者所有变元都是约束变元（或无自由变元），
则这个公式就是一个命题。特别地，我们称 xA(x)为全
称命题， xA(x)为特称命题。对于这两种命题，当个体
域为有限集时（设有n个元素），有下面的等价式：
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
表5.1 常用逻辑等价式
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
第5章 基于谓词逻辑的机器推理 表5.2 常用逻辑蕴含式
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
例5.4 设有前提： (1)凡是大学生都学过计算机； (2)小王是大学生。 试问：小王学过计算机吗？ 解 令S(x)：x是大学生;M(x)：x学过计算机; a：小王。 则上面的两个命题可用谓词公式表示为
一阶谓词逻辑表示法例题
一阶谓词逻辑表示法例题
一、选择题
1、知识的表示方法有（）。
A、一阶谓词逻辑表示法
B、框架表示法
C、语义网络表示法
D、产生式表示法
2、知识表示的方法主要有：状态空间法、问题归约法、谓词逻辑法、语义网络法、框架表示法以及（）。
A、面向对象表示法
B、自然语言理解
C、数据库的智能检索
D、专家咨询系统
3、非结构化的知识的表示法是（）。
A、语义网络表示
B、谓词逻辑表示
C、框架表示法中
D、面向对象表示
4、以下说法正确的是（）。
A、不确定性推理中事实证据的不确定性不可以用可信度表示
B、CF=0表示可信度为0，代表某证据为假
C、事实的可信度来源有两个：专家直接提供和系统计算
D、推理规则和事实证据的不确定性可信度表示方法相同。
同上
二、简答题
1、一阶谓词逻辑表示法适合于表示哪种类型的知识，它有哪些特点？
2、产生式系统有哪几部分组成？各部分的作用是什么？
3、什么是子句？什么是子句集？请写出求谓词公式子句集的步骤。
第二章谓词逻辑(1)
第二章 一阶逻辑(1/2)
在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联 系和数量关系.因而命题逻辑具有局限性，甚至无法 判断一些简单而常见的推理. 考虑下面的推理: 凡偶数都能被2整除；6是偶数.所以，6能被2整除. 这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在 命题逻辑中却无法判断它的正确性.因为在命题逻辑 中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为 p， q，r，将推理的形式结构符号化为 (p∧q)→r 由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确 性.
(3)令H(x):x登上过木星.命题(3)符号化形式为 ┐ x(M(x)∧H(x)) (2.9) 到目前为止，对于任何一个人(含已经去世的人) 都还没有登上过木星，所以对任何人a， M(a)∧H(a)均为假，因而 x(M(x)∧H(x))为假， 所以(2.9)表示的命题为真.
(4)令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲 人.命题(4)符号化形式为 ┐ x(F(x)→G(x)) (2.10) 这个命题也为真.
有时候将不带个体变项的谓词称为0元 谓词，例如，F(a)，G(a,b)，P(a1,a2,…,an)等 都是0元谓词.当F，G，P为谓词常项时，0 元谓词为命题.这样一来，命题逻辑中的命 题均可以表示成0元谓词，因而可以将命题 看成特殊的谓词.
例2.1.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化， 并讨论它们的真值:
习题(第二章一阶逻辑)080923
第二章 一阶逻辑（习题）
4） D:R,F(x,y) :x>y, ｘyF(x,y) :存在实数x,对任意的实数y，使得x>y。假 yxF(x,y) :对任意的实数y,存在实数x，使得x>y。真 所以， ｘ yF(x,y) yxF(x,y) 为真。 D:N,F(x,y) :x<y, ｘyF(x,y) :存在自然数x,对任意的自然数y，使得 x < y。真 yxF(x,y) :对任意的自然数y,存在自然数x，使得 x < y。假 所以， ｘ yF(x,y) yxF(x,y) 为假。 综上，ｘ yF(x,y) yxF(x,y)是可满足的。
2014-11-8
计算机科学与工程系14
第二章 一阶逻辑（习题）
解： 1） P (Q P) P Q P 1 ， 用F(x,y) 代替上式中的P，用代替上式中的Q，得 F(x,y) (G(x,y) F(x,y) ) 是永真的。 2）因为 F(x) F(x) F(x) F(x) 1 ，
第二章 一阶逻辑（习题）
12、证明下列各式既不是永真的也不是永假的： 1） ｘ（F(x) y(G(y)∧H(x,y)) )。 2） ｘ y（F(x) ∧ G(y) H(x,y))。
2014-11-8
计算机科学与工程系20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二章 一阶逻辑（习题）
1） D:N,F(x) :x是偶数, G(x) :x是奇数, H(x,y)：x≥y。 ｘ（F(x) y(G(y)∧H(x,y)) ):对任意的自然数x，如 果x是偶数，则存在奇数 y，使得x≥y。假 D:N,F(x) :x是偶数, G(x) :x是奇数, H(x,y)：x≠y。 ｘ（F(x) y(G(y)∧H(x,y)) ):对任意的自然数x，如 果x是偶数，则存在奇数 y，使得x ≠ y。真 综上， ｘ（F(x) y(G(y)∧H(x,y)) )既不是永真的 也不是永假的。
一阶谓词逻辑题目
一阶谓词逻辑题目●镇江的夏天既炎热又潮湿解：定义谓词hot(X,Summer)：X地的夏天很炎热wet(X,summer)：X地的夏天很潮湿该知识可以表示为hot(Zhenjiang,summer)∧wet(Zhenjiang,summer)●有人每天下午都去打篮球。
解：定义谓词P(x)：x是人B(x)：x打篮球A(y)：y是下午将知识用谓词表示为：(?x)(?y) (A(y)→B(x)∧P(x))●新型计算机速度又快，存储容量又大解：定义谓词NC(x)：x是新型计算机F(x)：x速度快B(x)：x容量大将知识用谓词表示为：(?x) (NC(x)→F(x)∧B(x))●不是每个信息系的学生都喜欢在计算机上编程序。
解：定义谓词S(x)：x是信息系学生L(x, pragramming)：x喜欢编程序U(x,computer)：x使用计算机将知识用谓词表示为：(?x) (S(x)→L(x, pragramming)∧U(x,computer))●所有的消防车都是红色的解: 定义谓词Fireengine(x) : x是消防车Color(x, y) : x的颜色是yred:表示红色该知识可以表示为：(?x)( Fireengine(x))→Color(x, red)对于所有的x, 如果x是消防车，那么x的颜色是红色的●所有的自然数，不是奇数就是偶数解：定义谓词N(x) : 表示x是自然数O(x) : 表示x是奇数E(x) : 表示x是偶数该知识可表示为：(?x)( N(x))→(O(x) ∨E(x))●305房间有个物体解：定义谓词In（x，y）：x在y里面Room（x）：x是房间r305：305房间（?x）In（x，Room（r305））●每个车间都有一个人负责有一个人是所有车间的负责人解：定义谓词：Workshop（x）：x是个车间Head（y,x）: y是x的负责人以上知识可表示为：(?x)(?y)( Workshop（x）→Head（y,x）) (?y)(?x)( Workshop （x）→Head（y,x）)。
谓词逻辑复习题及答案
谓词逻辑复习题及答案1. 请解释谓词逻辑中的量词“∀”和“∃”分别代表什么含义？答案：在谓词逻辑中，“∀”代表全称量词，意为“对于所有的”；“∃”代表存在量词，意为“存在”。
2. 描述谓词逻辑中命题逻辑与谓词逻辑的主要区别。
答案：命题逻辑主要处理简单命题及其逻辑关系，而谓词逻辑则引入了量词和谓词，能够处理更为复杂的结构，如个体之间的关系和属性。
3. 如何用谓词逻辑表达“所有的人都是会死的”？答案：可以用谓词逻辑表达为：∀x(P(x) → Q(x))，其中P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会死”。
4. 请解释谓词逻辑中的逻辑等价和逻辑蕴涵。
答案：逻辑等价指的是两个公式在所有可能的解释下都具有相同的真值，而逻辑蕴涵指的是一个公式的真值能够保证另一个公式的真值。
5. 给定以下谓词逻辑表达式：∀x(P(x) → Q(x))，如果P(a)为真，那么Q(a)的真值如何？答案：如果P(a)为真，根据全称量词的定义，Q(a)也必须为真，否则表达式∀x(P(x) → Q(x))将不成立。
6. 请解释谓词逻辑中的析取和合取。
答案：析取（∨）表示逻辑或，即至少有一个命题为真时整个表达式为真；合取（∧）表示逻辑与，即所有命题都为真时整个表达式才为真。
7. 用谓词逻辑表达“存在一个学生，他既聪明又勤奋”。
答案：∃x(S(x) ∧ W(x) ∧ D(x))，其中S(x)表示“x是学生”，W(x)表示“x聪明”，D(x)表示“x勤奋”。
8. 描述谓词逻辑中的否定和双重否定。
答案：否定（¬）表示对一个命题的真值取反，即如果P为真，则¬P 为假；双重否定（¬¬P）则表示对否定的否定，逻辑上等同于原命题P。
9. 请解释谓词逻辑中的蕴含和逆蕴含。
答案：蕴含（→）表示如果前件为真，则后件也为真；逆蕴含（←）则表示如果后件为真，则前件也为真。
10. 用谓词逻辑表达“所有人都是动物，但并非所有动物都是人”。
一阶谓词逻辑实例分析
一阶谓词逻辑表示
COMPUTER(x) LIKE(x,y) LOVE(x,y) MAN(x)
表示x是计算机系的学生 表示x喜欢y 表示x爱y 表示x是人
6.3知识表示方法
一阶谓词逻辑表示
谓词逻辑是一种接近于自然语言的形式语言，人 们比较容易接受，用它表示知识比较容易理解。
谓词逻辑是二值逻辑，谓词公式的真值只有“真” 与“假”，因此可转换为计算 机易于存储与处理的内部表示模式，便于实现对 知识的增加、删除与修改。
6.3知识表示方法
一阶谓词逻辑表示
谓词逻辑表示法的弊端
一阶谓词逻辑
（1）所有正数均可开平方 （2）有些人是大学生 （3）猫必捕鼠 （4）没有不犯错误的人 （5）没有最大的自然数
一阶谓词逻辑练习
6.3知识表示方法
一阶谓词逻辑表示
用谓词公式表示知识时，首先需要定义谓词，给 出每个谓词的确切含义，然后用连词把有关谓词 连接起来表示一个更复杂的含义。对谓词公式中 的变元，根据知识表示的需要，把需要约束的变 元用相应的量词予以约束。
1.王林是计算机系的学生，但他不喜欢编程序。 2.人人爱劳动。
6.3知识表示方法
则语句可表示为： xy（（C（x）∧R（y）） A（x，y））
（4）没有不犯错误的人
设 F（x）：“x是人”， M（X）：“x犯了错误”，
则语句可表示为：
（x（ F（x）∧ M（x）））
（5）没有最大的自然数
设N（x）：x是自然数， G（ x，y）：“x大于y”，
则语句可表示为：
x( N( x )y( N( y )∧G(y,x))
（1）所有正数均可开平方
设 P（x）： x是正数； Q（x）： x 可开平方
5.1一阶谓词逻辑等值式与置换规则
例 设个体域D={a,b,c}, 消去公式中的量词: xy(F(x)G(y))
解 xy(F(x)G(y)) (y(F(a)G(y)))(y(F(b)G(y)))(y(F(c)G(y))) ((F(a)G(a))(F(a)G(b))(F(a)G(c))) ((F(b)G(a))(F(b)G(b))(F(b)G(c))) ((F(c)G(a))(F(c)G(b))(F(c)G(c)))
7
例 将下面命题用两种形式符号化, 并证明两者等值: (1) 没有不犯错误的人
解 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
量词否定等值式 置换
x(F(x)G(x))
置换
8
求下述在I下的解释及其真值:
xy(F(f(x))G(y,f(a)))
解 xF(f(x))yG(y,f(a))
F(f(2))F(f(3))(G(2,f(2))G(3,f(2)))
10(10)0
35
xA(x)B 其中x是个体变项符号, 且不在前提的任何公式和B
中自由出现
24
4. 存在量词引入消去规则(+)
A(y)
BA(y)
xA(x) 或 BxA(x)
A(c)
xA(x) 或
BA(c) BxA(x)
其中x,y是个体变项符号, c是个体常项符号, 且在A 中y和c不在x和x的辖域内自由出现.
前提: x(F(x)H(x)), x(G(x)H(x))
结论: x(G(x)F(x))
证明:
① x(F(x)H(x))
前提引入
② x(F(x)H(x))
第2章一阶逻辑典型习题
第二章 一阶逻辑1. 用谓词表达式写出下列命题:(1) 王文不是学生;(2) 2是素数且是偶数;(3) 若m 是奇数,则2m 不是奇数;(4) 河北省南接河南省;(5) 若2大于3.则2大于4.解 (1) P(x)：x 是学生 a ：王文于是（1）为：）（a P ⌝.(2 ) H(x)：x 是素数 M （x ）：x 是偶数 a ：2于是（2）为：H （a ））（a M ∧(3) R(x) ：x 是奇数于是（3）为：R （m ））（m R 2⌝→. (4) L(x,y) ：x 南接y c ：河北省 d ：河南省于是（4）为L （c,d ）.(5) S(x,y)：x 大于y a ：2 b ：3 c ：4于是（5）为：S （a,b ））（c a S ,→.说明 从语法上看，每个被视为命题的语句，是由主语和谓语两部分组成的。
其中，主语是语句中的主动者，称为个体。
谓语是用来表明主语的性质或用来说明几个主语之间的关系，称为谓词。
例如前例（1）中的“王文”，（4）中的“河北省”、“河南省”都是个体；而其中的“ 南接”都是谓词。
在一阶逻辑中，表示具体的、特指的个体的词是个体常量；表示抽象的或泛指的或在一定范围内变化的词是个体变量。
个体变量的取值范围是定义域。
例如前例（2）中的“2”是个体常量；（3）中的“m ”是个体变量，它的定义域是整数集。
表示个体性质的谓词，一般形如G （x ）,是一元谓词或一元命题函数。
表示n 个个体之间关系的谓词，一般形如P （x 1，x , n ）,是n 元谓词或n 元命题函数。
谓词函数不是命题，实际上是一种不确定的命题形式，但是当其中的变量x 被某个常量替换时，谓词函数便转化为命题。
例如，“x 是有理数”是一元谓词，记作G （x ），其中G 表示谓词“是有理数 ”，D ：实数集，G （x ）：x 是有理数，是一元谓词（不是命题，没有真值）。
3D ∈，G （3）：3是有理数，是命题，真值为1。
第2章一阶逻辑典型习题知识分享
第2章一阶逻辑典型习题第二章 一阶逻辑1. 用谓词表达式写出下列命题:(1) 王文不是学生;(2) 2是素数且是偶数;(3) 若m 是奇数,则2m 不是奇数;(4) 河北省南接河南省;(5) 若2大于3.则2大于4.解 (1) P(x)：x 是学生 a ：王文于是（1）为：）（a P ⌝.K(2 ) H(x)：x 是素数 M （x ）：x 是偶数 a ：2于是（2）为：H （a ））（a M ∧(3) R(x) ：x 是奇数于是（3）为：R （m ））（m R 2⌝→.(4) L(x,y) ：x 南接y c ：河北省 d ：河南省于是（4）为L （c,d ）.(5) S(x,y)：x 大于y a ：2 b ：3 c ：4于是（5）为：S （a,b ））（c a S ,→.说明 从语法上看，每个被视为命题的语句，是由主语和谓语两部分组成的。
其中，主语是语句中的主动者，称为个体。
谓语是用来表明主语的性质或用来说明几个主语之间的关系，称为谓词。
例如前例（1）中的“王文”，（4）中的“河北省”、“河南省”都是个体；而其中的“ΛΛΛΛ南接”都是谓词。
在一阶逻辑中，表示具体的、特指的个体的词是个体常量；表示抽象的或泛指的或在一定范围内变化的词是个体变量。
个体变量的取值范围是定义域。
例如前例（2）中的“2”是个体常量；（3）中的“m ”是个体变量，它的定义域是整数集。
表示个体性质的谓词，一般形如G（x）,是一元谓词或一元命题函数。
表示n个个体之间关系的谓词，一般形如P（x1，x,Λn）,是n元谓词或n元命题Λ函数。
谓词函数不是命题，实际上是一种不确定的命题形式，但是当其中的变量x 被某个常量替换时，谓词函数便转化为命题。
例如，“x是有理数”是一元谓词，记作G（x），其中G表示谓词Λ”，D：实数集，G（x）：x是有理数，是一元谓词（不是命题，没“是有理数有真值）。
3D∈，G（3）：3是有理数，是命题，真值为1。
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●镇江的夏天既炎热又潮湿
解：定义谓词
hot(X,Summer)：X地的夏天很炎热
wet(X,summer)：X地的夏天很潮湿
该知识可以表示为
hot(Zhenjiang,summer)∧wet(Zhenjiang,summer)
●有人每天下午都去打篮球。
解：定义谓词
P(x)：x是人
B(x)：x打篮球
∀
A(y)：y是下午
将知识用谓词表示为：
(∃x)(∀y) (A(y)→B(x)∧P(x))
●新型计算机速度又快，存储容量又大
解：定义谓词
NC(x)：x是新型计算机
F(x)：x速度快
B(x)：x容量大
将知识用谓词表示为：
(∀x) (NC(x)→F(x)∧B(x))
●不是每个信息系的学生都喜欢在计算机上编程序。
解：定义谓词
S(x)：x是信息系学生
L(x, pragramming)：x喜欢编程序
U(x,computer)：x使用计算机
将知识用谓词表示为：
⌝(∀x) (S(x)→L(x, pragramming)∧U(x,computer))
●所有的消防车都是红色的
解: 定义谓词
Fireengine(x) : x是消防车
Color(x, y) : x的颜色是y
red:表示红色
该知识可以表示为：
(∀x)( Fireengine(x))→Color(x, red)
对于所有的x, 如果x是消防车，那么x的颜色是红色的●所有的自然数，不是奇数就是偶数
解：定义谓词
N(x) : 表示x是自然数
O(x) : 表示x是奇数
E(x) : 表示x是偶数
该知识可表示为：
(∀x)( N(x))→(O(x) ∨E(x))
●305房间有个物体
解：定义谓词
In（x，y）：x在y里面
Room（x）：x是房间
r305：305房间
（∃x）In（x，Room（r305））
●每个车间都有一个人负责
有一个人是所有车间的负责人
解：定义谓词：
Workshop（x）：x是个车间
Head（y,x）: y是x的负责人
以上知识可表示为：
(∀x)(∃y)( Workshop（x）→Head（y,x）) (∃y)(∀x)( Workshop（x）→Head（y,x）)。