小学六年级奥数勾股定理讲座
勾股定理公开课PPT课件
国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，
有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
现在在网络上看到较多的是16种,包括前面的6种,还有:
欧几里得证明、
利用相似三角形性质证明、
杨作玫证明、
李锐证明、
利用切割线定理证明、
利用多列米定理证明、
作直角三角形的内切圆证明、利用反证法证明、
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C Aa c
b B
SA+SB=SC探
SA=a2 索
SB=b2 勾
SC=c2 股
a2+b2=c2
定 理
猜想
7
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如果直角三角形的两条直角边
长分别为a,b，斜边长为c，那么 探
c2=a2+b2.
索
勾
勾a
c弦 股 定
b股
理
试一试?
8
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请利用此图象，证明勾股定理 ：
a2+b2=c2
角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那段
话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4 （长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事
实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的
话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五
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13
勾股定理，想得再多一点
如图，受台风莫拉克影响，一棵树在离地面4 米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵 树折断前有多高？
4米
3米
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《勾股定理第一节》课件
欢迎来到《勾股定理第一节》的PPT课件！在这里，我们将深入了解勾股定理 的定义、历史、应用以及如何利用它解决几何问题。准备好迎接数学的奇妙 之旅了吗？
勾股定理的定义
1 直角三角形
在直角三角形中，勾股定理描述了三条边之间的关系，即c²= a²+ b²，其中c为斜边，a和b 为两条直角边。
2 广泛应用
勾股定理在现实世界中有广泛的应用，为我们解决实际问题提供了有力工具。
3 数学乐趣
通过深入研究勾股定理，我们不仅能够提升数学技巧，还可以享受数学的乐趣。
2 数学公式
勾股定理可以用数学公式表示为a²+ b²= c²，其中a、b、c分别代表直角三角形的三条边。
3 几何推理
通过勾股定理，我们能够得到直角三角形内角的相互关系，进而应用于解决各种几何问 题。
勾股定理的历史
古代秦国
勾股定理最早可以追溯到古代秦国，文献 中有记载了解决直角三角形的方法。
中国古代
中国古代数学家对勾股定理进行了独特的 研究，发现了更多的特性和应用。
古希腊
勾股定理的现代形式由古希腊数学家一并 提出，并以毕达哥拉斯之名命名。
欧洲文艺复兴
欧洲文艺复兴时期，勾股定理开始在欧洲 广为传播，并成为现代数学的基础。
勾股定理的应用
1
导航与测量
2Байду номын сангаас
勾股定理可以帮助我们在导航和
测量中确定距离和方向。
3
建筑设计
勾股定理在建筑设计中广泛应用， 例如测量直角墙角、设计稳固的 支撑结构等。
物理学
勾股定理在物理学中有广泛应用， 尤其是在力学、光学和电磁学等 领域。
利用勾股定理求解几何问题
小学数学人教新版六年级上册奥数系列讲座：勾股定理(含答案解析)
小学数学人教新版六年级上册实用资料勾股定理内容概述1.勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．公元前500年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺．2. 公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五．三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦．句股各自乘，并，而开方除之，即弦．中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽的弦图.2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图．如下,在弦图中有EFGH S =四边形()12ABCD MNPQ S S +矩形矩形C DG ADG CDE S S S '==V V V3. 伽菲尔德证法:美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法：梯形面积=12(上底＋下底)×高 =12(a+b)×(a+b) =12(a+b)2；三个直角三角形的面积和=12ab+12ab+12c 2； 梯形面积=三个直角三角形面积和．12(a+b)2=12ab+12ab+12c 2,所以a 2+b 2=c 2. 4.公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明,简叙如下：如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形ABC 的三边长.连接图中的虚线段对应的点；过C 作CK 平行于AF,交AB 、FG 分别于J 、K 点．易证△AFC ≌△BAE ,有12FAC S =V AF.FK=12AFKJ S 矩形,12BAE S =V EA.CA=ACDE S 正方形,所以AFKJ S =矩形ACDE S 正方形；易证△C BG ≌△HBA，有12CBG S =V BG.KG=12KGBJ S 矩形,12HBA S =V BH.IH=CBHI S 正方形,所以KGBJ S 矩形CBHI S =正方形.而AFGB AFKJ S S =正方形矩形KGBJ ACBE S S +=矩形正方形CBHI S +正方形．即有AB 2=AC 2+CB 2.5. 勾股数组:a=u 2-v 2,b=2uv,c=u 2+v 2如果a 、6、c 可以如此表达,那么a 、b 、c 称之为勾股数组,有a 2+b 2=c 2．如:u=2,v=l 时a=3,b=4,c=5；u=7,v=6时a=13,b=84,c=85．当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组.典型问题2.智能机器猫从平面上的O 点出发.按下列规律行走:由O 向东走12厘米到A 1,由A 1向北走24厘米到A 2,由A 2向西走36厘米到A 3,由A 3向南走48厘米到A 4,由A 4向东走60厘米到A 5,…,问:智能机器猫到达A 6点与O 点的距离是多少厘米?【分析与解】 如右图所示,当智能机器猫到达A 6点时,相对 O 点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米． 有26OA =362+482,即OA 2=60．所以,A 6点到O 点的距离为60厘米．4.如图32-3所示,直角三角形PQR 的两个直角边分别为5厘米,9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少?【分析与解】 如右图,延长AR,DQ,过E,F 分别作AR,DQ 的平行线,在正方形EFRQ 内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHMN ，四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面积之和相等．小正方形HGNM 的边长为9-5=4厘米,所以面积为16平方厘米,而另 外两个正方形ABPR 、CDQR 他的面积分别为25,81．所以原图中3个正方 形面积之和比4个三角形面积之和大25+8l+16=122平方厘米．6.若把边长为1的正方形ABCD 的四个角剪掉,得一四边形A 1B l C l D l ,试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的59,请说明理由.(写出证明及计算过程)【分析与解】如左图所示,我们知道利用弦图,可是弦图怎么利用?设构造出的弦图中最小正方形的面积为x最大正方形面积为1,那么有剩下的正方形面积为12(x+1)=59,所以x=19.那么,最小正方形的边长为13.由于是四角对称的剪去,所以有AD l=DC l=CB l=BA1=13,AA l=BB l=CC l=DD l=23证明及计算过程略．8.有5个长方形,它们的长和宽都是整数,且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少?【分析与解】注意到,5个长、宽均不相等的长方形拼成一个正方形,只有一种拼法.(如右图所示，由弦图联想到)．A、B、C、D中必有一个长方形的一边长为10,不妨设为A，那么显然不能组成边长为10的正方形；如果能够组成边长为11的正方形,那么有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+5,那么大正方形的四边必须是为11,则剩下的两个数,它们的和为11,为中问阴影部分的长、宽和；评注:如果能够组成边长为12的正方形,那么有12=10+2=9+3=8+4=7+5,剩下1、6试填不满足．对于边长为13的正方形,注意到13=10+3=9+4=8+5=7+6,剩下1、2,有见下图情形,满足．10.园林小路,曲径通幽.如图32-7所示,小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成.问：内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形的总面积大?请说明理由．【分析与解】如图①,我们任意抽出两块相邻的白色正方形石板,及它们所夹成的青、红两色的三角形石板，如图②所示.图中有∠CDB+∠ADG=1800.如果③,将△CDE 逆时针旋转900,得△C DG '.有A 、D 、C '在同一条直线上,且△C DG '与△ADG 等底同高,所以有C DG ADG CDE S S S '==V V V .也就是说,任意两块相邻的白色正方形石板,它们所夹成的青色三角形与红色三角形面积相等．注意到在原图中,除了外圈青色的两块三角形外,外圈三角形、内圈三角形一一对应.所以原图中,外圈三角形的面积大于内圈三角形的面积,如图①所示．。
第01讲 勾股定理(尖子班)讲课稿
第01讲勾股定理(尖子班)第01讲 勾股定理考点·方法·破译1．会用勾股定理解决简单问题.2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.经典·考题·赏析【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是( )A ．13B ．26C ．47D ．94【解法指导】 观察勾股树，发现正方形A 、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E 的面积等于正方形A 、B 、C 、D 四个面积之和，故选C ．【变式题组】01．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.02．(浙江省温州)在直线l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______.lA 1D C B 2 第1题图第2题图第3题ACB ll l03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且l 1、l 2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是( ) A． B． C．D ．7【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm .如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要_____cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm .【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，【变式题组】01．(恩施)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( ) A．B ．25C．5+D ．3502．(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位:cm )，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm ，小孔到图中边AB 距离为1cm ，到上盖中与B A 3cm 1cm6cm第1第2题AB 吸管 10 65 A D B E CF M NAB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则h的最小值大约为_____cm.(精确到个位，参考数据:2＝1．4，3＝1．7:5＝2．2)03．(荆州)若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_____cm.(铁丝粗细忽略不计)【例3】(荆州)如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E 处，点A落在F处，折痕为NM，则线段CN的长是( )A．3cm B．4cm C．5cmD．6cm【解法指导】对折问题即对称问题，设CN＝x，DN＝NE＝8－x.在Rt△CEN中，(8－x)2＝42＋x2 x＝5.故选C【变式题组】01．在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12．求S四边形ABCD．02．如图，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5 ，D为BC边的中点.求S△ABC．03．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BC＝4，CD＝32.求AC．ABCDABC演练巩固·反馈提高01．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC边上的高为（ ） A ．322B ．3510C ．355D ．45502．(哈尔滨)如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF ＝254cm ，则AD 的长为( ) A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．7cm03．(滨州)已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD 为8，则边BC 的长为( )A ．21B ．15C ．6D ．21或904．在同一平面内把边BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC '，则CC '的长等于( ) A ．125B ．135 C ．56D ．24505．一个三角形三边长度之比为3:4:5，则这个三角形的三边上高的之比为( )A ．3:4:5B ．5:4:3C ．20:15:12D ．9:16:2506．(山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为( )A ．32B ．76C ．256D ．2ABC D EF07．(湖州)如图，在正三角形ABC中，AB＝1，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE ⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF面积为_____.08．(安顺)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______.09．(安徽)长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_______m.10．(滨州)某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为______.11．(湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2则S1＋S2的值等于________. 12．(呼和浩特)如图，四边形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝53，则该四边形的面积是_______.13．已知等腰三角形ABC的底边AB＝20cm，P是腰AC上一点，且AP＝12cm，BP＝16cm，则腰长是_________.14．(沪州)如图，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点为D′，则BD′＝_______.16．有一人字形屋架(等腰三角形)，其顶角为120°，两腰长均为4米，现拟定以其中一腰和底重新组成一个三角架，试问将屋架的第三边改为多少时，新的三角架为直角三角形?17．如图，在正△ABC中，DC＝4，DB＝3，DA＝5，求∠CDB．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为三角形内一点，DC＝2，DB＝1，DA＝3．求∠CDB．。
《勾股定理》课件
欢迎来到《勾股定理》PPT课件！跟随我一起探索这一古老而神奇的数学定理， 了解它的定义、历史、应用和证明方法。
什么是勾股定理
勾股定理是解决直角三角形边长关系的数学定理。它关联了三角形的三边， 为许多现实生活和科学领域提供了重要的应用基础。
勾股定理的历史发展
1
中国古代
古代中国数学家首次发现了勾股定理的特殊情形，应用于土地测量和农业。
于理解。
归纳法证明
利用归纳法和数学归纳原理，证明勾股定理 对于任意正整数的直角三角形都成立。
代数法证明
运用代数运算和平方差公式，将直角三角形 的边长代入公式，推导出勾股定理的等式。
勾股定理与形的关系
勾股定理与圆形密切相关，可推导出圆的周长、半径、直径等与直角三角形 边长之间的关系。
勾股定理的推广
勾股定理在直角三角形的应用
勾股定理可用于求解直角三角形的任一边长，或计算三角形的周长、面积和 角度，帮助解决实际问题，如建筑、航海和测绘。
勾股定理的证明方法
1
几何法证明
2
通过构图和几何推理，演示直角三角形中各 条边与角度之间的关系，从而证明勾股定理。
3
巧妙证明
4
介绍一些有趣的巧妙证明方法，如使用数学 图形和变换，让勾股定理变得更加直观和易
2
古希腊
古希腊数学家毕达哥拉斯将已知的勾股定理完善为通用公式，为后世的发展奠定 了基础。
3
现代
勾股定理在现代数学和科学领域扮演着重要角色，为三角学、几何学和物理学等 提供了关键工具。
勾股定理的定义
勾股定理表明在一个直角三角形中，三条边的长度满足a²+ b²= c²，其中c是斜边，a和b是两个直角边。
勾股定理 讲课稿
勾股定理教案【教学目标】（一）知识与技能目标1.理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够运用勾股定理进行简单计算和运用。
2.通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
（二）过程与方法目标在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学过程，并体会数形结合和与从特殊到一般的数学思想方法。
（三）情感态度与价值观目标在探索勾股定理的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣。
【教学重点与难点】1、重点是探索和证明勾股定理.2、难点是用拼图的方法证明勾股定理.【教具】多媒体课件（演示文稿）.【教学方法】讲授法、讨论法.【教学过程】[活动1]引课教师活动：教师展示图片并引出课题。
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性，由此引出了对勾股定理的思考。
回到家后，他特地杀了100头牛来庆祝这一发现，所以我们也称勾股定理为“百牛定理”。
今天我们就来学习世上最完美，最简洁的定理“勾股定理”。
Ppt展示图甲、图乙（提示：小方格的边长为1。
）（1）现在请你也观察一下，你能有什么发现吗？（2）正方形Q、P、R的面积各为多少？（3）正方形Q、P、R的面积有什么关系？[活动2]教师引导学生总结：等腰直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方．在独立探究的基础上，学生分组交流．教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积。
让学生用文字语言将上述问题表述出来．猜想：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方[活动3]请同学拿出昨天准备好的四个相同的直角三角形进行拼凑，用自己的方法证明勾股定理。
强调说明：勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边教师解释文言原话：「按弦图，又可勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差相乘为中黄实，加差实，亦称弦实」教师多媒体展示：2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会的会徽的图案．你见过这个图案吗？教师作补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”[活动4] 2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣。
小学奥数 勾股定理 知识点+例题+练习 (分类全面)
勾股定理：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2o勾膻定理勾股数★满足关系a2+b2=c2的3个正整数a,b,c称为勾股数。
★常见的勾股数有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17:④7,24,25；⑤5,12,13；⑥9,12,15…注意：①3,4,5既是勾股数，又是三个连续整数，它们非常特殊，不要认为三个连续整数都是勾股数；②每组勾股数的相同倍数也是勾股数；（如：3,4,5；6,8,10；9,12,15）③勾股数必须都是正整数，（如：0.3,0.4,0.5都是小数，因而不是勾股数）3米例2、一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树的底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是多少米？巩固、如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？巩固、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000m 处,过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000m,则飞机速度是多少？例3、暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km.丄埋宝藏点632登陆点8巩固、轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B,求AB 两地间的距离.例4、一个圆桶，底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为多少厘米?如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？B例5、下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B，C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是？巩固、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是cm2.巩固、如图所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为?例6、如图，已知直角三角形两直角边BC，AC的长分别为3cm和4cm,那么CD有多长?巩固、三角形的三边长分别为6,&10，它的最短边上的高为，最长边上的高为巩固、若直角三角形的三边长分别为X,6,8,则X2=例7、等腰三角形ABC的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为多少？巩固、如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。
小学生勾股定理-公开课
在西方，希腊数学家欧几里德（Euclid， 公元前三百年左右）在编著《几何原本》时， 认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以 他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以 后就流传开了。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学 家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五 百多年。
A、B、 C面积 关系
直角三 角形三 边关系
SA+SB=SC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
（图中每个小方格代表一个单位面积）
让我们再探究2：
任意整数边的直角
三角形三边为边关 系
A
C
S正方形c
4 1 431 2
25
B
图3-1
C A
B
图3-2
把C分割成若干个直角 边为整数的三角形
让我们再探究2：
1.成立条件：在直角三角形中 a2+b2=c2
2 公式变形 b2=c2 - a2 a2=c2 - b2
┏
c a
b
3.作用：已知直角三角形任意两边长，求 第三边长. （注意：哪条边是斜边）
C a
巩固练习： b
1、如图，a=3,b=4, 则c=__,b=6,c=10,a=__, 2、在直角三角形中，两边长分别为3、4，,
B
直角三 两直角边的平方和 角形三 等于斜边的平方
图4
边关系
（图中每个小方格代表一个单位面积）
勾股定理：
如果直角三角形两直角边分别为a、b，
斜边为c，那么 a2 b2 c2.
即 直角三角形两直角边的平方和 a勾
等于斜边的平方. （注意：哪条边是斜边）
┏
c弦 b股
几何语言表示为：
Rt△ABC中，∠C=90°则 a2 b2 c2.
六奥第十六讲勾股与弦图
第十六讲勾股与弦图【知识概括】在小学奥数中，会波及到好多相关正方形的图形面积问题，我们在解决近似问题的时候，用的比许多的就是弦图和旋转。
1.弦图弦图实际上是在勾股定理的前提下引出的，大家知道，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理。
自古到现在，勾股定理的证明方法不下百种，这里我们借助此中的一种来进入今日的学习。
第一种拼法：有四个完整同样的直角三角形，直角边分别为 a 和 b（假定＞ b），斜边为 c，将他们按下列图方式，拼成正方形。
a 图中 AF=a， DF=b， AD=c，正方形 ABCD的面积等于c2正方形的面积 =4 个直角三角形的面积 +中间小正方形 EHGF的面积1=4×2×a×b+( a b) 2=a2+b2即a 2+b2= c2第二种拼法：有四个完整同样的直角三角形，直角边分别为＞ b），斜边为 c，将他们按下列图方式，拼成正方形。
a 和 b（假定 a图中 AE=a， AH=b， EH=c, 正方形 ABCD的面积 =(a b)2正方形 ABCD的面积 =4 个直角三角形的面积 +中间小正方形 EHGF的面积=41×a×b+c2 × 2=2ab+ c2故 ( a b) 2 =2ab+c2即获得 a 2+b2=c2熟记这两种图形的模型，对我们解决相关正方形的面积有很大帮助。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方的和，等于斜边的平方。
【优选例题】例 1、如下图，在直线l 上的一侧摆放着七个正方形。
已知斜搁置的 3 个正方形的面积分别是1，2，3，水平搁置的四个正方形的面积挨次计为S1,S 2 ,S 3和S4。
试确立S1 +S2+S3 +S4的值 . 。
例 2、如下图， 4 个形状大小完整同样的直角三角形和一个面积等于4的正方形，恰可拼成一个面积等于52 的大正方形，试确立直角三角形的两条直角边的长。
例 3、小华与小明分别用 4 个形状大小完整同样的直角三角形拼图。
六年级数学教案——勾股定理说课稿.doc
小学六年级数学教课设计——勾股定理讲课稿一、教材解析勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条特别重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭露了一个三角形三条边之间的数目关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在实质生活顶用途很大。
教材在编写时注意培育学生的着手操作能力和解析问题的能力，经过实质解析、拼图等活动，使学生获取较为直观的印象；经过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。
据此，拟定教课目标以下：1、理解并掌握勾股定理及其证明。
2、可以灵巧地运用勾股定理及其计算。
3、培育学生观察、比较、解析、推理的能力。
4、经过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠长文化的思想感情，培育他们的民族骄傲感和研究精神。
教课重点：勾股定理的证明和应用。
教课难点：勾股定理的证明。
二、教法和学法教法和学法是表此刻整个教课过程中的，本课的教法和学法表现以下特色：1、以自学指导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲念和兴趣，组织学生活动，让学生主动参加学习全过程。
2、的确表现学生的主体地位，让学生经过观察、解析、谈论、操作、归纳，理解定理，提升学生着手操作能力，以及解析问题和解决问题的能力。
3、经过演示实物，指引学生观察、操作、解析、证明，使学生获取获取新知的成功感觉，从而激发学生研究新知的欲念。
三、教课程序本节内容的教课主要表此刻学生着手、动脑方面，依据学生的认知规律和学习心理，教课程序设计以下：创建情境以古引新1、由故事引入， 3000 多年前有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接获取一个直角三角形，假如勾是3，股是 4，那么弦等于 5。
这样引起学生学习兴趣，激发学生求知欲。
2、能否是全部的直角三角形都有这个性质呢？教师要擅长激疑，使学生进入乐学状态。
3、板书课题，出示学习目标。
初步感知理解教材教师指导学生自学教材，经过自学感悟理解新知，表现了学生的自主学习意识，锻炼学生主动研究知识，养成优异的自学习惯。
勾股定理证明方法讲座
勾股定理证明方法讲座嘿，朋友们！今天咱来讲讲那神奇的勾股定理证明方法呀！啥是勾股定理？简单说，就是在一个直角三角形里，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这可太重要啦，就好像是数学世界里的一把万能钥匙呢！那证明勾股定理的方法可多了去了。
比如说拼图法，咱把几个图形拼来拼去，嘿，就神奇地证明出来了。
这就好像搭积木一样，把不同的小块拼在一起，就出现了一个让人惊叹的结果。
还有一种方法是用面积来证明。
你想想啊，把三角形和其他图形的面积算来算去，最后就能得出勾股定理啦！这就好比是在玩一个找不同的游戏，通过对比不同部分的面积，找到了那个关键的线索。
咱举个例子哈，你看那个直角三角形，它的两条直角边分别是 a 和b，斜边是 c。
咱通过一些巧妙的计算和推理，就能发现 a 的平方加上b 的平方真的就等于 c 的平方！这难道不神奇吗？这就像是魔术师从帽子里变出兔子一样让人惊喜呀！有人可能会问啦，证明这个勾股定理有啥用呢？哎呀呀，用处可大了去啦！建筑工人盖房子得用吧，工程师设计桥梁得用吧，就连咱日常生活中有时候也能碰到和它相关的呢！你们想想，如果没有勾股定理，那这个世界得乱成啥样啊？盖的房子可能歪歪斜斜的，桥梁说不定走着走着就塌了。
那可太可怕啦！所以说呀，勾股定理证明方法可不仅仅是一堆数学公式和推理，它是我们认识世界、改变世界的重要工具呢！咱再回过头来看看那些证明方法，每一种都充满了智慧和创意。
这就像是打开了一个个神秘的宝盒，里面装满了惊喜和奇妙。
大家可别小瞧了这小小的勾股定理和它的证明方法哦，它可是数学王国里的一颗璀璨明珠呢！咱得好好去探索、去发现它的美妙之处。
怎么样，是不是对勾股定理证明方法有了更深刻的认识啦？是不是觉得数学也没那么枯燥啦？哈哈，那就赶紧去研究研究吧，说不定你还能发现新的证明方法呢！就这么定啦！。
中小学优质课件探究勾股定理课件.ppt
A、600米
B、800米
C、1000米
D、不能确定
2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，
那么斜边上的高是
（D ）
A、6厘米
B、 8厘米
C、 80/13厘米； D、 60/13厘米；
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬
了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
A
G
提示
B
E
构
造
直 角
C
F
三
角
形
c
b
股
验证勾股定理：
b
a
有人利用这4个直角三 a c
角形拼出了右图，你能用
两种方法表示大正方形的
面积吗？
c
大正方形的面积可以表 b
示为
(a+b)²
——————————
a
1
又可以表示为：—c2—+—2—a—b—×—4
cb
c a
b
对比两种表示方法，你得到勾股定理了吗？
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
OD ________5_____2__.2__3_6_____.
O
B
D
BD _O_D_－__O_B__=__2_._2_3_6_－__1_._6_5_8__≈_0_._5_8___ .
梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_0_._5_8 _m__.
课堂练习： 一判断题.
1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
D
例2：在等腰△ABC中，AB＝AC＝ 13cm ，BC=10cm,求△ABC的面积。
32 小升初奥数必考章节精讲-第32讲_勾股定理
公元前 500 年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺． 2. 公元前 11 世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之. 外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五．
三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股 相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．
汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面 曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦． 句股各自乘，并，而开方除之，即弦． 中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽 的弦图.2002 年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图． 如下,在弦图中有 S四边形EFGH
1 S矩形ABCD S矩形MNPQ S������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
勾股定理(讲义)
勾股定理(讲义) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1勾股定理一、知识归纳1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222+=a b c2．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形3．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC∠=︒，则c=b=，a=∆中，90C②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系二、题型题型一：直接考查勾股定理例１. 在ABC∠=︒∆中，90C⑴已知6BC=．求AB的长AC=，8⑵已知17AC=，求BC的长AB=，15解：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABCBC=cm，CD AB⊥于D，CD＝AB=cm，3∠=︒，5∆中，90ACB⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为21DCB AAB CD E例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m三、勾股定理的逆定理知识归纳 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
2. 常用的平方数112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．注意.如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
小学奥数几何模型专项课件-勾股定理课件
总结归纳
总结归纳
直角三角形 三边关系
直接利用
进行构造
勾股定理
巩固提升
巩固提升
作业1：如图，每个直角三角形的一条直角边都是1厘米，求图中阴影部分的面积.
巩固提升
作业2：7个正方形如图进行摆放，已知其中3个正方形的面积，求其余4个正方形的面积之和.
巩固提升
作业3：如图，直角三角形ABC中，已知AB=6厘米，BC=8厘米，且点O到三条边的距离相等，求 图中阴影部分的面积.
目 录
专题解析 例题讲授 总结归纳 巩固提升
专题解析
专题解析
勾股定理 勾股定理作为直角三角形中最为重要的一条定理，也是几何部分最重要的定理之一，其主要研究 的是直角三角形三条边的关系，即两直角边的平方和等于斜边平方. 基本要求 直角三角形，一定满足勾股定理；满足勾股定理的三角形一定是直角三角形.
S梯
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c 2；
S梯
1（a 2
b）2
ab
1 2
a2
1 2
b2；
则1 c2 1 a2 1 b2， 即a2 b2 c2 . 222
专题解析
勾股数 我们将满足勾股定理的三个数称之为一组勾股数，下面列出常见的一些.
3
4
5
6
8
10
9
12
15
12
16
20
…
…
…
例题讲授
例5：如图，正方形ABCD中，以CD为斜边作直角三角形CDE，已知CE=3，DE=5，求图中阴影部 分的面积.
例题讲授
练一练5：如图，长方形ABCD的长是16厘米，宽是12厘米，E为BC边上一点，过E点向AC、BD作 垂线，垂足分别是F、G，求EF+EG.
(完整版)小学奥数勾股定理与弦图讲解
的面积。
⑴大正方形边长为：a＋b
⑵小正方形边长为：a－b
一个直角三角形的斜边长 8 厘米，两个直角边的长度差为2 厘
米，求这个三角形的面积？
【例 7】(★★★★★)
从一块正方形玻璃上裁下宽为16 分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336 平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米？
自我检测
1.将长为10 米的梯子斜靠在墙上，若梯子上端到墙的底端距离为6
米，则梯足到墙的底端距离为__________米．
2.若直角三角形一直角边和斜边分别为17 和145 ，则另一直角边
为___________。
3.已知一个直角三角形的两边长分别为3 和4，则第三边长的平方
是。
4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2．
5.如图在△ABC中，AB =15,AC=13,高AD=12，则△ABC的面积为？
易错题
（1）某人以匀速行走在一条公路上，公路两端的车站每隔相同的时间开出一辆公共汽车，该行人发现每隔30分钟就会有一辆公共汽车追上他；而每隔20分钟有一辆公共汽车迎面开来．问车站每隔多少分钟开出一辆车？。
小学六年级奥数勾股定理讲座
小学六年级奥数勾股定理讲座勾股定理内容概述 1.勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．公元前500年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺． 2. 公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五．三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦．句股各自乘，并，而开方除之，即弦．中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽的弦图.2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图．如下,在弦图中有3. 伽菲尔德证法:美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法：梯形面积= (上底＋下底)×高= (a+b)×(a+b) = (a+b)2；三个直角三角形的面积和= ab+ ab+ c2；梯形面积=三个直角三角形面积和． (a+b)2= ab+ ab+ c2,所以a2+b2=c2. 4.公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明,简叙如下：如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形ABC的三边长.连接图中的虚线段对应的点；过C作CK平行于AF,交AB、FG分别于J、K点．易证△AFC≌△BAE,有 AF.FK= , EA.CA= ,所以；易证△CBG≌△HBA，有 BG.KG= , BH.IH= ,所以 . 而．即有AB2=AC2+CB2.5. 勾股数组:a=u2-v2,b=2uv,c=u2+v2如果a、6、c可以如此表达,那么a、b、c称之为勾股数组,有a2+b2=c2．如:u=2,v=l时a=3,b=4,c=5；u=7,v=6时a=13,b=84,c=85．当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组.典型问题 2.智能机器猫从平面上的O点出发.按下列规律行走:由O 向东走12厘米到A1,由A1向北走24厘米到A2,由A2向西走36厘米到A3,由A3向南走48厘米到A4,由A4向东走60厘米到A5,…,问:智能机器猫到达A6点与O点的距离是多少厘米? 【分析与解】如右图所示,当智能机器猫到达A6点时,相对 O点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米．有 =362+482,即OA2=60．所以,A6点到O点的距离为60厘米．4.如图32-3所示,直角三角形PQR的两个直角边分别为5厘米,9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少?【分析与解】如右图,延长AR,DQ,过E,F分别作AR,DQ的平行线,在正方形EFRQ内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHMN，四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面积之和相等．小正方形HGNM的边长为9-5=4厘米,所以面积为16平方厘米,而另外两个正方形ABPR、CDQR他的面积分别为25,81．所以原图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大25+8l+16=122平方厘米．6.若把边长为1的正方形ABCD的四个角剪掉,得一四边形A1BlClDl,试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的 ,请说明理由.(写出证明及计算过程) 【分析与解】如左图所示,我们知道利用弦图,可是弦图怎么利用?设构造出的弦图中最小正方形的面积为x最大正方形面积为1,那么有剩下的正方形面积为 (x+1)= ,所以x= . 那么,最小正方形的边长为 .由于是四角对称的剪去,所以有ADl=DCl=CBl=BA1= ,AAl=BBl=CCl=DDl= 证明及计算过程略．8.有5个长方形,它们的长和宽都是整数,且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少? 【分析与解】注意到,5个长、宽均不相等的长方形拼成一个正方形,只有一种拼法.(如右图所示，由弦图联想到)． A、B、C、D中必有一个长方形的一边长为10,不妨设为A，那么显然不能组成边长为10的正方形；如果能够组成边长为11的正方形,那么有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+5,那么大正方形的四边必须是为11,则剩下的两个数,它们的和为11,为中问阴影部分的长、宽和；评注:如果能够组成边长为12的正方形,那么有12=10+2=9+3=8+4=7+5,剩下1、6试填不满足．对于边长为13的正方形,注意到13=10+3=9+4=8+5=7+6,剩下1、2,有见下图情形,满足．10.园林小路,曲径通幽.如图32-7所示,小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成.问：内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形的总面积大?请说明理由．【分析与解】如图①,我们任意抽出两块相邻的白色正方形石板,及它们所夹成的青、红两色的三角形石板，如图②所示.图中有∠CDB+∠ADG=1800. 如果③,将△CDE逆时针旋转900,得△ .有、、在同一条直线上,且△ 与△ 等底同高,所以有 . 也就是说,任意两块相邻的白色正方形石板,它们所夹成的青色三角形与红色三角形面积相等．注意到在原图中,除了外圈青色的两块三角形外,外圈三角形、内圈三角形一一对应.所以原图中,外圈三角形的面积大于内圈三角形的面积,如图①所示．。
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积为(x+1)= ,所以x=
那么,最小正方形的边长为由于是四角对称的剪
去,所以有ADl=Dl=Bl=BA1= ,AAl=宽都是整数,且个长和个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这个长方形拼成1个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少?
评注:如果能够组成边长为12的正方形,那么有12=10+2=9+3=8+4=7+,剩下1、6试填不满足．
对于边长为13的正方形,注意到13=10+3=9+4=8+=7+6,剩下1、2,有见下图情形,满足．
10园林小路,曲径通幽如图32-7所示,小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成问：内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形的总面积大?请说明理由．
【分析与解】如图①,我们任意抽出两块相邻的白色正方形石板,及它们所夹成的青、红两色的三角形石板，如图②所示图中有∠DB+∠ADG=1800
如果③,将△DE逆时针旋转900,得△有、、在同一条直线上,且△与△等底同高,所以有也就是说,任意两块相邻的白色正方形石板,它们所夹成的青色三角形与红色三角形面积相等．
；
易证△BG≌△HBA，有BGG= , BHIH= ,所以而．
即有AB2=A2+B2
勾股数组:a=u2-v2,b=2uv,=u2+v2如果a、6、可以如此表达,那么a、b、称之为勾股数组,有a2+b2=2．
如:u=2,v=l时a=3,b=4,=；u=7,v=6时a=13,b=84,=8．
当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组
典型问题
2智能机器猫从平面上的点出发按下列规律行走:由向东走12厘米到A1,由A1向北走24厘米到A2,由A2向西走36厘米到A3,由A3向南走48厘米到A4,由A4向东走60厘米到A,…,问:智能机器猫到达A6点与点的距离是多少厘米?
【分析与解】如右图所示,当智能机器猫到达A6点时,相对
点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米．
【分析与解】注意到,个长、宽均不相等的长方形拼成一个正方形,只有一种拼法(如右图所示，由弦图联想到)．
A、B、、D中必有一个长方形的一边长为10,不妨设为A，
那么显然不能组成边长为10的正方形；
如果能够组成边长为11的正方形,那么有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+,那么大正方形的四边必须是为11,则剩下的两个数,它们的和为11,为中问阴影部分的长、宽和；
的弦图2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图．
如下,在弦图中有
3伽菲尔德证法:美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法：
梯形面积= (上底＋下底)×高
= (a+b)×(a+b)
= (a+b)2；
三个直角三角形的面积和= ab+ ab+ 2；
小正方形HGN的边长为9-=4厘米,所以面积为16平方厘米,而另
外两个正方形ABPR、DQR他的面积分别为2,81．所以原图中3个正方
形面积之和比4个三角形面积之和大2+8l+16=122平方厘米．
6若把边长为1的正方形ABD的四个角剪掉,得一四边形A1BllDl,试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原正方形面积的,请说明理由(写出证明及计算过程)
小学六年级奥数勾股定理讲座
勾股定理
内容概述
1勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．
公元前00年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺．
2公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之外半卿一矩,环而共盘得成三、四、五．
有=362+482,即A2=60．
所以,A6点到点的距离为60厘米．
4如图32-3所示,直角三角形PQR的两个直角边分别为厘米,9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少?
【分析与解】如右图,延长AR,DQ,过E,F分别作AR,DQ的平行线,在正方形EFRQ内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHN，四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面积之和相等．
梯形面积=三个直角三角形面积和．
(a+b)2= ab+ ab+ 2,所以a2+b2=2
4公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明,简叙如下：
如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形AB的三边长连接图中的虚线段对应的点；过作平行于AF,交AB、FG分别于、点．
易证△AF≌△BAE,有AFF= , EAA= ,所以
三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．
汉朝张苍、狄昌寿整理的《九算术》第九卷为《句股》其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦句短其股，股短其弦．
句股各自乘，并，而开方除之，即弦．
中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽
注意到在原图中,除了外圈青色的两块三角形外,外圈三角形、内圈三角形一一对应所以原图中,外圈三角形的面积大于内圈三角形的面积,如图①所示．