多项式根的定位与估计

第 ２ 卷第 ４ ７ 期
［ 文章编号】６３— ９４ ２ １ ）４— ０ １ ０ １７ ２４ （０ １０ ０ ７ — ３
多项 式根 的定位 与估计
曹海松 ， 伍俊 良
（ 庆大学 数学与统计学 院， 重庆 ４ １３ ） 重 ０３ １
［ 摘
要］ 将 多项式的根的估计与定位和矩 阵特征值 的估计 与定位联 系起来， 讨论数论命题
对于一个次数较高的多项式来说 ， 在不借助于现代计算机辅助软件的情况下 ， 它的分解及其相应根的获 得是十分困难甚至是不可能实现的。同时在许多情况下 ， 也不需要具体获得它的一切根 ， 只需要知道它
的根的分布就可以获得一些问题的解答 ， 比如对于常系数微分方程 （ ， 组） 线性或非线性微分方程 （ ） 组 或微分动力系统 ， 只需要知道它们的特征多项式的根 的实部 的情况便可确定对应系统的稳定性。于是 对于多项式根的估计或定位便成为另外一个重要 的问题。
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６一 １ ０ ； ０
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一 有特征值都位于 ｎ 个圆盘 的并 ｛ ∈ｃ：ｚ ≤Ｒｉ ） Ｉ一口 ｌ ｔＡ ｝量 ＧＡ）０ （ （— 中。 Ｏ Ｏ １ ６ １
２
３ 主 要结 果
Ｏ ０ ０
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（ ＝２ … ， ｉ ， ｎ一１ ） ） 的根必定位于一个圆环之中。
以上表 明， 对于多项式的根 的研究具有非常重要 的意义。不过有两点值得我们思考 ： 对于以上 ①
结果 ， ［ ］ 文献 １ 和文献 ［ ］ ２ 分别是基于实分析和复分析两种方法加以证 明的， 其方法非常特殊也 比较烦 琐， 是否存在别的简洁适用的方法可用于对多项式的根的分布的判定 ； 在一般情况下 ， ② 多项式通常作 为其它代数 内容的基础 ， 如它服务于矩阵理论ｌ ， ３ 反过来 ， Ｊ 我们是否可以用现有的矩阵理论结果来解决 多项式的根的分布问题 。事实上 ， 目前已经有学者对这项工作做过一定的探索 。 Ｊ 本文将从代数学的观点 出发 ， 将多项式与矩阵理论联系起来 ， 通过运用矩阵特 征根分布的定理 ， 首 先讨论多类特殊多项式根的分布问题 ， 然后得到一般多项式根的分布与估计方法 。
中几类特殊的 多项式特征根 的估计方法， 得到一般 多项式的特征根的估计 方法。 ［ 关 键 词 ］ 多项式； 根 ； 友矩阵； 估计与定位 ［ 中图分类号 ］ ０ ７ ．４ １４ １ ［ 文献标识码 ］ Ａ
１ 问题 引入
对多项式的理论及其应用研究广泛存在于基础数学和应用数学之中 ， 它既可以作为一个独立的体 系而存在 ， 同时也构成代数 、 数值代数和数论等重要数学分支的桥梁及其它应用学科的基础。在一般情 况下 ， 对于多项式的理论研究主要基于它的封闭性 、 可分解性 、 可约性 和齐次性进行 的。在应用研究方 面， 主要针对一个或一类特定的多项式在一些抽象的概念下或具体 的应用背景 中根的求解方法。不过 ，
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首先对几类经典 的多项式根的估计方法进行讨论 ， 然后得到一般多项式的根的估计方法与结果。 定理 ３ 多项式 ｇ ｘ ＝ ＋ ｌ （） ｂ ＋… ＋ ６ ＋ ０的系数满 足０ Ｏｂ ≤６ ≤… ≤６≤１则 ｂ＝ ６ ０＜ ｌ ｌ ，
我们记 ）＝ａｘ ｎ ＋ａ－ ｎ ｉ ＋ａ＿ ， ＋… ＋ａ ｎＸ ２ Ｉ ＋ａ 为 ａ ， ， ，ｌａ） ｏ ｎａ … ａ ，０ ｏ
在文献［ ］ 我 国著名数学家华罗庚 和王元给出了几类特殊多项式 的根 的分 布， Ｉ 中， 如他们给出了：
① ａ， ， ａ，。（ 一≥…≥口≥口 ＞ ） ａ …，，ａ） 口≥ 。 ０ 根的分布情况 ， 表明这一多项式的根全部位于一个 以原点为圆心的单位圆盘中； ② ａ ， ， ａ ，０ （ ，州 ＝ ＝ ａ ＝一 ） 表明其根具有 ａ …， ａ） ａ ＝１ａ … ａ＝。 １， 多个有用的性质。文献［］ ２ 作者研究了多项式 ａ， ， ａ，。 Ｊ ＝Ｊ。 ＝ｃｃ＞０ ， ｆ ａ …， ａ）（ Ｊ Ｊ （ ａ ａ ） ≤ｃ
２１ 年 ｌ ０ １ ２月
陕 西理 工学院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｈ ａｘ Ｕ ｉｅ ｉ ｆ ｅｈｏｏｙ（ ａ ｒ ｃｅｃ ｄｔ ｎ ｏｒａ ｏ ａｎｉ ｎｖｒｔ ｏ Ｔ ｃｎｌｇ Ｎ ｔ ａ ＳｉｎｅＥ ｉｏ ） Ｓ ｓｙ ｕｌ ｉ
Ｄ ｃ ２ １ ｅ．０ １ Ｖ０ ． ７ Ｎｏ ４ １２ ．
２ 几Байду номын сангаас基本 引理
首先 我们给出如下 的引理 ：
收稿 日期 ：０ １０ —３ ２ １－４１
作者简 介 ： 曹海松 （９６ ）男 ， １８一 ， 河南省邓 州市人 ， 大学数学与统计学 院硕 士研究生 ， 重庆 主要研 究方向为矩 阵理论 ； 伍俊 良（９８ ）男 ， １５一 ， 四川省岳池县 人 ， 庆大学 教授 ， 重 博士 ， 主要研究方 向为数值代数 、 矩阵理论与信息系统设计与开发。
陕西理工学院学报（ 自然科学版 ）
第２ ７卷
弓
理
ｌ
的特 征 多项式 为
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矩 ｇ ） “＋ｂ ＋… ＋ｂ－ ＋ｂ 。 （ ＝ ｉ 一 ｎ ｉ ｎ 阵 引理 １ 表明一个实系数多项式必定联系或对应一个实矩阵 ， 即它的友矩阵。进一步说 ， 一个多项式
Ｉ
１ Ｏ
；
Ｏ
的根也就是它的友矩阵的特征根。这样 ， 我们就可以将多项式根 的估计转化为对一个矩阵特征根 的估
计 问题 。 ｌ Ｏ
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引 （ｅｇ ｎ 盘 理２ Ｇｒｏ 圆 定理） ｓｆ ｉ 设Ａ＝ ０］ Ｍ ， 设Ｒ （） ［ ∈ 又 ＇Ａ 兰∑ Ｉ Ｉ ≤ｉ 。 ｉ 口 ， ≤ 则Ａ的 １ 所