人教版九上《24.2_直接开平方法--解一元二次方程》课件2
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《用直接开平方法解一元二次方程》课件PPT
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课堂小结：
用直接开平方的方法解一元二次方程的步骤：
1、化为形如 x2 p (p≥0)的形式再求解；
2、化为形如 (mxn)2 p (p≥0) 的形式再求解。
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课后作业：
教课书后习题1、2
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聪明在于学习，天才在于积累。 所谓天才，实际上是依靠学习。
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义务教育教科书（人教版）九年级数学上册
21.2解一元二次方程
21.2.1 用直接开平方法解一元二次方程
湖北鸿利用开平方法解形如 x2 p(p≥0)的 方程；
2、初步了解形如 (mxn)2 p (p≥0)方
程的解法； 3、能根据具体问题的实际意义检验结 果的合理性
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复习巩固
求下列各数的平方根：
（1）144
12
（3）24
24
（2）49
7
（4）36
49
6 7
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用直接开平方法法解一元二次方程PPT课件
例1解下列方程 （1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解（1）x2=1.21 （2）移项，4x2=1
x 1.21
x2=
1 4
∴x=±1.1
x 1 4
即 x1=1.1， x2=-1.1
即x1=
1 2
∴x=
1 2
，x2=
1 2
对照上面解方程的过程，你认为方程2x 1S
THANK YOU
2019/7/31
交流讨论 以上方程在形式和解法上有什么类似的地方，可归纳为怎样的步骤？
一元二次方程
x2 p p 0 mx n2 p p 0
开平方法 降次
一元一次方程
x p, mx n p
直接开平方法
C.n是m的整数倍
D.m、n同号
解下列方程
(1)9x2 5 3
(2)3x 12 6 0
3 x2 4x 4 5
解下列方程：
(1)9x2 5 3
解：移项 9x2 8,
得 x2 8 , 9
注意：二次 根式必须化 成最简二次 根式。
xx
28 2 33
2. 选择适当的方法解下列方程：
(1)x2-81＝0
(2)2x2＝50
x＝±9
x＝±5
(3)(x＋1)2=4 x1＝1,x2＝－3
1 x 62 9 0
解：移项得 x 62 9 x 6 3
即：x 6 3, x 6 3
方程的两根为：x1 3, x2 9
首先将一元二次方程化为左边是含有未 知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式， 然后用平方根的概念求解
直接开平方法解一元二次方程ppt
2021/4/6
直接开平方法适用于 A2 = p p 0 形式的一元二次
方程求解。这里A既可以是字母，单项式，也可以 含有未知数的多项式。换言之：只要经过
变形可以转化为 A2 = p p 0 形式的一元二次方程
都可用直接开平方法求解。
2021/4/6
1.小试身手 :
判断下列一元二次方程能否用直接开平方法 求解并 49=0 3） 6 x2=3 4) （5x+9）2+16=0 5) 121-(y+3) 2 =0
(√ )
( √) (√ ) (× ) (√ )
2021/4/6
2、明察秋毫
下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，
你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正。
初中数学九年级上册
21.2一元二次方程的解法（1）
——直接开平方法
2021/4/6
●学习目标
1．理解解一元二次方程降次转化思想； 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或
(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程； 3.体会类比思想；
重点: 能够熟练而准确运用直接开平方法求 一元二次方程的解.
难点: 探究( x－m)2=a的解情况,具有分类讨论 的意识.
1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个 一次方程；
降次的方法：直接开平方法； 降次体现了：转化思想； 2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式， 右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解.
2021/4/6
thanks
2021/4/6
2021/4/6
概括总结
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2-2=0这样，利用平方根的 定义用直接开平方解一元二次方程的方法
直接开平方法适用于 A2 = p p 0 形式的一元二次
方程求解。这里A既可以是字母，单项式，也可以 含有未知数的多项式。换言之：只要经过
变形可以转化为 A2 = p p 0 形式的一元二次方程
都可用直接开平方法求解。
2021/4/6
1.小试身手 :
判断下列一元二次方程能否用直接开平方法 求解并 49=0 3） 6 x2=3 4) （5x+9）2+16=0 5) 121-(y+3) 2 =0
(√ )
( √) (√ ) (× ) (√ )
2021/4/6
2、明察秋毫
下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，
你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正。
初中数学九年级上册
21.2一元二次方程的解法（1）
——直接开平方法
2021/4/6
●学习目标
1．理解解一元二次方程降次转化思想； 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或
(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程； 3.体会类比思想；
重点: 能够熟练而准确运用直接开平方法求 一元二次方程的解.
难点: 探究( x－m)2=a的解情况,具有分类讨论 的意识.
1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个 一次方程；
降次的方法：直接开平方法； 降次体现了：转化思想； 2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式， 右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解.
2021/4/6
thanks
2021/4/6
2021/4/6
概括总结
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2-2=0这样，利用平方根的 定义用直接开平方解一元二次方程的方法
人教版数学九年级上册解一元二次方程(直接开平方法)公开课PPT课件
左边为完全平方式 所以可以直接化 为平方形式．利用 直接开平方法来解
一元二次方程．
右边是大于0的数所以方 程有个不同的的实数解
直接开平方得： x 3 2 x3 2
x3 2
x1 3 2 x2 3 2
【例2】 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2
3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式， 那么x＝____p_或mx＋n＝____p_．
１．方程x2－16=0的根为( C )．
Ａ.x=4
Ｂ. x=16
Ｃ. x=±4
Ｄ. x=±8
2．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( Ｄ )．
Ａ.m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0 3．方程5y2－3=y2＋3的实数根的个数是( Ｃ )．
3．某企业 2011 年向全国上缴利税 400 万元，2013 年增加到
484 万元，则该企业两年上缴的利税平均每年增长的百分率为( B )
A．5% B．10% C．15% D．20%
4．用直接开平方法解下列方程： (1)1x 2－9＝0；
3
解：x1＝3，x2＝－3
(2)4(x －2)2－3＝0；
配方法
直接开平方法
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想． 2.根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方 程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方 程3..通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发 学生的学习热情．
运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会 降次──转化的数学思想．
提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率． 解析：此题为
直接开平方法解一元二次方程ppt课件
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
探究（二）： 9x2=16都可以怎样求解?你们小组认为 哪种解法更简便?
设计意图： 使学生进一步体验直接开平方法适用的一元二次方 程的形式；培养学生思维的灵活性、决策能力以及 善于思考、勇于质疑的精神
设计意图： 这里从学生身边的实际问题引出学习内容， 让学生体会数学与生活的紧密联系，同时明 确本节课的学习任务。
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
（二）复习与诊断
1、 如果有
则x叫a的平方根，也可以表示为x=
教学手段：计算机及计算器辅助教学
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
五、教学过程设计： 激趣引入 复习诊断
探究新知
巩固应用 分层检测
深化提高
学习小结
分享收获
分层作业
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
4、实力比拼 探究( x-m)2=a的解的情况。
( x－m)2=a 当a＜0时,此一元二次方程无解. 当a≥0时, x－m=± a x1= a +m, x2=- a +m.
设计意图： 通过合作探究使学生 1.深刻理解直接开平方法的使用条件,培养分类讨论的数学思想; 2. 进一步提高问题解决能力
人教版初中九年级数学上册《解一元二次方程》精品课件
用直接开平方法解形如 x m2 nn 0 的方程，
其解为 x n m. 配方法： 把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的
一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是 常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解. 公式法： 把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 Δ=b2-4ac
解：（2）由 x2-3x-4=0得 (x-4)(x+1)=0， 所以 x-4=0 或 x+1=0， 所以 x1=4，x2=-1.
本题源于《教材帮》
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从课时练中选取。
下课了！
的值，当 b2-4ac≥0 时，把各项系数 a，b，c 的值代入求根
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
解一元二次方程
21.2.3
因式分解法
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考 人教版-数学-九年级上册
知识回顾
因式分解的方法：
提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法： 利用平方差公式 a2 b2 （a b）（a b）和完全平方公式 a2 2ab b2 （a b）2 分解因式.
新知探究 知识点
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.”
其解为 x n m. 配方法： 把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的
一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是 常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解. 公式法： 把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 Δ=b2-4ac
解：（2）由 x2-3x-4=0得 (x-4)(x+1)=0， 所以 x-4=0 或 x+1=0， 所以 x1=4，x2=-1.
本题源于《教材帮》
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从课时练中选取。
下课了！
的值，当 b2-4ac≥0 时，把各项系数 a，b，c 的值代入求根
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
解一元二次方程
21.2.3
因式分解法
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考 人教版-数学-九年级上册
知识回顾
因式分解的方法：
提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法： 利用平方差公式 a2 b2 （a b）（a b）和完全平方公式 a2 2ab b2 （a b）2 分解因式.
新知探究 知识点
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.”
人教版数学九年级上册课件：直接开平方法解一元二次方程
•例：解方程：
•一元二次方程如果有解，则解的个数一定为
_2_个__
•方程
解为
•方程
无解
用直接开平方法解下列方程： （1） y2 - 121= 0 ;
（2） x2 -2 = 0
将方程化成
(3) (p≥0）的形 式,再求解
思考：类比上面解方程的过程，你认为应怎样解
方程
将方程化成
例2、 解方程 解：
即：
x1=
+m, x2=-
+m.
4.完成课前的实际问题 课本第5页
5、真刀实枪，实战演练：
(1)x2 -9=0;
(2)t2 -45=0
(3)16x2 -49=0; (4)(2x-3)2 =5;
(5)(x-5)2 +36=0;
注意：解方程时，应 先把方程变形为：
(6)(6x-1)2 = 25;
●总结梳理 ห้องสมุดไป่ตู้合提高
1．直接开平方法的依据是什么？
（平方根）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次 方程：
3.根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没 有平方根，所以，当p<0时，原方程无解。
思想方法
1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个 一次方程；
降次的方法：直接开平方法； 降次体现了：转化思想； 2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步 骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方 式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求 解.
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反 数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
问题3 :什么叫做开平方运算？
求一个数平方根的运算叫做开平方运算。
问题4.根据平方根的意义你能解下列方程吗？
•一元二次方程如果有解，则解的个数一定为
_2_个__
•方程
解为
•方程
无解
用直接开平方法解下列方程： （1） y2 - 121= 0 ;
（2） x2 -2 = 0
将方程化成
(3) (p≥0）的形 式,再求解
思考：类比上面解方程的过程，你认为应怎样解
方程
将方程化成
例2、 解方程 解：
即：
x1=
+m, x2=-
+m.
4.完成课前的实际问题 课本第5页
5、真刀实枪，实战演练：
(1)x2 -9=0;
(2)t2 -45=0
(3)16x2 -49=0; (4)(2x-3)2 =5;
(5)(x-5)2 +36=0;
注意：解方程时，应 先把方程变形为：
(6)(6x-1)2 = 25;
●总结梳理 ห้องสมุดไป่ตู้合提高
1．直接开平方法的依据是什么？
（平方根）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次 方程：
3.根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没 有平方根，所以，当p<0时，原方程无解。
思想方法
1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个 一次方程；
降次的方法：直接开平方法； 降次体现了：转化思想； 2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步 骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方 式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求 解.
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反 数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
问题3 :什么叫做开平方运算？
求一个数平方根的运算叫做开平方运算。
问题4.根据平方根的意义你能解下列方程吗？
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(2x 5)2 16;
2x 5 4; 即：2x 5 4 或 2x 5 4;
x1
9 2
x2
1 2
随堂练习（三）
１.解下列方程：
( ) ( ) (1)4 a
2
2 8 a
2
2 20;
（2）（x-6)2=(5x+2)2 (3) (x-3)2=4(3x+1)2
本课小结：
1、对于形如 a(x k)2 b（a≠0,a≥0）的
(１)(x＋1)2=4
(２) (2 x 3 )2 5 ; (３)(6 x 1)2 25; (４)(x 5)2 36 0;
（5）x2 2x 1 49
例３、用直接开方法解方程：
1. 3(2x 5)2 12 2(2x 5)2 4
2. (2x＋1)2＝(x－1)2
解：1） 3(2x 5)2 2(2x 5)2 12 4;
例１.用直接开平方法解下列方程： （1） y 2 121 0 ;
（2） x2 2 0
(3) 16x2 25 0
随堂练习（一）
（１）方程 x2 0.25的根是 X1=0.5, x2=－0.5
（２）方程 2x2 18 的根是 X1＝3， x2＝—3
2. 解下列方程：
（1）x2－ 81＝0 （2） x2 ＝50
复习回忆 1.什么叫平方根？怎样表示一个数的平
方根？ 若x2=a,则x叫a的平方根，记作
x a （a 0)
2.据平方根的概念解方程 ① x2－4 = 0 ② 3 x2－27 = 0;
新知
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
(３) x 2 9 0; (４)t 2 45 0
(５)16 x 2 49 0;
例2、解方程
1. (x 3)2 2
2. 9(3m 5)2 3 0
解（１） x 3 2
x 3 2,或x 3 2; x1 3 2, x2 3 2;
随作一个整体，
就可转化为
x 2 （nn≥0）的形式
用直接开平方法解。
2、当方程出现相同因式（单项式或多项式） 时，切不可约去相同因式，而应用因式分 解法解。
2x 5 4; 即：2x 5 4 或 2x 5 4;
x1
9 2
x2
1 2
随堂练习（三）
１.解下列方程：
( ) ( ) (1)4 a
2
2 8 a
2
2 20;
（2）（x-6)2=(5x+2)2 (3) (x-3)2=4(3x+1)2
本课小结：
1、对于形如 a(x k)2 b（a≠0,a≥0）的
(１)(x＋1)2=4
(２) (2 x 3 )2 5 ; (３)(6 x 1)2 25; (４)(x 5)2 36 0;
（5）x2 2x 1 49
例３、用直接开方法解方程：
1. 3(2x 5)2 12 2(2x 5)2 4
2. (2x＋1)2＝(x－1)2
解：1） 3(2x 5)2 2(2x 5)2 12 4;
例１.用直接开平方法解下列方程： （1） y 2 121 0 ;
（2） x2 2 0
(3) 16x2 25 0
随堂练习（一）
（１）方程 x2 0.25的根是 X1=0.5, x2=－0.5
（２）方程 2x2 18 的根是 X1＝3， x2＝—3
2. 解下列方程：
（1）x2－ 81＝0 （2） x2 ＝50
复习回忆 1.什么叫平方根？怎样表示一个数的平
方根？ 若x2=a,则x叫a的平方根，记作
x a （a 0)
2.据平方根的概念解方程 ① x2－4 = 0 ② 3 x2－27 = 0;
新知
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
(３) x 2 9 0; (４)t 2 45 0
(５)16 x 2 49 0;
例2、解方程
1. (x 3)2 2
2. 9(3m 5)2 3 0
解（１） x 3 2
x 3 2,或x 3 2; x1 3 2, x2 3 2;
随作一个整体，
就可转化为
x 2 （nn≥0）的形式
用直接开平方法解。
2、当方程出现相同因式（单项式或多项式） 时，切不可约去相同因式，而应用因式分 解法解。