数值分析教案

§1 插值型数值求积公式

教学目的 1. 会求插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式并会讨论它们的代数精度； 2. 理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson 数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们； 3. 理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项； 4. 了解外推原理。

教学重点及难点 重点是插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss 型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。

教学时数 12学时 教学过程

1．1一般求积公式及其代数精度

设)(x ρ是),(b a 上的权函数，)(x f 是],[b a 上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积分

⎰b

a

dx x f x )()(ρ

的最一般方法是用)(x f 在节点b x x x a n ≤<<≤≤ 10上函数值的某种线性组合来近似

⎰∑=≈b

a

n

i i

i

x f A dx x f x 0

)()()(ρ

其中n i A i ,,0, =是独立于函数)(x f 的常数，称为积分系数，而节点n i x i ,,1,0, =称为求积节点。

我们也可将（1．2）写成带余项的形式

][)()()(0

f R x f A dx x f x b

a

n

i i

i

+=⎰∑=ρ

（1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数)(x f 在某些点的低阶导数值。

在（1.3）中余项][x R 也称为求积公式的截断误差。

一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。

定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于m 次的代数多项式都精确成立，而对1

+m x 不能精

确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。

一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。 例1 确定求积公式

)]1()0(4)1([3

1

)(1

1

f f f dx x f ++-≈⎰-

的代数精度。

解 ⎪⎩

⎪

⎨⎧+=+--==+-⎰为偶数为奇数k k k k dx x I k k k ,12

,01)1(11

1

1 ;2)1141(31

,

1)(0I x f ==+⨯+= ;0)1041(31

,)(1I x x f ==+⨯+-=

;32

)101(31,)(22I x x f ==++=

;0)101(31

,)(33I x x f ==++-=

445

2

32)101(31,)(I x x f =≠=++=。

从而该求积公式的代数精度为3=m 。

对给定节点，,10b x x x a n ≤<<<≤ 如何选择求积系数,,,0n A A 使求积公式代数精度尽可能高，对此可用插值型求积公式来实现。

1． 2 插值型求积公式

对给定求积节点,0b x x a n ≤<<≤ 构造求积公式的一种简单方法是利用插值多项式的准许确积分来作为数值积分值。

设)(x L n 是)(x f 关于n x x x ,,10的Lagrange 插值多项式

∑==n

k k k n x l x f x L 0

)()()(

其中

∏

≠==--=n

k

l l l

k l

k n k x x x x x l 0.,,1,0,)(

为Lagrange 基函数。取

⎰

⎰∑⎰==≈b

a

b

a

n

k b

a

k k n dx x l x x f dx x L x dx x f x 0

)()()()()()()(ρρρ

∑==n

i i

i

x f A 0

)(

其中

⎰==b

a

i i n i dx x l x A ,,1,0,)()( ρ。

定义2 对给定互异求积节点b x x a n ≤<<≤ 0，若求积系数n i A i ,,1,0, =是由（1.4）

给出的，则称该求积公式是插值型的。

定理1 数值求积公式（1.2）或（1.3）是插值型的当且仅当它的代数精度n m ≥。 证明 假设求积公式（1.2）是插值型的，则

dx

x x x x x x n x f

x dx

x L x f x x f A dx x f x n b

a

n b

a

n i b

a

n

i i )())(()!

1())

(()

(])()()[()()()(10)

1(0

---+-=-⎰

⎰⎰

∑+= ξρρρ

上面我们假设了],[)()

1(b a C x f n +∈。从而当)(x f 为次数n ≤的代数多项时必精确成立，

故有

n m ≥。

假设n m ≥。注意到多项式),,0)((n k x l k =的次数为n ，对)(x f =)(x l k 数值求积精确成立，从而

),,0()()()(0

n k A x l A dx x l

x k

b

a

n

i i k i k

===⎰∑=ρ

即其求积系数由（1．4）给出。

推论1 对给定求积节点b x x x a n ≤<<<≤ 10，代精度最高的求积公式是插值型求积公式。

例2 求插值型求积公式

)2

1()21(

)(101

1

f A f A dx x f +-≈⎰

- 并确定其代数精度。 解 21

)(,21)(,21,211010+=-==-=

x x l x x l x x 。 1)2

1

(,1)21(111110=+==+-=⎰⎰--dx x A dx x A

从而求积公式为

⎰

-+-≈1

1

)2

1

()21(

)(f f dx x f 且1≥m 。

对⎰-=≠=+-=112

2

3

221)21()21(,)(dx x f f x x f

从而1=m 。

若我们利用Hermite 插值多项式的准确积分作为数值积分值，我们可以类似地建立带有函数在某些节点导数值的插值型求积分式。

推论2 若(1)

[,],(1.3)n f C

a b +∈是插值型求积公式，则有余项公式

(1)1(())[]()()(1)!

n b

n a

f x R f x x dx n ξρω++=+⎰