第七章应力状态1

yx
e
y
x
xy
xy
x
x
xy

b
f
b
yx
yx
f
y
y
33
y
yx
e
y
n e x
x
xy
xy
x
x
xy

b
f
b
yx
yx
f
y
y
：从x 轴到外法线 n 逆时针转向为正，反之为负。 正应力 ：拉应力为正，压应力为负。 切应力 ：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。
38
x y d 2[ sin 2 xy cos 2 ] 0 d 2
tan 2 0
2 xy
x y
α α 90
α1
2 1
0
1 和 2 确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力 所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。
39
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
tan 2 0 2 xy
A

x
x y
62.50
2 50 1.429 ( 70) 0
27.5 62.5
0 0
α0
因为 x < y ，所以 1= -62.50 与 max （ 1）对应
47
σ max σ min
}
2 σx σy (σ x σ y ) τ 2 xy 2 2
p

1
t
（3）内表面的应力 内表面只有压强 p , 且为压应力
包含直径的纵向截面
σ p
'''
横截面
内表面
=
1
包含直径的纵向截面
= 2

横截面

= 3

''
pD = 2 4t
内表面
pD = 1 2t
σ p = 3
'''

= 1
pD 4t
30

yx
y
e
x y sin 2 xy cos 2 2
xy
x
300 n
18.3MPa
f
50
(2) 求主应力和主单元体的方位
x = -40MPa， y =60MPa，
tg 2
0


x
2
xy
y
2(50) 1 40 60
xy = -50MPa。
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
得到 max 和 min (主应力）
max min
}

x
y
2

(
x y
2
2
)
xy
2
42
（2）主平面的位置
2 xy
tan 2 0
α1
α 2 α 1 90
0
x y
max min
}

x
y
2

(
x y
2
2
)
xy
2
以 1 代表 max作用面的方位角， 2 代表 min 作用面的方位角。
43
（ 1 在 900 范围内取值 ）
（1） 若 x y ， (2) 若 x y ， 则 ，1 450 则 ， 1 450 x 0 ， x 0 ， 1 = -450 1 = 450
{
26 -96
MPa
1 26MPa
2 0

A
3 96MPa
x
3
1
48
例题：图示单元体，已知 x = -40MPa， y =60MPa，
xy = -50MPa。试求 ef 截面上的应力情况及主应力和主单 元体的方位。 y
e
yx
xy
x
300 n
f
49
(1) 求 ef 截面上的应力
第 七 章 应力状态和强度理论
§7-1 概述
§7-2 平面应力状态的应力分析 主应力 §7-3 空间应力状态的概念
§7-4 应力与应变间的关系
§7-5 空间应力状态下的应变能密度 §7-6 强度理论及其相当应力 §7-7 莫尔强度理论及其相当应力 §7-8 各种强度理论的应用
1
§7-1 概述
一、一点处的应力状态: 1. 受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合,称为 一点处的应力状态。
dA cos
dA cos
e

百度文库

dA
dA
b yxdA sin
ydA sin
f
t
对研究对象列 和 t 方向的平衡方程并解之得：
36
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2

x y

(d)
pD 4t

n
（2）包含直径的纵向截面上的应力 用两个横截面 mm , nn 从圆筒部分 取出 单位长的圆筒研究。
m
n
p
m
1
n
17
由截面法，假想地用 直径平面将取出的单 位长度的圆筒分成两 部分。取下半部分为 研究对象。
包含直径的纵向平面
直径平面
研究对象
R 是外力在 y 轴上的投影， 包含直径的纵截面上的内力为轴力 FN 。 该截面上的应力为正应力 ”，且 假设为均匀分布。
(3)
若 x = y ，
则，
{
44
应力圆画法
45
例题： 简支梁如图所示。已知 m-n 截面上 A 点的弯曲 正应力和切应力分别为 = -70MPa， = 50MPa 。 确定A点的主应力及主平面的方位。
m
A
A
n a l


46
解：
x 70 , y 0 , xy 50
FN
d O R

FN
dS
D d 2

( p dS 1) sin
y 外力在 y 方向的投影为 R p ds 1 (sin )
2
2
0
p 1
D sin d PD 2
FN
FN
R pD FN 2 2
O R
y
FN pD t.1 2t
yx
y
1 xy x
67.5
0
3
52
例题：求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位。


53


解：（1）求主平面方位
tg 2
0

x y
2
xy

20
{
900 900
0
{
45
0 0
45
54


450
0
{
45
0 0
45
因为 x = y ，且 xy > 0，所以
5
主单元体的侧面称为 主平面（ 通过该点处所取的诸截面中
没有切应力的那个截面即是该点处的 主平面 ）
主平面上的正应力称为 主应力
主平面的法线方向叫 主方向，即主应力的方向
6
说明 : 一点处必定存在这样的一个单元体，三个相互垂直 的面均为主平面，三个互相垂直的主应力分别记为 1 ，2 ，3
且规定按代数值大小的顺序来排列， 即
FN FN

p R
O
y t
FN
R 2
FN
d O

FN
取圆心角为 d 的微元面积，其 弧上为 ds
ds R
D ds d 2
微元面积为 dS.1 微元面积上，压强的合力为 p.1.ds y
FN
d O

FN
ds R

( p dS 1) sin
y p.1.ds 在 y 方向的投影为 ( p dS 1) sin
x = -40MPa， y =60MPa， x = -50MPa。 =-300
30
0
x y
2

x y
2
cos 2 xy sin 2
40 60 40 60 cos( 60) (50) sin( 60) 2 2
58.3MPa
n n
p
n (C)
研究对象
n n (d)
压强 p的合力为 F 。则横截面上只有正应力 。 假设 正应力沿壁厚均匀分布。
n

n p
F
n
研究对象
n n (d)
(C)
F
D
4
2
n
.p
p F 4 ' D 2 A 2 ( D 2t ) 4 4
D 2
D

p
F
n n
( 因为 t «D , 所以 A Dt ) n
1 2 3
2
1
3
7
（1）单轴应力状态：只有一个主应力不为零
（2）平面应力状态 ：有个二主应力不等于零。（参见教材定义）
8
（3）空间应力状态 ：主单元体上的三个应力均不等于零
平面和空间应力状态称为复杂应力状态
9
梁上取单元体
10
图（a）为汽包的剖面图。内壁受压强 p 的作用 。 图（b）给出尺寸。
= 2

= 3
pD 2t
''
σ p
'''
单元体为 空间应力状态 ，三个正应力为 主应力。

= 1
1
2
= 2

= 3
由于内壁的压强 = p 远小于 和 ，所以可忽略不计。 单元体看作 平面应力状态
注 意
从构件的扭转和弯曲问题看最大应力往往发生在的外表面。 因为构件的外表面一般为自由表面，即有一主应力为零。
y
t p z
D
（a）
（b）
解：
包围内壁任一点，沿直径方向
取一单元体，单元体的侧面为 横截面，上，下面为含直径的 纵向截面，前面为内表面。 包含直径的纵向截面
横截面
内表面
（1）横截面上的应力 假想地，用一垂直于轴线的平面将汽包分成两部分，取右边为研 究对象。n— n面为横截面 。
n
p
n
图（d）研究对象的剖面图，其上的外力为压强 p。
=-300
0
20
{
45
0 0
0
135
{
0
22.5 67.5
0
因为 x< y ，所以 1 67.5
对应于 1
51
max min
}
x y ( x y ) 2 xy 2 2
2
{
80.7 -60.7
1 80.7
2 0
3 60.7
1 45
0
x y d 0 2[ sin 2 xy cos 2 ] 0 d 2
正应力达到极值的面上，切应力必等于零。
此平面为主平面,正应力的极值为主应力。
40
由公式
tan 2 0
2 xy
x y
求出 0 就可确定主平面的位置。
41
（1）主应力 将 0 代入公式
平面应力状态的普遍形式如图 所示 。 单元体上有 x ，xy 和 y ，y 。
y
y
yx
a d xy
xy
σx
yx
c
σx
x
z
b
σy
32
一、解析法
1.斜截面上的应力
（1） 截面法: 假想地沿斜截面 ef 将单元体截分为二 ,留下左边部 分的单体元 ebf 作为研究对象。
y n e x
3
F A A




a

d
σ

b

σ
A
c
4
2. 单元体特征
（1）单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；
（2）任意一对平行平面上的应力相等。
三、主应力和应力状态的分类 从一点处以不同方位截取的诸单元体中，有一个特殊的单元体， 在这个单元体侧面上只有正应力而无切应力。这样的单元体称为 该点处的 主单元体。
2. 受力构件内应力特征
（1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的； （2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的； （3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。
2
F
A
a

d
σ

b

σ
A
c
二、原始单元体法
1.从受力构件内一点处切出的单元体，如果各侧面（一般
为横截面）的上的应力均为已知，则这样的单元体称为原始 单元体法。
因而从 构件表层取出的微分单元体 就接近二向应力状态。
这是最有实际意义的。
例：分析滚珠轴承中滚珠与外圈接触点的应力状态。 F
A
包围点 A ,以垂直和平行于压力 F 的平面截取单元体。
F
3
1
A A
2
单元体三个互相垂直的面皆为主平面，且三个主应力皆不为零， 于是得到三向应力状态。
§7-2 平面应力状态的分析 主应力
34
设斜截面的面积为 dA , eb 的面积为 dAcos ， bf 的面积为 dAsin
e
x
xy

dA cos
dA cos
e

dA
dA
b
yx
f
y
yxdA sin
ydA sin
35
b
f
（ 2 ）平面应力状态下, 任一斜截面 ( 截面 ) 上的应力 ¸ 的计算公式
2
sin 2 xy cos 2
37
2.主应力和主平面
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2

x y
2
sin 2 xy cos 2
求正应力的极值 令：
x y d 2[ sin 2 xy cos 2 ] 0 d 2