1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计

1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计

1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》

江西省铜鼓县铜鼓中学漆赣湘（336200）

教材：北师大版高一数学必修四第一章第四节第一小节

一、教学目标

1．知识与技能目标

（1）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用；

（2）掌握任意角的正弦函数与余弦函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，并能应用．

2.过程与方法目标

（1）通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合理猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想．

（2）培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力．3．情感、态度、价值观目标

在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性．感悟数学的本质，培养追求真理的精神．通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力．

二、教学重难点

教学重点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义（包括定义域和函数值在各象限的符号）及其应用.

难点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义及其构建过程的理解.

三、教学方法与教学手段

问题教学法、合作学习法结合多媒体课件

四、教学过程

（一）问题引入【投影展示】

问题１：初中我们学过锐角α的正弦函数与余弦函数，同学们还记得它是怎样表示的吗？

借助右图直角三角形，复习回顾. sin s

r α

α==的对边

斜边

，

cos

h

r

α=＝

α的邻边

斜边

．

问题２：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的

函数，那么该比值会随着三角形的大小而改变吗？为什么？（根据相似三角形的知识可知该比值不会发生改变）

（二）新知探究

我们所学角的范围已经扩充到任意角，如果角α为任意角，显然初中正弦函数与余弦函数的定义已经不能满足我们的需求，我们必须重新定义正弦函数、余弦函数．今天，我们将在直角坐标系中，对此作深入探讨．

【投影展示】问题3：如图,在直角坐标系中，我们作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，该圆称为单位圆．设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点(,)

P u v，你能求出sinα与cosα的值吗？该值与点P的坐标有什么关系呢？

由学生自己探究，得出结论，sin v v

r

α==，

cos

u

u

r

α==．

归纳总结：一般地，在直角坐标系中，给定

α

r

x

y

(,)

P u v

O

α

M

单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点(,)P u v ，那么点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作sin v α=；点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数，记作cos u α=．通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，则得到任意角的正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =．

【投影展示】问题4：在上述定义中，正、余弦函数的定义域与值域分别是什么？

说明：x 表示角的大小，故可为全体实数，而在单位圆中显然[1,1]y ∈-，故值域为[1,1]-．

【投影展示】问题5 如果知道角终边上一

点P ,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如

何求它的三角函数值呢?（由学生探讨）

说明：三角函数的值与点(,)P x y 在终边上的

位置无关，仅与角的大小有关.根据三角形相似

对应边成比例可知，我们只需计算点(,)P x y 到原点的距离22r x y =+,那么22sin y r x y α==+cos x r α=22x y +．因此任意角的正弦函数

与余弦函数是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故它们也可以看成以实数为自变量的函数.

【投影展示】问题 6 当角α分别在第一、第二、第三、第四象限时，你能确定角α的正弦函数值、余弦函数值的正负吗？完成课本P14页表格． x y (,P x y O αM

象限 第一象限 第二象限 第三象限 第

四象限

sin α

cos α

说明：正弦函数符号与所在象限记忆法则，从函数出发来记，“正弦上为正，余弦右为正，正切一、三正”；也可以从象限出发来记忆，即“一全为正，二正弦正，三正切正，四余弦正”．

（三）新知应用

【投影展示】例1在直角坐标系的单位圆中，4π

α=-，（1）画出角α；（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标；（3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值．（课本P14页例1）

分析：只需求出交点坐标，套用定义即可求解．

变式训练1判断65sin π与6

5cos π的符号，并通过计算进行验证． 【投影展示】例2已知角α终边上一点(3,2)P -，求角α的正弦函数值、余弦函数值．

分析：该点并不是角的终边与单位圆的交点，所以应先计算

||r OP =，再利用sin y r α=，cos x r

α=求解． 解：22(3)213r =-+=

所以2sin 131313y r α===，3cos 131313

x r α=== 【投影展示】变式训练2已知角α终边上一点(2,3)(0)P a a a -≠，求角α的正弦函数值、余弦函数值．

三角