1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计

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三角函数教案

三角函数教案【篇一：三角函数教学设计】4.1、任意角的正弦函数、余弦函数的定义一、教学内容分析直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。

三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.二、学生学习情况分析三、设计思想教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学目标1．掌握任意角的正弦、余弦的定义（包括这二种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数.4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。

5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。

通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

五、教学重点和难点重点: 任意角的正弦、余弦的定义（包括这二种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦的定义（包括这二种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；六、教学过程设计教学过程一、复习引入、回想再认（情景1）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦等二个三角函数. 请回想：这二个三角函数分别是怎样规定的？学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：设计意图：学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）.温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少. 二、引伸铺垫、创设情景（情景2）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.设计意图：从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程.教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！对边斜边邻边斜边，（图1）师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：y斜边r对边=x斜边r邻边=，?=设计意图：rr?=xy此处做法简单，思想重要. 为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形. 由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数. 初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义. 这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识,能够形成迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础.显然，我们可以将点取在使线段op的长r=1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：mpom的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释确定的，不会随p在终边上的移动而变化.三、探究新知显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点o为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?设计意图：初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键. 这样做能够使学生有效地增强函数观念.四、探索定义域引导学生自主探索：设计意图：定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域. 指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握. 五、符号判断、形象识记（情景5）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键. 六、练习巩固、理解记忆5的正弦、余弦值。

任意角的正弦余弦正切教学设计

任意角的正弦函数、余弦函数的定义肖亚一、教学目标1、知识与技能（1）熟练运用锐角正、余弦函数的性质；（2）理解通过单位圆引入任意角的正、余弦函数的意义；（3）掌握任意角的正、余弦函数的定义；（4）掌握这两种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号；2、过程与方法初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数周期、诱导公式及图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，再由任意角的正弦函数类比到任意角的余弦函数，体会特殊与一般、迁移的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重、难点重点：任意角的正弦、余弦的定义；正弦、余弦函数值的符号。

难点：任意角的正、余弦函数概念的建构过程及其应用。

三、教学用具多媒体、三角板、圆规四、教学过程Ⅰ、创设情境,建立数学建模它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，（那转动一秒转了多少度？）若现在你坐在座舱中，从初始位置出发（如图所示），过了30秒后，你离地面的高度为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？h1=h0+rsin300h2=h0+rsin450h＝h0＋rsint0在锐角范围中，h＝h0＋rsint0这一数学模型能表示座舱的高度，那么，我们能不能随着时间的推移，让h ＝h0＋rsint0这个数学模型从始至终都能起作用呢？若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。

第一章44.1单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义教学设计高中数学新北师大版()

【基础铺垫】1．任意角的正弦、余弦函数的定义（1）单位圆的定义在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．（2）如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，那么：正弦函数余弦函数定义点P 的纵坐标v 定义为角α的正弦函数，记作v ＝sin_α 点P 的横坐标u 定义为角α的余弦函数，记作u ＝cos_α正弦、余弦函数定义的推广:设P x ，y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r. 思考1：对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？[提示] 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．【合作探究】所以⎩⎨⎧ x ＝55，y ＝255，于是sin α＝y ＝255， cos α＝x ＝55. 法二：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(x >0)，则OP ＝x 2＋y 2＝x 2＋4x 2＝5|x |，又因为x >0，所以OP ＝5x .所以sin α＝y 5x ＝255，cos α＝x 5x ＝55. 【规律方法】求任意角的正弦函数、余弦函数值有两种方法：1利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角α的终边与单位圆交于点P u ，v ，则v ＝sin α，u ＝cos α.2利用正弦、余弦函数定义的推广.根据初中锐角三角函数的定义，设Px ，y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r .。

示范教案(1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象)

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象三维目标1.通过实验演示,让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识.. 重点难点教学重点:正弦函数、余弦函数的图象.教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系. 课时安排:1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx 与y=cosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当x ∈［0,2π］时,y=sinx 的图象. 推进新课新知探究提出问题问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x ∈［0,2π］的精确图象呢? 问题②:如何得到y=sinx,x ∈R 时的图象? 活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在x 轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x ∈［0,2π］的图象,就很容易得到y=sinx,x ∈R 时的图象了.对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线,就可以得到对应于0、6π、4π、3π、2π、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx 在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.图1对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx 在x ∈[2kπ,2(k+1)π],k ∈Z 且k≠0上的图象与函数y=sinx 在x ∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x ∈[0,2π］的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)图2讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x ∈［0,2π］的图象. ②左、右平移,每次2π个长度单位即可.提出问题: 如何画出余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.讨论结果:把正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象向左平移2个单位长度即可得到余弦函数图象.如图3.图3正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象和余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.提出问题问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点?问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx 在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下:(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0).因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握. 对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象. 讨论结果:关键点也有五个,它们是:(0,1),(2π,0),(π,-1),(23π,0),(2π,1).应用示例例1 画出下列函数的简图(1)y=1+sinx,x ∈[0,2π];(2)y=-cosx,x ∈[0,2π].活动:本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处. 解:(1)按五个关键点列表:x 0 2π π 23π 2π sinx 0 1 0 -1 0 1+sinx1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).图4(2)按五个关键点列表:x 0 2π π 23π 2π cosx 1 0 -1 0 1 -cosx-11-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).图5知能训练:课本本节练习解答:1.可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象,也可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象.两条曲线形状相同,位置不同,例如函数y=sinx,x ∈[0,2π]的图象,可以通过将函数y=cosx,x ∈[2π,23π]的图象向右平行移动2π个单位长度而得到(图10).图10点评:在同一个直角坐标系中画出两个函数图象,利于对它们进行对比,可以加强正弦函数与余弦函数的联系.通过多种方法画图,渗透数形结合思想,强化学生对数学概念本质的认识. 两个函数的图象相同.课堂小结1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的?2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法. 作业1.课本习题1.4 A 组1.2.预习下一节:正弦函数、余弦函数的性质. 板书设计:(略) 课后记:教研组长意见:。

任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数教案设计

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数教学目标：⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；会利用定义求任意角的三角函数值；⑵理解三角函数在各象限的正负号，会判断任意角三角函数的正负号；教学重点：任意角的三角函数的概念；三角函数在各象限的符号。

教学难点：任意角的三角函数值符号的确定．教学设计：（1）在知识回顾中推广得到新知识；（2）数形结合探求三角函数的定义域；（3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号。

教学设备：多媒体教学课件。

教学过程：一、复习锐角三角函数的概念，导入新课。

（利用多媒体课件）二、讲授新课：（一）、任意角三角函数的概念：设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为；；．在比值存在的情况下，对角的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．由定义可以看出：当角的终边在轴上时，，终边上任意一点的横坐标的值都等于0，此时无意义．除此以外，对于每一个确定的角，三个函数都有意义．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：三角函数定义域RR｛︱｝当角采用弧度制时，角的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数．例1 已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切值．分析已知角终边上一点P的坐标，求角的某个三角函数值时，首先要根据关系式，求出点P到坐标原点的距离，然后根据三角函数定义进行计算．解因为，，所以，因此，，．（二）、三角函数值的符号：由于，所以任意角三角函数的正负号由终边上点P的坐标来确定限．当角的终边在第一象限时，点P在第一象限，，所以，；当角的终边在第二象限时，点P在第二象限，，所以，；当角的终边在第三象限时，点P在第三象限，，所以，；当角的终边在第四象限时，点P在第四象限，，所以，．任意角三角函数值的正负如下图：例2判定下列角的各三角函数正负号：（1）4327º；（2）．解（1）因为，所以，4327º角为第一象限角，故，，．（2）因为，所以，角为第三象限角，故，，．例3根据条件且，确定是第几象限的角．分析时，是第三象限的角、第四象限的角或的终边在y轴的负半轴上的界限角)；时，是第二或第四象限的角．同时满足两个条件，就是要找出它们的公共范围．解取角的公共范围得为第四象限的角．三、练习：1．判断下列角的各三角函数值的正负号：（1）525º；（2）-235 º；（3）；（4）．2．根据条件且，确定是第几象限的角．3．已知角的终边上的点P的座标如下，分别求出角的正弦、余弦、正切值：⑴；⑵；四、小结：理解任意角的三角函数的定义及定义域；会利用定义求任意角的三角函数值；理解三角函数在各象限的正负号，会判断任意角三角函数的正负号。

《任意角的三角函数》教学设计

《任意角的三角函数》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

（2）掌握三角函数在各象限的符号。

（3）能根据角的终边上的点的坐标求出三角函数值。

2、过程与方法目标（1）通过单位圆的引入，经历从锐角三角函数到任意角三角函数的推广过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。

（2）通过对三角函数定义的探究，提高学生的数学抽象和逻辑推理能力。

3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

（2）让学生体会数学知识之间的内在联系，感受数学的整体性。

二、教学重难点1、教学重点任意角三角函数的定义。

2、教学难点用坐标法定义任意角的三角函数；三角函数在各象限的符号。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合四、教学过程1、导入新课通过回顾锐角三角函数的定义，引导学生思考如何将三角函数的概念推广到任意角。

在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别定义为：正弦：对边与斜边的比值；余弦：邻边与斜边的比值；正切：对边与邻边的比值。

提出问题：对于任意角，如何定义三角函数呢？2、讲授新课（1）单位圆的概念在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。

（2）任意角三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x,y)，那么：正弦函数：sinα ＝ y余弦函数：cosα ＝ x正切函数：tanα ＝ y/x （x≠0）强调三角函数值是一个比值，与点 P 在终边上的位置无关，只与角α的大小有关。

（3）三角函数在各象限的符号引导学生通过观察单位圆中角的终边所在象限，以及对应的三角函数值的正负，总结出三角函数在各象限的符号规律。

正弦函数在一、二象限为正，三、四象限为负；余弦函数在一、四象限为正，二、三象限为负；正切函数在一、三象限为正，二、四象限为负。

3、例题讲解例 1：已知角α的终边经过点 P(3,－4)，求sinα、cosα、tanα的值。

任意角的正弦函数余弦函数和正切函数的概念教学设计

任意角的正弦函数余弦函数和正切函数的概念教学设计教学目标：1.了解任意角的概念；2.了解正弦函数、余弦函数和正切函数的定义；3.掌握正弦函数、余弦函数和正切函数图像的特点；4.掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的性质；5.能够应用正弦函数、余弦函数和正切函数解决问题。

教学准备：1.教材《高中数学》等教科书；2.教学工具：黑板、彩色粉笔或白板、标尺、计算器；3.准备保存有正弦函数、余弦函数和正切函数图像的PPT课件；4.打印练习题。

教学过程：Step 1：导入新知识（10分钟）教师通过问题导入，例如：“请思考一下，在一个圆中，一点在圆上运动一周，每走一段距离，与圆心连线和圆的切线所夹的角会发生什么变化？”教师引导学生观察并回答，强调所描述的角度是一个“任意角”。

Step 2：正弦函数、余弦函数和正切函数的定义（15分钟）1.教师向学生介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，正弦函数表示角的正弦值与半径之比，余弦函数表示角的余弦值与半径之比，正切函数表示角的正切值与半径之比。

2.将观察到的圆运动图示出来，并告诉学生圆心到运动点的距离为13. 教师给出正弦函数、余弦函数和正切函数的基本公式：sinθ=x,r=1；cosθ=y,r=1；tanθ=x/y。

Step 3：正弦函数、余弦函数和正切函数的图像（15分钟）1.教师以PPT课件的形式展示正弦函数、余弦函数和正切函数的图像，解释图中x轴和y轴的含义，并强调坐标轴上的单位。

2.教师详细讲解几个正弦函数、余弦函数和正切函数图像的特点，如周期性、对称轴、值域等。

Step 4：正弦函数、余弦函数和正切函数的性质（15分钟）1.教师给出正弦函数、余弦函数和正切函数的周期、对称性、增减性、奇偶性和值域等性质，并结合图像进行说明。

2.教师通过举例说明正弦函数、余弦函数和正切函数在不同象限和角度值的取值范围。

Step 5：练习与应用（30分钟）1.学生在教师的指导下，完成练习题，巩固所学的知识。

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数--参考教案

5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》教案授课题目任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数授课课时3课型讲授教学目标1.知识与能力（1）能够运用公式求解任意角的三角函数值；（2）掌握三角函数的表达式；（3）正确判断任意角的三角函数值的符号.2. 过程与方法观察、分析知识形成的过程，归纳、抽象、概括知识的概念，提升寻找数学规律的能力.3. 情感、态度与价值观（1）感知数学知识与实际生活的普遍联系；（2）享受积极交流的课堂气氛，增强学习的兴趣和勇于创新的精神.教学重难点重点：任意角的三角函数值；难点：三角函数值的符号.第1课时教学过程教学活动学生活动设计思路复习引入在初中，我们在直角△ABC中，我们定义了锐角α的正弦、余弦和正切，如图1所示.正弦：asincαα∠==的对边斜边；图1余弦：cos b c αα∠==的邻边斜边；正切：tan a b ααα∠==∠的对边的邻边.现在我们将一个锐角α放入平面直角坐标系中，使得顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，如图2所示.已知点(,)P x y 是锐角α终边上的任意一点，点P 与原点O 的距离(0)OP r r =>，你能利用锐角三角函数的定义计算出锐角α所对应的三角函数值吗？分析过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y .在Rt OMP ∆中，根据勾股定理可得，222r x y =+，即220r x y =+>.MP sin y OP r α==；OM cos xOP r α==； MP tan yOM xα==.一、探究新知在弧度制下，我们已将α的范围扩展到了全体实数.一般地，如图3所示，当α为任意角时，点结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图2(,)P x y 的α终边上异于原点的任意一点，点P 到原点的距离为22r x y =+.我们仍然将α的正弦、余弦、正切分别定义如下.sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠ 注意：当的α终边不在y 轴上时，tan α才有意义.对于每一个确定的α，其正弦、余弦及正切都分别对应一个确定的比值，因此，正弦、余弦及正切都是以α为自变量的函数，分别叫作正弦函数、余弦函数及正切函数.我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数 y=sin x ，x R ∈；余弦函数 cos y x =，x R ∈；正切函数 y=tan x ，()2x k k Z ππ≠+∈.二、例题讲解例 1.如图3所示，已知角α的终边经过点(3,4)P -，求 sin α，cos α，tan α的值.理解记忆相关概念和结论在理解的基础上熟练写出相关函数表达式和定义域直观展示知识点，让学生在理解的基础上记忆概念图2解由已知有，x =3,y =-4,则，()234 5.r =+-=２于是4 ,5ysin r α==-3,5x cos r α==43y tan x α==-.三、巩固练习已知角α的终边分别经过以下各点，求sin cos tan .ααα，和.（1）P(-8，6)；（2）P(5，12)；（3）P （-1，2）.认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路认真思考、完成相关题目展示问题解决的基本步骤，培养学生分析解决问题能力加深对定义和公式的理解和记忆图3一般地，α为任意角，(,)P x y 为α终边上异于原点的任意一点，点P 与原点O 的距离OP r =，因为0r >，由定义可知，正弦值的符号与点P 的纵坐标y 的符号相同；余弦值的符号与点P 的横坐标x 的符号相同；正切值的符号与点P 的纵坐标与横坐标的比值yx的符号相同. 请同学们将点P 的坐标与各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号列表.为了便于记忆，我们将，，的正负号标在各象限内，如图4所示.二、例题分析例1确定下列各值的符号.（1）() 210sin -︒；（2）17 12cos π; （3） 760tan ︒. 解（1）因为-210°是第二象限角，所以() 2100sin -︒>. （2）由1751212πππ=+，可看出π＜π+5π12＜π+6π12=3π2是第三象限的角，所以 17012cos π<. （3）因为760402360︒=︒+⨯︒，可知760°的角与400的角终边相同，是第一象限的角，理解并熟记各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号认真读题，积极思考，了解知识运用的一般过程在理解的基础上记忆概念展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问题能力图4第3课时教学过程教学活动学生活动设计思路提出问题如图5所示，两个三角板上有几个特殊的锐角：30°，45°，60°.初中已研究了它们对应的正弦值、余弦值和正切值.现将角的范围进行了推广，已经在平面直角坐标系中研究了各象限角的正弦值、余弦值和正切值的符号分布规律.对于在平面直角坐标系中不属于任何象限的特殊角，如0°，90°，180°，270°等，它们的正弦值、余弦值和正切值又是多少？以180°为例，试求出它的正弦值、余弦值和正切值. 结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图5图6分析在平面直角坐标系中，180°角的终边正好与x 轴的负半轴重合，如图6所示.以坐标原点为圆心、半径为单位长度的圆(简称单位圆)与x 轴交于点(1,0)P -，于是有1x =-，0y =，1γ=.根据任意角的正弦、余弦和正切的定义可知，sin 1800yr ︒==； cos 1801xr ︒==-；tan 1800yx︒==.一、探究新知一般地，取单位圆与坐标轴的交点就可以得到0°，90°，180°和270°等特殊角的正弦值、余弦值和正切值，如下表所示表中360°角与0°角的终边相同，对应的三角函数值也相同.二、例题讲解例1 求︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5的值.解 ︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5=5×0－4×1＋2×0－7×（－1）=3。

1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义

α对边邻边斜边α1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义一.教学目标：（一）知识与技能：认识单位圆，让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力.（二）过程与方法：理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号，并能初步应用它们解决一些问题。

（三）情感态度与价值观：通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平。

二.教学难点：利用单位圆给正弦函数、余弦函数下定义。

三.教学重点：正弦函数、余弦函数的定义四.学情分析：五. 学法与教法：探究讨论法。

六.教学过程：（一）、复习引入锐角的正弦、余弦函数的定义：（二）、探究新知1、下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角的正弦函数、余弦函数. 当点P (u ,v ) 就是的终边与单位圆的交点时,锐角三角函数会有什么结果？以原点为O 圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆．sin _____;cos _____.αα==α2、任意角的正弦函数、余弦函数定义：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (u ,v )，那么：（1）v 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=v ；（2）u 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=u.3、三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函sin ,cos y x αα==数值的函数.角(弧度数) 与实数一一对应三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 4、正弦、余弦函数值的符号（三）、巩固深化，发展思维例1.求的正弦、余弦. 画图，易知的终边与单位圆的交点为例2.已知角α的终边经过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦.练习.已知角α的终边经过点P (2,-3)，求角α的正弦、余弦.R R定义域函数sin αcos αyxπ53π5313(,22P -3sin 2α∴=-1cos .2α=变式.设角的终边过点 ,其中 , 则 .例3.确定下列各三角函值的符号： ⑴ cos250°;⑵ sin(-π/4); ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π.例4.已知sin θ＜0且cos θ＞0,确定θ角的象限.（四）、归纳整理，整体认识：（1）任意角的正弦、余弦函数的定义.（2）三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.(3)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

任意角的三角函数教学设计

“任意角的三角函数”教学设计一、教学目标1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；2．会用定义求特殊角的三角函数值,会求已知终边位置的角的三角函数值；3．会从函数三要素的角度认识三角函数的对应法则、自变量、函数值；4．体会定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法．二、教学重难点重点：理解任意角三角函数的定义。

难点：引导学生将任意角的三角函数的定义强化，帮助学生真正理解定义。

三、教学过程设计（一）教学情境复习锐角三角函数的定义问题1 对于三角函数我们并不陌生，初中学过锐角三角函数，你能说说它的自变量和对应关系各是什么吗？任意画一个锐角α，你能借助三角板，根据锐角三角函数的定义找出sinα的值吗？（设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义。

）(二) 认识任意角三角函数的定义问题2 你能借助象限角的概念，用直角坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗？即将三角函数值用终边上点的坐标表示出来。

，对于这些比值，我们以前称之为锐角α的正弦、余弦和正切，统称为锐角α的三角函数。

当角α确定后，比值xy r x r y ,,也是唯一确定的，而与P 点在角终边上的位置无关。

当α是锐角时，x y r x r y ,,（设计意图：比值“坐标化”，与点在终边上的位置无关。

）问题3 既然当角确定后，三角函数值与点P 在终边上的位置无关，那么你能否在终边上取适当的点，使三角函数的形式更简单？（设计意图：在求简意识的指引下，自然地引出单位圆，同时在对圆周运动寻求函数关系的求解的过程中体会它与锐角三角函数之间的内在联系。

）当α是锐角时，设P (x ,y )是α的终边与单位圆的交点，那么当r=1,则y 就称为锐角α的正弦，x 就称为锐角α的余弦，就称为锐角α的正切. 记为：类似地，我们可以将锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为P (x ,y ),则y 叫做α的正弦,记作sin α= y . x 叫做α的余弦,记作c o s α=x ; 叫做α的正切,记作t a n α= 任意角α的正弦、余弦和正切,统称为任意角α的三角函数.x y xy x y ===αααtan ,cos ,sin xy问题4 你能说明上述定义符合函数定义的要求吗？（设计意图：让学生用函数的三要素说明定义的合理性，以此进一步明确三角函数的对应法则、定义域和值域。

数学必修四北师大版1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计

1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》一、教学目标1．知识与技能目标（1）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用；（2）掌握任意角的正弦函数与余弦函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，并能应用．2.过程与方法目标（1）通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合理猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想．（2）培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力．3．情感、态度、价值观目标在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性．感悟数学的本质，培养追求真理的精神．通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力．二、教学重难点教学重点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义（包括定义域和函数值在各象限的符号）及其应用.难点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义及其构建过程的理解.三、教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法结合多媒体课件四、教学过程（一）问题引入【投影展示】问题１：初中我们学过锐角的正弦函数与余弦函数，同学们还记得它是怎样表示的吗？借助右图直角三角形，复习回顾. sin s rαα==的对边斜边，cos h rα=＝α的邻边斜边．问题２：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，那么该比值会随着三角形的大小而改变吗？为什么？（根据相似三角形的知识可知该比值不会发生改变）（二）新知探究我们所学角的范围已经扩充到任意角，如果角α为任意角，显然初中正弦函数与余弦函数的定义已经不能满足我们的需求，我们必须重新定义正弦函数、余弦函数．今天，我们将在直角坐标系中，对此作深入探讨．【投影展示】问题3：如图,在直角坐标系中，我们作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，该圆称为单位圆．设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点(,)P u v ，你能求出sin α与cos α的值吗？该值与点P 的坐标有什么关系呢？由学生自己探究，得出结论，sin v v rα==，cos uu rα==．归纳总结：一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点(,)P u v ，那么点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作sin v α=；点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数，记作cos u α=．通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，则得到任意角的正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =．【投影展示】问题4：在上述定义中，正、余弦函数的定义域与值域分别是什么？说明：x 表示角的大小，故可为全体实数，而在单位圆中显然[1,1]y ∈-，故值域为[1,1]-．【投影展示】问题5 如果知道角终边上一点P ,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?（由学生探讨）说明：三角函数的值与点(,)P x y 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.根据三角形相似对应边成比例可知，我们只需计算点(,)P x y到原点的距离r =,那么sin y rα==cos x rα=＝．因此任意角的正弦函数与余弦函数是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故它们也可以看成以实数为自变量的函数.【投影展示】问题6 当角α分别在第一、第二、第三、第四象限时，你能确定角α的正弦函数值、余弦函数值的正负吗？完成课本P14页表格．三角函数说明：正弦函数符号与所在象限记忆法则，从函数出发来记，“正弦上为正，余弦右为正，正切一、三正”；也可以从象限出发来记忆，即“一全为正，二正弦正，三正切正，四余弦正”．（三）新知应用【投影展示】例1在直角坐标系的单位圆中，4πα=-，（1）画出角α；（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标；（3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值．（课本P14页例1）分析：只需求出交点坐标，套用定义即可求解．变式训练1判断65sinπ与65cos π的符号，并通过计算进行验证．【投影展示】例2已知角α终边上一点(3,2)P -，求角α的正弦函数值、余弦函数值．分析：该点并不是角的终边与单位圆的交点，所以应先计算||r OP =，再利用sin y r α=，cos xrα=求解．解：r ==所以siny r α===，cos x r α=== 【投影展示】变式训练2已知角α终边上一点(2,3)(0)P a a a -≠，求角α的正弦函数值、余弦函数值．【投影展示】变式训练3已知角α终边与直线1(0)3y x x =≤重合，求角α的正弦函数值、余弦函数值．若去掉“0x ≤”这个条件呢？说明：变式2中由于未注明a 的正、负，故需分情况讨论，旨在让同学们学会分类讨论思想，而变式3中并没有给出终边上一点的坐标，需要自己任意选取一特殊点的坐标求解，也可以作出单位圆与该射线或直线的交点，借助方程组的思想求出交点坐标，套用定义求解．（四）反思升华由学生自己从以下三方面进行反思小结，教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理本节课的小节：①本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同？ ②你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? ③正弦函数与余弦函数的定义在应用时应注意什么呢？（五）作业布置【投影展示】课本P16页练习3，4，5填书上，P20页A 组1，3，做作业本上．补充作业：已知角α终边与直线2y x =重合，求sin cos αα+的值．（六）板书设计五、教学反思本节课整体效果是不错的，从熟知的初中的锐角三角函数到高中的任意三角函数，从旧知识到新知的扩展，对学生来讲较容易接受．课堂中的变式训练也使新知识能够以充分的应用，锻炼了学生的思维能力、考虑问题周密性，整节课学生始终处于探索与应用中．。

任意角的三角函数(教案)

任意角的三角函数(教案)一、教学内容本节课的教学内容来自于高中数学必修一的第四章第一节，主要内容包括任意角的三角函数的定义、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。

二、教学目标1. 让学生理解任意角的三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。

2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作学习、探究学习的能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解和应用。

2. 教学重点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的掌握。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2. 学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室的布置，找出角的度量单位，引出角的概念。

2. 任意角的三角函数的定义：通过多媒体展示正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，让学生理解并掌握它们的定义。

4. 例题讲解：出示例题，让学生独立解答，然后讲解答案，讲解过程中强调解题思路和方法。

5. 随堂练习：出示随堂练习题，让学生独立完成，然后批改并讲解答案。

8. 布置作业：布置相关的作业题目，让学生巩固所学知识。

六、板书设计1. 任意角的三角函数的定义2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质七、作业设计1. 题目：已知一个角的度数为30°，求它的正弦值、余弦值和正切值。

答案：正弦值：1/2余弦值：√3/2正切值：√3/32. 题目：画出角α的正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。

答案：见附图。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课的教学过程中，学生对任意角的三角函数的定义掌握较好，但在正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解上还有待加强。

2. 拓展延伸：让学生研究任意角的三角函数在实际问题中的应用，如测量大树的高度、计算物体在斜面上的速度等。

重点和难点解析一、任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义是本节课的核心内容，学生需要理解并掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。

集体备课《三角函数的定义、诱导公式》

（公式一）
诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、余弦、正切。
【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成
，是不对的
【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到角后，又如何将角间的角转化到角呢？
除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？
三.教学方法
启发式，利用计算机多媒体辅助教学.
四.教学过程
(一)复习引入：
初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦依次为．角推广后，这样的三角函数的定义还适用吗？
(二)讲授新课：
自学阅读：
让学生阅读，回答下列问题？
1、三角函数定义的角是角度制还是弧度制？为什么？
3课堂练习：
（1）设角的值等于
（2）当时，的值为
（3）P.18练习1
4、作业：
高一集体备课材料
§4.3.2单位圆与诱导公式
主备课人:谢勇
一.教学目标
1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
问题3：我们学习了的诱导公式，那么的诱导公式呢？
变式训练1：将下列三角函数化为到之间的三角函数：
（1）（2）（3）
问题4：，又有怎样的诱导公式呢？
例2已知方程sin(3) = 2cos(4)，求的值
四、课堂练习
P.20练习2
五、反思总结
备课札记

高中数学第一章三角函数1.4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义学案

1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义学习目标重点难点1.记住任意角的正弦函数、余弦函数的定义． 2．准确把握任意角的不同三角函数的定义方法．3．已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值．4．记住三角函数值在各个象限的符号并会灵活解题.重点：任意角的正弦函数、余弦函数的定义(包括这两种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)．难点：已知角α终边上一点，求角α的各三角函数值．疑点：三角函数的正弦线、余弦线的作法.1．单位圆在直角坐标系中，以______为圆心，以________为半径的圆，称为单位圆． 2．任意角的正弦函数、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P (u ，v )，那么点P 的____v 叫作角α的正弦函数，记作________；点P 的______u 叫作角α的余弦函数，记作______．通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y ＝sin x 和y ＝cos x ，它们的定义域为________________，值域为______．预习交流1在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)．怎样用x ，y ，r 表示sin α，cos α？预习交流2(1)已知角α的终边经过P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则sin α＝__________，cos α＝__________. (2)若点P (－3，－1)是角A 终边上的一点，则sin A ＝__________，cos A ＝__________. 3．正弦函数、余弦函数在各象限的符号预习交流3(1)三角函数在各象限的符号由什么决定？(2)填空(比较大小)：sin 195°____0，cos 140°____0.答案：1．原点单位长2．纵坐标 v ＝sin α 横坐标 u ＝cos α 全体实数 [－1,1]预习交流1：提示：sin α＝y r ，cos α＝x r. 预习交流2：(1)12 32(2)－1010 －31010解析：x ＝－3，y ＝－1，r ＝10， ∴sin A ＝－110＝－1010， cos A ＝－310＝－31010.3．＋＋－－＋－－＋预习交流3：(1)提示：由三角函数的定义可知，三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．(2)＜＜1．利用定义求任意角的正弦、余弦值已知角α的终边在射线y ＝2x (x ＞0)上，求角α的正弦函数值、余弦函数值．思路分析：解答本题可先设角α终边上任一点的坐标，然后借助于三角函数的定义加以解决．在直角坐标系的单位圆中，α＝6. (1)画出角α；(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标．(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义直接求出相应的三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b2，余弦值cos α＝aa 2＋b 2.(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．2．判断三角函数值的符号及角所在的象限判断符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α所在的象限．思路分析：依据正弦函数、余弦函数在各个象限的符号作出判断．(1)如果sin α＞0，且cos α＜0，则α是第______象限角； (2)如果cos α＞0，且sin α＜0，则α是第______象限角； (3)如果sin αcos α＞0，则α是第__________象限角； (4)如果sin αcos α＜0，则α是第__________象限角．(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．(2)对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．3．三角函数的定义域问题求下列函数的定义域： (1)y ＝sin x ＋cos x sin x；(2)y ＝lg sin 2x ＋9－x 2.思路分析：考虑分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根号下不为负，建立不等式(组)，解之即可．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( )． A ．(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k ＋1π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，k ＋1π(k ∈Z )D ．[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )求解三角函数定义域的解题策略求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的，即通过列不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组，最后写出函数的定义域．凡涉及三角函数的定义域问题，在求解时，必须考虑到三角函数本身一定有意义．在求解一个固定的集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以通过取特殊值或画数轴来解决．答案：活动与探究1：解：方法一：设α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则y ＝2x (x ＞0)．又因为x 2＋y 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝255.于是sin α＝y ＝255，cos α＝x ＝55.方法二：在角α终边上任取一点P (x ，y )(x ＞0)，则|OP |＝x 2＋y 2＝x 2＋4x 2＝5|x |. 又x ＞0，所以|OP |＝5x .所以sin α＝y x 2＋y 2＝y 5x ＝255，cos α＝x x 2＋y2＝x5x＝55. 迁移与应用：解：(1)如图所示．(2)∵sin α=12，cos α，∴角α的终边与单位圆的交点坐标为122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，如图所示．活动与探究2：解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°＜0，cos 265°＜0.∴sin 340°cos 265°＞0. (2)∵sin 2α＞0，∴2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，有2m π＜α＜2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，有2m π＋π＜α＜2m π＋3π2(m ∈Z )．∴α为第一或第三象限角．又由cos α＜0，可知α为第三象限角．迁移与应用：(1)二 (2)四 (3)一或三 (4)二或四活动与探究3：解：(1)要使函数有意义，需sin x ≠0， ∴x ≠k π.∴函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z }．(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0.由sin 2x ＞0得2k π＜2x ＜2k π＋π(k ∈Z )，即k π＜x ＜k π＋π2(k ∈Z )．①由9－x 2≥0得－3≤x ≤3.②由式①②得－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.故函数的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3≤x <－π2或0<x <π2.迁移与应用：B 解析：要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .1．已知sin α＝－12，cos α＝32，则角α终边所在的象限是( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．角α的终边经过点P (0，b )，则( )． A ．sin α＝0 B ．sin α＝1C ．sin α＝－1D ．sin α＝±1 3．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．－24．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是__________．5．若点P (－4a,3a )(a ≠0)为角α终边上一点，求sin α，cos α.答案：1．D 解析：sin α＝－12＜0，∴α在第三或第四象限；cos α＝32＞0，∴α在第一或第四象限． ∴α终边所在的象限是第四象限． 2．D 解析：r ＝|b |，∴sin α＝b r ＝b|b |＝±1. 3．A 解析：∵α是第三象限角， ∴sin α＜0，cos α＜0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1＋1＝0.4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 解析：由题意知，cos x ≥0， ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 5．解：r ＝|OP |＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，α角在第二象限，故sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45.当a ＜0时，r ＝－5a ，α角在第四象限，故sin α＝－35，cos α＝45.。

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象示范教案(人教A必修4)

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教学目的：1、用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；3、正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系。

教学重点、难点重点：会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象教学过程：一、复习引入：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有 MP r y ==αsin ，OM r x ==αcos向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲授新课：1、正弦函数图象的几何作法采用弧度制， x 、y 均为实数，步骤如下：（1）在 x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆；（2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π、、2π的正弦线；（4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份；（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合；（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。

2、五点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五点起决定作用，它们是描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了。

3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22πππ-π因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。

注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。

（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。

（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好。

（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。

正弦函数和余弦函数的定义教案

1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义（必修4 第一章三角函数）《正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式》教案一、教学目标1：知识与技能观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题。

培养分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的能力。

2:过程与方法理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念。

通过初中知识的回顾，探索新知，会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式。

通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一。

3:情感态度与价值观由锐角的正,余弦函数推广到任意鱼的正,余弦函数的过程中,体会特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想;通过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题,解决问题的能力。

一二、学情分析初中运算以具体数字为主，运算量小；高中以字母为主，更加抽象(也更接近数学的本质)，并且引入对字母的分类讨论，对学生的发散思维能力提出了很高要求,教师讲的太多，会导致学生产生依赖心理，时间一长，会形成恶性循环；教师讲的太多，往往拔苗助长，适得其反；让学生积极动脑思考，过程虽然慢一些，但可以培养学生捕捉问题的敏捷性，对以后的数学学习非常有利，可谓“磨刀不误砍柴工”。

教师要从各方面引导学习数学要深入下去，不能浅尝辄止，半途而废，要适时鼓励学生，给学生以学好数学的勇气和信心。

鼓励学生不要怕出错，大胆尝试，大胆地写，给学生敢写、敢做树立自信心。

在初中学生已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，在第一册学生已经掌握了函数的有关对应的知识和概念,同时已经具备了一定的自学能力,这在我们今天学校用“五点法”作图提供了基础，让学生动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。

积极地鼓励学生自主的去完成作业。

遇到有疑问的问题积极的解决。

高中数学_1.4.1 正弦函数余弦函数的图象教学设计学情分析教材分析课后反思

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教学目标：1、知识与技能：通过对“正弦曲线”的作图，能正确理解使用“几何法”和“五点法”作图从而为进一步研究正弦型函数“ y=Asin(ωx+φ)”的图象打好基础2、过程与方法：在画出正弦函数图象过程中，通过观察、分析，尝试等手段，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神, 在学习和实践过程中培养学生运用数学方法解决问题的能力。

3、情感、态度、价值观：在参与作图及问题讨论并获得解决过程中渗透由简单到复杂，由特殊到一般化归的数学思想，由数到形、由形到数的数形结合思想，从而培养学生的数学兴趣、数学意识、数学严谨作风。

教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。

教学难点：作余弦函数的图象，确定五个关键点；课型：新授课教法：启发、探究发现教学. 教具：沙漏摆动实验仪器、多媒体教学过程：一、复习回顾：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM rx==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、创设情景目的是激发学生求知欲、引导学生进入学习状态。

所以在本节课的教学中我设计了一个问题情景。

问题有三个：1.做函数图象的常用方法及它的步骤？2.如何画正弦线？3.如何画出正弦函数y=sinx 的图象？这是一个温故知新的过程，学生通过问题的解决消除学习新知识的畏惧心态，为新知识的类比迁移作出铺垫。

同时学生也体验到了学习数学新知的思维方法。

生活中有没有这样的曲线呢？演示沙漏实验，告诉学生知识是来源于生活而又高于生活，激发学生热爱生活，观察生活从而喜欢数学。

目的是引导学生用描点法做出正弦函数图象。

三、讲解新课：此时设计学生活动（一）：按照描点法做函数图象的步骤，尝试画出正弦函数图象的简图。

把学生带入尝试探究环节。