广东省惠东县平海中学九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径课件 新人教版
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人教版数学九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)
推论的符号语言表述
由 ①CD是直径 ③AE = BE
可推得
②CD⊥AB
⑤④AA⌒⌒CD
= =
⌒ ⌒BBCD
用∵ ∴的格式写出来。 还有其它推导吗？
二、新知探究与学习
4、推论探究
重点讨论：假命题“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧”。
①为什么是假命题？（举反例如图） ②如何补充条件使其成为真命题？
5、定理及推论的理解
⑶ 下列说法正确的个数是（
）个
①平分弧的直径必平分弧所对的弦。
②平分弦的直线必垂直弦。
③垂直于弦的直径平分这条弦。
④平分弦的直径垂直于这条弦。
⑤弦的垂直平分线是圆的直径。
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦。
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，那么这条 直线必平分此弦所对的弧。
A、2
B、3
C、4
D、5
6、图形的识别与探究
（1）弦心距d、弓形高h的概念 （2）构建Rt△模型 （3）a、d、r、h 具有什么样的数量关系？
7、垂径定理及推论应用
例2、赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥， 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与 智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度 （弧所对的弦的长）为37米，拱高（弧的中点到 弦的距离）为7.23米，求赵州桥主桥拱的半径 （结果保留小数点后一位）
C
F
拱高7.23米
A
跨度D37米
B
变式训练
练习1、往直径为650mm的圆柱体油槽内装 入一些油以后，截面如图所示，若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度。
O
A
B
提升训练
练习2、某菜农在生态园蔬菜基地搭建一个截面为弓形的 蔬菜大棚（如图），大棚的跨度为30m，大棚的顶点C离 地面高度为2.3m。 ① 求该圆弧所在圆的半径。 ② 若菜农身高1.70米,则他在不弯腰的情况下,横向活动范 围有几米?
人教版数学九年级上册第24章 园 24.1.2垂直于弦的直径 课例分析课件(共32张PPT)
《24.1.2垂直于弦的直径》 课例分析
24.1.2垂直于弦的直径 （第一课时）
24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）
教学目标
1．通过观察实验，理解圆的轴对称性；
2．掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算 问题；
3. 经历探索垂径定理的过程，提升观察、分析、逻辑推理和归纳 概括能力.
A 4E
B
3
O
C
例2 如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂 足 为E，若CE=2cm，AB=8cm，求⊙O的半径．
A
42
E
r
r-2
O
B
主要是在计算上应用垂径定理解决问题，常用的辅助线是作过圆心垂直于弦的线段，有
时通过设未知数列方程的方法解决问题，充分渗透方程思想，将勾股定理和垂径定理结 合起来应用.学会规范书写解题格式，通过图形逐步熟悉垂径定理的基本图形，熟悉半径， 弦长，圆心到弦的距离三者之间的关系，为例题之后的思考归纳做好准备工作.
例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D
两点．求证：AC＝BD．
思路3：过点O作OE⊥AB于点E， 根据垂径定理．
O
A
E
B
O
CE
D
AC
O E DB
引导学生观察图形，逐步发现垂径定理的基本图形，在寻找其他更好的方法的过程中， 学生的思维得到不断的锻炼.
r r
新知应用
A
E
B
O
C
O
A
M
A'
D
如何证明圆是轴对称图形？ 定稿：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于
直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.我们还可以证明， 对于圆上任意一点A在圆上都能找到一点A＇，这两点关于直径 所在直线对称，我们如何找到这样的点A＇呢？
24.1.2垂直于弦的直径 （第一课时）
24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）
教学目标
1．通过观察实验，理解圆的轴对称性；
2．掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算 问题；
3. 经历探索垂径定理的过程，提升观察、分析、逻辑推理和归纳 概括能力.
A 4E
B
3
O
C
例2 如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂 足 为E，若CE=2cm，AB=8cm，求⊙O的半径．
A
42
E
r
r-2
O
B
主要是在计算上应用垂径定理解决问题，常用的辅助线是作过圆心垂直于弦的线段，有
时通过设未知数列方程的方法解决问题，充分渗透方程思想，将勾股定理和垂径定理结 合起来应用.学会规范书写解题格式，通过图形逐步熟悉垂径定理的基本图形，熟悉半径， 弦长，圆心到弦的距离三者之间的关系，为例题之后的思考归纳做好准备工作.
例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D
两点．求证：AC＝BD．
思路3：过点O作OE⊥AB于点E， 根据垂径定理．
O
A
E
B
O
CE
D
AC
O E DB
引导学生观察图形，逐步发现垂径定理的基本图形，在寻找其他更好的方法的过程中， 学生的思维得到不断的锻炼.
r r
新知应用
A
E
B
O
C
O
A
M
A'
D
如何证明圆是轴对称图形？ 定稿：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于
直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.我们还可以证明， 对于圆上任意一点A在圆上都能找到一点A＇，这两点关于直径 所在直线对称，我们如何找到这样的点A＇呢？
九年级上数学《24.1.2 垂直于弦的直径》课件
M
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
人教版数学九年级 24.1.2_垂直于弦的直径 (共20张PPT)
C
A r
D
B O
例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD 垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设弯路的半径为 Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 CF CD 600 300 (m). 2 2 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理 ,得
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
2 2
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 1㎝或9㎝ 那么C到AB的距离等于 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
E
B
A
M
B
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
O
D
B
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
人教版数学九年级上册：24.1.2《垂直于弦的直径》 PPT课件(共16页)1
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
A
D
B
即
R2=18.72+（R－7.2）2 R
解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
⌒⌒
⌒⌒
∴ AD =BD. ∴ AC =BC,
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的 想法和理由.
发现图中有:
C
由 （1）CD是直径 可推得
A
┗●
B （2）AM=BM
M
●O
垂径定理的推论
CD⊥AB, ⌒⌒ AC=BC, ⌒⌒ AD=BD.
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
Ｃ
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
答：⊙O的半径为5cm.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
37.4m
C
7.2m
A
D
B
R
O 问题 ：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的 中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到
人教版九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件(共17张PPT)
. 半径
弦心距
O
弓高
D
知二推二
本节课你学到了什么？
当堂检测
1.如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，
则圆心O到AB的距离是
.
C
2.如图，⊙ O的直径CD⊥AB于E，AB＝8cm，
DE＝2㎝，求⊙O 的半径.
O
E
A
B
D
请思考下题有几种证明方法？请选择一种方法进行证明.
3.如图，两个同心圆都以O为圆心，大圆的
上 半 年 ,二 氧 化氮日 均浓度 范围为 17~104微 克/立 方米 ,平均浓 度为39微 克/立 方米,超 标 率 为 2.2% 。 与去 年同期 相比,二 氧化氮 平均浓 度上升 30.0% 。 3)可 吸 入 颗 粒 物 上半年
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.理解圆的轴对称性； 2.掌握垂径定理，理解其推证过程； 3.能运用垂径定理解决圆中简单的计算与证明问题. 重点：垂径定理及其应用； 难点：垂径定理的理解.
某 市 XX年 上 半 年环 境质量 报告
上 半 年 ,XX市 空 气质 量优良 率为76.1% ;城 市降水 中pH 加 权平 均值为 6.80,未 出现酸 雨 ;地 表 水 总 体水质 为优;集 中式 饮用水 源地水 质达标 率为100% ;各类功能区噪声平
均 等 效 声 级 达标率 为93.1% 。 一、环境空气 1、 总 体 状 况
平分弦（非直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：
∵ ① CD是直径， ③AE=BE，
A
∴ ② CD⊥AB， ④A⌒C=B⌒C，⑤A⌒D=B⌒D.
C
O
E
B
D
人教版数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径课件
自学指导1（2分钟）
看课本81页内容，回答问题
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
自学检测1（1分钟）
▪ 1.圆有（ 无数）条对称轴 ▪ 2.判断：圆是轴对称图形，它的每一条直
径都是它的对称轴。（ ）
CD为16cm,那么油面宽度AB= 48cm.
3. （2011四川南充市）在圆柱形油槽内装有一 些油。截面如图，油面宽AB为6分米，如果再 注入一些油 后，油面AB上升1分米，油面宽 变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（ C）
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
讨论： 一条直线的性质具备几个条件？
C
1、过圆心 2、垂直于弦
A
M
B
3、平分弦
O
4、平分优弧
5、平分劣弧
总结：五取二有三
D
自学检测2(5分钟）
1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为M，
AM=（ ）
∴
A⌒C=（
⌒ ）
A
C M B
A⌒D=（ ⌒ ）
∴ AO = CO = 10
C
A
M
B
∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6
O
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
∴ AB =2AM
在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6
D
根据勾股定理，
AM AO2 OM 2 102 62 8
∴ AB = 2AM = 2 x 8 = 16
3 如图，⊙O的直径CD＝5cm，AB是⊙O的 弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3： 5，则AB 的长（ C ） A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm
人教版(2012)九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径 课件(29张ppt)
B D
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2, ∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.
即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
O
例题变式
如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，
求⊙O的半径．
解： 过圆心O 作OE⊥AB于E， A
,(垂径定理）
3E B
4
O
在Rt △ AOE 中 ,
垂径定理 圆是轴对称图形
知识小结 内容
推论
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
5)
y
.
C 3
A O 2M D
Hale Waihona Puke 5B x达标练习4.如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.
求⊙O 的半径.
C
O
r 9-r
3E
A
B
D
角形全等. 要证 ⌒AC =A⌒D,⌒BC =⌒BD ，只需证明C点与D点
C
关于直径AB对称.
A
O ED B
同位讨论
CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E. 求证：CE=DE,⌒AC = A⌒D, ⌒BC =⌒BD.
证明：连接OC,OD,则OC=OD 在Rt△OCE和Rt△ODE中：
A O
__O_E_=_O_E_____________
1.半径为4cm的⊙O 中，弦AB=2 cm,
那么圆心O 到弦AB 的距离是
人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径新课课件(共25张PPT)
经过圆心的弦叫做直径．
弧(半圆) 圆上任意两点间的部分叫做圆弧
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆
劣弧与优弧
能够重合的两个圆叫做等圆 等圆(同心圆)与等弧
圆心相同的圆叫做同心圆
在同圆或等圆中, 能够互相重合的弧叫做等弧
赵州桥的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你 能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互 相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
3、圆是不是轴对称图形？
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线 都是它的对称轴。
圆
圆心为O，半径为r 的圆可以看成是:
所有到定点的距离等于定长r 的点的集合。
弦(直径) 连接圆上任意两点的线段叫做弦，
半径。
E
B
.
O
解：连接OA，作OEAB于E. 1
AE= 2 AB=4 OA= AE2+OE2=5
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相 等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求 证四边形ADOE是正方形．
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
C
A
M└
●O
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =BC,⌒ A⌒D =BD⌒.
D
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》课件(共19张PPT)
（1）求证：BC=BD； （2）若CD=6，求⊙O的半径长． 解：（1）连接OC． ∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴CH=DH，BC=BD．
练习巩固，综合应用
（2）连接OC．
∵CD平分OA，设⊙O的半径为r，
1 2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
则OH= r． 5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
( ( ( (
合作探究，形成知识
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
合作探究，形成知识
垂径定理的证明：
证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB， 即OA=OB． 因为CD⊥AB， AE=BE， = ， =
点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM，弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
例题应用，深化提高
解：如图，用弧AB表示主桥拱，AB 设弧AB所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相
交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中
点，CD就是拱高．
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
AD 1 AB 1 37 18.（5 m），OD=OC-CD=R-7.股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
练习巩固，综合应用
（2）连接OC．
∵CD平分OA，设⊙O的半径为r，
1 2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
则OH= r． 5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
( ( ( (
合作探究，形成知识
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
合作探究，形成知识
垂径定理的证明：
证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB， 即OA=OB． 因为CD⊥AB， AE=BE， = ， =
点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM，弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
例题应用，深化提高
解：如图，用弧AB表示主桥拱，AB 设弧AB所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相
交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中
点，CD就是拱高．
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
AD 1 AB 1 37 18.（5 m），OD=OC-CD=R-7.股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教学配套课件(共16张PPT)
3.在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于 点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是______________________.
在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
请大家围绕以下两个问题谈谈这节课你有哪些收获？有何体会？
⑤平分AB所对的劣弧（
（AC=BC ）
⑤平分AB所对的劣弧 A
（AD=BD ）
C
·O
E B
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧．
试 在下列图形中，你能否利用垂径定
一 理找到相等的线段或相等的圆弧。
试
D
C
A
O
AE B C
A
O
AE B
D
CE O
B
O
E
C
BD
B EA
O
例1已知，如图，在⊙O中，圆心O到
把一个圆沿着它的任意一条直径对 折，重复几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
发现： 圆是轴对称图形，它的对称轴是任意 一条直径所在的直线.
实践探究2
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E． （1）此图是轴对称图形吗？如果是，它
的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和
OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。
E
Hale Waihona Puke 求证：四边形ADOE是正方形． A
·O
DB
课后拓展
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短 的弦长。
2.如图是一个输水管道的横
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A
C
D
O
B
证明猜想
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足 为E.求证：AE＝BE，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD.
垂径定理 垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧. C
A
O
ED
B
定理辨析
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C ADC ADCOOE DC A
4.如图，⊙O过点B 、C。圆心O在等腰直角△ABC的内 部，∠BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为 （）
A. 10
B. 2 3
C. 3 2
D. 13
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB， 根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 则AD=1 B C =3,∴OD=3-1=2,
2 ∴OB= 2232 13.
5、已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
O.
则AE＝BE，CE＝DE. AE－CE＝BE－DE.
E AC
DB
所以，AC＝BD
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明； 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有 什么关系？
解析：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是 它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC， 弧AD＝弧BD， AE＝BE
AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧 AC＝弧BD
想一想：如果将题设和结论中的5个
条件适当互换，情况会怎样？
①③ ③④ ①④ ④⑤
①② ②④ ⑤ ①②③②③⑤
② ③③ ⑤ ② ④
①① ②④ ①④⑤
C
③
⑤
A
E
O
D
B
推论1
（1）平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心， C 并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另 一条弧.
D
解析：定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故
前三个图均不能，仅第四个图可以！
例题
A
E
B
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的
长为8㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，
O
求圆O的半径。
解：根据题意得， AE=4cm OE⊥AB OE=3cm 在Rt△OEA中，根据勾股定理得： AO2=OE2+AE2=32+42=25 AO=5cm
归纳： 变式1：AC、BD有什么关系？
AC
O
DB
A C O D B 变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝__F_B_, EC=___F_D_.
AC E
F DB
O
AC
DB
O
变式4：_O__A_=__AC=BD.
变式5：_OO__CB_=_O_ADC=BD.
AC
DB
O
跟踪训练
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB
A
E
O
D
B
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什
么结论？
E
A
弧AE＝弧BF
C
O
D
B F
1.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，
OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是
．
【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得
＝2，PO＝5，求⊙O的半径.
解析：提示作OM 垂直于 B
MA
PB ，连接OA.
P
O
答案： 1 7
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O
②直线CD垂直弦AB
结论 ③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB
BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6.
答案：6
2．已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( D )
A.3
B.4 C.6 D.8
3.如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是 （B ）
A．AE＝OE
C．OE＝
1 CE
2
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
24.1.2 垂直于弦的直径
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用 垂径定理进行计算和证明； 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生 对数学的热爱．
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱 是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
要利用时间，思考一下一天之中做了些 什么，是‘正号’还是‘负号’，倘若是‘+’，则
步；倘若是‘-’，就得吸取教训，采取措施.
——季米特洛夫