专题二二次根式的双重非负性
11.2算术平方根的双重非负性
即：注x意 哦1！ 任何数的2平方 即任都：13注 何是 意 数x非哦 的负23 ！ 绝数对 值也都是非负 即：x为 数任意数
注意哦！ 即：分x母为任不意能数为
零
即：x 5 4
x2 4x 5
例2： 已知y x 1 1 x 7,求y的值。
(1) 2x 1 (2) 3x 1 3 2x (3) (x 5)2 (4) x 2 (5)
解：(1)要使式子有意义，则 2x 1 0
(2)要使式子有意义，则33x21x00 (3)要使式子有意义，则 (x 5)2 0
(4)要使式子有意义，则x 2 0
，求a-20002的值。
a 2001
原式可化为：a 2000 a 2001 a
2000 a 2001 0
a 2001 2000 a 2001 20002 a 20002 2001
变式训练 已知实数a满足
。
例4：当a
时， a 1 2有最小值
(1) 3 2a （ 2） 1 3a 2 5a
2、 已知y 4 5 x x 5,求x y的值。
3、 已知(a b 1)2 2a 3b 4 0, 求a2 16b2的算术平方根。
第三课时：平方根的非负性
遂宁四中：陈珂
定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x 2 =a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根，记为“ a ”，读作“ 根号 a ”。a叫
做被开方数
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
a ≥0 （a≥0）
算术平方根具有双重非负性
当x为何值时， 下列式子有意义？
[大全]二次根式专题双重非负性化简
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0b a 专题一
0)a ≥
例1、 求下列二次根式中字母x 的取值范围：
（1
（2
（3
（4
变形1：
函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是 ；
a 的取
值范围是
；化简2(21)a -+的结果是 。
变形2：已知实数x
满足2013x x -=，求22013x -的值。
变形3、已知a 、b
4b =+，求a b -的算数平方根。
变形4、已知a 、b
为实数，且72b a =++
的值。
例2、填空：（1
）=
2
(=
=
=
说说
2的区别：（1）从a 的范围看：
（2）从运算结果看：
（3）从运算顺序看 变形1
2= ；
变形2：实数a 、b
在数轴上的位置如图所示，则a 的化简结果为
变形3：（
1）当0a <时，化简
2a a - ；
（2）已知x 满足的条件为1030
{
x x +>-
<；
（3）实数a 、
b
在数轴上的位置如图所示，化简
0)a ≥、a 及2a 的综合运用
计算：
（1
）2(
2
）2
3）2
变形1、若210m n +-+=，则2014()m n += 。
变形
2、已知实数x 、y 、m 30x y m ++=，且y 为负数，则m 的取值范围
是 。
变形3、已知12322222222
111111111,S 1,S 1,1122334(n 1)n S S n =++=++=++=+++ ，
设S S = 求.。
2024八年级数学上册第二章实数专题四利用二次根式的双重非负性解题习题课件新版北师大版
(1) − 有意义， a 的取值范围是
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
11
12
a ≥2 025
13
14
；
(2)根据(1)的分析，求 a －2 0242的值.
【解】因为 a ≥2 025，所以2 024－ a ＜0，
所以｜2 024－ a ｜＋ − ＝ a －2 024＋
(2－ a )2＋ ＋＋ ＋｜ c ＋8｜＝0，且 ax2＋ bx ＋
c ＝0，求代数式3 x2＋6 x ＋200的值.
【解】因为(2－ a )2≥0， ＋＋ ≥0，｜ c ＋8｜≥0，
(2－ a )2＋ ＋＋ ＋｜ c ＋8｜＝0，
所以2－ a ＝0， a2＋ b ＋ c ＝0， c ＋8＝0.
所以 a ＝2， c ＝－8， b ＝4.
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2
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因为 ax2＋ bx ＋ c ＝0，
所以2 x2＋4 x －8＝0.
所以 x2＋2 x ＝4.
所以3 x2＋6 x ＋200＝3( x2＋2 x )＋200＝12＋200＝212.
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所以 + ＋(1－ b ) − ＝0.
因为1＋ a ≥0，1－ b ≥0， 所以1＋ a ＝0，1－ b ＝0，
解得 a ＝－1， b ＝1，
所以 a2 024－ b2 025＝(－1)2 024－12 025＝1－1＝0.
初中数学 中考复习二次根式专题练习(含答案)
二次根式复习一、知识归纳 （一）二次根式定义1注意：（12，（2）被开方数是非负数2、二次根式在实数范围内有意义的条件是 a ≥0 。
（二）二次根式的性质1、二次根式的双重非负性≥0，a ≥0a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，≥0，2、）2=a (a ≥0)(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜（三）、最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数不含 的因数或因式。
满足：（1）根号内不含有分母，有分母的先通分，再将分母开出来 （2）根号内每个因式或因数的指数都小于根指数2，如果根号内含有因式或因数的指数大于根指数2，就利用，将每个因式或因数的指数都小于根指数2（3）分母内不含有根式，如果分母内含有根号，则利用分母有理化，将根号划去。
（1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点： ①被开方数不含分母；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.=简二次根式.=，且因式2和22()x y +的指数都是1，是最简二次根式.22a b +无法变成一个数（或因式）式.（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似. 对同类二次根式的理解应注意以下几点：（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关. 将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变.（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.（3）不是同类二次根式，千万不要合并.（四）二次根式的运算0)=≥，≥0a b=≥，＞00)a b≥，≥0a b0)=≥，＞00)a b二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.4、二次根式加减的步骤：（1）先将二次根式化成。
中考数学一轮《二次根式的双重非负牲在解题中的运用》教学案考点分类汇编
二次根式的双重非负牲在解题中的运用表示非负数的算术平方根，它是一个非负数，而是被开方数，它也是一个非负数，这就是二次根式的双重非负性.这种双重非负性在数学中占有极其重要的位置，所以在解题中一定要注意这两个隐含条件.现列举这一性质在几类试题中的运用，以供大家参考.一、确定自变量的取值范围例1 若下列式子有意义，试确定的取值范围.(4)解 (1)依题意，得不等式组, 解这个不等式组，得且,所以，的取值范围为且;(2)依题意，得不等式组, 解这个不等式组得.所以的取值范围为: ;(3)依题意，得不等式组, 解这个不等式组，得;(4)依题意，得不等式组, 解这个不等式组，得且; 评注 初中数学中，对字母的取值有要求的主要有三种情况:(1)分式中的分母不能为零;(2)二次根式中被开方数要大于等于零;(3)零指数幂的底数不能为零.抓住这三点就能准确地求出自变量的取值范围.通过这样训练，就能使其条件从隐含形态转变为显形形态而成为a a x 4x x -05)4030x x -≠⎧⎨-≥⎩3x ≥4x ≠x 3x ≥4x ≠3020x x +>⎧⎨-≥⎩2x ≥x 2x ≥2040x x -≥⎧⎨-≠⎩2x ≤2505x -≥⎧⎪≠52x ≥15x ≠一种数学思想，从而促成学生模型思想的生成.例2 (1)成立，求的取值范围;(2)，求的取值范围;(3)的取值范围解 (1)，又, ，.又,∴的取值范围为:且; (2). 当时,原式;当时,原式;当时,原式;∴x 的取值范围为.(3)当时，原式.又，,∴x 的取值范围为.评注式和不等式组，只有理解了这些知识，才能作出正确的解答.(去掉根号带上绝对值).二、求代数式的值例3 (1)已知，为实数，且，求的值. (2)已知，，那么. 解 (1)依题意，得不等式组a=a 3=x =-x 210a a-≥20a >10a ∴-≥1a ∴≤0a ≠a 1a ≤0a ≠22x x -=14x x =-+-1x <1452x x x =-+-=-14x ≤≤143x x =-+-=4x >1425x x x =-+-=-14x ≤≤33x x +==0x ≤=-30x +≥3x ∴≥-30x -≤≤a x y 3y =y x x y (0y -=20112011xy -=, 解这个不等式组，得，, . (2)原方程可以变形为,，，, .评注 解决此类题用到了“几个非负数的和为零，那么每一个加数一定为零”和“如果被开方数互为相反数，要使得两个被开方数同时有意义，那么这两个被开方数一定同时为零”.三、化简对于利用二次根式的双重非负性在化简中又包含以下几种情形:1.默认条件例4 .这类题目如果没有注明条件，在解题中就认为所有的字母都是非负数.2.给定条件例5 若，化简解 原式. ，则，,∴原式.3.题目隐含条件例6 化简；解 (1) ，,102102x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩12x =3y ∴=-31()82y x -∴==0=1010x y +=⎧∴⎨-=⎩1x ∴=-1y =201120112x y ∴-=-3=2x <42x x ==---2x <40x -<20x -<422x x =-+-=30y -≥30y ∴≤∴原式(2) ，, ∴原式. 评注 由于受思维定势的影响，学生见惯了被开方数是没有带负号正数的情况，而对于被开方数是这种形式的正数不习惯，这就需要教师注重发挥学生想象力，不断积累经验.解决这类问题关键一定要抓住二次根式的双重非负性质来解决，才能找到突破口，从而化难为易.四、分类讨论例7 化简:解 原式,当时，原式;当时，原式;当时，原式. 例8 化简.解 原式.当，时，原式当，时，原式.评注 分类的思想方法是初中数学中一种重要的数学思想方法.我们要按照新课程标准的要求，巧妙地借助数轴进行分区间讨论，那么复杂抽象的问题也能化难为易，顺利得解.===-10a-≥0a ∴≤===a -24x -243x x =---2x ≤42(3)4231x x x x x =---=--+=-23x <≤24(3)24337x x x x x =---=--+=-3x >24(3)2431x x x x x =---=--+=-b =0b ≤0a >=-0b >0a ≤=。
活用二次根式的非负性 (2)
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第 1 页 共 1 页 活用二次根式的非负性
吴育弟
a
；
（２）a ≥０．这两个“非负性”是二次根式的隐含条件，经常从以下角度来命题考查．
一、确定取值范围
例1（2015年南京）若式子x +1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 解析：根据题意，得x+1≥0，解得x ≥﹣1.
故填x ≥﹣1．
二、化简
例2（2015年黄冈模拟）已知a ＜0，化简二次根式b a 3-的结果是 ．
解析：因为a ＜0，所以ab a b a --=-3． 故填ab a --．
三、求值
例3（2015年荆门）当1＜a ＜2时，代数式a a -+-1)2(2的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．23a -
D ．32a -
解析：当1＜a ＜2时，a – 2＜0，1– a ＜0，所以1121)2(2=-+-=-+-a a a a ． 故选B ．
跟踪练习：
1.（2015年莱芜）要使二次根式x 23-有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．23≥x
B ．23≤x
C ．32≥x
D ．3
2≤x 2. 当ab ＜0
）
A
．- B
． C
． D
．-3.
已知50x -=，则31x y ++=______.
答案：1. B 2. A 3. 0。
浙教版初中数学第一章 二次根式专题复习-二次根式的双重非负性(含答案)
专题复习 二次根式的双重非负性重点提示： 对于二次根式a ，其双重非负性表现为被开方数a 为非负数，且二次根式a 本身也是非负数，利用此性质及非负数的性质可以解决问题. 【夯实基础巩固】 1．要使代数式有意义，a 的取值范围是（ D ）2．函数y =的自变量x 的取值范围在数轴上表示为（ C ）．BD ． 3．当x ＞1时，﹣1化简的结果是（ B ）4．若整数m 满足条件 =m +1且m ＜，则m 的值是（ C ）5．已知，则2xy 的值为（ A ）A ．﹣15B ．15C ．D ．6．当﹣3＜a ＜5= 8 ． 7．实数m 在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为7 ．8．化简= 2 ．9．已知a ，b 为实数，且，求的值．由题意得a ﹣5=0，∴a =5.∴. ∴b =﹣4．∴．10．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|c﹣b|﹣|a+c|．由题意得a＜b＜0＜c，|a|＞|c|，∴a+b＜0，c﹣b＞0，a+c＜0.∴原式=|a+b|﹣|c﹣b|﹣|a+c|=（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）﹣（﹣a﹣c）=﹣a﹣b﹣c+b+a+c=0．【能力提升培优】11．已知a＜0，则化简的结果是（D）12．若代数式+的值为2，则a的取值范围是（C）13．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（D）A．B．C．﹣D．﹣14．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则=2b-2a．15．若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=74．16．已知a＜0，化简：=﹣2．17．计算：．由算式可知：1﹣a＞0，3﹣a≥0，∴a＜1，|a﹣2|=2﹣a.∴原式=•+•+=﹣+=018．设等式+=﹣在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，求的值．∵+=﹣在实数范围内成立，∴x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0.又∵a（y﹣a）≥0，a（x﹣a）≥0，∴a=0.∴原等式可变为﹣=0，解得x=﹣y.∴==．【中考实战演练】19的值是20．已知实数x，y满足x+y=﹣2a，xy=a（a≥1），则的值为（D）．a【开放应用探究】21．已知.设m=，n=，则m﹣n=2，m2+n2=+=34．。
专题01 二次根式重难点题型分类(解析版)八年级数学下册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题01二次根式重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《二次根式》这一章的四类重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含四类题型：二次根式的双重非负性、二次根式的乘除、最简二次根式、二次根式的混合运算。
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题型一二次根式的双重非负性第一层非负性：被开方数0≥1．（2022春·a 的取值范围是（）A ．a ≥-1B ．a ≠2C ．a ≥-1且a ≠2D ．a ＞2【详解】解：由题意得，a 10,a 2+≥≠，解得，a ≥-1且a ≠2，故答案为：C.2．（2019·1有意义时，x 应满足的条件是______.3.（青竹湖）函数x x y 2-=中，自变量x 的取值范围是.【解答】解：根据题意得，x ﹣2≥0且x ≠0，解得x ≥2且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥2．4．（2022秋·山东济南）若a ，b 都是实数，b ﹣2，则a b的值为_____．5.（雅礼）已知实数x 、y 满足0115=-+-y x ，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是.【解答】解：根据题意得，x ﹣5＝0，y ﹣11＝0，解得x ＝5，y ＝11，①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形．②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，5+11+11＝27；所以，三角形的周长为：27；故答案为27．第二层非负性：二次根式的计算结果为非负数,0,0a a a a a ≥⎧⇒==⎨-<⎩6．（2022春·21a -，那么（）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥7．（2018·广东广州）如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a=_____．8．（2021·湖南娄底）2,5,m ）A ．210m -B ．102m -C ．10D ．49．（2020·四川攀枝花）实数a 、b +-（）．A ．2-B ．0C ．2a -D ．2b10．（2021春·山东淄博）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：||a【详解】由数轴，得a<0，0a c +<，0c a -<，0b >.则原式()a a c c a b a b =-++---=-.11．（2021春·全国）探究题：＝_，＝，＝，＝，＝，＝，根据计算结果，回答：（1a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算：①若x＜2＝；＝；（3）若a，b，c题型二二次根式的乘除12．（2021春·=____．14．（2022春·=____．_____．15．（2022春·16．（2023春·（）B C D．A19.（2021秋·八年级课时练习）计算:-⋅；（1(-，（2(15)(20．（2022秋·八年级课时练习）计算:21．（2021秋·上海虹口）计算：（1(；（2）0,0)a b ÷>>题型三最简二次根式22．（2022春·天津）下列二次根式中，最简二次根式是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个不是最简二次根式，不符合题意，综上，是最简二次根式的有24．（2022秋·a的值是（）A．2B．3C．4D．5m=__________．25．（2020秋·题型四二次根式的混合运算26．（2021春·全国）计算:（1）1|3|-+---（2）27．（2021春·新疆乌鲁木齐）计算：28．（2021春·全国）(1)﹣529．（2022秋·陕西西安）已知a ＝2b ＝2（1）a 2﹣3ab ＋b 2；（2）（a ＋1）（b ＋1）．30．（2021秋·上海）已知3x =+求：2267x x x x ++++的值．31.（雅实）已知a =b =,求值：（1）a b +；（2）22a b ab +.【解答】解：（1）原式=222(a b)212;a b ab ab ab++-==（2）原式=(a b)2ab +=⨯=32.（广益）先化简，再求值：322222222a b a b a ab a ab b a b +-÷++-，其中2a =-2b =+。
专题11 二次根式重难点题型分类(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题11 二次根式重难点题型分类-高分必刷题（原卷版）专题简介：本份资料包含《二次根式》这一章的全部重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含五类题型：二次根式的双重非负性、二次根式的乘除、最简二次根式、二次根式的混合运算、二次根式的压轴题。
适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一 二次根式的双重非负性第一层非负性：被开方数0≥1.（南雅）在函数y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A. 1x ≥-B. 1x >-且12x ≠C. 1x ≥-且12x ≠D. 1x >- 【解答】解：由题意得，x +1≥0且2x ﹣1≠0，解得x ≥﹣1且x ≠．故选：C ．2.x 的取值范围是 . 【解答】解：x +1≥0，x ≠0，解得，x ≥﹣1且x ≠0，则式子有意义，则x 的取值范围是x ≥﹣1且x ≠0．3.（青竹湖）函数xx y 2-=中，自变量x 的取值范围是 . 【解答】解：根据题意得，x ﹣2≥0且x ≠0，解得x ≥2且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥2．4.（青竹湖）已知3y =，则yx的值为（ ） 【解答】解：由题意可得：x ＝4，则y ＝3，则的值为：．故选：C ．5.（雅礼）已知实数x 、y 满足0115=-+-y x ，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 .【解答】解：根据题意得，x ﹣5＝0，y ﹣11＝0，解得x ＝5，y ＝11， ①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形．②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，5+11+11＝27；所以，三角形的周长为：27；故答案为27．第二层非负性：二次根式的计算结果为非负数,0,0a a a a a ≥⎧⇒==⎨-<⎩6. （长郡）如果()a a 21122-=-，则（ ） A. 21<aB. 21≤aC. 21>aD. 21≥a 【解答】解：∵，∴1﹣2a ≥0，解得a ≤．故选：B ．7.（广益）若13x <<，则4x -的值为( ) A.25x -B.3-C.52x -D.3【解答】解：由题意可知：x ﹣4＜0，x ﹣1＞0，∴原式＝﹣（x ﹣4）+（x ﹣1）＝3，故选：D ．8. （长梅）已知实数a ，b 的结果是( )A.1a -B.1a --C.1a -D.1a +【解答】解：由数轴可得：﹣1＜a ＜0，0＜b ＜1，则﹣﹣＝﹣a ﹣b ﹣（1﹣b ）＝﹣a ﹣1．故选：B ．9.（长郡）已知a 、b 、c 是ABC ∆a b c +-的值为( )A.2aB.2bC.2cD.()2a c -【解答】解：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴a ﹣b ﹣c ＜0，a +b ﹣c ＞0 ∴+|a +b ﹣c |＝b +c ﹣a +a +b ﹣c ＝2b ．故选：B ．10.（青竹湖）实践与探索（1 ，= ；（2）观察第（1）的结果填空：当0a ≥= ，当0a <= ；（3，其中23x <<.【解答】解：（1）＝3；＝5；故答案为：3，5；（2）当a ≥0时＝a ；当a ＜0时，＝﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（3）∵2＜x ＜3，∴x ﹣2＞0、x ﹣3＜0，原式＝（x ﹣2 ）﹣（x ﹣3）＝1．题型二 二次根式的乘除11.（长梅）计算：= .【解答】解：原式=12.==12. （青竹湖） = .【解答】解：原式12.=13．（青竹湖）下列各数中，与2 ）A ．2B ．2C ．2-D 【解答】解：∵（2+）×（2﹣）＝22﹣＝1，∴2+与2﹣互为有理化因式．故选：B ．14.0)x ≠的结果是（ ）A. B.- C.- D.【解答】解：由﹣x 3≥0知x ≤0，则原式＝|x |＝﹣x ，故选：D ．15.（郡维）把根号外的因式移入根号内得( )C.D.【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m ＜0，∴原式＝﹣＝﹣．故选：D ．题型三 最简二次根式16.（雅礼）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. 7B. 3C.21D. 2【解答】解：C 、∵＝＝；∴它不是最简二次根式故选：C ．17.（青竹湖）下列根式中是最简二次根式的是（ ）)0a >【解答】解：（A ）原式＝，故A 不是最简二次根式；（C ）原式＝a，故C 不是最简二次根式； （D ）原式＝2，故D 不是最简二次根式；故选：B ．18.(郡维）最简二次根式有( ) A.2个B.3个C.4个D.5个【解答】解：最简二次根式有；；，故选：B ．19．）ABCD【解答】解：的被开方数是3，而、＝2、的被开方数分别是5、2、2，所以它们不是同类二次根式，不能合并，即选项A 、B 、D 都不符合题意．＝2的被开方数是3，与是同类二次根式，能合并，即选项C 符合题意．故选：C ．20.a =________. 【解答】解：∵＝2，∴a +1＝2，∴a ＝1；故答案为：1．题型四 二次根式的混合运算21.（广益）已知1m =，1n =223m n mn ++= . 【解答】解：原式=22()2(1) 2.m n mn ++=+=22.（雅礼）（1）1213212-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+（2）348312123÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-. 【解答】解：(1)原式=;323232=--+（2）原式＝（3×2﹣2×+4）÷＝（6﹣+4）÷＝（6﹣+4）÷＝．23.0((3)π+- 【解答】解：原式=110.+=24.（广益）计算： ()220160112π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭【解答】解：原式=14225+-+=-25.（雅境）计算：(1)(2)计算：)21+.【解答】解：（1）原式=3=（（2）原式=52317-+-=-26.（雅实）已知a =b =求值：（1）b aa b+； （2）22a b ab +.【解答】解：（1）原式=222(a b)212;a b abab ab++-==（2）原式=(a b)2ab +=⨯=27.（广益）先化简，再求值：322222222a b a b a aba ab b a b +-÷++-，其中2a =2b =。
初中数学二次根式双重非负性的运用
二次根式双重非负性的运用
湖北省黄石市下陆中学陈勇
在实数范围内，我们知道式子表示非负数ａ的算术平方根，它具有双重非负性：（１）
；（２）ａ≥０．运用这两个简单的非负性，再结合非负数的性质“若几个非负数的和等于０，则这几个非负数都等于０”可以解决一些似乎无从下手的算术平方根问题．例１已知＋＝０，求ｘ，ｙ的值．
分析：因为≥０，≥０，根据几个非负数之和等于０，则每个
非负数都等于０，可知，从而，解之，得ｘ＝－１，ｙ＝４．
例２若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿．分析：因为≥０，≥０，故由非负数的性质，得
，两式相加，即得２ｂ－ａ＋１＝０．
例３已知实ａ满足，求ａ-2010的值．
解：由ａ-20110，得ａ2011。
故已知式可化为ａ-2010+=ａ，
∴=2010，两边平方并整理，得：ａ-2010＝2011．
例４在实数范围内，求代数式的值．
解：考虑被开方数，得从而，又，故
＝０，ｘ＝４．∴原式＝１．
例５设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．
解：由ａ（ｘ－ａ）≥０及ｘ－ａ≥０得ａ≥０；由ａ（ｙ－ａ）≥０及ａ－ｙ≥０得ａ≤０，故ａ＝０，从而已知式化为，ｘ＝－ｙ≠０，故原式＝
＝.。
算术平方根的双重非负性
算术平方根的双重非负性
算术平方根√a(a≥0)具有双重非负性，一是被开方数具有非负性，即a≥0；二是算平方根本身具有非负性，即√a≥0。
算术平方根的双重非负性还有两个特征，一是兼容性，二是隐含性。
算术平方根的性质
双重非负性
如果x=√a
那么：1.a≥0（若小于0，则为虚数）
2.x≥0
与平方根的关系
正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。
负数没有算术平方根。
算术平方根的产生
根号（即算术平方根）的产生源于正方形的对角线长度“根号二”，这个“根号二”的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。
因为按当时的权威解释（也就是毕达哥拉斯学派的学说），万物皆数（也就是说世界上所有的事物都可以用有理数来表示）。
对于这个无理数“根号二”，最终人们选取了用根号来表示。
八年级数学下册第16章 微专题2 二次根式的双重非负性
5．(2021·广东)若|a－ 3|＋ 9a2－12ab＋4b2＝0，则 ab 的值为( A )
A．92
B． 3
C．4 3
D．9
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微专题2 二次根式的双重非负性
考向3 运用二次根式的双重非负性解题 6．【原创题】已知y＝ x－5＋ 5－x ＋3，求x2－y2的算术平方根． 解：依题意，得x－5≥0，5－x≥0，∴x＝5. ∴y＝ x－5＋ 5－x＋3＝3. ∴x2－y2＝52－32＝16. ∴x2－y2的算术平方根为4.
第十六章 二次根式 微专题2 二次根式的双重非负性
第十六章 二次根式 微专题2 二次根式的双重非负性
微专题2 二次根式的双重非负性 【满分技法】 二次根式 a (a≥0)具有双重非负性 非负性(1)：二次根式的被开方数是非负数，即a≥0； 非负性(2)：二次根式的结果也是非负数，即 a ≥0.
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微专题2 二次根式的双重非负性
考向 1 运用 a中 a≥0 求范围 1．(1)(2020·广东)若式子 2x－4在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 __x_≥__2_. (2)若式子 xx－＋23有意义，则 x 的取值范围是_x_≥__－__3_且__x_≠__2__. (3)若式子 x1－1有意义，则 x 的取值范围是__x_＞__1_. 2．若 (3－x)2＝x－3，则 x 的取值范围是_x_≥__3__.
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微专题2 二次根式的双重非负性
3．若－1＜x＜2，求 (x＋1)2 －|x－2|的值． 解：∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0. ∴原式＝|x＋1|－|x－2| ＝x＋1－(2－x) ＝x＋1－2＋x ＝2x－1.
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二次根式的“双非负性”在解题中的应用
２ ＞３＞１ 所 以 ２ ｘ ￣ ， 一１ ０ ＞．
（／ ｖ ｊ
） ３一． ＝ ｘ ２
．
．
原式 ：￣ （ｘ一１ 一（ ｘ一 ） ／２ ） ２ ３
２ 一１—２ ＋３＝２ ．
＝
（） √ ≥０ 得 一 ｏ ０ ３ 由“Ⅱ ” √ ≤ ，
所 以 一 （ ４ ＝ ≤０ 得 到 ≥４ 一 ） ４一 ， ．
因 （ ２ ≥Ｏ Ｙ＋ ） ，
要 的性 质 ， 就是 （ ａ≥０ ． ） 这里 是 一个非 负数 ， 而被 开方数 ａ也是一个非负数． 二次根式 的这条性质 可称为
二 次 根 式 的 “ 非 负性 ” 下 面例 析 这 一 性 质 在 解 题 中 的 双 ．
应用．
由 数质： ｛一 非 性｛；＝ 得＝． 负 １ ：０ １ — ， ＋ｌ． ２ Ｖ ｙ 解
， ‘
答 案 ：． ≤３ ２ ≤５ ３ Ｂ ４ ２ ５ １０ ． １ ． ． ． ． ． ． ００
５ 已知 Ｙ： Ｃ － ９＋９ ８＋ ． ＴＺ ｘ ９ ．
， 求型 试
的
・
６２ ７２雁 ． ．
（ 上接 ７ Ｏ页 ）
譬 于 ， ’ Ｐ ＝２ Ｊ ’Ｂ ． ｘ一２， ＝ Ａ
故ｘ ｙ＝ 一 ６应 选 Ａ ．
例 ４ 若最简 二次根式 ｒ ｉ 二 与
一 有 意 义 的 的 取 值 范 围 ５ 次 根 式 ， ａ＝ 则 一
同类二
例 １ （ ） 使 １能
— —
；
解： 由题 意 得 ： 一３＝５ 口 ａ＋３ ０ ａ ＞ １ ， 一５ ６：０分 ａ一
（） ２ 化简 ： ／ 一 ） （ｖ ３ ２ ＝—厂 Nhomakorabea— 一
抓住特征剖析本质--二次根式的非负性
我们知道，对于一个非负数a 来说，它有 两个平方根，其中非负的记为▲，因此士 具有了很特殊的特征—“双重非负性”，即被开方数^必须为非负数才有意义，同时^ 也必然是非负的。
正因为其特殊性，所以A 的“双重非负性”在中考中基本是必考内容！例1 (2014.巴中）要使式子^^有m - 1意义，则m 的取值范围是（）。
A .m>~lC .m>_l 且m #lD .m >-1 日 m #】【解析】此题中被开方数是非负数，结合分母m -1不为0，由此得到：& + | ’从而得到m 多-1且,故选D 3【复习指导】二次根式中被开方数是非负 数与分母不能为0经常结合在一起考查，考查 的重点是代数式有意义时字母的取值范围， 同时考查解不等式。
【变式研究】变式1 (2016 •音港）要使式，子一k 有yjx — 1意义，则％的取值范围是（）。
A .x <^ 1B .%^1C .x > 1D .x ^l变式2 (2016 •梧州）若式子^ -3有意义，则m 的取值范围是______。
例 2 (2015.曰照）若 J (* - 3)2 =3-a ：,则 x 的取值范围是_____。
【解析】本题有两种不同的解题思路：(1) v J (*-3)2 =卜-3| ,— 31 =3~x ,利用绝对值的性质得到*-3$0，解得:A ：矣3;(2) 利用^的非负性其实更方便，...J(x - 3)* =3_a ;，而 J(x - 3)* >0，3-设0,故答案为:於3。
【复习指导】利用i 的整体非负性解题,往往能将问题简化。
【变式研究】（2〇11 •烟台）如果J (2a -1)2 =1-2a ，则a 的取值范围是_____。
例3 (2017•鄂州）若y = J x ~j + J j ~x + 6，则巧•=_____________〇I 解析】•••尸H+ J ^+6有意义，••• 士 >0，士-必0，解得:尤=^■，代人得:y =〇+0+6=6, /.xy =3〇【变式研究】（2015_攀枝花）若尸^/^:192I中考链接初孚习•数学写作二识昵式中的K袖雕俠侣”扬州大学附属中学东部分校九（1)班吴洋黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无 敌。