高三数学复习资料复习笔记

高中数学复习笔记

（整理于2013-8）

一、 函数图象

1、对称：

y=f （x ）与y=f （-x ）关于y 轴对称，例如：

x a y =与x a y -=（10≠>a a 且）关于y 轴对称

y=f （x ）与y= —f （x ）关于x 轴对称，例如：

21x y =与2

1x y -=关于x 轴对称

y=f （x ）与y= —f （-x ）关于原点对称，例如：

21

x y =与2

1）（x y --=关于原点对称

y=f （x ）与y=f 1-（x ）关于y=x 对称，例如： y=10x

与y=lgx 关于y=x 对称

y=f （x ）与y= —f

1

-（—x ）关于y= —x 对称，如：y=10x

与y= —lg （—x ）关于y= —x 对称

注：偶函数的图象本身就会关于y 轴对称，而奇函数的图象本身就会关于原点对称，例如：

2x y =图象本身就会关于y 轴对称，3x y =的图象本身就会关于原点对称。

y=f （x ）与y=f （a —x ）关于x=

2a 对称（2

2a x a x =-+ ） 注：求y=f （x ）关于直线±x ±y ±c=0（注意此时的系数要么是1要么是-1）对称的方程，只需由x ±y+c=0解出x 、y 再代入y=f （x ）即可，例如：求y=2x+1关于直线x-y-1=0对称的方程，可先由x-y-1=0解出x=y+1，y=x-1，代入y=2x+1得：x-1=2（y+1）整理即得：x-2y-3=0

2、平移：

y=f （x ）→y= f （ωx+φ）先向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位，再保持纵坐标不变，横

坐标压缩或伸长为原来的

ω

1

倍（若y= f （ωx+φ）→ y=f （x ）则先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的ω倍，再将整个图象向右（φ>0）或向左（φ<0）平移|φ|个单位，即与原先顺序相反）

y=f （x ）→y= f ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+

ωφωx 先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的|ω1|倍，然后再将整个

图象向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|

ω

φ

|个单位，（反之亦然）。 3、必须掌握的几种常见函数的图象

1、 二次函数y=a 2

x +bx+c （a 0≠）（懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值）

2、 指数函数x

a y =（10≠>a a 且）（理解并掌握该函数的单调性与底数a 的关系）

3、 幂函数a

x y =（10≠>a a 且）（理解并掌握该函数的单调性与幂指数a 的关系）

4、 对数函数y=log a x （10≠>a a 且）（理解并掌握该函数的单调性与底数a 的关系）

5、 y=x

a

x +

（a 为正的常数）（懂得判断该函数的四个单调区间） 6、 三角函数y=sinx 、y=cosx 、y=tanx 、y=cotx （能根据图象判断这些函数的单调区间） 注：三角中的几个恒等关系

sin 2

x+ cos 2

x=1 1+tan 2

x=sec 2

x 1+cot 2

x=csc 2

x tanx x cot ⋅=1

利用函数图象解题典例

已知21x x 、分别是方程x +10x

=3及x+lgx=3的根，求：21x x +

分析：x +10x

=3可化为10x

=3—x ，x+lgx=3可化为lgx=3—x ，故此可认为是曲线

y=10x

、y= lgx 与直线y=3—x 的两个交点，而此两个交点关于y=x 对称，故问题迎刃而解。

答案：3

4、函数中的最值问题：

1、 二次函数最值问题

结合对称轴及定义域进行讨论。

典例：设a ∈R ，函数f （x ）=x 2+|x －a |+1，x ∈R ，求f （x ）的最小值． 考查函数最值的求法及分类讨论思想． 【解】（1）当x ≥a 时，f （x ）=x 2+x －a +1=（x +

21）2－a +4

3 若a ≤－21时，则f （x ）在［a ，+∞］上最小值为f （－21）=43

－a

若a >－2

1

时，则f （x ）在［a ，+∞）上单调递增

f min =f （a ）=a 2+1

（2）当x ≤a 时，f （x ）=x 2－x +a +1=（x －21）2+a +4

3 若a ≤

21

时，则f （x ）在（－∞，]a 单调递减，f min =f （a ）=a 2+1 当a >21时，则f （x ）在（－∞，]a 上最小值为f （21）=4

3+a

综上所述，当a ≤－21时，f （x ）的最小值为4

3

－a

当－21≤a ≤21

时，f （x ）的最小值为a 2+1

当a >21时，f （x ）的最小值为4

3+a

2、 利用均值不等式

典例：已知x 、y 为正数，且x 2

2

2

y +=1，求x 21y +的最大值

分析：x 2

1y

+=

）（2

21y x +=

2

1222

）（y x +（即设法构造定值x 222

y +=1）

=）（2

122

2y x +2212

2

2

y x ++≤=423故最大值为423 注：本题亦可用三角代换求解即设x=cos θ，

2

y =sin θ求解，（解略）

3、 通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。