数列的通项公式与递推公式-PPT
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高中数学必修5优质课件：数列的通项公式与递推公式
第七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部 分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需 注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整 理成用后面的项表示前面的项的形式．
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其 特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋nn1－1(n≥2)， 写出该数列前 5 项，并归纳出它的一个通项公式． 解：a1＝1， a2＝a1＋2×1 1＝1＋12＝32， a3＝a2＋3×1 2＝32＋16＝53， a4＝a3＋4×1 3＝53＋112＝74，
[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点
(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公 式法是常用的数学方法．
(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项 数与项的对应关系．
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应 项变化的趋势．
第四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第十七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
3．已知 a1＝1，an＝1＋an1－1(n≥2)，则 a5＝________. 解析：由 a1＝1，an＝1＋an1－1得 a2＝2，a3＝32，a4＝53， a5＝85. 答案：85
第十八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
4．已知数列{an}满足 a1>0，aan＋n 1＝13(n∈N*)，则数列{an}是 ________数列(填“递增”或“递减”)．
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部 分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需 注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整 理成用后面的项表示前面的项的形式．
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其 特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
[对点训练] 3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋nn1－1(n≥2)， 写出该数列前 5 项，并归纳出它的一个通项公式． 解：a1＝1， a2＝a1＋2×1 1＝1＋12＝32， a3＝a2＋3×1 2＝32＋16＝53， a4＝a3＋4×1 3＝53＋112＝74，
[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点
(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公 式法是常用的数学方法．
(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项 数与项的对应关系．
(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应 项变化的趋势．
第四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
第十七页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
3．已知 a1＝1，an＝1＋an1－1(n≥2)，则 a5＝________. 解析：由 a1＝1，an＝1＋an1－1得 a2＝2，a3＝32，a4＝53， a5＝85. 答案：85
第十八页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
4．已知数列{an}满足 a1>0，aan＋n 1＝13(n∈N*)，则数列{an}是 ________数列(填“递增”或“递减”)．
4.1.2数列的递推公式与前n项和课件(人教版)
a4 2
，
1
1 3
a2 2 2
a1
2 2
1
3 5
1
4 6
2 a5 2 2 .
a3
4 4
a4
5 5
n 1
猜想 an
.
n
，
1
2 4
a3 2 2
a2
3 3
，
四、巩固训练
解：当 n 2 时， an
Sn Sn 1
当 n 1 时， a1 S1 2 ，满足 an
又当 n = 1 时，不满足 ∗ 式，
2, n = 1,
∴ an = ቊ
故选B.
6n − 5, n ≥ 2，
2
− 2 n − 1 + 1] = 6n − 5 .
∗
五、课堂小结
问：本节课你有什么收获？
六、作业
谢谢！
3
3
2
2
a4 a3 1 3 1 3 ，
3
3
a5 a4 24 15 16 31 ，
2
2
a5 a4 1 3 1 3 ，
3
3
故数列的前 5 项分别为 1，3，7，15，31.
故数列的前 5 项分别为 3，3，3，3，3.
四、巩固训练
解
a1 2
故 an 的通项公式为 an
2n
2
2 n 1
4n 2 ，
4n 2 n Z
.
2
4n 2 ；
四、巩固训练
5.已知数列 {an } 的第1项是1，第2项是2，通项公式 an = an−1 +
由数列的递推公式求通项公式课件
+1
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
常见递推数列通项公式的求法ppt课件
1S 2
1 23
2 24
n2 2n
n 1 2 n＋1
②
由①－②得
1S 2
1 22
1 23
1 2n
n 1 2n＋1
1 2
n 1 2 n 1
S 1 n1 2n
an 2n
1
an 2n
2
n 1 2n
an 2n1 n 1
变式训练：答案an 6 4n1 (n 1) 2n
数列 满足 an
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
1 an
2 n(n 1)
累乘
例 2：已知数列an 中，a1
1且满足 an1 an
n ，求数 n2
列an 的通项公式。
其他解法探究：
a n 1 an
n n2
(n 2)an1
nan
(n 1)(n 2)an1 n(n 1)an
则可构造n(n 1)an 是常数数列
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
方法归纳：累加
可求和
变式训练：
1.已知数列an中， a1 2 满足 an1 an 2n n ,求数列an 的通 项公式. 2.已知数列an 中， a1 2 满足 an1 an n 2n n ,求数列an 的 通项公式.
类型二：形如 an1 f (n)
an1 2an n 2n1 2n1 2n1
an1 an n 2n1 2n 2n1
累加
a2 22
a1 2
1 ，a3 22 23
a2 22
2 23
,,
an 2n
an1 2n1
n 2n
1
,
由数列的递推关系求通项公式PPT优秀课件
3，
设 bn
an1
an
，则 b1
a2
a1
6 ，且 bn1 bn
3，
所以 bn 6 3n1 2 3n ，即 an1 an 2 3n ，
有 3an 3 an 2 3n
所以
an
3n
3 2
.
解：由已知递推式得
an 3an1 3 ，
an
2n .
1
例题分析
例 1.
已知数列an 中， a1
3 2
,
an1
3an
3
(n N *), 求数列an 的通项公式.
.
巩固练习
1. 已知数列 an 中， a1 1, an1 3an 3n (n N *), 求数列an 的通项公式.
an n3n1
an 2n1
课堂热身
2．已知数列
an
中,
a1
1 2
,
an1
an
1 3n
(n N*), 求数列an 的通项公式.
1
an
1
.
2
3n1
课堂热身
3．已知数列 an 中 a1 3, an1 3an (n N*).求数列an 的通项公式.
an 3n
1 3n
，所以 an1 3n1
an 3n
1 3n
，
设 bn
an 3n
, 则 b1
a1 3
1,， 2
且 bn1
bn
1 3n
数列(共84张PPT)
Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念 第二课时 数列的通项公式与递推公式》课件
题型二 由前 n 项和 Sn 求通项公式 an [学透用活]
[典例 2] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn＝3n＋3,求{an}的通项 公式．
[解] 因为 2Sn＝3n＋3，所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3. 当 n≥2 时，2Sn－1＝3n－1＋3， 两式相减得 2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1， 即 an＝3n－1，所以 an＝33n，－1n，＝n1≥，2.
题型三 数列中的最大项、最小项 [学透用活]
[典例 3] 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． [解] (1)由 n2－5n＋4<0，解得 1<n<4.
∵n∈N *，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝n2－n，则 an＝2n－2. ( ) (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝3n－2，则 an＝2×3n－1.
答案：(1)√ (2)×
()
2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1，那么 a10
(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94， 可知对称轴方程为 n＝52＝2.5.
又∵n∈N *，故 n＝2 或 3 时，an 有最小值， 且 a2＝a3，其最小值为 22－5×2＋4＝－2.
法二：设第 n 项最小，由aann≤ ≤aann＋ －11， ， 得nn22－－55nn＋＋44≤≤nn－＋1122－－55nn－＋11＋＋44， . 解不等式组，得 2≤n≤3， ∴n＝2 或 3 时 an 有最小值且 a2＝a3， ∴最小值为 22－5×2＋4＝－2.
常见递推数列通项公式的求法课件
解题步骤与例题解析
• 将递推式中的每一项乘以累乘因子，并累乘得到通项公式 。
解题步骤与例题解析
例题解析 1. 题目：求数列1, 3, 7, 13, 21...的通项公式。 2. 分析：该数列的递推式为`an+1 = an + 2n`。
解题步骤与例题解析
01
3. 解题步骤
02
a. 确定关系：an+1 = an + 2n。
常见递推数列通项公式的求法课件
目录 Contents
• 递推数列通项公式概述 • 累加法 • 累乘法 • 构造法 • 特征根法 • 其他方法
01
递推数列通项公式概述
定义与分类
递推数列的定义
递推数列是一种特殊的数列，它 可以通过前一项或前几项的值， 推导出下一项的值。
递推数列的分类
根据不同的递推关系，递推数列 可以分为线性递推、二次递推、 指数递推等。
03
累乘法
适用范围与基本思想
适用范围
适用于形如`a(n+1) = an + f(n)`的递推数列，其中f(n)为关 于n的函数。
基本思想
累乘法的基本思想是将递推式中的每一项都乘以累乘因子， 从而得到通项公式。
解题步骤与例题解析
步骤 1. 确定递推式中每一项与前一项的关系。
2. 选择适当的累乘因子。
常见递推数列类型
01
02
03
04
Fibonacci数列：每一项是前 两项的和。
Lucas数列：每一项是前两项 的差。
等差数列：每一项与前一项的 差是一个常数。
等比数列：每一项与前一项的 比值是一个常数。
通项公式的应用
数学分析
高考数学微专题3 数列的通项课件(共41张PPT)
内容索引
内容索引
目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
内容索引
内容索引
说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
内容索引
内容索引
1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
内容索引
目标1 根据规律找通项公式
1 (2023吉林三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大
衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项
依 次 是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50 ， 则 此 数 列 的 第 25 项 与 第 24 项 的 差 为
高考命题方向： 1. 根据前几项来寻找序号 n 与项之间的关系． 2. 根据前几项所呈现的周期性规律，猜想通项． 3. 抓住相邻项的关系转化为熟悉问题．
内容索引
内容索引
说明： 1. 解决方案及流程 (1) 归纳猜想法： ①确定数列的前几项； ②分析序号 n 与项有何关系，初步确定分类标准； ③研究数列整体或部分规律； ④归纳数列的项用序号 n 表示的规律； ⑤证明归纳的正确性．
内容索引
内容索引
1. (2022泰安三模)已知数列{an}满足：对任意的m，n∈N*，都有aman
＝am＋n，且a2＝3，则a20的值为( )
A. 320
B. 315
C. 310
D. 35
【解析】 因为对任意的 m，n∈N*，都有 aman＝am＋n，所以 a1a1＝a2， a1an＝a1＋n.又 a2＝3，所以 a1＝± 3，所以aan＋n 1＝a1，所以数列{an}是首项 为 a1，公比为 a1 的等比数列，所以 an＝a1·an1－1＝an1，所以 a20＝a210＝310.
重复循环，2 022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2 022也 为偶数，故B错误；对于C，若C正确，又a2 022＝a2 021＋a2 020，则a2 021＝ a1＋a2＋…＋a2 019，同理a2 020＝a1＋a2＋…＋a2 018，a2 019＝a1＋a2＋…＋ a2 017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；对于D，因为 a2 024＝a2 023＋a2 022＝2a2 022＋a2 021，所以a2 020＋a2 024＝a2 020＋2a2 022＋a2 021＝2a2 022＋(a2 020＋a2 021)＝3a2 022，故D正确．故选AD.
数列的递推公式 (共15张PPT)
课堂检测
(1)数列-1,7,-13,19， 的一个通项公式是 ______ 2a n （2）a1 = 1，a n+1 = （n ∈ N *）,则an = ______(观察归纳出公式) an + 2 (3)已知数列an 满足an an 1 2n 1, （n 2）,则an = ______ 1 (4)已知数列an 满足an 1 an , n n , 则an = ______ n(n 1) n （5）数列an 中，a1 1, an 1 an , 则an = ______ n 1 1 （6）数列an 中，an =（1- ）an 1 ,（n 2）,则an = ______ n
典型例题
题型1 已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式
例1：已知下列数列的递推公式，写出此数列的前 4 项，
并推测数列的通项公式．
(1)数列{an}满足 an＋1＝2an＋1，n∈N*，且 a1＝－1； 1 (2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋ n(n－1) (n≥2)．
自主解答：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1， 可推测数列{an}的通项公式 an＝－1. 1 3 (2)由已知，得 a1＝1，a2＝1＋ ＝ ， 2×1 2 3 1 5 5 1 7 a3＝2＋ ＝ ，a ＝ ＋ ＝ ， 3×2 3 4 3 4×3 4 2n－1 可推测数列{an}的通项公式 an＝ n .
自主解答： 解法一： a1＝2， a2＝2×2＝22， a3＝2×22＝23， …， 观察可得： an＝2n. an 解法二：由 an＋1＝2an，得 an＝2an－1，即 ＝2. an－1 an an－1 an－2 a2 n－1 ∴ × × ×…× ＝2 . a1 an－1 an－2 an－3 若数列有形如an＋1＝nan的 递推公式，可用累乘法求 ∴ an＝a1· 2n－1＝2n. 通项公式．
递推数列的通项公式PPT演示文稿
其中
0，求数列 an 的通项公式。
n 1 n a a (2 ) 2 n 解：由 a a n 1 (2 ) 2n n 1 n1 n 1 n n 1 n 1 n1 n 1 n n 1 n an1 an 2 a a 2 2 2 n 1 n n1 n 1 n1 n 1 a 2
B B B a A an 是以 A 为 0 时，数列 n ，当 a1 A 1 A 1 A 1
公比的等比数列。 例1（2006年重庆高考）在数列 的通项公式 an
an 中，若 a1 1, an1 2an 3 则该数列
则
an 的通项公式为
。
3 an 1 1 an 1 an 1 1 ，得 数列是以 a1 1 0 解：由 an 2 2 n 1 n 1 1 1 1 为首项，公比为 则 an 1 (a1 1) an 1 (a1 1) 2 2 2
1时， f (n) B n ,( B 0, 0)
时 an 1
an a1 即数列 n 1 是以 0 为首项，公差为B的等差数列。 a1 2, an1 an n1 (2 ) 2n , n N * an 中， 例5、（2007年天津高考）在数列
二、递推关系为
an1 Aan f n ,( A 0)
1、当A＝1时，有
an1 an f (n)
1, an1 an n
型
，此时可用累加法求
an
0，求数列 an 的通项公式。
n 1 n a a (2 ) 2 n 解：由 a a n 1 (2 ) 2n n 1 n1 n 1 n n 1 n 1 n1 n 1 n n 1 n an1 an 2 a a 2 2 2 n 1 n n1 n 1 n1 n 1 a 2
B B B a A an 是以 A 为 0 时，数列 n ，当 a1 A 1 A 1 A 1
公比的等比数列。 例1（2006年重庆高考）在数列 的通项公式 an
an 中，若 a1 1, an1 2an 3 则该数列
则
an 的通项公式为
。
3 an 1 1 an 1 an 1 1 ，得 数列是以 a1 1 0 解：由 an 2 2 n 1 n 1 1 1 1 为首项，公比为 则 an 1 (a1 1) an 1 (a1 1) 2 2 2
1时， f (n) B n ,( B 0, 0)
时 an 1
an a1 即数列 n 1 是以 0 为首项，公差为B的等差数列。 a1 2, an1 an n1 (2 ) 2n , n N * an 中， 例5、（2007年天津高考）在数列
二、递推关系为
an1 Aan f n ,( A 0)
1、当A＝1时，有
an1 an f (n)
1, an1 an n
型
，此时可用累加法求
an
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第二章 数列
题中的两个数列都是用递推公式给出的，已知a1可递 推出a2，…，依此类推，可求出它的任意一项．
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第二章 数列
[解题过程] (1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1； a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4； a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9； a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16. 故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.
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第二章 数列
3．通项公式与递推公式的区别与联系
通项公式 递推公式
区别
联系
项an是序号n的函数式an＝f(n) 已知a1及相邻项间的关系式
都可以确定 数列
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第二章 数列
1．已知数列{an}，a1＝1，an－an－1＝n－1(n≥2)．则a6＝ ()
A．7
B．11
C．16
D．17
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第二章 数列
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第二章 数列
[题后感悟] 根据初始值及递推公式写出数列的前几项，然 后归纳、猜想其通项公式，这是教学大纲和《高考考试大纲》 的基本要求，我们必须熟练地掌握它，其中归纳猜想通项公式 是难点，可用上面的根据数列的前几项写出一个通项公式的方 法来处理，不同的是在写出前几项时一般不对前几项化简，但 有时化简后有利于观察其通项公式，关键是尝试，而没有定 法．
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第二章 数列
[解题过程] 由a1＝2，an＝3an－1得 a2＝3a1＝3·2＝6 a3＝3a2＝3·6＝32·2＝18 a4＝3a3＝3·18＝33·2＝54 a5＝3a4＝3·54＝34·2＝162 猜想an＝2·3n－1 证明(累乘法)：1＝2，an＝3an－1 得， aan－n 1＝aann－－12＝…＝aa32＝aa12＝3 ∴an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa23·aa21·a1 ＝ 3·3·3·…·3 ·2
解析： ∵a1＝1，an－an－1＝n－1 ∴a2－a1＝1 a3－a2＝2 a4－a3＝3 a5－a4＝4 a6－a5＝5 累加得a6－a1＝1＋2＋3＋4＋5 ∴a6＝1＋15＝16.故选C. 答案： C
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第二章 数列
2．数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( ) A．an＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2) C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
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第二章 数列
解析： a2－a1＝2 a3－a2＝2 a4－a3＝2 a5－a4＝2 ∴an－an－1＝2，即an＝an－1＋2(n≥2)，故选C. 答案： C
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第二章 数列
3．已知数列{an}满足 a1>0，aan＋n 1＝12(n∈N*)，则数列{an} 是________数列(填“递增”或“递减”)．
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第二章 数列
aa21·aa23·aa43·…·aan－n 1＝aa1n＝2n－1(n≥2)， 又 a1＝1＝20，∴通项公式为 an＝2n－1. 方法二(迭代法)： an＝2an－1＝22an－2＝23an－3 ＝…＝2n－1a1＝2n－1， 即通项公式为 an＝2n－1.
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第二章 数列
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解析： 由已知 a1>0，an＋1＝12an(n∈N*)， 得 an>0(n∈N*)． 又 an＋1－an＝12an－an＝－12an<0， ∴{an}是递减数列．
答案： 递减
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第二章 数列
4．已知a1＝1，an＋1＝2an， (1)写出数列的前五项； (2)求数列的一个通项公式．
解析： (1)由 a1＝1，an＋1＝2an 得 a2＝2，a3＝4，a4＝8，a5＝16. (2)方法一(累乘法)：由已知得aan－n 1＝2(n≥2)， ∴aa21＝2，aa23＝2，aa43＝2，…，aan－n 1＝2， 将这些式子的两边分别相乘得
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第二章 数列
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第二章 数列
1．下列数列{an}中，an 随 n 的变化有何规律？ (1)an＝3n－1； (2)an＝1＋n12； (3)an＝2.
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第二章 数列
2．考察下面的数列，它的第n＋1项与第n项有什么关系？ (1)8,10,12,14,16，…. (2)1,1,2,3,5,8，…. (3)1,2,4,8,16，….
解析： ∵a1＝1，an＝an－1＋n－11n＋1(n≥2) ∴a2＝a1＋1×1 3＝43；a3＝a2＋2×1 4＝3254； a4＝a3＋3×1 5＝6410；a5＝a4＋4×1 6＝4370.
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第二章 数列
又 an－an－1＝n－11n＋1 ＝12n－1 1－n＋1 1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＋a1 ＝12[(n－1 1－n＋1 1)＋(n－1 2－1n)＋…＋(12－14)＋(1－13)]＋1 ＝12－n＋1 1－1n＋12＋1＋1 ＝7n42n＋2＋3n4－n 2(n≥2)．
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第二章 数列
已知数列{an}，a1＝1，以后各项由 an＝an－1＋nn1－1 (n≥2)给出．
(1)写出数列{an}的前 5 项； (2)求数列{an}的通项公式．
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第二章 数列
由题目可获取以下主要信息： ①an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＋a1； ②nn1－1＝n－1 1－1n. 解答本题运用累加法与裂项相消法即可．
第2课时 数列的通项公式与递推公式
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第二章 数列
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第二章 数列
1.体会递推公式是数列的一种表示方法． 2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几 项． 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式.
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第二章 数列
1.对通项公式及递推公式的考查是本课的热点． 2.本课时的内容常与函数，不等式结合命题． 3.多以选择题，解答题的形式考查.
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第二章 数列
当 n＝1 时，a1＝7×142×＋13＋×41－2＝1， ∴n＝1 满足 an＝7n42n＋2＋3n4－n 2. 综上，an＝7n42n＋2＋3n4－n 2(n∈N*)．
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第二章 数列
已知数列{an}，a1＝2，an＝3an－1，写出数列的前5 项，猜想an，并加以证明．
由题目可获取以下主要信息： ①aan＋n 1＝3，n∈N*； ②an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa23·aa21·a1. 解答本题运用累乘法转化为求某一常数的乘方运算．
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第二章 数列
(2)∵a1＝1，an＋1＝2＋2aan n， ∴a2＝2＋2aa1 1＝23，a3＝22＋a2a2＝12， a4＝2＋2aa3 3＝25，a5＝22＋a4a4＝13， ∴它的前 5 项依次是 1，23，12，25，13. 它的前 5 项又可写成1＋2 1，2＋2 1，3＋2 1，4＋2 1，5＋2 1， 故它的一个通项公式为 an＝n＋2 1.
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第二章 数列
2. 在 数 列 {an} 中 ， 已 知 a1 ＝ 2 ， a2 ＝ 3 ， an ＋ 2 ＝ 3an ＋ 1 － 2an(n≥1)，写出此数列的前6项，并猜想数列的通项公式．
解析： a1＝2，a2＝3， a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5， a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9， a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17， a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33. 可猜想an＝2n－1＋1.
第二章 数列
已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{an}是递减数列．
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第二章 数列
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第二章 数列
[解题过程] (1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， ∴2log2an－2－log2an＝－2n， an－a1n＝－2n， ∴an2＋2nan－1＝0， 解得 an＝－n± n2＋1. ∵an>0，∴an＝ n2＋1－n，n∈N*.
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第二章 数列
(2)aan＋n 1＝n＋1n－－
n＋12＋2 n2＋2
＝n＋1n＋＋
n2＋2 n＋12＋2<1.
∴an＋1>an. 即数列{an}是递增数列．
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第二章 数列
已知数列{an}满足下列条件，写出它的前 5 项，并归 纳出数列的一个通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； (2)a1＝1，an＋1＝an2＋an2.
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第二章 数列
＝nn1－1＋n－11n－2＋…＋3×1 2＋2×1 1＋1 ＝ n－1 1－1n ＋ n－1 2－n－1 1 ＋ … ＋ 12－13 ＋ 1－12 ＋ 18 分 ＝－1n＋1＋1＝2－1n＝2n－ n 1(n≥2).11 分 当 n＝1 时，a1＝1＝2×11－1，满足 an＝2n－ n 1. 综上，an＝2n－ n 1(n∈N*).12 分
n－1 个 ＝2·3n－1(n∈N*)
当 n＝1 时，a1＝2·31－1＝2. ∴n＝1 时满足 an＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1(n∈N*)．
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第二章 数列
[题后感悟] 由形如an＝f(n)·an－1(n≥2)的数列的递推公式求 通项公式时，通常用累乘法或迭代法．形成函数的运动变化的 观点，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以利用首项 或前几项是解题的关键．
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第二章 数列
(2)证明：aan＋n 1＝
n＋12＋1－n＋1 n2＋1－n
＝
n2＋1＋n n＋12＋1＋n＋1<1.
∵an>0，∴an＋1<an， ∴数列{an}是递减数列．