数列的通项公式与递推公式-PPT

第二章 数列
已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{an}是递减数列．
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[解题过程] (1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， ∴2log2an－2－log2an＝－2n， an－a1n＝－2n， ∴an2＋2nan－1＝0， 解得 an＝－n± n2＋1. ∵an>0，∴an＝ n2＋1－n，n∈N*.
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[题后感悟] 根据初始值及递推公式写出数列的前几项，然 后归纳、猜想其通项公式，这是教学大纲和《高考考试大纲》 的基本要求，我们必须熟练地掌握它，其中归纳猜想通项公式 是难点，可用上面的根据数列的前几项写出一个通项公式的方 法来处理，不同的是在写出前几项时一般不对前几项化简，但 有时化简后有利于观察其通项公式，关键是尝试，而没有定 法．
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[规范作答] (1)a1＝1；a2＝a1＋2×1 1＝32； a3＝a2＋3×1 2＝53；a4＝a3＋4×1 3＝74； a5＝a4＋5×1 4＝95.4 分 (2)由 an＝an－1＋nn1－1得 an－an－1＝nn1－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＋a16 分
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1．数列的单调性
在数列{an}中，若an＋1 a>n，则{an}是递增数列；若an＋1 an ， 则{<an}是递减数列；若an＋1 an，则{a＝n}是常数列．
2．数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一 项)开始的任一项an与它的前一项 an－1 ( 或 前 几 项 )(n≥2 ， n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这 个数列的 递推 公式．
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1.设f(x)＝log2x－logx4(0<x<1)，又知数列{an}的通项an满足 f(2an)＝2n(n∈N*)．
(1)试求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}的增减性．
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解析： (1)∵f(x)＝log2x－logx4(0<x<1)，f(2an)＝2n， ∴log22an－log2an4＝2n. 由换底公式得 log22an－lologg2224an＝2n， 得 an－a2n＝2n，∴an2－2nan－2＝0. ∴an＝n± n2＋2. 由 0<x<1 有 0<2an<1，∴an<0. ∴数列{an}的通项公式为 an＝n－ n2＋2.
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4.例题中，题干改为：已知数列{an}中，a1＝1，(n＋1)an＋1 ＝nan，求此数列的前5项及通项公式．
n－1 个 ＝2·3n－1(n∈N*)
当 n＝1 时，a1＝2·31－1＝2. ∴n＝1 时满足 an＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1(n∈N*)．
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[题后感悟] 由形如an＝f(n)·an－1(n≥2)的数列的递推公式求 通项公式时，通常用累乘法或迭代法．形成函数的运动变化的 观点，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以利用首项 或前几项是解题的关键．
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1．下列数列{an}中，an 随 n 的变化有何规律？ (1)an＝3n－1； (2)an＝1＋n12； (3)an＝2.
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2．考察下面的数列，它的第n＋1项与第n项有什么关系？ (1)8,10,12,14,16，…. (2)1,1,2,3,5,8，…. (3)1,2,4,8,16，….
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当 n＝1 时，a1＝7×142×＋13＋×41－2＝1， ∴n＝1 满足 an＝7n42n＋2＋3n4－n 2. 综上，an＝7n42n＋2＋3n4－n 2(n∈N*)．
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已知数列{an}，a1＝2，an＝3an－1，写出数列的前5 项，猜想an，并加以证明．
由题目可获取以下主要信息： ①aan＋n 1＝3，n∈N*； ②an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa23·aa21·a1. 解答本题运用累乘法转化为求某一常数的乘方运算．
解析： ∵a1＝1，an＝an－1＋n－11n＋1(n≥2) ∴a2＝a1＋1×1 3＝43；a3＝a2＋2×1 4＝3254； a4＝a3＋3×1 5＝6410；a5＝a4＋4×1 6＝4370.
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又 an－an－1＝n－11n＋1 ＝12n－1 1－n＋1 1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＋a1 ＝12[(n－1 1－n＋1 1)＋(n－1 2－1n)＋…＋(12－14)＋(1－13)]＋1 ＝12－n＋1 1－1n＋12＋1＋1 ＝7n42n＋2＋3n4－n 2(n≥2)．
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[题后感悟] 由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问 题之一，是高考考查的热点．已知数列的递推公式求通项公式， 可把每相邻两项的关系列出来，抓住它们的特点进行适当地处 理．形如an－an－1＝f(n)的题目可用累加法．
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3.例题中，a1＝1，若数列{an}的以后各项由 an＝an－1＋ n－11n＋1(n≥2)给出，如何求数列的前 5 项与通项公式 an?
第2课时 数列的通项公式与递推公式
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1.体会递推公式是数列的一种表示方法． 2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几 项． 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式.
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1.对通项公式及递推公式的考查是本课的热点． 2.本课时的内容常与函数，不等式结合命题． 3.多以选择题，解答题的形式考查.
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解析： a2－a1＝2 a3－a2＝2 a4－a3＝2 a5－a4＝2 ∴an－an－1＝2，即an＝an－1＋2(n≥2)，故选C. 答案： C
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3．已知数列{an}满足 a1>0，aan＋n 1＝12(n∈N*)，则数列{an} 是________数列(填“递增”或“递减”)．
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3．通项公式与递推公式的区别与联系
通项公式 递推公式
区别
联系
项an是序号n的函数式an＝f(n) 已知a1及相邻项间的关系式
都可以确定 数列
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1．已知数列{an}，a1＝1，an－an－1＝n－1(n≥2)．则a6＝ ()
A．7
B．11
C．16
D．17
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aa21·aa23·aa43·…·aan－n 1＝aa1n＝2n－1(n≥2)， 又 a1＝1＝20，∴通项公式为 an＝2n－1. 方法二(迭代法)： an＝2an－1＝22an－2＝23an－3 ＝…＝2n－1a1＝2n－1， 即通项公式为 an＝2n－1.
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已知数列{an}，a1＝1，以后各项由 an＝an－1＋nn1－1 (n≥2)给出．
(1)写出数列{an}的前 5 项； (2)求数列{an}的通项公式．
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由题目可获取以下主要信息： ①an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＋a1； ②nn1－1＝n－1 1－1n. 解答本题运用累加法与裂项相消法即可．
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题中的两个数列都是用递推公式给出的，已知a1可递 推出a2，…，依此类推，可求出它的任意一项．
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[解题过程] (1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1； a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4； a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9； a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16. 故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.
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(2)证明：aan＋n 1＝
n＋12＋1－n＋1 n2＋1－n
＝
n2＋1＋n n＋12＋1＋n＋1<1.
∵an>0，∴an＋1<an， ∴数列{an}是递减数列．
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[题后感悟] 本题是函数、方程与数列的典型结合与运 用．要比较 an 与 an＋1 的大小，可以用作差法或作商法，即若 an＋1－an>0，则 an＋1>an，可以判断数列{an}是递增数列；当 an>0 时，若aan＋n1>1，则 an＋1>an，也能判断数列{an}是递增数 列．对于递减数列，可以相应调整不等号的方向给出判断．
解析： ∵a1＝1，an－an－1＝n－1 ∴a2－a1＝1 a3－a2＝2 a4－a3＝3 a5－a4＝4 a6－a5＝5 累加得a6－a1＝1＋2＋3＋4＋5 ∴a6＝1＋15＝16.故选C. 答案： C
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2．数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( ) A．an＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2) C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
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2. 在 数 列 {an} 中 ， 已 知 a1 ＝ 2 ， a2 ＝ 3 ， an ＋ 2 ＝ 3an ＋ 1 － 2an(n≥1)，写出此数列的前6项，并猜想数列的通项公式．
解析： a1＝2，a2＝3， a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5， a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9， a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17， a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33. 可猜想an＝2n－1＋1.
解析： 由已知 a1>0，an＋1＝12an(n∈N*)， 得 an>0(n∈N*)． 又 an＋1－an＝12an－an＝－12an<0， ∴{an}是递减数列．
答案： 递减
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4．已知a1＝1，an＋1＝2an， (1)写出数列的前五项； (2)求数列的一个通项公式．
解析： (1)由 a1＝1，an＋1＝2an 得 a2＝2，a3＝4，a4＝8，a5＝16. (2)方法一(累乘法)：由已知得aan－n 1＝2(n≥2)， ∴aa21＝2，aa23＝2，aa43＝2，…，aan－n 1＝2， 将这些式子的两边分别相乘得
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(2)∵a1＝1，an＋1＝2＋2aan n， ∴a2＝2＋2aa1 1＝23，a3＝22＋a2a2＝12， a4＝2＋2aa3 3＝25，a5＝22＋a4a4＝13， ∴它的前 5 项依次是 1，23，12，25，13. 它的前 5 项又可写成1＋2 1，2＋2 1，3＋2 1，4＋2 1，5＋2 1， 故它的一个通项公式为 an＝n＋2 1.
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第二章 数列
[解题过程] 由a1＝2，an＝3an－1得 a2＝3a1＝3·2＝6 a3＝3a2＝3·6＝32·2＝18 a4＝3a3＝3·18＝33·2＝54 a5＝3a4＝3·54＝34·2＝162 猜想an＝2·3n－1 证明(累乘法)：
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由 a1＝2，an＝3an－1 得， aan－n 1＝aann－－12＝…＝aa32＝aa12＝3 ∴an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa23·aa21·a1 ＝ 3·3·3·…·3 ·2
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第二章 数列
(2)aan＋n 1＝n＋1n－－
n＋12＋2 n2＋2
＝n＋1n＋＋
n2＋2 n＋12＋2<1.
∴an＋1>an. 即数列{an}是递增数列．
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第二章 数列
已知数列{an}满足下列条件，写出它的前 5 项，并归 纳出数列的一个通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； (2)a1＝1，an＋1＝an2＋an2.
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第二章 数列
＝nn1－1＋n－11n－2＋…＋3×1 2＋2×1 1＋1 ＝ n－1 1－1n ＋ n－1 2－n－1 1 ＋ … ＋ 12－13 ＋ 1－12 ＋ 18 分 ＝－1n＋1＋1＝2－1n＝2n－ n 1(n≥2).11 分 当 n＝1 时，a1＝1＝2×11－1，满足 an＝2n－ n 1. 综上，an＝2n－ n 1(n∈N*).12 分