最佳阵容的数学模型研究

222. 1 221. 4 224. 4 223. 7 222. 6 223. 3 222. 9 222. 7 222. 1 221. 7
220. 8 220. 2 222. 4 223. 3 223. 3
224 220. 8 219. 8 220. 1 220. 3
220. 9 219. 5 223. 1
4
x ij 4
j= 1
( i = 1, 2, 3, 4)
x ij = 0 or 1
5 模型的求解
运用 lingo 优化软件进行求解可知, 按等概 率准则计算的最优得分为 224. 7 分, 小于预测夺 冠分数 236. 2, 按乐观准则计算的最大得分 236. 5 分, 要想获得冠军我们要排出的阵容为( 表 4) 。
工程技术
武汉船舶职业技术学院学报 2008 年第 3 期
最佳阵容的数学模型研究
王磊 ( 武汉船舶职业技术学院教务处, 湖北武汉 430050)
摘 要 本文对运动队参与竞赛的阵容安排问题进行了研究。以得分最高为目标, 建立了优化阵容的非线性 0- 1 规 划 模型, 确定了参赛阵容。并对该阵容参赛的过程进行了 计算机仿真, 分析了该阵容的得分情况及夺冠情况。 关键词 阵容安排非线性规划; 计算机仿真 ; X2 检验 中图分类号 O151 文献标志码 A 文章编号 1671- 8100( 2008) 03- 0033- 04
则确定某一阵容出战能够获得的总分为
10 4
f=
sij x ij
i= 1 j = 1
约束条件如下:
( 1) 每个项目有 6 名运动员参加
34
最佳阵容的数学模型研究 王 磊
10
x ij = 6( j = 1, 2, 3, 4)
i= 1
( 2) 有 4 个运动员参加四项全能赛
10 4
x ij = 4
i= 1 j = 1
3 问题的分析
根据等概率准则( L aplace 原则) , 计算出每个 运动员对每个项目的期望得分矩阵( 表 2) , 把运 动员的期望得分当作比赛时的实际得分, 见表 2。
表 2 运动员期望得分表
队员
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1( 高低杠)
9 9. 6
9 9. 1
9 9. 7 9. 8
0. 2
8. 4
0. 1
8. 8
0. 2
9
0. 6
10
0. 1
9. 4
0. 1
9. 6
0. 1
9. 7
0. 6
9. 9
0. 2
收稿日期: 2008- 03- 15 作者简介: 王 磊, 男, 主要从事高等数学方面的教学和科研工作。
33
武汉船舶职业技术学院学报 2008 年第 3 期
队员 6 7 8 9 10
221 221. 8
223 220. 1
222 224 222. 2
对以上数据进行 拟合优度 x2 检验, 得出上 述数据满足正态分布。设运动队获得总分为随机 变量 x , 根据极大似然法估计 x ~ N ( 221. 8, 1. 9) 。 则运 动 队能 够获 得冠 军的 概 率 P ( x > 236. 2)
9. 1
0. 6
9. 9
0. 1
9
0. 1
9. 2
0. 1
9. 4
0. 6
9. 7
0. 2
3( 跳马)
9. 1
0. 1
9. 3
0. 1
9. 5
0. 6
9. 8
0. 2
8. 4
0. 1
8. 8
0. 2
9
0. 6
10
0. 1
8. 4
0. 15
9
0. 5
9. 2
0. 25
9. 4
0. 1
9
0. 1
9. 4
35
武汉船舶职业技术学院学报 2008 年第 3 期
0. 0000000023可知夺冠前景渺茫。运动队能够有 90% 把握战胜怎样的对手, 即 P ( k< x ) = 0. 9 可 知 k= 220. 04, 所以运动队有 90% 把握战胜总分 为 220. 04 的对手。
参考文献
1 薛 毅, 陈立萍. 统计建模与 R 软件[ M] . 北京: 清华大学出 版
把运动员 的乐观得分当 作比赛时的 实际得 分, 见表 3。
表 3 运动员乐观得分表
队员 1( 高低杠) 2( 平衡木) 3( 跳马) 4( 自由体操)
1
9. 4
10
9. 8
9. 9
29. 8Fra bibliotek9. 4
10
9. 6
3
10
9. 5
9. 4
10
4
9. 5
9. 9
9. 7
10
5
9. 4
9. 7
9. 3
9. 9
For ( i in 运动员参与的所有项目) {
产生 0, 1 之间的随机数 random F or( j in 每个项目的所有可能得分) {
If ( random < 得分概率[ i, J] ) {
选取得分[ i, j] Break } } 计算所有得分的和
} 得到仿真得分 60 个( 表 5)
表 5 仿真得分结果
( 3) 每个运动员最多参加 4 项比赛
4
4( i = 1, 2, , 10)
j= 1
( 4) 所有决策变量只能取 0 或 1
综合以上分析, 建立问题的数学模型如下:
10 4
maxf =
sij x ij
i= 1 j= 1
10
x ij = 6
i= 1
( j = 1, 2, 3, 4)
10 4
x ij = 4 s. t . i= 1 j= 1
1( 高低杠)
9. 4
0. 1
9. 6
0. 1
9. 7
0. 6
9. 9
0. 2
9. 5
0. 1
9. 7
0. 1
9. 8
0. 6
10
0. 2
8. 4
0. 1
8. 8
0. 2
9
0. 6
10
0. 1
8. 4
0. 15
9
0. 5
9. 2
0. 25
9. 4
0. 1
9
0. 1
9. 2
0. 1
9. 4
0. 6
9. 7
9 9 9. 4
2( 平衡木)
9 9 9. 1 9. 1 9. 4 9. 1 9 9. 8 9. 2 9. 1
3( 跳马)
9. 5 9 9
9. 5 8. 9 8. 9 8. 9 9. 1
9 9. 2
4( 自由体操)
9. 1 9. 3 9. 8
9 9. 7
9 9. 2 9. 3 9. 7 9. 5
按乐观准则( H urw icz 原则) 计算出每个运动 员对每个项目的乐观得分矩阵 W 。
9. 3
0. 3
9. 5
0. 1
3( 跳马)
8. 5
0. 1
8. 7
0. 1
8. 9
0. 5
9. 1
0. 3
8. 3
0. 1
8. 7
0. 1
8. 9
0. 6
9. 3
0. 2
8. 7
0. 1
8. 9
0. 2
9. 1
0. 6
9. 9
0. 1
8. 4
0. 1
8. 8
0. 2
9
0. 6
10
0. 1
8. 2
0. 1
1 问题的提出
一类, 参加单项比赛的每个运动员至多只能参加 三项单项。每个队应有 4 人参加全能比赛, 其余
有一场由四个项目( 高低杠、平衡木、跳马、自 由体操) 组成的女子体操团体赛, 赛程规定: 每个 队至多允许 10 名运动员参赛, 每一个项目可以有 6 名选手参加。每个选手参赛的成绩评分从高到 低依次为: 10; 9. 9; 9. 8; ; 0. 1; 0。每个代表队 的总分是参赛选手所得总分之和, 总分最多的代 表队为优胜者。此外, 还规定每个运动员只能参 加全能比赛( 四项全参加) 与单项比赛这两类中的
m od el: set s: at hlete/ 1. . 10/ ; it em/ 1. . 4/ ; links( at hlete, it em) : x , scor e; endset s max= @ sum ( links: score* x ) ; @ for( item( j) : @ sum( athlet e( i) : x( i, j) ) = 6) ; @ sum ( at hlet e( i) : x ( i, 1) * x ( i, 2) * x ( i, 3) * x ( i, 4) ) = 4; @ f or( links: @ bin( x ) ) ; dat a: score= @ file( 'score. t x t') ; en dd ata en d
0. 2
2( 平衡木)
8. 7
0. 1
8. 9
0. 2
9. 1
0. 6
9. 9
0. 1
8. 4
0. 1
8. 8
0. 2
9
0. 6
10
0. 1
8. 8
0. 05
9. 2
0. 05
9. 8
0. 5
10
0. 4
8. 4
0. 1
8. 8
0. 1
9. 2
0. 6
9. 8
0. 2
8. 1
0. 1
9. 1
0. 5
9. 9
0. 3
9. 1
0. 1
9. 3
0. 1
9. 5
0. 6
9. 8
0. 2
2 符号说明
j 表示参赛项目( j = 1 2 3 4) i 表示运动员的编号( i= 1 2 3 4 10)
1 第 i 个队员参加第 j 个项目 x ij = 0 第 i 个队员没有参加第 j 个项目
S= ( sij ) 10 4 表示运动员期望得分的矩阵 sij 表示第 i 个运动员参加第 j 个项目的期望 得分 W = ( w ij ) 10 4 表示选手乐观得分组成的矩阵 w ij 表示第 i 个人参加第 j 个项目的乐观得分
表 4 乐观准则确 定的阵容( 1 表示参与, 0 表示不参与)
队员 1( 高低杠)
1
1
2
0
3
1
4
1
5
0
6
1
7
1
8
1
9
0
10
0
2( 平衡木)
1 0 0 1 0 1 1 1 1 0
3( 跳马)
1 1 0 1 0 0 1 1 1 0
4( 自由体操)
1 0 1 1 0 0 1 1 1 0
6 结果分析
在确定了参赛阵容后, 使用计算机仿真该阵 容参与比赛的过程。
运动员参加单项比赛。对以往的资料及近期各种 信息进行分析得到: 本次夺冠的团体总分估计为 不少于 236. 2 分。要挑战冠军, 怎样组队?
现某代表队的教练已经对其所带领的 10 名 运动员参加各个项目的成绩进行了大量测试, 教 练发现每个运动员在每个单项上的成绩稳定在 4 个得分上, 她们得到这些成绩的相应概率也由统 计得出见表 1。
9. 2
0. 5
9. 4
0. 3
9. 6
0. 1
4( 自由体操)
8. 4
0. 15
9
0. 5
9. 2
0. 25
9. 4
0. 1
8. 4
0. 1
8. 8
0. 1
9. 2
0. 6
9. 8
0. 2
8. 2
0. 1
9. 3
0. 5
9. 5
0. 3
9. 8
0. 1
9. 3
0. 1
9. 5
0. 1
9. 7
0. 5
9. 5
0. 1
8. 4
0. 15
9
0. 5
9. 2
0. 25
9. 4
0. 1
2( 平衡木)
8. 4
0. 1
8. 8
0. 2
9
0. 6
10
0. 1
8. 4
0. 15
9
0. 5
9. 2
0. 25
9. 4
0. 1
8. 1
0. 1
9. 1
0. 5
9. 3
0. 3
9. 5
0. 1
8. 7
0. 1
8. 9
0. 2
社, 2007. 4. 2 袁新生. LIN G O 和 EXCE L 在数学 建模中的 应用[ M ] . 北 京:
科学出版社, 2007. 1. 3 刁在筠. 运筹学[ M ] . 北京: 高等教育出版社, 2003. 3.
Mathematical Model of the Best Arrangement
0. 1
9. 5
0. 5
9. 7
0. 3
8. 3
0. 1
8. 7
0. 1
8. 9
0. 6
9. 3
0. 2
4( 自由体操)
8. 7
0. 1
8. 9
0. 2
9. 1
0. 6
9. 9
0. 1
8. 9
0. 1
9. 1
0. 1
9. 3
0. 6
9. 6
0. 2
9. 5
0. 1
9. 7
0. 1
9. 8
0. 6
10
222. 5 220. 1 224. 7 221. 8 219. 1 220. 2 222. 6 220. 4 224. 4 222. 2
221. 9 221. 7 222. 7
221 222. 5 220. 7 222. 7
221 221. 8 221. 8
221. 9 221. 8 221. 5 221. 3 221. 7 222. 3 222. 5 219. 4 218. 3 222. 6
6
9. 9
9. 9
9. 1
9. 4
7
10
10
9. 3
9. 8
8
10
10
9. 9
9. 8
9
9. 4
9. 8
10
9. 9
10
9. 7
9. 5
9. 6
9. 8
4 模型的建立
假设第 i 名运动员参与第 j 各项目的竞赛能
够获得的分数为 x ij , 取决策变量
1 第 i 个队员参加第 j 个项目 x ij = 0 第 i 个队员没有参加第 j 个项目
表 1 运动员各项目得分及 概率分布表
队员 1 2 3 4 5
1( 高低杠)
8. 4
0. 15
9
0. 5
9. 2
0. 25
9. 4
0. 1
9. 3
0. 1
9. 5
0. 1