根据定义求以下序列的单边z变换及其收敛域

k
∑ (7) f7[k] = f [k − i]
i=0
解： Z{ f [k]} =
F(z)
=
z (1 + z 2 )2
,
z
>1
(2)
f 2 [k ]
=
(1)k 2
f [k]
(4) f4[k] = kf [k]
k
∑ (6) f6[k] = f [i] i=0 k
∑ (8) f8[k] = f [k − i] i =1
F5 (z)
=
F4 (z) − 2F (z)
=
3z3 − z (1 + z 2 )3
−
2z (1 + z 2 )2
2
2
2
1
−
z
−1
cos
Ω
0k
+
1 4
z
−2
z >1 2
２． 根据单边 ｚ 变换的位移性质，求以下序列的 ｚ 变换及其收敛域。
(1)δ [k − N ]
(2) u[k − N ]
(3) ∇2u[k]
(4) a k−N u[k − N ]
(5) a k−N u[k ]
(6) a k u[k − N ]
2
k
∑ (5)
bi
i=0
解：(1)
Z
{a
k
u[k
]}
=
1
−
1 az
−1
k
∑ (6) a k bi
i=0
Z{ka k u[k]}
=
−z
d dz
1
( 1
−
az
−1
)
=Βιβλιοθήκη Baidu
az −1 (1 − az −1 ) 2
(2) ka k u[k −1] = a(k −1)a k−1u[k −1] + aa k−1u[k −1]
1
１． 根据定义求以下序列的单边 ｚ 变换及其收敛域。
(1){1, 2, 3, 4, 5}
(2) u[k] − u[k − N ]
(3) a k {u[k ] − u[k − N ]}
(4)
(1)k 2
cos
Ω 0ku[k]
∞
∑ 解：(1) F (z) = f [k]z −k = 1 + 2z −1 + 3z −2 + 4z −3 + 5z −4 , z > 0
(6)
a k u[k − N ] = a N a k−N u[k − N ] ,
F
(z)
=
aN 1−
z −N az −1
３． 根据 ｚ 变换的性质求，以下序列的单边 ｚ 变换及其收敛域。
(1) ka k u[k]
(2) ka k u[k − 1]
(3) (k + 1)2 u[k]
(4) k{u[k] − u[k − N ]}
k
∑ (5) bi = u[k ]* bk u[k] i=0
∑k
Z{
i=0
bi}
=
(1 −
1 z −1 )(1 −
bz −1 )
∑ (6)
k
Z{a k
i=0
bi}
=
(1 −
1 az −1 )(1 −
abz −1 )
４． 求以下周期序列的单边 ｚ 变换。
(1)
f
[k]
=
1, 0,
k = 2n, k = 2n + 1,
−
z
−1
)
=
z −1 (1 − z −1 )2
Z{k
2 u[k ]}
=
−z
d dz
z −1 [ (1 − z −1 ) 2
]
=
z −1 + z −2 (1 − z −1 )3
F(z)
=
z −1 + z −2 (1 − z −1 )3
+
2
(1
z −1 − z −1
)
2
+
1
1 −z
−1
=
1 + z −1 (1 − z −1 )3
1 ( 1 )k (e jΩ0k 22
+ e− jΩ0k )u[k ]
∑ ∑ ∑ ∞
F(z) =
f [k]z −k = 1 ( ∞
( 1 )k e jΩ0k + ∞
( 1 )k e− jΩ0k )
k =0
2 k=0 2
k=0 2
=1
1
+1
1
= 1 2 − z −1 cos Ω0k ,
2 1 − 1 e jΩ0 z −1 2 1 − 1 e− jΩ0 z −1
(4) k{u[k] − u[k − N ]} = ku[k] − (k − N )u[k − N ] − Nu[k − N ]
F(z) =
z −1 (1 − z −1 ) 2
−
z −1 z − N (1 − z −1 ) 2
−
Nz 1−
−
z
N −1
=
z −1 (1 − z −N ) − Nz −N (1 − z −1 ) (1 − z −1 )2
Z{ka k u[k
− 1]}
=
a 2 z −2 (1 − az −1 )2
+
1
az −1 − az −1
=
az −1 (1 − az −1 ) 2
(3) (k + 1)2 u[k] = k 2u[k] + 2ku[k] + u[k]
Z
{u[k
]}
=
1
1 −z
−1
Z{ku[k ]}
=
−z
d dz
1
( 1
n = 0, n = 0,
1, 1,
2, L 2, L
k
∑ (2) y[k] = (−1)i f [k − i]
i=0
解：(1) f [k] = δ[k] + δ [k − 2] + δ [k − 4] + L
F(z)
=
1+
z −2
+
z −4
+L
=
1 1− z−2
k
∑ (2) y[k] = (−1)i f [k − i] = (−1)k u[k]* f [k]
k =0
∑ ∑ (2)
∞
F(z) =
k =0
f [k]z −k
N −1
=
k =0
z −k
=
1− 1−
z−N z −1
,
z >0
∑ ∑ (3)
∞
F(z) =
k =0
f [k]z −k
N −1
=
k =0
ak z −k
=
1
− 1
(az −1 ) − az −1
N
,
z >a
(4) (1 )k 2
cos Ω0ku[k] =
(1)
F1 (z)
=
z −1 (1 + z 2 )2
,
z
>1
(2)
F1 (z)
=
[1 +
2z (2z)2 ]2
,
z
>1
(3)
F3
(z)
=
(2 z ) −1 [1 + (2z)2
]2
,
z
>1
(4)
F4
(z)
=
−z
d dz
z [ (1 + z 2
)2
]
=
3z3 − (1 + z 2
z )3
,
z
>1
(5)
i=0
Y
(z)
=
(1 +
1 z −1 )(1 −
z −2
)
3
5.
已知 Z{ f [k]} =
F(z)
=
z (1 + z 2 )2
,
z
> 1，利用 ｚ 变换的性质，求下列各式的单边 ｚ
变换及其收敛域。
(1) f1[k] = f [k − 2]
(3)
f3[k]
=
(1)k 2
f [k
− 2]
(5) f5[k] = (k − 2) f [k]
解：(1) F (z) = z −N
(2)
F
(z)
=
z −N 1 − z −1
(3) ∇2u[k] = u[k] − 2u[k −1] + u[k − 2] ,
F
(z)
=
1−
2z −1 1− z
+
−1
z
−2
= 1 − z −1
(4)
F
(
z)
=
1
z −
−N
az
−1
(5)
F
(z)
=
1
a−N − az
−1