传送带中的能量问题解析

传送带中的能量问题解析
传送带作为一种运输工具，其能量的转化主要考虑两个方面：①、增加物体的机械能（动能和势能）②、增加系统的内能（即由于物体和皮带之间发生相对运动因摩擦而产生的热量）
例1． 如图，电机带动传送带以速度v 匀速传动，一质量为m 的小木块由静止放在传送带上（传送
带足够长）若小木 块与传送带之间的动摩擦因数为µ，当小木块与传送带相对静止时，
求：⑴、小木块的位移。

⑵、传送带经过的路程。

⑶、小木块获得的动能。

⑷、摩擦过程产
生的热量。

⑸电机带动传送带匀速转动输出的总能量。

分析：木块刚放上时速度为零，必然受到传送带的滑动摩擦力作用做匀
加速直线运动，达到与传送带有共同速度后不再有相对运动，整个过程中木
块获得一定的动能，系统要产生摩擦热。

对木块：相对滑动时，a=µg,达到相对静止所用的时间为t=v g μ，木块的位移21122v s vt g μ==，传送带的位移22v s vt g μ==，木块相对传送带的位移2212v s s s g μ=-=，小木块获得的动能212
k E mv =，产生的热量221211()()2
Q fs f s s mg s s mv μ==-=-=，电动机输出的总能量转化为小木块的动能和系统产生的热量2k E E Q mv =+=
注意：当木块的初速为零时，木块经过的位移和木块相对皮带的位移恰好相等，这一特点要记住，在解题中很有用处。

2．如图，已知传送带两轮的半径r =1m ，传动中传送带不打
滑，质量为1kg 的物体从光滑轨道A 点无初速下滑（A 点比B 点高
h =5m ），物体与传送带之间的动摩擦因数2.0=μ，当传送带静止
时，物体恰能在C 点离开传送带，则
（1）BC 两点间距离为多少？
（2）若要使物体从A 点无初速释放后能以最短时间到达C 点，轮
子转动的角速度大小应满足什么条件？
（3）当传送带两轮以12rad/s 的角速度顺时针转动时，物体仍从A 点无初速释放，在整个过程中物体与皮带系统增加的内能为多少？
解：（1）设物体质量为m ，在C 点时运动速度为C v ，BC 间距离为s 。

因物体恰在c 点离开传送带，则
r v m mg C 2=， 由动能定理，得22
1C mv mgs mgh =-μ，联立得，10=C v m/s ，5.22=s m （2）物体以最短时间到达C 点，因此BC 段物体以最大加速度做匀加速运动，设加速度为a ，物体在B 、C 两点的速度分别为B v 、'
C v ，则2102.0=⨯==g a μm/s 2， 22
1B mv mgh =，as v v B C 222=-'， 联立解得，8.13='C v m/s ，轮子转动的角速度8.13='>r
v C ωrad/s （3）由于轮子的角速度小于13.8 rad/s ，物体在BC 段一定先加速后匀速运动，物体在BC 段加速运
动的时间为121012=-=∆=
a v t s ，物体经过的位移为s 1=212at ＝12
vt ,皮带经过的位移为s 2=vt,则物体与皮带间相对位移为12=∆=∆t v s m ，2=∆=∆==s mg s f fs Q μJ 注意：①、系统增加的内能等于系统克服摩擦力做的功，也等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。

②、当物块的初速为零时，皮带经过的位移是物块经过的位移的二倍，相对位移在数值上等于物块经过的位移。

③、皮带经过的位移和物块经过的位移都是相对地面的位移。

④、在第二问中，要使物体在传
送带上运动的时间最短，必须使物体以最大的加速度（a g μ=）加速，到达最右端时与皮带的速度相等，此时皮带轮的角速度为临界角速度，也是皮带轮转动的最小角速度。

3、传送带以恒定速度υ=1.2m/S 运行, 传送带与水平面的夹角为37º。

现将质量m=20kg 的物品轻放在其底端，经过一段时间物品被送到 1.8m 高的平台上，如图所示。

已知物品与传送带之间的摩擦因数μ=0.85，则
（1）物品从传送带底端到平台上所用的时 间是多少？
（2）每送一件物品电动机需对传送带做的 功是多少？
解：(1) 物体沿斜面运动的加速度
2o /8.037sin 37cos s m g ug a o =-=---①
设物体在斜面上的加速时间为t 1
由s m at v /2.11== ---------------------------- ②
得：s t 5.11=-------------------------------------------③ 物体沿皮带加速运动的位移为m vt s 9.02111== 匀速运动的位移为)(1.237
sin 12m s h s o =-=----⑤ 物体匀速运动的时间为)(75.122s v
s t == -------------------------⑥ 总时间为)(25.321s t t t =+= -------------------------------------⑦
评分标准：①④⑦各2分 ②③⑤⑥各1分 共10分 （2） 送一件物品电动机对传送带做的功 在数值上等于摩擦产生的热量和物品增加的机械能
Q mgh mv W ++=22
1 -------------------------------① )2
1(37cos 110vt vt mg Q -=μ --------------------- ② 解得： )(6.489J W =-------------------------------③ 注意：电动机对物体做的功都干什么？头脑一定要清楚。

Q 等于滑动摩擦力与相对位移的乘
积，相对位移刚好等于物体在皮带上经过的位移。

4.如图所示，传递皮带以1 m/s 的速度水平匀速运动，砂斗以20 kg/s 的流量向皮带上装砂子.为了保
持传递速率不变，驱动皮带的电动机因此应增加的功率为多少？v
解析:砂子属于连续流体，其质量是变化的，选择研究对象时应以每秒钟流到皮带上的砂子为研究对
象，设每秒钟流到皮带上的砂子的质量为m,则每秒钟流到皮带上的砂子获得的动能为ΔE k =2
1mv 2砂子在皮带上先加速后匀速，在达到与皮带的速度v 相等之前，相对皮带向后滑动，每秒转化为内能的机械能为：
Q =fs 相对=μmgs 相对而s 相对=vt －a v 22，其中a =m mg μ=μg ， t =a v =g
v μ 代入上式得s 相对=g v μ22 所以Q =μmg g v μ22=2
1mv 2 因此，电动机必须增加的功率为：
ΔP =t
Q E ∆+∆k =t mv ∆2
代入数值m =20 kg ，Δt =1 s ，v =1 m/s ，得ΔP =20 W.
注意：电动机增加的功率用于增加砂子的机械能和用于克服系统的摩擦力做功
5．一传送带装置示意图如图2所示，其中传送带经过AB 区域时是水平的，经过BC 区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，为画出），经过CD 区域时是倾斜的，AB 和CD 都与BC 相切。

现将大量的质量均为m 的小货箱一个一个在A 处放到传送带上，放置时初
速为零，经传送带运送到D 处，D 和A 的高度差为h 。

稳定工作时
传送带速度不变，CD 段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L 。

每个箱子在A 处投放后，在到达B 之前已经相对于传送带静止， B L
L A C D
且以后也不再滑动（忽略经BC 段时的微小滑动）。

已知在一段相当长的时间T 内，共运送小货箱的数目为N 。

这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。

求电动机的平均输出功率P 。

解：设传送带的运动速度为v 0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运
动再做匀速运动，设加速阶段经过的位移为s ，所用时间为t ，加速度为a ，则对小箱有221at s =① at v =0② 在这段时间内，传送带经过的位移为t v s 00= ③ 由以上可得s s 20= ④
用f 表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为
202
1mv fx A == ⑤ 传送带克服小箱对它的摩擦力做功2000212mv fx A ⋅
== ⑥ 两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量 202
1mv Q = ⑦ 可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。

T 时间内，电动机输出的功为 T P W = ⑧
此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即
NQ Nmgh Nmv W ++=202
1 ⑨ 已知相邻两小箱的距离为L ，所以 NL T v =0 ⑩
联立⑦⑧⑨⑩，得][22
2gh T
L N T Nm P += ⑾ 做此题时应注意以下几点：①、物体与传送带之间的相对运动只发生在水平段，②、在以上解答过程中⑤⑥两式可以省略，③、小箱数目的计算最容易出错。

6．如图所示，水平传送带AB 长为L ，质量为M 的木块随传送带一起以0v 的速度向左匀速运动（传 送带速度恒定），木块与传送带间的动摩擦因数μ，且满足L g v μ20<。

当木块运动至最左端A 点时，一颗质量为m 的子弹以v 水平向右的速度射入木块并留在其中，求：
（1）子弹击中木块的过程中损失的机械能；
（2）要使木块在传送带上发生相对运动时产生的热量最多，子弹的速度为多少？这个最大热量为多
少？
解析：（1）子弹击中木块的过程中，子弹与木块水平
方向上动量守恒。

m
M Mv mv v v m M Mv mv +-=''+=-00)( ① 损失的机械能为△E ]2[)
(2)(2121200222Mv v mv mv m M M v m M mv E -++=+-=
∆' ② （2）要使木块在传送带上发生相对运动时产生的热量最多，则需要木块滑到右端B 处时，木块相对
地面的速度为零，设木块击中后从A 端运动到B 端的时间为t 1，则有： =-'1at v 0 ③ 21121at t v L -
'= ④ 联解③、④得：L g v μ2=' ⑤
由①、⑤联解得：L g m
m M v m M v μ20++= 木块被子弹击中后从A 运动到B 时速度为零，这个过程中相对皮带所发生位移S 1为：
μg L v L t v L S 20
101+=+= ⑥
以后木块开始向左做匀加速运动，到停止滑动所经历的时间为t 2，这段时间内木块相对皮带发生相对
位移为S 2，则有：
μ
μμg v g v g v v S 222020022=-⋅= ⑦ 全过程中产生最大热量Q 为：
2020021)2(2
)22()()()(L g v m M g v g L v L g m M S S g m M Q μμμμμ++=+++=++= 解答此题时应注意：①、第一问按常规的完全非弹性碰撞模型处理即可，②、L g v μ20<的含义是木块不会从皮带上滑出，③、第二问属临界问题，要使系统产生的热量最多，意味着要块和皮带之间的相对位移最大，④、求相对位移和相对速度时，同向相减，反向相加，
【例题4】 某商场安装了一台倾角为30°的自动扶梯，该扶梯在电压为380V 的电动机带动下以0.4m/s 的恒定速率向斜上方移动，电动机的最大输出功率为 4.9kW 。

不载人时测得电动机中的电流为5A ，若载人时扶梯的移动速率与不载人时相同，则这台自动扶梯可同时乘载的最多人数为 。

(设人的平均质量为60kg ，g=10m/s2)
【点拨解疑】 忽略电动机内阻的热损耗，电动机的输入功率和输出功率相等。

即空载时维持扶梯运行的电功率为 153800=⨯==UI P W
故可用于载送乘客的多余功率为39.19.40=-=-=P P P m kW
扶梯斜向上作匀速运动，故每位乘客受重力mg 和支持力F 作用，且F =mg 。

电动机通过扶梯支持力对人做功，其功率为P ′，
P ′=Fvcosa =mgcos(90°-30°)=120W ，
故同时乘载的最多人数为 .251203000人=='=P P N
点评：本题取自日常社会生活问题，怎样把这个同学们所熟悉的实际问题转化为物理模型，从而运用有关功能关系来解决它，这是一种实际应用能力。

4．图8为推行节水灌溉工程中使用的转动式喷水龙头的示意图。

“龙头”离地面高h m ，将水水平喷出，其喷灌半径为10h m ，每分钟可喷水m kg ，所用的水从地面以下H m 深的井里抽取。

设所用水泵（含电动机）的效率为η，不计空气阻力。

求：⑴水从龙头中喷出时的速度v0 ⑵水泵每分钟对水做的功W ⑶带动该水泵的电动机消耗的电功率P 。

4．解：（1）平抛所用时间为t=
g h
2 ① 水平初速度为v=gh
t h 2510= ②
（2）1min 内喷出水的动能为 Ek=21
mv2=25mgh ③
水泵提水，1min 内水所获得的重力势能为 Ep=mg （H+h ） ④
1min 内水泵对水所做功为 W=Ek+Ep=mg （H+26h ） ⑤ （3）带动水泵的电动机的最小输出功率等于水泵输入功率P=
η60
(H mg + 【例题
1】某地强风的风速是20m/s ，空气的密度是ρ=1.3kg/m 3。

一风力发电机的有效受风面积为S =20m 2，如果风通过风力发电机后风速减为12m/s ，且该风力发电机的效率为η=80%，则该风力发电机的电功率多大？
【点拨解疑】 风力发电是将风的动能转化为电能，讨论时间t 内的这种转化，这段时间内通过风力发电机的空气 的空气是一个以S 为底、v 0t 为高的横放的空气柱，其质量为m=ρSv 0t ，它通过风力发电机所减少的动能用以发电，设电功率为P ，则
代入数据解得 P =53kW。