高中数学点线对称问题(精选.)

答案：B
2.曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是
A.y2=8－4x
B.y2=4x－8
C.y2=16－4x
D.y2=4x－16
解析：设曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线为 C，在曲线 C 上任取一点 P（x，y），则 P（x，y）关
于直线 x=2 的对称点为 Q（4－x，y）.因为 Q（4－x，y）在曲线 y2=4x 上，
答案：（5，6） 10.已知△ABC 的一个顶点 A（－1，－4），∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别为 l1：y+1=0，l2： x+y+1=0，求边 BC 所在直线的方程. 解：设点 A（－1，－4）关于直线 y+1=0 的对称点为 A′（x1，y1），则 x1=－1，y1=2×（－1）－（－ 4）=2，即 A′（－1，2）. 在直线 BC 上，再设点 A（－1，－4）关于 l2：x+y+1=0 的对称点为 A″（x2，y2），则有
即 (4 0)2 (5 3)2 =4 5 .
所以 ymin=4 5 .
12.直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若 A、B 坐标分别为 A（－4，2）、B（3，1），求点 C 的坐标，并判断△ABC 的形状.
解：由题意，点 A 关于直线 y=2x 的对称点 A′在 BC 所在直线上，设 A′点坐标为（x1，y1），则 x1、y1 满足
y y0 ·k=－1， x x0
可求出 x′、y′.
y y0 =k· x x0 +b，
2
2
特殊地，点 P（x0，y0）关于直线 x=a 的对称点为 P′（2a－x0，y0）；点 P（x0，y0）关于直线 y=关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可
word.
y M2
Q
M l
P M1
O
x
解：由点 M（3，5）及直线 l，可求得点 M 关于 l 的对称点 M1（5，1）.同样容易求得点 M 关于 y 轴
的对称点 M2（－3，5）.
据 M1 及 M2 两点可得到直线 M1M2 的方程为 x+2y－7=0.
令 x=0，得到 M1M2 与 y 轴的交点 Q（0， 7 ）. 2
知，P 与 P′的坐标满足
y y0 ·k=－1，
x x0
从中解出 x0、y0，
y0 y =k· x0 x +b，
2
2
代入已知曲线 f（x，y）=0，应有 f（x0，y0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线 f（x，y）=0 关于直线 y=kx+b
的对称曲线方程.
4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：
x0 2 3
55
2 ( 8) 3 4
5
5
即 2x+11y+16=0.
方法二：设直线 b 上的动点 P（x，y）关于 l：3x+4y－1=0 的对称点 Q（x0，y0），则有
3× x x0 +4× y y0 －1=0，
2
2
y y0
4 =.
x x0 3
解得 x0= 7x 24 y 6 ，y0= 24x 7 y 8 .
何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对
坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.
【例 2】 光线从点 A（－3，4）发出，经过 x 轴反射，再经过 y 轴反射，光线经过点
B（－
2，6），求射入 y 轴后的反射线的方程.
剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.
【例 3】 已知点 M（3，5），在直线 l：x－2y+2=0 和 y 轴上各找一点 P 和 Q，使△MPQ 的周长最小.
剖析：如下图，作点 M 关于直线 l 的对称点 M1，再作点 M 关于 y 轴的对称点 M2，连结 MM1、MM2， 连线 MM1、MM2 与 l 及 y 轴交于 P 与 Q 两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ 的周长 最小.
解方程组
x+2y－7=0， x－2y+2=0，
得交点
P（
5 2
，
9 4
）.
故点 P（ 5 ， 9 ）、Q（0， 7 ）即为所求.
24
2
评述：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.
深化拓展
恰当地利用平面几何的知识解题. 不妨再试试这个小题：已知点 A（1，3）、B（5，2），在 x 轴上找一点 P，使得|PA|+|PB|最小，则最小 值为____________，P 点的坐标为____________.
答案：C
7.与直线 x+2y－1=0 关于点（1，－1）对称的直线方程为
A.2x－y－5=0
B.x+2y－3=0
C.x+2y+3=0
D.2x－y－1=0
解析：将 x+2y－1=0 中的 x、y 分别代以 2－x，－2－y，得（2－x）+2（－2－y）－1=0，即 x+2y+3=0.
故选 C.
答案：C
9.直线 2x－y－4=0 上有一点 P，它与两定点 A（4，－1）、B（3，4）的距离之差最大，则 P 点的坐标 是____________.
解析：易知 A（4，－1）、B（3，4）在直线 l：2x－y－4=0 的两侧.作 A 关于直线 l 的对称点 A1（0，1）， 当 A1、B、P 共线时距离之差最大.
答案： 41 （ 17 ，0） 5
【巩固练习】
1.已知点 M（a，b）与 N 关于 x 轴对称，点 P 与点 N 关于 y 轴对称，点 Q 与点 P 关于直线 x+y=0 对
称，则点 Q 的坐标为
A.（a，b）
B.（b，a）C.（－a，－b）
D.（－b，－a）
解析：N（a，－b），P（－a，－b），则 Q（b，a）．
所以 y2=4（4－x），即 y2=16－4x.
答案：C
3.已知直线 l1：x+my+5=0 和直线 l2：x+ny+p=0，则 l1、l2 关于 y 轴对称的充要条件是
A. 5 = p mn
B.p=－5 C.m=－n 且 p=－5
D. 1 =－ 1 且 p=－5 mn
解析：直线 l1 关于 y 轴对称的直线方程为（－x）+my+5=0，即 x－my－5=0，与 l2 比较， ∴m=－n 且 p=－5.反之亦验证成立.
选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：
（1）曲线 f（x，y）=0 关于已知点 A（a，b）的对称曲线的方程是 f（2a－x，2b－y）=0.
（2）曲线 f（x，y）=0 关于直线 y=kx+b 的对称曲线的求法：
设曲线 f（x，y）=0 上任意一点为 P（x0，y0），P 点关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′（x，y），则由（2）
答案：C
4.点 A（4，5）关于直线 l 的对称点为 B（－2，7），则 l 的方程为____________.
解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.
答案：3x－y+3=0
5.设直线 x+4y－5=0 的倾斜角为θ，则它关于直线 y－3=0 对称的直线的倾斜角是____________.
解析：数形结合.
8.两直线 y= 3 x 和 x=1 关于直线 l 对称，直线 l 的方程是____________. 3
解析：l 上的点为到两直线 y= 3 x 与 x=1 距离相等的点的集合，即 | x 3y | =｜x－1｜，化简得 x+ 3 y
3
1 ( 3)2
－2=0 或 3x－ 3 y－2=0.
答案：x+ 3 y－2=0 或 3x－ 3 y－2=0
25
25
Q（x0，y0）在直线 a：2x+y－4=0 上，
则 2× 7x 24 y 6 + 24x 7 y 8 －4=0，
25
25
化简得 2x+11y+16=0 是所求直线 b 的方程.
方法三：设直线 b 上的动点 P（x，y），直线 a 上的点 Q（x0，4－2x0），且 P、Q 两点关于直线 l：3x+4y －1=0 对称，则有
答案：π－θ
word.
6.已知圆 C 与圆（x－1）2+y2=1 关于直线 y=－x 对称，则圆 C 的方程为
A.（x+1）2+y2=1
B.x2+y2=1
C.x2+（y+1）2=1
D.x2+（y－1）2=1
解析：由 M（x，y）关于 y=－x 的对称点为（－y，－x），
即得 x2+（y+1）2=1.
| 3x 4y 1| = | 3x0 4(4 2x0 ) 1| ，
5
5
y (4 2x0 ) = 4 .
x x0
3
消去 x0，得 2x+11y+16=0 或 2x+y－4=0（舍）. 评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与，除了点 E 外，分别找出确定直线位置的
另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法二与方法三是利用直线上动点的几
对称问题专题
【知识要点】
1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点 坐标公式的应用问题.
设 P（x0，y0），对称中心为 A（a，b），则 P 关于 A 的对称点为 P′（2a－x0，2b－y0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立 方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点 P（x0，y0）关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′（x′，y′），则有
AB⊥l，并且 AB 的中点 D 在 l 上；（3）a 以 l 为轴旋转 180°，一定与 b 重合.使用这些性质，可以找出直
线 b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线
方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.
解：由
2x+y－4=0， 解得 3x+4y－1=0，
【例 1】 求直线 a：2x+y－4=0 关于直线 l：3x+4y－1=0 对称的直线 b 的方程.
剖析：由平面几何知识可知若直线 a、b 关于直线 l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若 a、b 相交，
则 l 是 a、b 交角的平分线；（2）若点 A 在直线 a 上，那么 A 关于直线 l 的对称点 B 一定在直线 b 上，这时
解：∵A（－3，4）关于 x 轴的对称点 A1（－3，－4）在经 x 轴反射的光线上， 同样 A1（－3，－4）关于 y 轴的对称点 A2（3，－4）在经过射入 y 轴的反射线上，
∴k
A2 B
=
64 23
=－2.
故所求直线方程为 y－6=－2（x+2），
即 2x+y－2=0.
评述：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.
a
与
l
的交点
E（3，－2），E
点也在
b
上
word.
方法一：在直线 a：2x+y－4=0 上找一点 A（2，0），设点 A 关于直线 l 的对称点 B 的坐标为（x0，y0），
3× 2 x0 +4× 0 y0 －1=0，
2
2
由 y0 0 = 4 ，解得 B（ 4 ，－ 8 ）.由两点式得直线 b 的方程为 y (2) = x 3 ，
y1 2 =－ 1 ，即 x1=－2y1.
①
x1 4 2
y1 2 =2· x1 4 ，即 2x1－y1－10=0.
②
2
2
解①②两式组成的方程组，得
x1=4， y1=－2.
∴BC 所在直线方程为 y 1 = x 3 ， 21 43
y2 4 ×（－1）=－1， x2 1
x2
1 +
y2
4
+1=0.
2
2
x2=3， 解得 y2=0，
即 A″（3，0）也在直线 BC 上，由直线方程的两点式得 y 2 = x 1 ，即 x+2y－3=0 为边 BC 所在直 0 2 31
线的方程.
【能力提高】
11.求函数 y= x 2 9 + x 2 8x 41 的最小值.
（1）点（x，y）关于 x 轴的对称点为（x，－y）；
（2）点（x，y）关于 y 轴的对称点为（－x，y）；
（3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）；
（4）点（x，y）关于直线 x－y=0 的对称点为（y，x）；
（5）点（x，y）关于直线 x+y=0 的对称点为（－y，－x）.
【典型例题】
解：因为 y= (x 0)2 (0 3)2 + (x 4)2 (0 5)2 ，
word.
所以函数 y 是 x 轴上的点 P（x，0）与两定点 A（0，3）、B（4，3）距离之和. y 的最小值就是|PA|+|PB|的最小值. 由平面几何知识可知，若 A 关于 x 轴的对称点为 A ′（0，－3）， 则|PA|+|PB|的最小值等于|A′B|，