抽象函数的性质问题解析(数学)
抽象函数问题解法
抽象函数问题解法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。
它与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等函数性质联系在一起，具有很强的抽象性。
这类问题主要考查数学思想方法的运用能力，以及对数学语言以及符号的阅读理解能力。
本文结合具体问题分类剖析这类问题的求解策略。
一、利用函数性质的解题思想函数性质是反映函数特征的主要途径，充分利用题设条件中已表明或隐含的函数性质，选择适当的方法解决抽象函数问题。
1.利用对称性，数形结合例1：已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。
策略：由f（2+x）= f（2-x）可知是函数图像关于直线x=2对称。
又f（x）=0四个根按由小到大的顺序可设为x1、x2、x3、x4，则x1+x4=2×2=4，x2+x3=2×2=4，∴x1+x2+x3+x4=8。
2. 利用奇偶性分析函数特征例2：已知函数f（x）=ax+bsinx+3，且f（-3）=7，求f（3）的值。
策略：注意到g（x）=ax+bsinx=f（x）-3是奇函数，可得g（-3）= -g（3），即f（-3）-3= -[f（3）-3]，f（3）=6-f（-3）= -1。
3. 利用单调性等价转化例3：已知奇函数f（x）在定义域（－１，1）上是减函数，试求满足不等式f（１－a）+f（1-a2）4.利用周期性研究函数特征例4：已知f（x）是定义在正整数集上的函数，对任意正整数x 都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），且f（1）=2002，求f（2002）。
分析：根据x的任意性，判断函数的周期。
略解：由f（x）=f（x-1）+f（x+1），可得：f（x+3）=-f（x）。
∴f（x+6）=-f（x+3）=[-f（x）]=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，∴f（2002）=f（333×6+4）=f（４）＝f（３＋１）＝－f（１）＝－２００２。
压轴题型03 抽象函数问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题03抽象函数问题抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。
考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。
本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。
由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
○热○点○题○型1定义域问题解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。
○热○点○题○型2求值问题通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。
○热○点○题○型3值域问题○热○点○题○型4解析式问题通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
○热○点○题○型5单调性与奇偶性问题○热○点○题○型6周期性与对称性问题○热○点○题○型7几类抽象函数解法(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）2.赋值法（令0=x 或1，求出)0(f 或)1(f 、令x y =或x y -=等等）（2）几种抽象函数模型：1.正比例函数：)0()(≠=k kx x f ——————————)()()(y f x f y x f ±=±；2.幂函数：2)(x x f =——————————————)()()(y f x f xy f =，)()()(y f x f y x f =；注：反比例函数：1)(-=x x f 一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模型写成反比例函数模型。
3.指数函数：x a x f =)(———————————)()()(y f x f y x f =+，)()()(y f x f y x f =-4.对数函数：x x f a log )(=————————)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f yxf -=5.三角函数：x x f tan )(=————————————)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+6.余弦函数：x x f cos )(=———————)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++一、单选题1．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()102f xy f x f y +--=，若一组平行线()1,2,...,i x x i n ==分别与()y f x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，...，(),n n x y ,且()2121n i i x x f -+=⎡⎤⎣⎦，其中1,2,...,i n =，则1nii y n==∑A ．1B ．12C ．2nD ．2n 【答案】B【分析】令1x y ==得到()112f =；令1,n i i x x y x -+==得到()()11n i i f x f x -++=，代入计算得(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018【答案】D【分析】根据递推式可得(6)()6f x f x +-=，再由(2016)f =[(2016)(2010][(2010)(2004)]......[(6)(0)](0)f f f f f f f -+-++-+即可得答案.【详解】解：(2)()2,f x f x +-≤ (4)(2)2,f x f x ∴+-+≤(6)(4)2f x f x ∴+-+≤三是相加得：(6)()6f x f x +-≤，又(6)()6f x f x +-≥，则(6)()6f x f x +-=，当且仅当(2)()2f x f x +-=时等号成立，(2016)f =[(2016)(2010][(2010)(2004)]......[(6)(0)](0)f f f f f f f -+-++-+633622018=⨯+=，故选：D.3．已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，()21f x -是偶函数，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线=1x -对称B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称C ．()31f -=D ．()f x 的一个周期为8【答案】C【分析】根据()31f x +是奇函数，可得()()20f x f x +-+=，判断B;根据()21f x -是偶函数，推出()()2f x f x --=，判断A;继而可得()()4f x f x +=-，可判断D ；利用赋值法求得(1)0f =，根据对称性可判断C.【详解】由题意知()31f x +是奇函数，即()()()()3131,11f x f x f x f x -+=-+∴-+=-+，即()()2f x f x -+=-，即()()20f x f x +-+=，故()f x 的图象关于点(1,0)对称，B 结论正确；又()21f x -是偶函数，故()()()()2121,11f x f x f x f x --=-∴--=-，即()()2f x f x --=，故()f x 的图象关于直线=1x -对称，A 结论正确；由以上可知()()()22f x f x f x =--=--+，即()()22f x f x -=-+，所以()()4f x f x +=-，则()()4()8x x f f f x =-=++，故()f x 的一个周期为8，D 结论正确；由于()()3131f x f x -+=-+，令0x =，可得(1)(1),(1)0f f f =-∴=，而()f x 的图象关于直线=1x -对称，故()30f -=，C 结论错误，故选：C【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.4．已知定义在R 上的函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，若()()4g x f x =-是奇函数，且()40g =,则不等式()0f x ≤的解集是A ．(](],84,0-∞-⋃-B ．[)[)8,40,--⋃+∞C ．[][)8,40,--⋃+∞D ．[]8,0-【答案】C【详解】∵()()4g x f x =-是奇函数，∴函数()()4g x f x =-图象的对称中心为（0,0），∴函数()f x 图象的对称中心为()4,0-.又函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，∴函数()f x 在()4,-+∞上为减函数，且()()400f g -==.∵()()400g f ==，∴()80f -=．画出函数()f x 图象的草图（如图）．结合图象可得()0f x ≤的解集是[][)8,40,--⋃+∞．选C ．点睛：本题考查抽象函数的性质及利用数形结合求不等式的解集．解题时要从函数()f x 的性质入手，同时也要把函数()()4g x f x =-的性质转化为函数()f x 的性质，进一步得到函数()f x 的单调性和对称性，进而画出其图象的草图，根据图象写出不等式的解集．其中在解题中不要忘了()f x 是定义在R 上的函数，故应该有()()400f g -==这一结论，即函数()f x 的图象中要有()4,0-这一个点．5．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,014211,14xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（）A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多选题(共0分)6．下列说法中错误的为（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1B ．若(121f x =+，则()[)2243,1,f x x x x ∞=++∈+C ．函数的421x x y =++值域为：1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．已知()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[]3,2--7．若定义在R 上的函数()f x 满足：（ⅰ）存在R a +∈，使得()0f a =；（ⅱ）存在R b ∈，使得()0f b ≠；（ⅲ）任意12,R x x ∈恒有()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=．则下列关于函数()f x 的叙述中正确的是（）A ．任意x ∈R 恒有()()4f x a f x +=B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[]0,a 上是减函数D ．函数()f x 最大值是1，最小值是-18．已知的定义域为R ，且对任意，有1f x f y f x y ⋅=+-，且当1x >时，()1f x >，则（）A ．()11f =B ．()f x 的图象关于点()()1,1f 中心对称C ．()f x 在R 上不单调D ．当1x <时，()01f x <<故选：AD9．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：①()0,x ∀∈+∞，()()55f x f x =；②当(]1,5x ∈时，()5f x x =-，则（）A ．105f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．m Z ∀∈，()30mf =C ．函数()f x 的值域为[)0,∞+D ．n Z ∃∈，()512019nf +=10．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()1f x y f x f y +=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()312f x f x f +++=，()()24f x f x -=+，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是周期函数B ．1(2022)2f =C ．()f x 的图象关于1x =对称D ．200111002k k f k =⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑可得())1(3f x f x +=－，从而可得()f x 是周期为4的周期函数，是解决本题的关键.12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，其导函数分别为()f x '，()g x '．若()()32f x g x -+=，()()1f x g x ''=+，且()()20g x g x -+=，则（）A ．函数()2g x +为偶函数B ．函数()f x 的图像关于点()2,2对称C ．()202410i g n ==∑D ．()202414048i f n ==-∑【答案】ACD【分析】由()()1f x g x ''=+，可设()()()1,R f x a g x b a b +=++∈，，由()()32f x g x -+=，得()()321g x a g x b --+=++，赋值1x =，则有2a b -=，即()()31g x g x -=+，函数()g x 的图像关于直线2x =对称，又()()20g x g x -+=得()()4g x g x =+，()f x 也是周期为4的函数，通过赋值可判断选项【详解】因为()()1f x g x ''=+，所以()()()1,R f x a g x b a b +=++∈．又因为()()32f x g x -+=，所以()()23f x g x +=-．于是可得()()321g x a g x b --+=++，令1x =，则()()31211g a g b --+=++，所以2a b -=．所以()()31g x g x -=+，即函数()g x 的图像关于直线2x =对称，即()()4g x g x -=+．因为()()20g x g x -+=，所以函数()g x 的图像关于点()1,0对称，即()()20g x g x ++-=，所以()()24g x g x +=-+，即()()2g x g x =-+，于是()()4g x g x =+，所以函数()g x 是周期为4的周期函数．因为函数()g x 的图像关于直线2x =对称，所以()2g x +的图像关于y 轴对称，所以()2g x +为偶函数，所以A 选项正确．将()g x 的图像作关于y 轴对称的图像可得到()y g x =-的图像，再向右平移3个单位长度，可得到()()33y g x g x =--=-⎡⎤⎣⎦的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到()()32g x f x --=的图像，因此函数()f x 也是周期为4的函数．又()g x 的图像关于点()1,0对称，所以()f x 的图像关于点()2,2-对称，所以B 选项不正确．因为()()20g x g x -+=，令1x =，得()()110g g +=，即()10g =，所以()()130g g ==；令0x =，得()()200g g +=，所以()()240g g +=，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()202410i g n ==∑，所以C 选项正确．因为()()32f x g x =--，所以()()0322f g =-=-，()()2122f g =-=-，()()122f g =-，()()302f g =-，()()402f f ==-，则有()()()()()()()123422202f f f f g g +++=-+-+-()28+-=-，可得()202414048i f n ==-∑，所以D 选项正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：一般地，若函数的图像具有双重对称性，则一定可以得到函数具有周期性，且相邻的两条对称轴之间的距离为半个周期；相邻的两个对称中心之间的距离也是半个周期；相邻的一条对称轴和一个对称中心之间的距离为四分之一个周期．三、填空题13．下列命题中所有正确的序号是__________.①函数1()3x f x a -=+(1a >)在R 上是增函数；②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)；③已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则(2)8f =-；④11()122x f x =--为奇函数.⑤函数()f x =[]0,4（3）构造奇函数求对应的函数值；（4）定义法判断函数奇偶性；（5）直接法求具体函数的值域.14．给出下列四个命题：①函数与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根；其中正确命题的序号是_____________．（填上所有正确命题的序号）【答案】③⑤【详解】试题分析：①因为函数的定义域为R ，函数的定义域为{}|>0x x ，所以函数与函数不表示同一个函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点，此命题错误，若奇函数在x=0处没定义，则奇函数的图像就不过原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；，正确．④因为函数的定义域为，所以0<2<2,0<x<1x 即，所以函数的定义域为[0,1]；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根，正确．考点：函数的定义；奇函数的性质；图像的变换；抽象函数的定义域；函数零点存在性定理．点评：此题考查的知识点较多，较为综合，属于中档题．抽象函数的有关问题对同学们来说具有一定的难度，特别是求函数的定义域，很多同学解答起来总感棘手，鉴于此，我们在学习时要善于总结．①已知的定义域求的定义域，其解法是：若的定义域为，则在中，，从中解得x 的取值范围即为的定义域；②已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域．15．已知函数()241f x x -+-的定义域为[]0,m ，则可求得函数()21f x -的定义域为[]0,2,求实数m 的取值范围__________.【答案】[]24，【详解】 函数()21f x -的定义域为[]0,2，02,1213x x ∴≤≤∴-≤-≤，令241t x x =-+-,则13t -≤≤，由题意知，当[]0,x m ∈时，[]1,3t ∈-，作出函数241t x x =-+-的图象，如图所示，由图可得，当0x =或4x =时，1t =-，当2x =时，3,24t m =∴≤≤，时[]1,3t ∈-，∴实数m 的取值范围是24m ≤≤，故答案为24m ≤≤.16．给出下列说法：①集合{}1,2,3A =，则它的真子集有8个；②2(),((0,1))f x x x x=+∈的值域为(3,)+∞；③若函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数(2)()2f xg x x =-的定义域为[)0,2；④函数()f x 的定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，则当0x <时，()1f x x =-⑤设53()=5f x ax bx cx +++（其中,,a b c 为常数，x R ∈），若(2012)3f -=-，则(2012)13f =；其中正确的是_______（只写序号）．【答案】②⑤【详解】试题分析：①集合{1,2,3}A =，则它的真子集有个；③由函数()f x 的定义域为[0,2]得：，解得；④设，则,所以，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x =-；⑤设g(x)=,则g(x)是奇函数且()f x =g(x)+5，因为(2012)3f -=-，所以，所以．考点：本题考查真子集的性质、抽象函数的定义域、函数的奇偶性．点评：此题主要考查集合子集个数的计算公式、函数的奇偶性和抽象函数定义域的求法，是一道基础题，若一个集合的元素个数为n ，则其子集的个数为2n ，真子集的个数为2n -1个．17．函数()f x 满足()11f x f x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭对任意[)0,x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有(){},0f y y f x x a A =≤≤=，则a 的取值范围为___________.18．对任意集合M ，定义()0,M f x x M⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-ð；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅ ；（4）()()1()[2S S T T f x f x f x ++= （其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）19．设()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________.R ，对任意的都有且当0x ≥时，则不等式()0xf x <的解集为__________．【答案】(2,0)(0,2)- 【详解】当0x ≥时，由()220f x x x =->，得2x >；由()220f x x x =-<，得02x <<.∵()()f x f x -=-，∴函数()f x 为奇函数．∴当0x <时，由()220f x x x =->，得20x -<<；由()220f x x x =-<，得2x <-.不等式()0xf x <等价于()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x <⎧⎨>⎩，解得02x <<或20x -<<．∴不等式()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃．答案：()()2,00,2-⋃21．已知函数21,0()21,0,x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_____．【答案】01a <<【分析】采用数形结合的方法，由2()()0f x af x -=确定有两个解()0f x =或()f x a =，在通过图象确定a 的范围．【详解】由2()()0f x af x -=得()0f x =或()f x a =，如图，作出函数()f x 的图象，由函数图象，可知()0f x =的解有两个，故要使条件成立，则方程()f x a =的解必有三个，此时0<a <1．所以a 的取值范围是(0,1)．故答案为：01a <<.22．已知函数()f x 满足1(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有个零点，则实数a 的取值范围是______________．【答案】所以可得132a log ≥+（），∴实数a 的取值范围是[5+∞，）．故答案为[5+∞，）．考点：函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系【名师点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．四、双空题23．设函数()f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足()01f =，()10f =，对任意的x ，y ∈Z 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，则()3f =______；()()()()22222122023122023f f f f 2++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+______．五、解答题24．已知()f x 定义域为R 的函数，S ⊆R ，若对任意1212,,x x x x S ∈-∈R ，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．(1)判断函数()()12112f x xg x x =-=-、是否是[)1,+∞关联，并说明理由：(2)若()f x 是{}2关联，当[)0,2x ∈时，()2f x x x =-，解不等式：()02f x ≤≤；(3)判断“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的什么条件?试证明你的结论．25．设函数(),f x x x M=⎨-∈⎩其中P ，M 是非空数集．记f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析【解析】(Ⅰ)求出f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，由此能过求出f(P)∪f(M)．(Ⅱ)由f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，得到当x＜0时，f(x)＜0，(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．由此能求出P，M．(Ⅲ)假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．证明0∈P∪M．推导出f(﹣x0)＝﹣x0，且f(﹣x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”是真命题．【详解】(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，所以f(P)∪f(M)＝[0，+∞)．(Ⅱ)因为f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，所以当x＜0时，f(x)＜0，所以(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．因为P∩M＝∅，所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．(Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，则0∉f(P)，且0∉f(M)，即0∉f(P)∪f(M)，这与f(P)∪f(M)＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f(P)，且﹣x0∉f(M)．因为f(P)∪f(M)＝R，所以﹣x0∈f(P)，且x0∈f(M)．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f(-x0)＝﹣x0，且f(-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．26．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =.若对任意的[],1,1m n ∈-，0m n +≠都有()()0f m f n m n+>+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在定义域上为增函数；（2）若()()214f a f a +>，求a 的取值范围；（3）若不等式()()122f x a t ≤-+对所有的[]1,1x ∈-和[]1,1a ∈-都恒成立，求实数t 的取值范围.于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成()()()()f g x f h x ≥后再利用单调性和定义域列不等式组.27．已知函数()f x ，若存在非零实数a ､b ，使得对定义域内任意的x ，均有()f x a +=()f x b +成立，则称该函数()f x 为阶梯周期函数.（1）判断函数()[]|sin |()f x x x x π=+∈R 是否为阶梯周期函数，请说明理由.(其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3,5]4-=-，[2,1]2=)（2）已知函数()g x ，x ∈R 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称.①求证：函数()g x 为阶梯周期函数；②当[0,4]x ∈时，()[,]g x p q ∈(p ､q 为实数)，求函数()g x 的值域.【答案】（1）是，理由见解析；（2）①证明见解析；②[4,4]n p n q ++，n ∈Z .【解析】（1）根据阶梯周期函数的定义求解判断.（2）①根据函数()g x 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称，得到()()()()2064g x g x g x g x ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩求解.②根据①的结论，分[]()4,44,x n n n N ∈+∈和[]()4,44,x n n n N ∈--+∈两种情况讨论求解.【详解】（1）因为()()(1)[1]|sin 1|[]1|sin |1f x x x x x f x ππ+=+++=++=+,所以存在1,1a b ==,使得函数()f x 为阶梯周期函数（2）①因为函数()g x 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称，所以()()()()2064g x g x g x g x ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩，两式相减得：()()624g x g x +-+=，即()()44g x g x +=+所以函数()g x 为阶梯周期函数；②当[]()4,44,x n n n N ∈+∈时，[]40,4x n -∈，由()()44g x g x +=+，得()()()444242...g x g x g x =-+=-⨯+⨯=()[]()444,4g x n n n p n q n N =-+∈++∈，当[]()4,44,x n n n N ∈--+∈时，[]40,4x n +∈，由()()44g x g x +=+，得()()()444242...g x g x g x =+-=+⨯-⨯=()[]()444,4g x n n n p n q n N =+-∈-+-+∈，综上：函数()g x 的值域是[4,4]n p n q ++n ∈Z .【点睛】关键点点睛：本题关键是阶梯周期函数定义的理解以及()f x 若关于点(),a b 对称，则()()22f x f a x b -++=结合应用.28．已知函数()f x 对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，(1)f -的值；（2）当34x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；（3）设函数2()()3()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．29．已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称()f x 为“S -函数”.（1）判断函数()1f x x =，()23xf x =是否是“S -函数”；（2）若()3tan f x x =是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对(),a b ；（3）若定义域为R 的函数()f x 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对()0,1和()1,4，当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，求当[]2018,2018x ∈-时函数()f x 的值域.1(1)3f =-.（1）求证()f x 是奇函数；（2）求()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值.【答案】（1）详见解析；（2）最小值-1，最大值1.【分析】（1）利用赋值法,令0x =,0y =代入函数式,可求得(0)f ,再令y x =-代入函数式,即可31．已知函数的定义域为，且同时满足①13f =；②2f x ≥恒成立，③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥．（1）试求函数()f x 的最大值和最小值；（2）试比较f （12n）与122n +（n ∈N ）的大小．（3）某人发现：当12nx =（n ∈N ）时，有()22f x x <+，由此他提出猜想：对一切x ∈（0，1]，都有()22f x x <+，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．32．已知，1,2,n 是定义在M 上的一系列函数，满足：()1f x x =，()()11i i x f x f i x ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭N .(1)求()()()234,,f x f x f x 的解析式；(2)若()g x 为定义在M 上的函数，且()11x g x g x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.①求()g x 的解析式；②若方程()()()()222121318420x m x x g x x x x x ---++++++=有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.都有()()f x s f x s +-=，则称()y f x =是S -关联的.(1)判断函数2y x =和函数[]y x =是否是{1}-关联的，无需说明理由.（[]x 表示不超过x 的最大整数）(2)若函数()y f x =是{2}-关联的，且在[0,2)上，()2x f x =，解不等式2()4f x <<.(3)已知正实数,a b 满足a b <，且函数()y f x =是[,]a b -关联的，求()f x 的解析式.【答案】(1)函数2y x =不是{1}-关联的，函数[]y x =是{1}-关联的；(2)(1,3)x ∈(3)()f x x C=+【分析】（1）根据()y f x =是S -关联的定义逐个判断可得结果；（2）根据函数()y f x =是{2}-关联的定义求出()f x 在[2,4)上的解析式，将()f x 代入2()4f x <<可解得结果；（3）根据()()f x t f x t +-=，得()()()f x t x t f x x +-+=-，令()()g x f x x =-，得()()g x t g x +=34．已知定义域为的函数y f x =满足：①对0,x ∈+∞，恒有22f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.(1)求18f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求出当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈时的函数解析式；(3)求出方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和.【答案】(1)0；35．f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（Ⅰ）求a、b的值，并写出切线l的方程；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）x﹣y﹣2=0（Ⅱ）（﹣，0）【详解】试题分析：（I）利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可．（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x1，x2与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x ﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围．解：（I）f'（x）=3x2+4ax+b，g'（x）=2x﹣3．由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．由此得，解得，所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0．（II）由（I）得f（x）=x3﹣4x2+5x﹣2，所以f（x）+g（x）=x3﹣3x2+2x．依题意，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2，故x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣．又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）＜m（x1﹣1）成立，得m＜0．由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2﹣m＞0．故0＜x1＜x2．对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x2≤0，x﹣x1≥0，x＞0．则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x1）（x﹣x2）≤0，又f（x1）+g（x1）﹣mx1=0．所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0．于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）．点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想．。
重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
10 第二章 微专题 抽象函数的性质
THANKS
(3)如果f (x＋a)＋f (x)＝c(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
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微专题 抽象函数的性质
类型三 抽象函数的奇偶性和对称性
【例3】已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋6)＝f (x)，y＝f (x＋3)为偶函数．若
f (x)在(0，3)内单调递减，则下面结论正确的是( )
D．c>b>a
A
解析：因为∀x1，x2∈(－∞，0]且x1≠x2时，有f
x1 －f
x1－x2
x2 >0，
所以函数f (x)在(－∞，0]上单调递增．
由f (x)为偶函数，得函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减．
因为0<sin 3<1，1<ln 3<2，21.5＞2，f
ln
1 3
＝f (－ln 3)＝f (ln 3)，
所以f (sin 3)>f (ln 3)>f (21.5)，即a>b>c.
微专题 抽象函数的性质
思维建模 比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转 化到同一单调区间上，进而利用函数单调性比较大小．
微专题 抽象函数的性质
类型二 抽象函数的周期性 【例2】(2022·新高考全国Ⅱ卷)若函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f
22
所以∑ f k ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3.故选A．
k=1
微专题 抽象函数的性质
思维建模
抽象函数的周期
(1)如果f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
抽象函数常见考题及解析
Email:2463451976抽象函数常见考题及解析四川省南充市李渡中学 雍兴灵抽象函数在中学数学教材中虽没有单独的章节，但在高考试卷中却常考常新.下面是笔者整理的近年考题中常见的抽象函数问题，供高三复习时参考.一、求定义域求抽象函数的定义域要注意中间变量的等同性，如在1(())f g x ，2(())f g x 中，1()g x 与2()g x 的值域相同. 例1 （13.大纲卷.理）已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x +的定义域为A.()1,1-B.11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.()1,0-D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭ 解：由已知条件得，1210x -<+<，解得112x -<<-，∴选B . 二、求函数值(域)赋值、迭代是解抽象函数问题的常见方法．例2 (08.四川)设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x +=，若(1)2f =，则(99)f =A ．13B ．2C ．132D ．213解：∵()(2)13f x f x ⋅+=，∴()0f x ≠，且(2)(4)13f x f x +⋅+=，∴(4)()f x f x +=，即()f x 是以4为周期的周期函数． ∴1313(99)(3424)(3)(1)2f f f f =+⨯===．∴选C ． 例 3 (08.陕西)定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于A ．2B ．3C ．6D ．9解：由()()()2f x y f x f y xy +=++得：(0)(0)(0)0f f f =++，∴0)0(=f .由(0)(1)(1)2f f f =+--得，∴(1)0f -=，∴(2)(1)(1)22f f f -=-+-+=；∴(3)(2)(1)46f f f -=-+-+=. ∴选C.说明：①以上两例着重考查抽象函数的性质．②以上两例看似很难，实为抽象函数问题中的常规题型． 例4 (08.江西.理)若函数()y f x =的值域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()1()F x f x f x =+的值域是 A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，310] 解：由132y ≤≤得：()12F x y y=+≥(当且仅当1y =时取“=”)，∴()F x 的最小值为2，∴选B . 说明：①本题可用函数1y y +在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增求()F x 的值域.②本题最易出错的是：由1()32f x ≤≤得1123()f x ≤≤，从而()5156()f x f x ≤+≤，于是陷入绝路.三、求解析式求抽象函数的解析式，常用的方法有换元法、构造法、拼凑法等，并要求在结果中要注明定义域. 例5 (08.安徽)若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f << 解:由已知条件知：()()f x f x -=-，()()g x g x -=，∵()()x f x g x e -=，…………①∴()()x f x g x e ----=，即()()x f x g x e -+=-，………② 由①、②得：()2x x e e f x --=，()02x xe e g x -+=-<. 显然，)(xf 是增函数，∴(3)(2)(0)0(0)f f fg >>=>，∴选D.四、解不等式解与抽象函数有关的不等式，一般要根据其特性作出简图，以帮助探索解题思路.例6 (08.全国Ⅰ卷)设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为 A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，， C ．(1)(1)-∞-+∞，， D.(10)(01)-，， 解：由()f x 是奇函数得：()()2()0f x f x f x x x --=<；由(1)0f =得：(1)(1)0f f -=-=. ∵()f x 在(0)+∞，上为增函数，∴当0x >时，()0(1)f x f <=，∴01x <<； 当0x <时，()0(1)f x f >=-，又条件知()f x 在(,0)-∞上也是增函数，∴10x -<<.∴不等式的解集为(10)(01)-，，，∴选项D.说明：本题考查与抽象函数有关的不等式的解法，考查数形结合、分类讨论思想及推理和运算能力. 例7 (15.全国Ⅱ卷)设函数()f x '是奇函数()(R)f x x ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是A .(,1)(0,1)-∞-B .(1,0)(1,)-+∞C .(,1)(1,0)-∞--D .(0,1)(1,)+∞ 解：令函数()()f x F x x =，则2()()()xf x f x F x x '-'=. ∵()f x 是奇函数，(1)0f -=，∴()F x 是偶函数，(1)(1)0F F =-=.∵当0x >时，()()0xf x f x '-<，∴当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增. 由数形结合易知，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，∴选A ．说明：本题考查导数的应用与抽象函数等知识，考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法，同时考查学生的创新意识和运算能力.五、奇偶性与周期性解答与抽象函数有关的奇偶性与周期性问题,常用的方法是赋值、迭代等.例8 (07.安徽)定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为A ．0B ．1C ．3D ．5解：∵)(x f 是定义在R 上的奇函数，∴0)0(=f ；∵)(x f 是周期为T 的周期函数，∴()()(0)0f T f T f -===；而()()()222T T T f f f -=-=，∴()02T f =.综上所述，0)(=x f 在闭区间][T T ,-上有5个根，∴选D.例9（2009年Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则A. ()f x 是偶函数 B.()f x 是奇函数 C.()(2)f x f x =+ D. (3)f x +是奇函数解：∵(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，∴(1)(1)f x f x -+=-+，………………①，(1)(1)f x f x --=--.………………②∴在①中，以1x -代换x ，得(2)()f x f x -+=-，………………③在②中，以1x +代换x ，得(2)()f x f x --=-.………………④由③④，得(2)(2)f x f x -+=--.………………⑤在⑤中，以x 代换2x --，得(4)()f x f x +=，∴()f x 是以4为周期的周期函数.∴(3)(34)(1)(1)(14)(3)f x f x f x f x f x f x +=+-=-=---=---+=--+，∴(3)f x +是奇函数，∴选D.六、奇偶性与单调性例10 (08.辽宁)设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时)(x f 是单调函数，则满足()34x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为A . 3-B .3 C.8- D.8 解：由条件知：34x x x +=+或34x x x +=-+.由34x x x +=+得：123x x +=-；由34x x x +=-+得：345x x +=-， ∴满足()34x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为8-，∴选C. 说明：本题主要考查抽象函数的奇偶性、单调性、方程等知识，考查转化化归思想和运算能力.七、对称性例11 (05.天津)设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则()()()()()12345f f f f f ++++=___________.解:∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴0)0(=f ，且()()f x f x -=-.∵()y f x =的图象关于直线12x =对称，∴(1)()()f x f x f x +=-=-，∴(1)0f =. ∴(2)(1)()f x f x f x +=-+=，周期2T =.∴(5)(3)(1)0f f f ===，(4)(2)(0)0f f f ===， ∴()()()()()123450f f f f f ++++=，∴填0.评注：本题主要考查抽象函数、函数图象、函数奇偶性、周期性、对称性等知识，考查运算和推理能力.八、图象例12 (08.福建)已知函数)(),(x g y x f y ==的导函数的图象如图，那么)(),(x g y x f y ==的图象可能是解:由导函数图象知,当0x x <时, ()()f x g x ''>；当0x x =时，()()f x g x ''=；当0x x >时，()()f x g x ''<. 对于选项A ，C ，当0x x <时, ()()f x g x ''<，这与当0x x <时()()f x g x ''>不符，所以排除A ，C ； 对于选项B ，当0x x =时, ()()f x g x ''≠，这与当0x x =时()()f x g x ''=不符，所以排除B ；综上所述，选D.说明：本题主要考查抽象函数及导函数图象间的相互关系，考查学生读图、识图、析图能力及分析判断能力，本题是近年高考中的一种常见考题.。
第01讲 抽象函数的图像和性质问题的处理-高考数学热点
高考数学热点难点突破技巧第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理【知识要点】一、抽象函数的考查常常表现在求抽象函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.二、抽象函数虽然不是具体函数，但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的，只不过是函数没有解析式，比较抽象，难度稍微大些.【方法点评】【例1】已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域.【例2】已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （x)的定义域. 【解析】∵(24)y f x =+的定义域为[0,1]，即在(24)y f x =+中x ∈[0,1]，令24t x =+， x ∈[0,1]，则t ∈[4,6]，即在()f t 中，t ∈[4,6]∴f （x)的定义域为[4,6].【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.例1就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.例2就是典型的例子.【反馈检测1】若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域. 【例3】已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()+(y)f x y f x f +=，且当0x >时，()0f x <，又1=2f -（）.(1)判断()f x 的奇偶性； (2)求证：()f x 是R 上的减函数；(3)求()f x 在区间[－3,3]上的值域；(4)若x R ∀∈，不等式2()2()()4f ax f x f x -<+恒成立，求a 的取值范围．(2)证明： 任取12,(,)x x ∈-∞+∞，且12x x <，则210x x ->，2121()()()0f x f x f x x +-=-<，∴21()()f x f x <--，又()f x 为奇函数，∴12()()f x f x >．∴()f x 是R 上的减函数．(3)由(2)知()f x 在R 上为减函数，∴对任意[3,3]x ∈-，恒有(3)()(3)f f x f ≤≤-，∵(3)(2)(1)(1)(1)(1)236f f f f f f =+=++=-⨯=-，∴(3)(3)6f f -=-=，()f x 在[3,3]-上的值域为[6,6]-．(4) ()f x 为奇函数，整理原式得2()(2)()(2)f ax f x f x f +-<+-，则2(2)(2)f ax x f x -<-，∵()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，∴222ax x x ->-，当0a =时，22x x ->-在R 上不是恒成立，与题意矛盾；当0a >时，2220ax x x --+>，要使不等式恒成立，则980a ∆=-<，即98a >； 当0a <时，2320ax x -+>在R 上不是恒成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围为9+8∞（，）． 【点评】（1）证明抽象函数的单调性的方法和证明具体函数的单调性方法本质上是一样的.先设1212,,x x D x x ∈<且，再利用已知条件判断12()()f x f x -的符号，如果12()()0f x f x ->，则函数是减函数；如果12()()0f x f x -<，则函数是增函数. （2）求抽象函数的值域，一般先分析出抽象函数的单调性，再求函数的值域.【反馈检测2】已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.(I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值.【例4】已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有12()f x x ⋅12()()f x f x =+，试判断函数()f x 的奇偶性.【点评】（1）判断函数的奇偶性的方法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.（2）抽象函数奇偶性的判断和判断具体函数的奇偶性一致，但是难度要大一点，解题过程中要找到()f x -和()f x 的关系，多用赋值法（特殊值）.【反馈检测3】定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时)0f x <（恒成立.(1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在[3,3)-上总有)6f x ≤（成立，试确定(1)f 应满足的条件.【例5】)(x f 定义在实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，对于任意实数,x y ，有()f x y +()()f x f y =⋅，求证：)(x f 在R 上为增函数.【解析】证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2)]0([)0(f f =若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾, 所以0)0(≠f ，即有1)0(=f当0>x 时，01)(>>x f ；当0<x 时，01)(0>>->-x f x ，而1)0()()(==-⋅f x f x f 所以0)(1)(>-=x f x f【点评】（1）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上和具体函数是一致的，同样利用函数的单调性的定义和导数.（2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简，1211211121121()f(x )()[()]()()()()(1())f x f x f x x x f x f x f x x f x f x x -=-+-=--=--这是解答的关键，想方设法把变量1x 或2x ，按照已知条件拆开，并严格说明它的符号.【反馈检测4】已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1； (2)证明: ()f x 在R 上单调递减.【反馈检测5】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =.（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<.【例6】设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，且(2)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()(),20,2-∞- B ．()()2,02,-+∞ C ．()(),22,0-∞-- D ．()()0,22,+∞ 【解析】设2()'()()()'()0,(0)()f x xf x f x g x g x x g x x x -=⇒=<>⇒在(0,)+∞上是减函数，又()f x （x R ∈）是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(x)()()()f f x f x g x x x x ---===--()g x ⇒是偶函数，(2)0(2)(2)022f g g -=-===-- 作出图象如下图，由00()()0()0()0x x f x xg x g x g x <>⎧⎧=>⇒⎨⎨<>⎩⎩或⇒()(),20,2x ∈-∞-，故选A.【点评】（1）这个抽象函数的单调性，不能通过单调性的定义来推导，只能通过导数的性质来推导. (2)解答本题的关键是根据已知条件'()()0xf x f x -<联想到商的导数，还原公式，再构造函数，得到新函数的单调性、奇偶性和特殊点，再作草图分析.【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B. c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【例7】已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称.(1)求(0)f 的值； (2)证明: 函数()f x 是周期函数；(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象.【解析】(1)解:∵()f x 为R 上的奇函数, ∴对任意,x R ∈都有()()f x f x -=-,令0,x =则(0)(0)f f -=- ∴(0)f =0(3)当[)1,3x ∈-时，(11)()2(13)x x f x x x -≤≤⎧=⎨-+<<⎩当4141k x k -≤≤+时，()4f x x k =-，k Z ∈当4143k x k +<<+时，()24f x x k =-+-，k Z ∈∴4(4141)(),24(4143)x k k x k f x z R x k k x k --≤≤+⎧=∈⎨-+-+<<+⎩图象如下：【点评】（1）对于抽象函数的周期性，一般如果1不是它的周期，就猜想2是它的周期，如果2不是它的周期，就猜4是它的周期（偶数倍），再证明.（2）如果函数()f x 满足()()f x a f x b +=+，则函数()f x 的周期T 为||a b -，如果函数()f x 满足()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期T 为2||a .【反馈检测7】已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(0)2004f =，试求(2005)f .高考数学热点难点突破技巧第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理参考答案【反馈检测1答案】),21(]31,(+∞--∞【反馈检测1详细解析】由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x . 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 【反馈检测2答案】（1）(0)=2f ；（2）max ()(1)3f x f ==（II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥ max ()(1)3f x f ∴==【反馈检测3答案】（1）奇函数；（2）(1)2f ≥-.【反馈检测3详细解析】（1）由已知对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立. 令0x y ==，得(00)(0)(0)f f f +=+，∴(0)0f =令x y =-，得()()()0f x x f x f x -=+-=∴对于任意x ，都有()()f x f x -=- ∴()f x 是奇函数.（2）设任意12,x x R ∈且12x x <，则210x x ->，由已知21()0f x x -<（1）又212121()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=-（2）由（1）（2）得12()()f x f x >,根据函数单调性的定义知)(x f 在(,)-∞+∞上是减函数. ∴)(x f 在[3,3)-上的最大值为(3f -）.要使)6f x ≤（恒成立，当且仅当(3f -≤）6，又∵(3)(3)(21)[(2)(1)][(1)(1)(1)]3(1)f f f f f f f f f -=-=-+=-+=-++-,(1)2f ∴≥-【反馈检测4答案】（1）见解析；（2）见解析.【反馈检测4详细解析】(1)证明:令0,1m n ==,则(01)(0)(1)f f f +=∙∵当0x >时,0()1f x <<,故(1)0f >,∴(0)1f =,∵当0x > 时,0()1f x << ∴当0x <时, 0x ->,则(0)1()()()()1()()f f x x f x f x f x f x f x -+=-∙⇒==>--【反馈检测5答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）0,x x x <<≠≠. 【反馈检测5详细解析】12(1)1(1)(1)(1)(1)0x x f f f f ==∴=+∴=令121[(1)(1)](1)(1)02(1)(1)0x x f f f f f ==-∴-⨯-=-+-∴=-∴-=令 121[(1)]()(1)()()()x x x f x f x f f x f x f x ==-∴⨯-=+-∴-=∴令是偶函数 111212222222(2)0()()()()()()()x x x x f x f x f x f x f x f f x x x >>∴-=-=+-设 1111212222()011()0()0()()0x x x f x x x f x f f x f x x x x =>>∴>>>∴>∴->时， 0+∴∞函数在（，）上是增函数12(3)2(22)(2)(2)2(4)2x xf f f f ==∴⨯=+=∴=令2(21)2(4)()+f x f f x -<=∞是偶函数在（0，）上时增函数22x 02100,|21|<4x x x x x ≠⎧⎪∴-≠<<≠≠⎨⎪-⎩. 【反馈检测6答案】C【反馈检测6详细解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， ()()()()g x xf x x f x xf x g -=--=-⋅-==（x)，所以()()g x xf x =是R 上的偶函数. 当0x >时，()()()()()g x x f x xf x f x xf x ''''=+=+ 因为()00()0f x x f x '>>> 所以()()0g (x)0f x xf x ''+>∴> 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，所以0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<， 所以b a c <<，故选C ．【反馈检测7答案】2005(2005)2003f =-∴()f x 是以4为周期的周期函数 又∵(2)2004f = ∴1(2004)(2005)(20041)1(2004)f f f f +=+=-=1(0)1(0)f f +-=1200412004+-=-20052003 ∴(2005)f =-20052003。
抽象函数的性质及应用
抽象函数的性质及应用抽象函数是高中数学的难点,也是近几年考试中的热点和重点,尤其函数的奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往都比较难,让人感觉无从下手.抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有逻辑思维能力、丰富的想象力以及灵活运用函数知识的能力.一抽象函数的单调性例1已知偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,则满足f(2x-1)≤f(x)的x的取值范围是 ()A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.∪[1,+∞)D.答案D根据题意,偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,则f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|)⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得≤x≤1,即x的取值范围是.故选D.解析：根据题意,结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|)⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得x的取值范围.例2若a=,b=,c=log2,定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有<0,则f(a), f(b), f(c)的大小顺序为 ()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)>f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(c)>f(a)答案B根据题意,函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有<0,则f(x)在[0,+∞)上为减函数,又f(x)为定义在R上的奇函数,所以函数f(x)在(-∞,0]上为减函数,所以函数f(x)在R上为减函数,因为c=log2<0,a==,b=,所以a>b>0>c,故f(c)>f(b)>f(a).故选B.解析：根据题意,由函数单调性的定义可得f(x)在[0,+∞)上为减函数,结合函数的奇偶性可得函数f(x)在R上为减函数,又由题意可得a>b>0>c,再结合函数的单调性分析可得答案.变式训练：已知定义在R上的函数f(x),若函数y=f(x+2)为偶函数,且f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有<0,若f(a)≤f(3a+1),则实数a 的取值范围是 ()A. B.[-2,-1]C. D.答案A因为函数y=f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以函数f(x)在[2,+∞)上为减函数,所以函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,则f(a)≤f(3a+1)⇒|a-2|≥|3a-1|,解得-≤a≤.即实数a的取值范围是.故选A.二抽象函数的周期性例3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, f=f,当x∈时, f(x)=log2(-3x+1),则f(2 020)= ()A.4B.log27C.2D.-2答案D根据题意, f(x)满足f=f,即f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,则f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),又f(x)为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-log2(3+1)=-2,故选D.解析：根据题意,分析可得f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,进而可得f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案.例4已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(x+2)=f(-x),f(x+1)=f(x)·f(x+2),且f(x)>0,若f(1)=4,则f(2 019)+f(2020)= ()A.B.2C.D.4答案A根据题意, f(x+1)=f(x)·f(x+2),则有f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),变形可得f(x+2)=f(x)·f(x+2)·f(x+3),又f(x)>0,所以f(x)·f(x+3)=1,所以f(x+3)=,故f(x+6)==f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,则f(2 019)=f(3+336×6)=f(3), f(2 020)=f(4+336×6)=f(4),故f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4).由f(x+3)=,令x=1可得f(4)==;由f(x+1)=f(x)·f(x+2)和f(x+2)=f(-x),令x=0可得f(1)=f(0)·f(2)=4且f(0)=f(2), f(x)>0,则f(0)=f(2)=2,则f(3)==,故f(3)+f(4)=+=.故选A.解析：根据题意,由f(x+1)=f(x)·f(x+2)分析可得f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),进而可得f(x+3)=,则有f(x+6)==f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,进而可得f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4),再利用赋值法求得f(3)和f(4),最后相加即可得答案.变式训练：已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,满足f(1-x)=f(1+x), f(-x)=-f(x),且f(x)在[0,1]上单调递增,若a=f(log23),b=f(),c=f(2 020),则 ()A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a答案D因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又因为f(-x)=-f(x),且函数定义域关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,所以f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),令x=x-1,则f(x)=-f(x-2)①,令x=x-2,则f(x-2)=-f(x-4)②,由①②得, f(x)=f(x-4),即函数f(x)是周期为4的周期函数.又因为f(x)在[0,1]上单调递增,所以函数f(x)的大致图象如图所示,又log23∈(1,2),∈(3,4),所以a>0,b<0,又f(2 020)=f(505×4)=f(0)=0,所以c=0,故b<c<a.故选D.三抽象函数的零点问题例5若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),当x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为 ()A.5B.6C.7D.8答案B因为f(x)=f(2-x)以及函数为偶函数,所以函数f(x)是周期为2的周期函数.根据x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,且函数f(x)是周期为2的周期函数,也是偶函数,作出f(x)在区间[-5,5]上的图象,再作出函数g(x)=的图象,如图所示,可得函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为6.故选B.解析：根据条件可判断出函数f(x)为周期是2的周期函数,再结合奇偶性,周期性和解析式作出图象,通过数形结合转化求解即可.例6若偶函数f(x)的图象关于x=对称,当x∈时, f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-log20|x|在[-20,20]上的零点个数是 ()A.18B.26C.28D.30答案B解析令h(x)=log20|x|,则h(x)为偶函数且x≠0,因为f(x)是偶函数,所以g(x)是偶函数且x≠0,由g(x)=f(x)-log20|x|=0,得f(x)=log20|x|,当x>0时,h(x)=log20x,因为偶函数f(x)的图象关于x=对称,所以f(-x)=f(x)且f(x)=f(3-x),则f(3+x)=f[3-(3+x)]=f(-x)=f(x),即f(x)是T=3的周期函数,所以x=(k∈Z)为f(x)图象的对称轴,又因为当x∈时, f(x)=x,所以f(20)=f(21-1)=f(-1)=f(1)=1=h(20),当x∈[0,20]时, f(x),h(x)在同一坐标系中的图象如图所示,可知f(x)与h(x)在[0,20]上有13个交点,即g(x)在[0,20]上有13个零点,又因为g(x)是偶函数,所以g(x)在[-20,20]上共有26个零点.故选B.解析：令h(x)=log20|x|,根据函数f(x)、h(x)为偶函数,可判断g(x)为偶函数,进而判断出f(x)的周期为3,题目等价于f(x)的图象与h(x)的图象的交点个数,画出[0,20]上的图象即可判断出总零点个数.例7已知f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x-1,函数g(x)=f(x)-log a x(a>1)恰有3个零点,则a的取值范围是 ()A.(1,3)B.(3,5)C.(1,5)D.(5,9)答案D f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),所以函数关于x=1对称, f(x)=-f(x-2),所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x-1,所以函数f(x)的图象如图所示,当a>1时,函数g(x)=f(x)-log a x恰有3个零点,就是方程f(x)=log a x解的个数为3,即y=f(x)的图象与y=log a x的图象有3个交点,结合图象得解得a∈(5,9).故选D.解析：利用函数的奇偶性以及函数的对称性,画出函数的图象,通过数形结合转化求解即可.变式训练：1.函数f(x)满足3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),且f(1)= ,则f(2020)=()A.B.-C.-D.答案C令x=n,y=1,得3f(n)·f(1)=f(n+1)+f(n-1),即f(n)=f(n+1)+f(n-1),∴f(n+1)=f(n+2)+f(n),∴f(n+2)=-f(n-1),∴f(n)=-f(n-3)=f(n-6)∴函数f(x)是周期函数,周期T=6,故f(2 020)=f(6×336+4)=f(4).又3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),令x=1,y=0,得3f(1)·f(0)=f(1)+f(1)=,∴f(0)=,令x=y=1,得3[f(1)]2=f(2)+f(0),则f(2)=-,令x=2,y=1,得3f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-,令x=3,y=1,得3f(3)·f(1)=f(4)+f(2),解得f(4)=-,∴f(2 020)=-.故选C.2.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,对任意的实数x, f(x)-f(-x)=0恒成立,当x∈[-1,0]时, f(x)=x2,若g(x)=f(x)-log a(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,则a的取值范围为 ()A.[3,5]B.[2,4]C.(3,5)D.(2,4)答案D∵f(x)-f(-x)=0,∴f(x)=f(-x),又函数定义域为R,∴f(x)是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图象如图所示,∵g(x)=f(x)-log a(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,且y=log a(|x|+1)是过(0,0)的偶函数,∴y=f(x)和y=log a(|x|+1)的图象在(0,+∞)上只有2个交点,∴解得2<a<4.故选D.。
抽象函数性质
抽象函数的性质一、教学目标：会运用抽象函数的性质解题二、教学重点：抽象函数的性质的运用三、教学过程：所谓抽象函数就是没有给定具体解析式的函数。
抽象函数的性质的考查，这些题目往往渗透着数学思想，因此成为历年来高考题的一个热点。
解决抽象函数性质题型的方法：1. 换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)。
2．方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。
例2．.232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 例3．f(x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 3．待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例4．已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x)。
4．赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
例5．对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______。
解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,,21)n (f )]1(f [2)n (f )1n (f ,1y ,n x .21)1(f ,0)1(f 2+=+=+===∴≠得令Θ .22001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即 例6．已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a)。
(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)若f(2)=2,u n =f(2n ) (n ∈N*),求证:u n+1>u n (n ∈N*)。
浅谈抽象函数的性质
抽象函数是数学家和计算机科学家研究计算机程序中的概念的一种重要的方法。
它的定义是：一种数学模型，用于表示一组输入和输出，不涉及具体的实现细节。
抽象函数具有以下性质：第一，抽象函数可以表达复杂的逻辑关系。
抽象函数可以帮助更好地描述一组输入和输出之间的关系，而不必涉及实现细节。
例如，有一个函数f（x），它表达的逻辑关系是：如果x是一个正数，则f（x）=x+1，如果x是一个负数，则f（x）=x-1。
这个函数可以用抽象函数来表达，而不必知道具体的实现细节。
第二，抽象函数可以分解复杂的逻辑关系。
抽象函数可以将一个复杂的逻辑关系分解成若干个简单的逻辑关系，以便更容易理解。
例如，有一个函数g（x），它表示的逻辑关系是：如果x是一个正数，则g（x）=x+1，如果x是一个负数，则g（x）=x-2，如果x是0，则g（x）=x+3。
这个函数可以用两个抽象函数来表达，即g1（x）=x+1，g2（x）=x-2，这样就可以将复杂的逻辑关系分解成两个简单的逻辑关系，这样就更容易理解。
第三，抽象函数可以抽象出实现细节中的重要特征。
一个函数的实现可能会有很多细节，抽象函数可以抽取出实现细节中的重要特征，从而使得程序的运行更加高效。
例如，有一个函数h （x），它表示的逻辑关系是：如果x是一个正数，则h（x）=x+1，如果x是一个负数，则h （x）=2*x，如果x是一个零，则h（x）=x+2。
这个函数可以用一个抽象函数h（x）=x+1来表达，这样就能抽取出实现细节中的重要特征，使得程序的运行更加高效。
第四，抽象函数可以提高程序的可读性和可维护性。
由于抽象函数可以抽象出程序的重要特征，把复杂的逻辑关系分解成若干个简单的逻辑关系，从而使程序更容易理解，也更容易维护。
以上就是关于抽象函数的性质的介绍，抽象函数是一种强有力的工具，它可以更好地描述一组输入和输出之间的关系，分解复杂的逻辑关系，抽取实现细节中的重要特征，提高程序的可读性和可维护性，为程序的运行提供更好的性能。
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =−，则()()()00f f x f x =+−=，∴()()f x f x −=−，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x −>，∴()()()12120f x x f x f x −=+−<，则()()()122f x f x f x <−−=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例2、（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（ ） A ．()3,1−B ．()()3,11,1−−−C ．()(),11,1−∞−− D ．()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<，得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<， 因为121200x x x x −>>，，所以()()11220x f x x f x −<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x −<<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)−∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=−，则210x −<+<，解得：31x −<<−；综上，原不等式的解集为(),111)3(,−−−．故选：B ．例4、（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =−，12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】 由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−，结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=，()()200c f f ===．由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增， 所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭， 所以b c a <<．故选：C例5、（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x −=−，则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】A【解析】 解：因为函数()f x 满足()()2f x f x −=，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称， 又函数()f x 为偶函数，所以()()()2−==−f x f x f x ，所以函数()f x 是周期为2的函数， 又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称， 作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像，如图所示：由图可知，函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点，且关于直线1x =对称， 所以方程。
抽象函数和复合函数的应用 解析版-高中数学
抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
抽象函数及其导函数的性质探究及应用
核心考点 抽象函数及其导函数的性质探究及应用孙志鹏(山东省济南第七中学)㊀㊀由于近年高考数学真题以及模拟试题中出现了一类比较新颖的数学问题,即侧重考查抽象函数及其导函数性质的灵活运用,所以学生有必要认真探究有关抽象函数及其导函数的常用性质,以便在选择题或填空题中直接运用,同时也有利于提高解题的准确性,进而提升数学核心素养．１㊀性质探究问题１㊀已知函数f(x)是奇函数(或偶函数),试探究其导函数fᶄ(x)的奇偶性．探究１㊀若f(x)是奇函数,则f(－x)＝－f(x),两边求导可得－fᶄ(－x)＝－fᶄ(x),化简得fᶄ(－x)＝fᶄ(x),所以fᶄ(x)是偶函数．若f(x)是偶函数,则f(－x)＝f(x),两边求导可得－fᶄ(－x)＝fᶄ(x),化简得fᶄ(－x)＝－fᶄ(x),所以fᶄ(x)是奇函数．结论１㊀若f(x)是奇函数,则其导函数fᶄ(x)是偶函数;若f(x)是偶函数,则其导函数fᶄ(x)是奇函数．问题２㊀已知函数f(x)的图像关于点(a,０)对称(或关于直线x＝a对称),试探究其导函数fᶄ(x)图像的对称性．探究２㊀若f(x)的图像关于点(a,０)对称,则f(a＋x)＋f(a－x)＝０,两边求导可得fᶄ(a＋x)－fᶄ(a－x)＝０,即fᶄ(a＋x)＝fᶄ(a－x),所以fᶄ(x)的图像关于直线x＝a对称．若f(x)的图像关于直线x＝a对称,则f(a＋x)＝f(a－x),两边求导得fᶄ(a＋x)＝－fᶄ(a－x),所以fᶄ(a＋x)＋fᶄ(a－x)＝０,故fᶄ(x)的图像关于点(a,０)对称．结论２㊀若f(x)的图像关于点(a,０)对称,则其导函数fᶄ(x)的图像关于直线x＝a对称;若f(x)的图像关于直线x＝a对称,则其导函数fᶄ(x)的图像关于点(a,０)对称．问题３㊀已知fᶄ(x)是奇函数(或偶函数),试探究函数f(x)的奇偶性．探究３㊀若fᶄ(x)是奇函数,则因为[f(x)＋C]ᶄ＝fᶄ(x)(其中C为常数),所以f(x)＋C是偶函数,则f(－x)＋C＝f(x)＋C,即f(－x)＝f(x),故函数f(x)是偶函数．若fᶄ(x)是偶函数,则因为[f(x)＋C]ᶄ＝fᶄ(x) (其中C为常数),所以f(x)＋C是奇函数,故f(－x)＋C＝－f(x)－C,即f(－x)＋f(x)＝－２C,所以函数f(x)的图像关于点(０,－C)对称,显然只有当C＝０时,才能保证函数f(x)是奇函数,其他情况下不能得到函数f(x)是奇函数．结论３㊀若fᶄ(x)是奇函数,则函数f(x)是偶函数;若fᶄ(x)是偶函数,则函数f(x)的图像关于点(０,t)对称(其中t为常数),但f(x)不一定是奇函数．问题４㊀已知函数fᶄ(x＋a)是奇函数,即fᶄ(x)的图像关于点(a,０)对称(或函数fᶄ(x＋a)是偶函数,即fᶄ(x)的图像关于直线x＝a对称),试探究函数f(x)图像的对称性．探究４㊀若函数fᶄ(x＋a)是奇函数,则因为[f(x＋a)＋C]ᶄ＝fᶄ(x＋a)(其中C为常数),所以f(x＋a)＋C是偶函数,则f(－x＋a)＋C＝f(x＋a)＋C,即f(－x＋a)＝f(x＋a),故函数f(x)的图像关于直线x＝a对称．若函数fᶄ(x＋a)是偶函数,则因为[f(x＋a)＋C]ᶄ＝fᶄ(x＋a)(其中C为常数),所以f(x＋a)＋C是奇函数,则f(－x＋a)＋C＝－f(x＋a)－C,即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝－２C,故函数f(x)的图像关于点(a,－C)对称,所以只有当C＝０时,才能保３４核心考点证函数f (x )的图像关于点(a ,０)对称,其他情况下不能得到函数f (x )的图像关于点(a ,０)对称．结论４㊀若f ᶄ(x )的图像关于点(a ,０)对称,则函数f (x )的图像关于直线x ＝a 对称;若f ᶄ(x )的图像关于直线x ＝a 对称,则函数f (x )的图像关于点(a ,t )对称(其中t 为常数),但不一定关于点(a ,０)对称．２㊀应用举例例１㊀已知函数f (x )的定义域为R ,且满足f (x －１)为奇函数,f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２,f ᶄ(－１)＝２,则ð２５i ＝１fᶄ(２i －１)＝(㊀㊀)．A．１３㊀㊀B ．１６㊀㊀C ．２５㊀㊀D．５１因为f (x －１)为奇函数,所以f (x )的图像关于点(－１,０)对称,故根据前述结论２可知f ᶄ(x )的图像关于直线x ＝－１对称．因为f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２,所以f ᶄ(x )的图像关于点(１,１)对称．于是,函数f ᶄ(x )是以４ˑ|１－(－１)|＝８为周期的函数．在f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２中,令x ＝１,化简可得fᶄ(１)＝１．在f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２中,令x ＝３,可得fᶄ(－１)＋f ᶄ(３)＝２,又f ᶄ(－１)＝２,所以f ᶄ(３)＝０．在f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２中,令x ＝５,可得fᶄ(－３)＋f ᶄ(５)＝２,所以f ᶄ(－３＋８)＋f ᶄ(５)＝２,化简可得f ᶄ(５)＝１．在f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２中,令x ＝７,可得fᶄ(－５)＋f ᶄ(７)＝２,所以fᶄ(－５＋８)＋f ᶄ(７)＝２,即f ᶄ(３)＋f ᶄ(７)＝２,又f ᶄ(３)＝０,所以f ᶄ(７)＝２．因为f ᶄ(x )是以８为周期的函数,所以数列{f ᶄ(n )}的周期为８,故数列{fᶄ(２n －１)}的周期为４．因此,有ð２５i ＝１fᶄ(２i －１)＝６[f ᶄ(１)＋f ᶄ(３)＋f ᶄ(５)＋fᶄ(７)]＋f ᶄ(１)＝６(１＋０＋１＋２)＋１＝２５,故选C ．求解本题的关键在于以下两点:一是通过分析f ᶄ(x )的周期性,可知数列{fᶄ(２n －１)}的周期性;二是对已知等式f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２赋值,求得f ᶄ(１),f ᶄ(３),f ᶄ(５),fᶄ(７)的值．例２㊀设定义在R 上的函数f (x )和g (x )的导函数分别是f ᶄ(x )和g ᶄ(x ),已知f (x )＝g (３－x )－１,fᶄ(x ＋１)＝g ᶄ(x ),且f ᶄ(x )的图像关于直线x ＝１对称,那么下述结论不一定正确的是(㊀㊀)．A ．f (x )＋f (２－x )＝０B ．fᶄ(２)＝０C ．g (１－x )＝g (１＋x )D ．gᶄ(x )＋g ᶄ(２－x )＝０因为f ᶄ(x )的图像关于直线x ＝１对称,所以根据前述结论４可知f (x )的图像不一定关于点(１,０)对称,即不一定有f (x )＋f (２－x )＝０成立,故选项A 不一定正确．因为f (x )＝g (３－x )－１,所以两边求导得fᶄ(x )＝－g ᶄ(３－x ),令x ＝２,得f ᶄ(２)＝－g ᶄ(１)．因为f ᶄ(x ＋１)＝g ᶄ(x ),所以令x ＝１,得f ᶄ(２)＝gᶄ(１)．于是,可知f ᶄ(２)＋f ᶄ(２)＝－g ᶄ(１)＋g ᶄ(１)＝０,即f ᶄ(２)＝０,故选项B 一定正确．因为f ᶄ(x )＝－g ᶄ(３－x ),所以f ᶄ(x ＋１)＝－g ᶄ(２－x ),又因为f ᶄ(x ＋１)＝g ᶄ(x ),所以gᶄ(x )＝－g ᶄ(２－x ),即g ᶄ(x )＋g ᶄ(２－x )＝０,故选项D 一定正确．因为g ᶄ(x )＋g ᶄ(２－x )＝０,所以g ᶄ(x )的图像关于点(１,０)对称,所以根据前述结论４可知函数g (x )的图像关于直线x ＝１对称,即g (１－x )＝g (１＋x ),故选项C 一定正确．综上,选A．本题具有一定的难度,其中选项B ,C ,D 分析的切入点是对等式f (x )＝g (３－x )－１两边求导,使之能够与题设条件f ᶄ(x ＋１)＝g ᶄ(x )紧密联系起来,从而帮助我们顺利解决目标问题．对抽象函数及其导函数的常用性质(主要是奇偶性㊁对称性)进行深入探究,不仅能够帮助我们厘清其中存在的 辩证 关系,而且能够明白其中的具体缘由．显然,理解㊁掌握了上述关于抽象函数及其导函数性质的常用结论,有助于迅速求解相关选择题和填空题,既大大节约了分析㊁思考的时间,也避免了一些错误的产生,真可谓高效解题．(完)４４。
抽象函数专题讲解
f (x2 x1) f (x1) f (x1)
f (x)为x R的增函数。
例2：已知函数f (x)对任意x, y R有
f (x) f ( y) 2 f (x y),当x 0时，f (x) 2 f (3) 5, 求不等式f (a2 2a 2) 3的解集。
任取x1, x2且x1 x2
则f (x1) f (x2 ) f (x1 y) f ( y) [ f (x2 y) f ( y)]
f (x1 y) f (x2 y) f (x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 0 则根据题意有 f (x1 x2 ) 0
函数f (x)在x R为增函数
等）。
一、一次函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y)
例1:已知函数f (x)对任意的实数 x, y都有
f ( x y) f ( x) f ( y)且当x 0时 f ( x) 0，f (1) 2求f ( x)在[2， 1] 上的值域
解：由f (x y) f (x) f ( y)得，f (x) f (x y) f ( y)
f (x) f (x 1 ) 0
解：1.令x
y
1得f
2
(1)
0
再令x
y
1得f
(1)
0
2.令y 1得f (x) f (x)
3.由f (xy) f (x) f ( y)得 : f (x) f ( y) f (xy)
令y 1 代入上式得: f (x) f (1)
由f
x (x)
f (x1) f (x2 ) 即f (x)为减函数。
三.
对数函数模型：
f(例x4•：y)已=知f函(数xf)(+x)f满(足yf )(xy) f (x) f (y),(x 0)
抽象函数专题讲解
三. 对数函数模型：f(x•y)=f(x)+f(y) 例4： 已知函数f ( x)满足f ( xy) f ( x) f ( y ), ( x 0)
1.求证：f (1) f (1) 0; 2.求证：f ( x) f ( x); 3.若f ( x)在(0,)上是增函数，解不等式
任取x1, x2且x1 x2 , 设x2 x1 x, x 0
f ( x2 ) f ( x1 ) f (x x1 ) f ( x1 ) [ f ( x1 ) f (x x1 )] f ( x1 ) f (x)
则根据题意有 f (x) 0, f ( x1 ) f ( x2 )
y=ax(a>0且 同上 y=xɑ(ɑ>0)
. f(xy)=f(x)f(y)
温 故 知 新
(1)令x=…,-2,-1,0,1,2,…等特殊值求 抽象函数的函数值； (2)令x=x2,y=x1或y= 抽象函数的单调性；
1 x1
,且x1<x2,判断
(3)令y=-x,判断抽象函数的奇偶性；
1 x x (4)用x= 2 + 2 或 x 换为x等来解答抽象
二. 指数函数模型:f(x+y)=f(x)•f(y)
例3: 已知f ( x) 对一切x，y, 满足
时f ( x) 1 0 f ( x) 1; 求证: (1) x 0时，
(2) f ( x)在R上为减函数
f (0) 0，f ( x y) f ( x) f ( y)且当x 0
抽象函数的性质研究
关于抽象函数
概念 题型特点 解题思路 抓住函数中的某 些性质，通过局 部性质或图象的 局部特征，利用 常规数学思想方 法（如类比法、 赋值法添、拆项 等）。
抽象函数性质
抽象函数性质综述抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质得代数表述,综合考查学生对于数学符号语言得理解与接受能力,考查对于函数性质得代数推理与论证能力,考查学生对于一般与特殊关系得认识、函数得周期性、对称性一般与抽象函数结合,综合函数得其它性质一起考查、函数得周期性要紧扣周期函数得定义、要注意,函数得周期性只涉及到一个函数、函数得对称性比较复杂,要分清就是一个函数得对称性,还就是两个函数得对称性;分清就是轴对称还就是中心对称、一、基本定义1、定义1:(周期函数)对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域得每一个值时,都有,那么,函数就叫做周期函数、非零常数叫做这个函数得周期、2、定义2:(同一函数图象得对称性)若函数图象上任一点关于点(或直线)得对称点仍在函数得图象上,则称函数得图象关于点(或直线)对称、3、定义3:(两个函数图象得对称性)若函数图象上任一点关于点(或直线)得对称点在函数得图象上;反过来,函数图象上任一点关于点(或直线)得对称点也在函数得图象上,则称函数与得图象关于点(或直线)对称、二、关于周期性、对称性得几个基本结论及证明1、若函数得定义域为,且恒成立,则函数就是以为周期得周期函数;2、若函数得定义域为,且恒成立,则函数得图象关于直线对称;3、若函数得定义域为,且恒成立,则函数得图象关于点对称;4、若函数得定义域为,且恒成立,则函数就是以为周期得周期函数;5、若函数得定义域为,则函数与得图象关于直线对称;6、若函数得定义域为,则函数与得图象关于点对称、略证:1、,函数就是以为周期得周期函数、2、函数图象上得任一点(满足)关于直线得对称点为,点仍在函数得图象上,从而函数得图象关于直线对称、3、函数图象上得任一点(满足)关于点得对称点为,点仍在函数得图象上,从而函数得图象关于点对称、4、,函数就是以为周期得周期函数、5、函数图象上得任一点(满足)关于直线得对称点为,点在函数得图象上;反之函数得图象上任一点关于直线得对称点也在函数图象上、从而函数与得图象关于直线对称、6、函数图象上得任一点(满足)关于点得对称点为,点在函数得图象上;反之函数得图象上任一点关于点得对称点也在函数图象上、从而函数与得图象关于点对称、三、关于周期性、对称性得若干易混淆得常用结论1、若函数满足,则函数得图象关于轴对称;函数与函数得图象也关于轴对称、2、若函数满足,则函数得图象关于原点对称;函数与函数得图象也关于原点对称、3、若函数满足,则函数得图象关于轴对称;而函数与函数得图象关于直线对称、4、若函数满足,则函数得图象关于原点对称、而函数与函数得图象关于点对称、5、若函数满足,则函数得图象关于直线对称;而函数与函数得图象关于轴对称、6、若函数满足,则函数得图象关于点对称;而函数与函数得图象关于原点对称、7、若函数满足,则函数得图象关于直线对称;函数与函数得图象也关于直线对称、8、若函数满足,则函数得图象关于点对称;函数与函数得图象也关于点对称、9、若函数满足,则函数就是以为周期得周期函数;若函数满足,则函数就是以为周期得周期函数、四、函数周期性与对称性得关系1、定义在上得函数,若同时关于直线与对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数、2、定义在上得函数,若同时关于点与点对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数、3、定义在上得函数,若同时关于直线与点对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数、略证:1、=,函数就是以为周期得周期函数、2、3同理可证、五、函数周期性、对称性与奇偶性得关系1、定义在上得函数,若同时关于直线与对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数,且就是偶函数、2、定义在上得函数,若同时关于直线与点对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数,且就是奇函数、3、定义在上得函数,若同时关于点与直线对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数,且就是偶函数、4、定义在上得函数,若同时关于点与点对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数,且就是奇函数、5、若偶函数关于直线对称,即对于任意得实数,函数满足,则就是以为周期得周期函数、6、若偶函数关于点对称,即对于任意得实数,函数满足,则就是以为周期得周期函数、7、若奇函数关于直线对称,即对于任意得实数,函数满足,则就是以为周期得周期函数、8、若奇函数关于点对称,即对于任意得实数,函数满足,则就是以为周期得周期函数、略证:1、由上述四中得第1点即可得函数就是以为周期得周期函数,又函数就是偶函数、2、3、4同理可证、5、6、7、8可利用上述四中得结论证得、以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解、六、其它结论1、若函数为偶函数,则函数得图象关于直线对称、2、若函数为奇函数,则函数得图象关于点对称、注:上述两个结论可以通过图象得平移来理解、3、定义在上得函数满足,且方程恰有个实根,则这个实根得与为、4、定义在上得函数满足,则函数得图象关于点对称、略证;任取,令,则,,由中点公式知点与点关于点对称、由得任意性,知函数得图象关于点对称、5、能得出函数为周期函数得常见结论还有:函数满足对定义域内任一实数(其中为常数),①,则就是以为周期得周期函数;②,则就是以为周期得周期函数;③,则就是以为周期得周期函数;④,则就是以为周期得周期函数;⑤,则就是以为周期得周期函数、⑥,则就是以为周期得周期函数、⑦,则就是以为周期得周期函数、注:上述结论可以通过反复运用已知条件来证明、。
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抽象函数的性质问题解析抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。
考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。
本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。
解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x -≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。
所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。
2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。
材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。
解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。
总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。
3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。
材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ）A 、直线0=y 对称B 直线0=x 对称C 直线1=y 对称D 直线1=x 对称 解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -，要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ，所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。
解法二（图象变换法）：由函数)(x f y =的图象向右平移1个单位得到函数)1(-=x f y 的图象；由函数)(x f y =的图象关于y 轴对称得到函数)(x f y -=的图象，再向右平移1个单位，得到)1()]1([x f x f y -=--=的图象。
如图所示，选D 。
解法三（特值代入法）：由已知可得点))1(,0(-f P 在函数)1(-=x f y 的图象上，点))1(,2(-f Q 在函数)1(x f y -=的图象上，又点P 、Q 关于直线1=x 对称，选D 。
总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。
如：函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的自对称轴为2b a x +=；函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的互对称轴为x b x a -=+，即2a b x -=4、 周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。
材料四：设)(x f y =是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1=x 对称。
证明)(x f y =是周期函数。
证明：由)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，得)()2(x f x f -=+，又)(x f y =是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-∴)()2(x f x f -=+，则)()]([)2()]2(2[)4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+由周期函数的定义可知4是它的一个周期。
总结：一般地，)()(x f T x f -=+,)(1)(x f T x f ±=+均可断定函数的周期为2T 。
5、 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。
材料五：已知)(x f y =是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,，都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅。
判断)(x f y =的奇偶性，并证明你的结论。
解析：令1==b a ，则)1(1)1(1)11(f f f ⋅+⋅=⋅，得0)1(=f ；令1-==b a ，则)1()1()1()1()]1()1[(-⋅-+-⋅-=-⋅-f f f ，得0)1(=-f ； 令1-=a ，x b =得)1()()1(])1[(-⋅+⋅-=⋅-f x x f x f ，得)()(x f x f -=- 因此函数)(x f y =为奇函数。
总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。
6、 单调性：解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加以配凑。
材料六：设)(x f y =是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的]1,1[,-∈b a ，当0≠+b a时，都有：0)()(>++ba b f a f 。
若b a >，试比较)(a f 与)(b f 的大小。
解析：)]([)()()()()()()(b a b a b f a f b f a f b f a f -+∙-+-+=-+=-，b a >，∴0>-b a ，又0)()(>++ba b f a f ，∴0)()(>-b f a f ，即)()(b f a f >。
总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到1)()(12>x f x f （或1)()(12<x f x f ）来判断。
抽象函数的单调性，一般不用导数判断。
7、 可解性：由抽象式求解析式问题——视)(x f 为未知数，构造方程（组）。
材料七：设函数)(x f 满足x xx f x f +=-+1)1()(……①)10(≠≠x x 且，求)(x f 。
解析：以xx 1-代x ，得xx x f xx f 12)11()1(-=--+-，……②以11--x 代x ，得12)()11(--=+--x x x f x f ，……③①+③-②得：x x f 1)(2++=所以)1(21)(23---=x x x x x f )10(≠≠x x 且总结：在所给的抽象式中紧紧围绕)(x f ，将其余的式子替换成)(x f ，构造一个或几个方程，然后设法求解。
8、 凹凸性：解决函数的凹凸性问题——捕捉图象信息，数形结合。
材料八：如图所示，)(x f i )4,3,2,1(=i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的1x 和2x ，任意]1,0[∈λ，)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+<-+恒成立”的只有（ ）A 、)(1x fB 、)(2x fC 、)(3x fD 、)(4x f 解析：令21=λ，则不等式变为2)()()2(2121x f x f x x f +<+，可知函数)(x f i 是一个凹函数，故只有)(1x f 正确，选A 。
总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。
总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。
因此应不断挖掘隐含，灵活运用上述解题策略，定会收到良好的效果。
课外练习：函数()f x 是定义域在[0，1]上的增函数，满足()2()2xf x f =且(1)1f =，在每个区间111(,]22ii -(1,2,)i = 上，()y f x =的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。
（1）、求(0)f 、1()2f 及1()4f 的值，并归纳出1()2if (1,2,)i = 的表达式；（2）、直线12ix =，112i x -=，x 轴及()y f x =的图象围成的图形的面积为i a (1,2,)i = ，记12()lim ()n x S k a a a →∞=+++ ，求()S k 的表达式，并写出其定义域和最小值。
（04，北京，18）解析：（1）为了求(0)f ，只需在条件()2()2xf x f =中，令0x =，即有(0)2(0f f =(0)0f ⇒=。
由1(1)2()2f f =及(1)1f =，得111()(1)222f f ==。
同理1111()()4224f f ==。
归纳11()22i i f =(1,2,)i = 。
（2）、1112ii x-<≤时，1111()()22i i f x k x --=+-，i a 1,2,)= 。
故n 24为4的等比数列，所以12()lim ()n x S k a a a →∞=+++ 1(1)224(1)13414kk -==--。
()S k 的定义域是01k <≤，当1k =时取得最小值12。