相似三角形的性质(3)

4．7 相似三角形的性质（一）

一、教学目标：

1、熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似比，而面积比等于相似比的平方。

2、并能用来解决简单的问题。

二、教学过程：

1、知识点：相似三角形的性质

（1） 相似三角形的对应角相等，对应边成比例；

（2） 相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比； （3） 相似三角形周长比等于相似比； （4） 相似三角形面积比等于相似比的平方。 2、例题讲解：

例1：钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图1，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.

（1）

B A AB '',

C B BC '',C A AC

'

'各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比. （3）请你在图1中再找出一对相似三角形. （4）

D C CD

'

'等于多少？你是怎么做的？与同伴交流. 图1

解：（1）

B A AB ''=

C B BC ''=C A AC

'

'=_________. （2）△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∵_______=_______=_______

∴△ABC ∽△A ′B ′C ′( )，且相似比为___________.

（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（或△ADC ∽△A ′D ′C ′） ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得∠______=∠______ ∵∠________=∠________=_____°

∴△BCD ∽△B ′C ′D ′( )（同理△ADC ∽△A ′D ′

C ′）

（4）∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴

D C CD

'

'= ________=________. 小结1： 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的__________，那么D C CD ''=C

B BC

''=k . 3．知识拓展：

求证1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么

D C CD ''= C A AC

'

'=k .

图2

∵△ABC ∽△A ′B ′C ′

∴∠A =∠________, ∠ACB =∠A ′C ′B ′

∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线. ∴∠__________=∠__________

∴△ACD ∽△A ′C ′D ′( ) ∴

D C CD ''= C A AC

'

'=k . 求证2：如图3中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则

D C CD ''= C A AC

'

'=k .

图3

∵△ABC ∽△A ′B ′C ′

∴∠_______=∠_______，

C A AC ''=

B A AB

'

'=k . ∵CD 、C ′D ′分别是_________ ∴D A AD ''=B A AB

''2

121

=B A AB '

'=k . ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′( ) ∴

D C CD '

'= C A AC

''=k . 小结：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.

图4

例2：如图4所示，AD 是△ABC 的高，AD=h ,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD,垂足为E .当SR=

21BC 时，求DE 的长，如果SR =3

1

BC 呢？ 解：

三、达标测评：

1．△ACD ∽△A ′C ′D ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知2

3

，，C A AC ，B ′D ′=4cm ，求BD 的长。

2．△ACD ∽△A ′C ′D ′，AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线，已知AD=8 cm ，A ′D ′=3cm ，求△ACD 与△A ′C ′D ′对应高的比。

3．如图，小明自制了一个小孔成像装置，其中纸筒OD 的长度为15cm ，他准备了一枝长为20cm 的蜡烛，想要得到高度为5cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？

A B

O

C D