相似三角形的性质(3)
高二数学相似三角形的判定及性质
形成结论
定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条 直角边与另一个三角形的斜边和一 条直角边对应成比例，那么这两个 直角三角形相似.
形成结论
相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比 和对应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长之比等于相似比.
(3)相似三角形面积之比等于相似比的平方.
(4)相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于 相似比，外接圆的面积之比等于相似比的平方.
布置作业
P19 1、2、5
形成结论
预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似.
形成结论
判定定理1：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两个角与另一个 三角形的两个角对应相等，那 么这两个三角形相似.
两个角对应相等，两三角形相似.
形成结论
判定定理2：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两边与另一个三 角形的两边对应成比例，那么 这两个三角形相似.
相似三角形的判定 及有关性质
复习巩固
1、相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形.相似三角形 的对应边的比值叫做相似比（或相似 系数）
复习巩固
2、相似三角形的判定
（1）两个角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，
两三角形相似； （3ttps:///rsizhibiao/ rsi指标 ；
再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面
4.5相似三角形的性质及其应用(3)
探究活动1
如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度 OQ=2.25m，现要在屋顶上开一个天窗，天 窗高度AC=1.20m，AB在水平位置。求AB 的长度（精确到0.01m）。
Q A C P O B
咱来试一试
1:如图 ,等腰三角形屋架的高度 AD 是3m,跨度 BC 是 8m,在屋顶上开一个气窗,气窗的高度 EF 是 3m,出檐 EG 的水平尺寸是 0.5cm.那么 木料 AG 要多长?
2、化实际问题为数学问题（结合图形读懂题 意）
知识巩固
1.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人 的影长为3米,则树高为 . 4米 B C O A D
2.铁道的栏杆的短臂为OA=1米，长臂OB=10米，短臂 端下降AC=0.6米，则长臂端上升BD= 6 米。
知识巩固 3.如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落 在离网５米的位置上，则拍击球的高度应为（ Ａ ） 。
试求出树高。（精确到0.1m）
C A
D
E
B
数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：
方法二：如图，把长为2.40m的标杆CD直立在地面 上，量出树的影长为2.80m，标杆影长为1.47m。
试求出树高。（精确到0.1m）
A
C
B
E
D
F
变化延伸
在某时刻1.6m高的人的影长为2m，此时距墙 2m远的大树的影子落在墙上的部分为1m，求 这棵树的高度．
想一想
怎样利用相似三角形的有关知 识测量旗杆的高度?
Ｏ
怎样测量旗 杆的高度呢？
Ｏ′
Ａ
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
求旗杆高度的方法:
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。
（2）相似三角形的周长比等于相似比。
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C．（1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长．例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ．（ 1）求证： EF ∥BC ；（ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积．例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 SABC:SCOB9 :16 ，则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图，已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC， OD的中点，则 EF:AB 的值为(4) 如图，已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中， AD∥BC，（ AD<BC）， AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。
相似三角形
A
（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据( 用 小写字母表示）求出x的値。
重要考点5
动态几何问题
7.（08 南昌）如图，在RT△ABC中，∠A=90°， AB=8,AC=6,若动点D从B出发,沿线段BA运动到点A为止，运 动速度为每秒2个单位长度，过点D作DE∥BC交AC于点E,设 动点D运动的时间为x秒，AE的长为y. (1).求出y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？
C
小
1．定义
相
2．性质
对应高,中线,角平分线的比 等于相似比 对应周长的比等于相似比 面积比等于相似比的平方
似
三
角
3．判定
两角对应相等，两三角形相似；
两边对应成比例且夹角相等，两 三角形相似；
。
结
形
4．应用
三边对应成比例，两三龙 门 发 轫 在 今 朝
３．相似三角形的判定：A
.用定义；
B.用判定定理：（1）两角对应相等两三 角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相 等，两三角形相似；（3 ）三边对应成比例， 两三角形相似。
4. 三角形相似的实际应用：（1）：阳 光下同一时刻，不同物体高度与影长对应 成比例的应用；（2）：利用相似的性质和 判定解决实际问题。 注意：对于前者要注意“阳光下”“同 一时刻”这两个条件；后者要把实际问题抽 象成数学问题，注意审题，弄清题意，然后 借助日常生活中的平行线（如同一时刻的阳 光，与地面垂直的线段）构造相似形，再利 用相似形等性质和判定加以解决。
的综合题目的能力，经常与圆的有关性质，函数 有关知识结合出题，常以中档解答题的形式出现。
相似三角形性质完整的题型+答案
相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。
4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。
二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。
变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。
A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。
(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。
变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。
(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。
(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。
例题:如图，已知DE//BC ，AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 4:15 。
变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。
A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2答案：D 。
例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求: (1)S △AOD :S △BOC 的值；(2)S △AOB :S △AOD 的值. 答案:(1)9:25 (2)5:3。
27.2.2 相似三角形的性质 (3)
C ABC
S ABC
证明:∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，
AB AC BC k，AD k， AB AC BC AD
∴AB=kA'B'，AC=kA'C'，BC=kB'C'.
C ABC = AB BC AC kAB kBC kAC k， C ABC AB BC AC AB BC AC
相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系
如图所示，Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， AC=3，BC=4，AB=5，A'C'=6，B'C'=8， A'B'=10. 【思考】 (1)两个直角三角形相似吗? (2)计算这两个三角形的周长，它们的周长比与相似比有什 么关系? (3)再计算两个三角形的面积，它们的面积比与相似比有什 么关系?
BC=6
cm，∴△ABC的周长为18
cm，∵
AD AB
1， 3
∴△ADE的周长等于6 cm.两三角形的面积
比等于1∶9.
5.若两个相似三角形对应高的比为2∶3，
它们周长的差是25，求较大三角形的周长
及两个三角形的面积比.
解:设较大三角形的周长是3x，较小三角形的周长 是2x，
则3x-2x=25，解得x=25， 那么较大三角形的周长是3x=75， 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方， 得这两个三角形的面积比为4∶9.
1.如果两个相似三角形对应边之比是 检测反馈
1∶4，那么它们的对应中线之比是 ( B ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 解析:因为相似三角形的对应中线之比等于相 似比，而相似比为相似三角形对应边的比，
相似三角形的性质 (3)
1．通过与相似三角形类比 了解相似多边形的定义以及 相似比； 2．探索并掌握相似多边形 的性质，会运用性质解决问 题；
3．能根据定义判断两个多 边形是否是相似多边形.
自主探学
1、什么是相似三角形?什么是相似三角形的相似比? 三个角对应相等,且三边对应成比例的两个三角 形叫相似三角形. 相似三角形的对应边的比叫相似比. 2、你能类比得到什么是相似多边形吗?什么是相 似多边形的相似比吗? 对应角相等,且对应边成比例的两个多边形叫相 似多边形. 相似多边形的对应边的比叫相似比.
2、如图所示的两个矩形相似吗？为什么？若相似， 相似比是多少？四边形GHEF与四边形ABCD的面积 的比是多少？ D A
10
G
8
4
5
F
B
C
H
E
3、如图所示的两个多边形相似，则 x、y 的值与∠ 分别是多少？
的度数
4、下列各组图形中一定相似的图形是（ A、底角对应相等的两个等腰梯形 B、有一个角为60°的两个菱形 C、两邻边之比相等的两个平行四边形 D、两个矩形
3、 相似三角形有什么性质? 相似三角形的周长的比等于相似比,面积 的比等于相似比的平方. 4、猜想:相似多边形又会有什么性质呢? 相似多边形的周长的比等于相似比,面积 的比等于相似比的平方. 5、验证：自学P84——P85
合作助学
1、判断下列每组中的两个图形是否相似 (1)两个大小不等的矩形; (2)两个大小不等的正五边形; (3)一个正方形与一个平行四边形; (4)两个大小不等的菱形）Fra bibliotek当堂测学
见学案
3.3相似三角形的性质和判定(3)
DF EF = . AC BC
=∠C, 是边FD与 的夹角 的夹角, 是边CA与 的夹角 的夹角, 又∠F=∠ ,且∠F是边 与FE的夹角 ∠C是边 与CB的夹角 =∠ 是边 是边 因此 △ DEF ∽△ABC
观察
如图,在 如图 在△ABC与△DEF中,∠B=∠E=40°,AB=4.2cm, 与 中∠ ∠ ° AC=3cm,DE=2.1cm,DF=1.5cm. △ ABC 与△DEF有两边对 有两边对 应成比例吗?有一个角对应相等吗 这两个三角形相似吗? 有一个角对应相等吗?这两个三角形相似吗 应成比例吗 有一个角对应相等吗 这两个三角形相似吗
探究
′,使 画△ABC与△A′B′C′,使∠A= ∠A′,且 与 ′, 且
A B AC = =2 AB AC
相似吗? △A′B′C ′与 △ABC相似吗 与 相似吗 把相似比2换成任意一个正数 , 把相似比 换成任意一个正数k, 换成任意一个正数 相似吗? △A′B′C ′与 △ABC相似吗 相似吗
2 2 2
由此得出， 由此得出， BC
' '
= 2B C .
' '
' ' '
从而， 从而，
'Leabharlann B C 1 A B AC = = = . BC 2 AB AC
因此 △A′B′C ′∽△ABC ∽
练习
已知在Rt△ １.已知在 △ABC与Rt△A′B′C′中，∠C=∠C ′=90°, 已知在 与 △ 中 ∠ ° AC=3cm,BC=2cm, A′C ′= 4.2cm, B′C ′=2.8cm. 求证： 求证： △ABC∽△A′B′C′. ∽
A A′
'
第一讲(三)相似三角形判定与性质
E
AC边上的点, 且DE // BC.由上一节的例
3可知, ADE和ABC对应边成比例.又 B 图1 16
C
由DE // BC可得, ADE B, AED
C,而A是公共角,因此ADE ~ ABC. E
D
探究 如果 D、E交于BA、CA的延长
线上,且DE // BC 图1 17,那么结论是
因此在D、E的变化过程中, ADE的边长在改变,而角的大
小 始 终 不 变.这 说 明, 只 要 两 个 三 角 形 的 三 个对 应 角 相 等,
那么它们就相似.又由于三角形的内角和为1800 ,所以只要
两 个 三 角 形 中 有 两 个 对应 角 相 等, 那 么 第 三 个 对 应 角 一 定
是同弧上的圆周角.故ACE ABE .则BCE ABE.
又因为BED CEB,故EBD ~ ECB.因此 EB DB . EC CB
A
D1 D
D2
E1 E E2
B
C
图1 18
探究 沿着"从运动变化中找不变性"的思路,可 以发现 ,在图1 18中,对于 DE 的任意一个位置,
判定定理3 对于任意两个三角形,如果一个 三角形的三边 和另一个三角形的三条边对 应成比例, 那么这两个三角形相似. 简述为: 三 边 对 应 成 比 例, 两 三 角 形 相 似.
已知:图1 25, 在ABC和A`B`C`中,
A`
A`B` B`C` C`A`. AB BC CA 求证 : A`B`C`~ ABC .
交圆于一点E .求证 : EB DB .
EC CB
E
分析 要证 EB DB ,应考虑EB、EC、 EC CB
相似三角形的性质
相似三角形的性质【知识要点】1．对应边成比例，对应角相等的三角形称为相似三角形。
2．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3．相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
4．相似三角形的对应中线，对应高线，对应角平分线之比等于相似比。
5．相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
6．几种常见的基本图形：C ∽∽∽CD∽∽∽∽∽∽【典型例题】例1 如图，已知△ABC∽△ADE，AE=5，EC=3，BC=7，∠BAC=45 º，∠ACB=40 º。
（1）∠AED和∠ADE的度数。
（2）求DE的长。
（3）直线DE和直线CB有什么位置关系。
例2 已知△ABC∽△DEF，∠A=80º，∠E=70º，AB=5cm，DE=2.5cm，BC=8cm，DF=5cm，求（1）∠B、∠C、∠D、∠F（2）AC、EF。
（3）△ABC和△DEF的相似比。
（4）若AG、DH分别为△ABC和△DEF的高，求AG：DH。
（5）若△ABC中∠C的内角平分线长为a，求△DEF中∠F的内角平分线长。
（6）求S△ABC：S△DEF例3例4 如图，已知△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：BD=3:4,求D ECB :四边形S S AD E ∆。
例5 如图所示，ABC ∆∽ACD ∆，若B ACD ∠=∠，3AD =，9BD =。
（1）求ABC ∆与ACD ∆的相似比；（2）若4CD =，求ABC ∆的三条边之和。
例6 如图，△ABC 的面积被平行于它的一边BC 的两条线段DE 、FG 三等分，其中BC=12cm ，求这线段DE 和FG 的长度例7 △PQR 是等边三角形，△PAQ ∽△BPR ，请探索AQ 、QR 、RB 之间的关系，试写出结论，并说明理由。
CC【小试锋芒】1．判断题：（1）两个菱形一定相似。
（ ） （2）两个正方形一定相似。
九年级数学相似三角形的性质3
6、如果把一个三角形的面积扩大为原来的100倍， 10 倍，周长为原来的______ 10 倍。 则边长为原来的_____
巩固练习：
7、判断题： 1、相似三角形中，所有的线段都对应成比例。 （ √）
相似三角形的性质
相似三角形的性质二
对应高
相似三角形的 对应中线 对应角平分线
性质2： 相似三角形的对应高的比，对应中线的比， 与对应角平分线的比都等于相似比。
相似比
对应高的比
对应中线的比
相似三角形的
对应角平分线的比 周长的比 面积的比
相似比
A
A1
B
C
B1
C1
△ABC～△A1B1C1，相似比为K 求它们的周长之比。
简单记忆2、3、4： 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长 的比都等于相似比；面积比等于相似比的平方。
巩固练习：
A 等于相似比。 1、相似三角形的_______
A、对应边的比、对应高的比、对应中线的比、 对应角平分线的比、周长的比。
B、对应边的比、对应高的比、对应中线的比、 对应角平分线的比、周长的比、面积的比。
巩固练习：
2、填空： （1）两个三角形的对应边的比为3:4，则这 3:4 ，对 两个三角形的对应角平分线的比为_____ 应边上的高的比为____ 3:4 ，对应边上的中线的比 3:4 ，这两个三角形的周长比为_____ 3:4 ， 面 为____ 9:16，对应角的比为_____ 1:1 。 积比为____
作业：
1、已知：点D、E、F分别是△ABC的 边BC、CA、AB的中点， 求证：S△ABC=4S△DEF
相似三角形的判定及性质
R
r
19
习题 1.3
5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF
交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
H
A
D
E F
B
C
G
BH BC AD AG EH EF EF EG
预备定理 定义 引理 20
习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC. O 求证:△DEF∽△ABC.
(2) AD BC AC ED
3、已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=a，AC=b， A′B′=a′，当 A′C′为多少时，△ABC∽△A′B′C′？
22
小结
相
似
三
角 形
预备定理
的
概
念
判定定理1
判定定理2 直角三角形判定定理
判定定理3
23
EF 1 BC, FD 1 CA, DE 1 AB
2
2
2
EF FD DE 1 BC CA AB 2
∴△DEF∽△ABC
A
F
E
B
D
C
9
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它 们相似。
两边对应成比例及夹角相等
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似。
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定
理.
10
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形的性质及其应用(3)
③利用相似解决问题
E
变式二
小晨想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿影长 0. 4米，在同时刻测量旗杆的影长时，影子不全落在地面上， 有一部分落在第一级台阶上，测得此影长为0.2米，一级台阶 高0.3米，此时落在地面上影长为4.4米，求旗杆的高度.
E
已知一次函数y=-0.75x+3的图像与X轴，Y轴 分别交于A,B两点，点C在AB上以每秒1个单 位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段 AO上，以同样的速度从点A向点O运动，运 动时间用t（单位：秒）表示 问：当t为何值时，△ACD与△ABO相似？ 并写出C点坐标。
已知直角△ABC,∠C=90°，BC=2,AC=5, 把边长分别为x1,x2,x3….xn的正方形依次放 入△ABC中，第一个正方形的边长是 （ ）；第n个正方形的边长是（ ）
一、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻 物高与影长的比例”的原理解决
二、解决实际问题时（如测高、测距）， 一般有以下步骤：①审题 ②构建图形
A
CH=12m
EF=0.3m
E
C
G F
H
B
D
依据：相似三角形对应高的比等于相似比。
基础演练
步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距 离OE为80cm，步枪上准星宽度AB为2mm，目标的正 面宽度CD为50cm，求眼睛到目标的距离OF。
A B 准星
A O
B E
C F D
解：由题意得，△OAB∽ △OCD，
C FDBA方法一：影长法
（太阳光线可以近似的看作平行线）
Zx.xk
C
2.4m
F
1.47m
D
E
相似三角形的性质定理(3种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
相似三角形的性质定理（3种题型）【知识梳理】一、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 二、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比． 三、相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【考点剖析】题型一：相似三角形性质定理1例1.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长． 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BEA B E B ∴=即11362E B =，114E B =【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．例2.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119A C =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长． 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD A C A D ∴=即1296AD =，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 例3.求证：相似三角形对应高的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADkA D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高，11190BDA B D A ∴∠=∠=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质． 例4.求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的 中线．求证： 11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，1111AB CBkA B C B ==；又AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D B C =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADkA B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．例5.求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠ 的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，111BAC B A C ∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B A C ∴∠=∠∠=∠，111BAD B A D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例 6.如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =． 求证：1111AD BEA DB E =【解析】AB C D EA 1E 1D 1 C 1B 1证明：1111AB ADA B A D =，又111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，111ABD A B D ∴∠=∠，又1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例7.如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ．【解析】解：BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE ∴=，又BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例8.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【答案】2360cm ．AB C DEFABC D EFGH K【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=−矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，，GF AGBC AB ∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC ∴+=,3813248x x −∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例9.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG 的边长．【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD APBC AB AH ∴==．406040x x −∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系． 例10.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．ABCDEF GH P【答案】23(4)4x y x x =>−．【解析】解：如图， 矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD AD BC AB ∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠=． DEC AHC ∴∠=∠， //DE AH ∴，DE BDAH AB ∴=， 1DG DEBC AH ∴+=， 641BC x ∴+=，64xBC x ∴=−，又12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>−．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．题型二：相似三角形性质定理2例11.若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( )（A ）1:4 （B ）1:2 （C ）2:1 （D ）1:2【答案】B【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例12.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【答案】112015BC A B ==，．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==；又111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==．【总结】本题考查相似三角形的性质．例13.如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三 角形周长为2acm ，则5260a a −=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ． 【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例14.如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC ∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为．【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，AD 是BC 上的高，ABCD EF//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=，312AEF C ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例15.如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【答案】152cm ．【解析】解：梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+−梯形， 31667PDC PDC C C ∆∆∴=+−，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例16.如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C 不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【答案】247．【解析】解：CPQ PABQC C ∆=四边形，ABCD PABCPQCP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=−+−+， 5AB =，3BC =，90C ∠=，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=−+−+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB ，CP CQCA CB ∴=，∴643CP CP −=，247CP =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．题型三：相似三角形性质定理3例17.（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【答案】（1）10000；（2）10．【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．例16.两个相似三角形的面积分别为5cm 2和16cm 2，则它们的对应角的平分线的比为（ ）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对．【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方． 【总结】本题考查相似三角形的性质．例18.如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【答案】36．ABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例19.如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又28ACD S cm ∆=，218ABC S cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例20.如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED 的面积相等，求AD :BD 的值．【答案】21+．ABCDABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCEDS S ∆=四边形，12ADE ABC S S ∆∆∴=，12AD AB ∴=，12121AD DB ∴==+−．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例21.如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【答案】3． 【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥，，90CDA BEC ∴∠=∠=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=， 30CBE CAD ∴∠=∠=，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．例22.如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ， 交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CFAD的值．A B CDEF【答案】21．【解析】解：//EF BD ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD ∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEG EBCGS S ∆=四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆，90ACD ACB ∴∠=∠=，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，则它们的周长比为（ ） A ．1:4 B ．1:2C ．1:16D ．以上答案都不对【答案】A【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比．【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，∴两个相似三角形的相似比为1:4， ∴周长的比为1:4．ABCDEFG故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．在ABC 的边，ABC 的面积是A ．4B ．8【答案】A【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，再证明AGF ABC ∽，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x 的方程即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，∵ABC 的面积是32，8BC =， ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−， ∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽， ∴GF AMBC AH = ， 888x x −∴= ，解得∶4x =，即这个正方形的边长是4． 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 3．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）已知两个相似三角形的相似比为49：，那么它们的面积比为（ ） A ．23： B ．818：C ．49：D ．1681：【答案】D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案．【详解】解：两个相似三角形的相似比为49：， ∴它们的面积比1618：故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 九年级统考期中）已知ABC 的三边长分别为，DEF 的一边长，如果这两个三角形相似，那么DEF 的另两边长可能是（【答案】B【分析】根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意DEF 中为5cm 边长的对应边可能是6cm 或7.5cm 或9cm ，所以有三种情况．【详解】解：设DEF 的另两边为cm,cm x y ， 若DEF 中为5cm 边长的对应边为6cm ， 则：567.59x y==，解得：254x =，152y =； 若DEF 中为5cm 边长的对应边为7.5cm ，则：57.569x y ==，解得：4x =，6y =；若DEF 中为5cm 边长的对应边为9cm ， 则：5967.5x y ==，解得：103x =，256y =； 结合选项可得B 选项可选． 故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例的三角形相似．解此题的关键要注意DEF 中为5cm 边长的对应边不确定，答案不唯一，要仔细分析，小心别漏解．九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，在ABC 中，:ADEABCSS为（A ．3:5 【答案】C【分析】根据DE BC ∥可知ADEABC ，由:3:2AD DB =可知:3:5AD AB =,即相似比为3:5,再利用面积比是相似比的平方，即可判断求解． 【详解】解：∵DE BC ∥， ∴ADEABC ，∵:3:2AD DB =， ∴:3:5AD AB =，2239525ADE ABCSAD SAB ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．用到的知识为：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似，相似三角形对应边的比相等，都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．DEF 的最短边长为，那么DEF 的周长等于（126【答案】D【分析】由相似三角形的性质：周长的比等于相似比，求出相似比即可求得结果． 【详解】ABC DEF ∽，∴相似比为3193k ==，13ABC DEFC C∴=，33(356)42DEFABCCC ∴==⨯++=；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是关键．是ABC 的重心，四边形与ABC 面积的比值是（【答案】B【分析】连接DE ，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，从而得到ADE ACB △△∽，进而得到221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，继而得到13DEGBDESS =，14ADEABCSS =，可得1116212DEGABCABCSS S =⨯=，再由ADEDEGAEGD S SS=+四边形，即可．【详解】解：如图，连接DE ，∵点G 是ABC 的重心，∴点D ，E 分别为,AC AB 的中点，∴1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，∴ADE ACB △△∽， ∴12DG EG DE BG CG BC ===， ∴221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==， ∴13DEGBDES S =，14ADE ABCSS =，∴111326DEGABDABDS S S =⨯=， ∴1116212DEG ABCABCSS S =⨯=，∴1114123ADEDEGABCABCABCAEGD S SS S S S =+=+=四边形，即四边形AEGD 与ABC 面积的比值是13．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． 二、填空题8．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）已知ABC 与DEF 相似，且ABC 与DEF 的面积比为1:4，若DEF 的周长为16，那么ABC 的周长等于________．【答案】8【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出ABC 与DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵相似三角形ABC 与DEF 面积的比为1:4， ∴它们的相似比为1:2，∴ABC 与DEF 的周长比为1:2， ∵DEF 的周长为16， ∴ABC 的周长等于8， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）已知ABC ∽111A B C △，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，AB ：113A B =：4，BE 、11B E 分别是它们的对应角平分线，则BE ：11B E =______． 【答案】3：4【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可． 【详解】解：ABC ∽111A B C △，BE ∴：11B E AB =：113A B =：4，故答案为：3：4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，DE BC ∥，:2:3AE EC =，则:OE OB =________．【答案】2:5【分析】根据:2:3AE EC =可求出:2:5AE AC =，再根据三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：∵:2:3AE EC =，∴25AE AC =，∵DE BC ∥，∴25DE AE BC AC ==，且DEO CBO △∽△， ∴25OE DE OB CB ==， 故答案为：2:5．【点睛】本题主要考查比例的性质，相似三角形的性质，理解平行线的性质，相似三角形的性质是解题的关键．11．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4，如果DEF 的周长为24，那么ABC 的周长是___________．【答案】18【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得:3:4ABCDEFCC=，又因为DEF 的周长是24，再建立方程即可．【详解】解：∵ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4， ∴:3:4ABCDEFCC=，∵DEF 的周长是24， ∴:243:4ABCC=∴ABC 的周长是18， 故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比． 12．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽，则AF BG EF HG ⨯=⨯，即可得到答案． 【详解】90C ∠=︒，正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上， 90A B ∴∠+∠=， 90B BHG ∠+∠=，Rt Rt AFE HGB ∴∽， =24AF BG EF HG ∴⨯=⨯．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．，如果ABC 三边长分别是DEF 的两边长为【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】解：∵ABC DEF △△∽，∵ABC ，2，2，DEF 的两边长为1x∴21x ==，解得：x所以DEF ．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键．14．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）已知111ABC A B C :△△，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，11:3:5AB A B =，E 、1E 分别是边AC 、11AC 的中点，如果1BE =，那么11B E 的长为________． 【答案】53/213【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可．【详解】解答：解：∵11111:35ABC A B C AB A B =∽，:，∴对应中线BE 、11B E 的比值为35:，∴11135B E =::， ∴1153B E =． 故答案为：53．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比． 15．（2022秋·上海杨浦·九年级统考期中）如果两个相似三角形的面积比为3:4，那么它们对应高之比为__________．2 【分析】根据相似三角形的性质，两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为两个相似三角形的面积比为3:42；再结合两个相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：两个相似三角形的面积比为3:4，∴2，∴2，2．【点睛】本题考查相似三角形的性质应用，熟练掌握形式三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比是解决问题的关键． 16．（2023·上海·一模）如果ABC ∽DEF ，且ABC 的三边长分别为3、4、5， DEF 的最短边长为6，那么DEF 的周长等于________．【答案】24【分析】先设DEF 的周长等于c ，再根据相似三角形周长的比等于相似比即可求出c 的值．【详解】解；设DEF 的周长等于l ，∵ABC ∽DEF ，ABC 的三边长分别为3、4、5，DEF 的最短边长为6， ∴33546c ++=，解得24c = ．故答案为：24．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比． 17．（2023·上海黄浦·统考一模）已知ABC 的三边长分别为2、3、4，DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，那么DEF 的最短边的长是______．【答案】12 【分析】先计算出ABC 的周长，进而得出相似比为16∶，进而得出答案． 【详解】解：∵ABC 的三边长分别为2、3、4，∴ABC 的周长为：9∵DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，∴ABC 与DEF 的周长比为95416=∶∶， ∴ABC 与DEF 的相似比为16∶， 设DEF 的最短边的长是x ，则：216x =∶∶，解得∶12x =．故答案为∶12．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．18．（2023·上海宝山·一模）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为 _____厘米．【答案】18【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．【详解】解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24=x ，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键． 19．（2022·上海·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比是 9:25， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．【答案】3【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25∴两个三角形相似比为3:5设：另一三角形对应边上的高为x∴355x =，解得x=3 故答案为：3【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 20．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．【答案】【分析】过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，首先由勾股定理得出AB 的长，由面积法即可求出CM 的长，可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，AB ∴，1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△，∴AC BC CM AB ⋅∴===， ∵正方形DEFG 内接于ABC ，GF EF MN ∴==，GF AB ∥，CGF CAB ∴△∽△，CN GF CM AB ∴=，EF −=，解得：EF =，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 21．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边BC AC 、上，ABE C ∠=∠，DE AB ∥，如果6AB =，9AC =，那么:BDE CDE S S △△的值是______．【答案】4:5【分析】根据已知证明ABE ACB ∽，得出4AE =，进而得出5EC =，根据DE AB ∥，根据平行线分线段成比例，得出45AE BD EC DC ==，即可求解． 【详解】解：∵BAE CAB ∠=∠，ABE C ∠=∠，∴ABE ACB ∽，∵6AB =，9AC =，∴AB AE AC AB =∴24AB AE AC ==，∴945EC AC AE =−=−=，∵DE AB ∥，∴45AE BD EC DC == ∴:BDE CDE S S △△=::4:5BD DC AE EC ==，故答案为：4:5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．（2023·上海·一模）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为______．【答案】8+8【分析】根据 “优美梯形”的定义，得到ABD BDC ∽△△，从而得到90CBD BAD ∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，推出2BD AB CD =⋅，算出BD =再根据勾股定理，得到AD 、BC 的长，即可得到该直角梯形的周长．【详解】解：根据题意，作图如下，ABCD 为直角梯形，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，90ABD ADB ∴∠+∠=︒，90ADB BDC ∠+∠=︒，ABD BDC ∴∠=∠，直角梯形ABCD 是“优美梯形”，ABD BDC ∴∽，90CBD BAD ∴∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，2BD AB CD ∴=⋅，2AB =，4CD =，BD ∴，在Rt ABD 中，2AD ，在Rt BCD △中，BC =∴该梯形的周长2428AB BC CD DA =+++=++=+故答案为：8+【点睛】本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 23．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于点O ，如果2ABC ACD S S =，那么COD S △：ABC S =______．【答案】1：3/13【分析】首先根据2ABC ACD S S =，可得AD ：1BC =：2；然后根据AOD ∴∽COB ，可得AO ：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，进而可得AOD S：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2，设AOD S k =，分别表达OCD S 和ABC S 进而可得结论．【详解】解：在梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC ACD S S =，AD ∴：1BC =：2；//AD BC ，AOD ∴∽COB ，AO ∴：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，AOD S∴：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2， 设AOD S k=，则4BOC S k =，2AOB OCD S S k ==， 6ABC AOB BOCS S S k ∴=+=， COD S ∴：2ABC S k =：61k =：3．故答案为：1：3．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．三、解答题24．（上海·九年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB ＝7，求CD 的长．【答案】143【详解】试题分析：由题意易得△COD ∽△AOB ，由此可得：CD DO AB BO =；由△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，可得：23DO BO =，再结合AB=7即可求得CD 的长.试题解析：∵AB ∥DC ，∴△COD ∽△AOB ， ∴CD DO AB BO =，∵△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6， ∴23DO BO =， ∴23CD DO AB BO ==， 又∵AB ＝7， ∴273CD =， ∴CD ＝143.【答案】20平方厘米【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解．【详解】解：设两个三角形的面积分别为x ，y ，则有22365x y x y ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，解得2045x y =⎧⎨=⎩；答：较小三角形面积为20平方厘米．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方．26．（2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC ∆的边15BC =，高10AH =，求：正方形DEFG 的边长和面积．【答案】6，36【分析】由正方形的性质可得DG //BC ，不难证明ADG △∽ABC ，即DG AM BC AH =，设正方形的边长为x ，分别表示出对应边的长度并代入DG AM BC AH =求解，即可得出正方形的边长，即可得出正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x ，正方形DEFH ，AH ⊥BC ，∴DG=GF=MH=x ，DG //BC ，∴ADG=B ∠∠，AM=10－x ，在ADG △与ABC 中，ADG=BAC BAC B ∠=∠⎧⎨∠∠⎩，∴ADG △∽ABC ，∴DG AM BC AH =，∴101510x x −=， 解得：x=6，S=6×6=36．答：正方形的边长为6，面积为36．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，设正方形的边长为x ，根据相似比等于高之比列方程求解是解题关键．27．（上海·九年级阶段练习）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．【答案】48mm【分析】设正方形EF=EG=ID=x，根据正方形的性质，得到EF∥BC，△AEF∽△ABC，列出比例式EF AIBC AD=，代入计算即可．【详解】∵四边形EFHG是正方形，AD是高，∴ EF∥BC，四边形EGDI是矩形，∴ EG=ID，设正方形EF=EG=ID=x，∴△AEF∽△ABC，∴EF AI BC AD=，∵ BC＝120mm，高AD＝80mm，∴80 12080x x−=，解得x=48，故正方形的边长为48mm．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键．。
相似三角形性质3-副本PPT课件(沪科版)
平方。
已知: 如图Δ ABC∽Δ A’B’C’类似比为k.
sΔ ABC
s 求证:
ΔA’B’C’
=k2
B
A
B’
DC
A’ C’
D’
归纳总结：类似三角形，对应线段的比等于相 似比，面积比等于类似比的平方。
1.若两个类似三角形周长比是4:9,则对应中线的比为 _________.
2.在一张由复印机复印的纸上，一个三角形图案的一条边由 本来的1cm 变为2cm，那么这次复印出来的图案面积是本 来的_____倍。
的值。
D B
E
F
C
变式：过E点作AB的平行线EF, F交BC线段上， 问△CEF的面积？
已知:如图， DE//BC,AB=20m,BD=12m, ΔABC的面积为100m2。 求ΔADE的面积.
解:因为DE∥BC,所以ΔADE ∽ΔABC
即，S ΔADE/S ΔABC =(AD/AB)2 故： S ΔADE/100=（8/20）2 =（2 /5）2 得， S ΔADE =16(m2)
谢 谢，再 见
3.若两个类似三角形的面积比为1:2，则类似比为______. 4.已知，如图△ABC，BD:DC=5:3, 则△ABD与△ADC
面积比为__________.
A
B
5k
C D 3k
例1：如图，△ABC面积25，直线
DE平行于BC分别交AB,AC于D,E,
如果△ADE面积为9,求
A
AD AB
,
AD DB
拓展引申： 连接CD,求 S△DEC.
智慧展示:
一位老农有一块三角形的田,AB大概为30米， AC大概为24米，中间修建一个平行底边BC的水 渠DE，一来想把田平均分给两个儿子，二来便 于两块田进行灌溉。请你们帮帮老农如何把田分 好，如何奇妙的找到水渠的进口E,和出口D？
相似三角型性质
B C A D EOAB CD AB CE D AB CDA B C D AB C D A BC D OA DB C相似三角形的性质【知识要点】1．对应边成比例，对应角相等的三角形称为相似三角形。
2．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3．相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
4．相似三角形的对应中线，对应高线，对应角平分线之比等于相似比。
5．相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
6．几种常见的基本图形：∽ ∽ ∽∽ ∽ ∽∽ ∽【经典例题】1如图，已知△ABC ∽△ADE ，AE=5，EC=3，BC=6，∠BAC=45 º， ∠ACB=40 º。
（1）∠AED 和∠ADE 的度数 （2）求DE 的长 （3）直线DE 和直线CB 有什么位置关系2 已知△ABC ∽△DEF ，∠A=80º，∠E=70º，AB=5cm ，DE=2.5cm ，BC=8cm ，DF=5cm ，求 （1）∠B 、∠C 、∠D 、∠F （2）AC 、EF（3）△ABC 和△DEF 的相似比（4）若AG 、DH 分别为△ABC 和△DEF 的高，求AG ：DH（5）若△ABC 中∠C 的内角平分线长为a ，求△DEF 中∠F 的内角平分线长 （6）求S △ABC ：S △DEFABCD E3 如图，CD 是ABC Rt ∆斜边上的高，AD=9，CD=6，求CDB CDA S S ∆∆:的值4 如图，已知△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：BD=3:4,求DECB :四边形S S ADE ∆。
5 如图所示，ABC ∆∽ACD ∆，若B ACD ∠=∠，3AD =，9BD =。
（1）求ABC ∆与ACD ∆的相似比；（2）若4CD =，求ABC ∆的三个边之长。
6 如图所示，ABC ∆中，AD 是角平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，已知AB=12， AC=8，求DE 的长．AB CDEACDBA CPB1题图 【经典练习】A 组1．如图所示，CA ∥FG ∥BD ，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似三角形的组数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4E 2．如果两个等腰直角三角形的斜边之比为1：2，则它们的面积之比为（ ） A ．1：1 B ．1：2 C ．1：2 D ．1：43．在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：BD=1：2，则下列结论中正确的是（ ） A ．21=BCDE B ．31=BCDEC ．12AD E ABC ∆=∆周长周长D ．13AD E ABC ∆=∆面积面积4．如图所示，AC ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=5，AC=3， 要使Rt △ABC ∽Rt △ACD ，则CD 应为（ ） A ．59 B ．512 C ．59或512 D ．无法确定5．如图所示，E 、F 分别是线段AB 、CD 上的点， 且AB ∥CD ，CE ∥FB ，AD 交CE 、BF 于点M 、N ， 则图中相似三角形共有（ ）A ．8对B ．6对C ．4对D ．2对B 组1．如图所示，△ABC ∽△ACP ，∠B=∠ACP ，AP=4，BP=5，△ACP 与△ABC 的相似比为（ ）A ．4:5B ．4:9C ．2:3D ．5:9 2．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形必是（ ） A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 3．如图所示， ABCD 中，AE ：EB=1：2，若△AEF 的面积为6cm ，则△DCF 的面积为（ ） A ．54cm 2B ．18cm2C ．12cm 2D ．24cm 24．如图所示，D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点，则△EFD 面积与△ABC 面积之比为（ ） A ．41 B ．32 C ．31 D ．435．如图所示，在△ABC 中DE ∥BC ，若S △EFC =2S △EFD ， D E 则S △ADE ：S 四边形BCED 等于（ ）A ．1：4B ．1：3C ．1：2D ．2：5 6．如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，S △ADE =1，S △EFC =4，则四边形BFED 的面积为（ ） D EC B DAF 1题图ABCDEFMN 5题图ABC D4题图D EAB CFA B CDE F4题图ABCD EF 11题图AA ．2B ．4C ．8D ．9B FC 7.有同一三角形地块的甲、乙两幅地图，比例尺分别为1:100和1:500，则甲地图与乙地图表示这一地块的三角形面积之比为（ ）A 、25B 、5C 、1:25D 、1:58.如图，DE ∥FG ∥BC ，AE=EG=BG ，则=ⅢⅡⅠS S S ::（ ） A ：1:1:1 B 、1:2:3 C 、1:3:5D 、1:4:99．如图，在矩形AODE 中，B ，C 是OD 的三等分点，AO=OB ，下列结论正确的是（ ）A 、AOB ∆∽AOC ∆ B 、AOB ∆∽AOD ∆ C 、ABC ∆∽ACD ∆ D 、ABC ∆∽DBA ∆10.如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，D 是AC 上的点，AB DE ⊥于E ，若AB=10，BC=6，DE=2，求四边形DEBC 的面积11.判断下列两组三角形是否相似，并说明理由.(1)△ABC 和△A ′B ′C ′都是等边三角形.(2)△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ；△A ′B ′C ′中，∠C ′=90°，A ′C ′=B ′C ′.12.已知△ABC 中，AB =15 cm ，BC =20 cm ，AC =30 cm ，另一个与它相似的△A ′B ′C ′的最长边为40 cm ，求△A ′B ′C ′的其余两边的长.13.已知：△ABC 三边的比为1∶2∶3，△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的最大边长为15 cm ，求△A ′B ′C ′的周长.ACDBEA EOBCDA E D GF B CⅠ Ⅱ Ⅲ。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质1．相似三角形的概念：在和中，如果，，，，我们就说和相似，记作∽，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).2．相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.思考：若，，与是否相似呢？相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.进一步引申：若，，与是否相似呢？不一定问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等.例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，，；，，.(2)，，；，，.解：(1)，∴又∴∽问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是)(2)，，∴与的三组对应边的比不等，它们不相似.问：要使两三角形相似，不改变的长，的长应当改为多少？(答：)例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是：，3；或，；或，.注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.3．三角形相似的判定的应用例3.如图，弦和弦相交于内一点，求证：.证明：连接，.在∴∽∴.例4.已知：如图，在中，于点.(1)求证：∽∽；(2)求证：；；(此结论称之为射影定理)(3)若，求.(4)若，求.分析：(1)利用两角相等证相似；(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可；(3)利用射影定理和勾股定理直接求；(4)利用上面的定理和方程求.进一步引申：在中，于点，这个条件可以放在圆当中，是直径，是圆上任意一点，于点，则可得到双垂直图形.例.已知：∽，分别是两个三角形的角平分线.求证：.4．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.(2)相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.证明：如果∽，相似比为，那么.因此，，.从而，.同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.如图，已知：∽，相似比为.分别作出与的高和和都是直角三角形，并且，∽相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，可以把他们分成若干个相似三角形证明.例5.如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.解：在和中，，又∽，相似比为.的周长为，的面积是.例6.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；(2)如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.分析：此题第1问：利用两边的比相等，夹角相等证相似.即，第2问：设∵是的比例中项，∴是的比例中项即∴解得又∵第3问：∵，，即当时，两圆内切；当时，两圆内含；当时，两圆相交.例7.如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.(3)在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.解：(1)，∽(2)∵的周长与四边形的周长相等∽(3)在线段上存在点，使得为等腰直角三角形.过作于，则，设交于若，则.∵∽若，同理可求.若，∽∴在线段上存在点，使得为等腰直角三角形，此时，或.三、总结归纳：1、相似三角形的判定：(1)相似三角形的定义；(2)平行得相似；(3)三边的比相等；(4)两边的比相等，夹角相等；(5)两角对应相等.三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择.2、全等与相似的类比：3、相似三角形的常见图形及其变换：4、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系证明题常用方法归纳：(1)通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(2)若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.(3)若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.。
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4．7 相似三角形的性质（一）
一、教学目标：
1、熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似比，而面积比等于相似比的平方。
2、并能用来解决简单的问题。
二、教学过程：
1、知识点：相似三角形的性质
（1） 相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2） 相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比； （3） 相似三角形周长比等于相似比； （4） 相似三角形面积比等于相似比的平方。
2、例题讲解：
例1：钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图1，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.
（1）
B A AB '',
C B BC '',C A AC
'
'各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比. （3）请你在图1中再找出一对相似三角形. （4）
D C CD
'
'等于多少？你是怎么做的？与同伴交流. 图1
解：（1）
B A AB ''=
C B BC ''=C A AC
'
'=_________. （2）△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∵_______=_______=_______
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′( )，且相似比为___________.
（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（或△ADC ∽△A ′D ′C ′） ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得∠______=∠______ ∵∠________=∠________=_____°
∴△BCD ∽△B ′C ′D ′( )（同理△ADC ∽△A ′D ′
C ′）
（4）∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴
D C CD
'
'= ________=________. 小结1： 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的__________，那么D C CD ''=C
B BC
''=k . 3．知识拓展：
求证1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么
D C CD ''= C A AC
'
'=k .
图2
∵△ABC ∽△A ′B ′C ′
∴∠A =∠________, ∠ACB =∠A ′C ′B ′
∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线. ∴∠__________=∠__________
∴△ACD ∽△A ′C ′D ′( ) ∴
D C CD ''= C A AC
'
'=k . 求证2：如图3中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则
D C CD ''= C A AC
'
'=k .
图3
∵△ABC ∽△A ′B ′C ′
∴∠_______=∠_______，
C A AC ''=
B A AB
'
'=k . ∵CD 、C ′D ′分别是_________ ∴D A AD ''=B A AB
''2
121
=B A AB '
'=k . ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′( ) ∴
D C CD '
'= C A AC
''=k . 小结：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
图4
例2：如图4所示，AD 是△ABC 的高，AD=h ,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD,垂足为E .当SR=
21BC 时，求DE 的长，如果SR =3
1
BC 呢？ 解：
三、达标测评：
1．△ACD ∽△A ′C ′D ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知2
3
，，C A AC ，B ′D ′=4cm ，求BD 的长。
2．△ACD ∽△A ′C ′D ′，AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线，已知AD=8 cm ，A ′D ′=3cm ，求△ACD 与△A ′C ′D ′对应高的比。
3．如图，小明自制了一个小孔成像装置，其中纸筒OD 的长度为15cm ，他准备了一枝长为20cm 的蜡烛，想要得到高度为5cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？
A B
O
C D。