6.2矩形的性质与判定

D
2
1⌒
⌒
∵ BD，BE分别是∠ABC与C它
B
P
的邻补角∠CBP的平分线
∴∠1= 1 ∠ABC,∠2= 1 ∠ABP
21
6.2 矩形的判定
复习回顾
两组对边 四边形 分别平行
平行四 边形
一个角 是直角
矩形
∟
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
四边形集合 平行四边形集合
矩形集合
性质
A
O
D
B
C
(1) 边：对边平行且相等
∵ 矩形ABCD,
∴AB CD，AD BC．
(2) 角：四个角都是直角
矩形的性质 ∵ 矩形ABCD
∴ ∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．
(3) 对角线：相等且互相平分 ∵矩形ABCD
∴ AC=BD 且OA=OB=OC=OD.
课前热身
1、矩形的四个内角都是__直_角___。 2、矩形的对角线__相_等___且 __互_相__平__分___。
3、矩形是__轴__对__称__和__中__心__对称图形。
∴四边形ABCD是矩形 B
C
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法3：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）
矩形的判定口诀：
任意一个四边形， 三角直角定矩形。 对于平行四边形， 一个直角即可定； 对线相等也矩形。
【P16议一议】
已知：在四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°
A
∟
D
求证证明：：∵四∠边A形=∠ABB=C9D0是° 矩形。
∴ ∠A+∠B=180°
∴AD∥BC
∟
∟
同理可证：AB∥CD B
C
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵ ∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
A
D
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
两组对边相等的四边形窗框 是否成矩形，一种方法是量 一量这个四边形的两条对角 线长度，如果对角线长相等， 则窗框一定是矩形，你知道 为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
3、已知如图四边形ABCD中，AB⊥BC，
AD∥BC，AD=BC，
A
D
试说明四边形ABCD是矩形。
∟
B
C
证明：∵ AD=CB AD∥CB ∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB⊥BC ∴∠B=90°
∴ □ ABCD是矩形
4、如图，平行四边形ABCD中，AB= 6，
BC= 8，AC= 10 ，
A
D
求证 : 四边形ABCD是矩形。
； (2)摆放成(如图②)的四边形，则这时窗框的形状是 平行四边形，
根据的数学道理是 两组对边分别相等的四边形平行四。边形
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角
尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格这时窗
框是 矩形
，根据的数学道理是有一个角是直。角的的平行四边形是矩形
ABCD AC = BD
ABCD 是矩形
∠A= ∠= ∠C=90°
四边形ABCD 是矩形
P17习题6.5 第1,2题
1． 有一个内角是直角 的平行四边形是矩形．对角 线 相等 的平行四边形是矩形．有三个角是直角的 四边形是 矩形 形。
2．如图，工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行：
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗(如图①)使AB=CD、 EF=GH
∴BC=
8242 4 3(cm),
S ∴ □ABCD=AB·BC = 4×4 3 =16 3(cm2).
D O
C
P17随堂练习
已知：如图，在□ABCD中， M是AD
边的中点，且MB=MC。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
M
D
B
C
谈一谈，今天你有何收获？
判定一个四边形是矩形的方法是：
ABCD ∠A=90°
证明：
∵AB=6,BC=8,AC=10
B
C
∴AB2+BC2=62+82=100=102=AC2
∴ ∠B=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ □ ABCD是矩形
5、BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的 平分线，AE⊥BE，AD⊥BD， A
求证：四边形AEBD是矩形。
E
证明：∵ AE⊥BE，AD⊥BD ∴ ∠E=90°, ∠D=90°
你有什么方法检查你家（或教 室）刚安装的门框是不是矩形？
如果仅有一根较长的绳子， 你怎样检查？
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（2）四个角都相等的四边形是矩形； （ ） （3）四个角都是直角的四边形是矩形。 （ ） （4）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ ） （6）两组对边分别平行，且对角线相等的四 边形是矩形． ( )
例：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
△ABO是等边三角形，AB = 4cm，求这个□ABCD的
面积.
A
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC = 2OA，BD = 2OB，
∵△AOB是等边三角形
∴OA = OB，
B
∴AC =BD，
∴□ABCD是矩形.
在Rt△ABC中，
∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm,
A
D
几何语言：
0
∵在 ABCD中
AC=BD
B
C
∴ ABCD是矩形
探究
有一个角是直角
有两个角是直角 的 四边形是矩形吗？
有三个角是直角
D
C
C
D
D
C
A
B
(有一个角是直角)
A
BA
B
(有二个角是直角) (有三个角是直角)
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
P15你能证明上述结论吗？
命题：有三个角是直角的四边形是矩形。
4、在直角三角形中，___3_0°__角所对的直角 边等于斜边的__一__半___。 5、在直角三角形中，斜边上的__中_线___等于 斜边的__一__半__。
矩形的判定方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
A
D
∵在 ABCD中
∠B=90°
B
∟
C ∴四边形ABCD是矩形
情境：工人师傅为了检验
A
D
证明: ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC,AB∥DC
在△ABC和△DCB中 AB=CD
B
C
BC=BC
AC=BD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∴ ∠ABC=∠DCB
又∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90° ∴四边形ABCD是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形。