平面向量知识点归纳

平面向量知识点归纳
1、向量的概念：
①向量： ②零向量： ③单位向量： ④平行向量（共线向量） ⑤相等向量： 注：⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.
⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.
⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（y x ,）,其中x 、y 满足 +2x 2
y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB
AB →→表示与AB →
同向的单位向量。

⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.
（7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

)
2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a
+b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。

注：向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） 围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量. ①当两个向量a 和b 不共线时，+a b 的方向与a 、b 都不相同，且|+a b |＜|a |＋|b |； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||b a ||||b a +； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同 ，且|b a +|=|a |-|b |；
若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |.
3、向量的减法 ：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-，求
两个向量差的运算，叫做向量的减法。

作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点
的向量（a 、b 有共同起点）CB AC AB =-
注：向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.
由三角形法则：+≤±≤-,
4、实数与向量的积： ①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ⋅=λλ；
（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a
的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b a λ=
6、平面向量的基本定理：
如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 特别： OP ＝12OA OB λλ+则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件.
注意：起点相同，系数和是1。

７、两个向量的数量积：
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数
量积（或内积）规定0a ⋅=
注：
① 两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的投影，其投影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②向量b 在a 方向上的投影cos a b
b a θ⋅=
③⇔⊥b a 0=⋅b a （∵θ=90°，)0cos =θ ④在实数运算中ab =0a ⇔=0或b=0.而在向量运算中b a ⋅=0a ⇔=0或b =0或b a ⊥ ⑤当a 与b 同向时b a ⋅=||||b a ⋅(θ=0,cos θ=1);
当a 与b 反向时，b a ⋅=-||||b a ⋅(θ=π,cos θ=-1)，即a ∥b 的另一个充要条件是
||||||b a b a ⋅=⋅.当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b 、
不同向；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、
不反向。

注意：><b a ,是锐角与0>⋅b a 不等价；同样><b a ,是钝角与0<⋅b a 不等价。

特例：“共线”。

特殊情况有2a a a =⋅=2||a 。

或||a
=
==22y x +.
如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则||a =221221)()(y y x x -+-
⑥||||||a b a b ⋅≤⋅。

（因1cos ≤θ）
８、向量的模与平方的关系：22
||a a a a ⋅== ()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a b a a b b ±=±⋅+2
22a a b b =±⋅+ ９、平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：a b b a ⋅=⋅ ②对实数的结合律成立：()()
()()a b a b a b
R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±
特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到
b c =⋅ （3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =0
10、两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a b ⋅=1212x x y y + 11、向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫
做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b
a b a b ⋅<>=⋅
=
当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 12、垂直：如果a 与b 的夹角为900
则称a 与b 垂直，记作a ⊥b
13、①在ABC ∆中，1()3
PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心， 特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心。

②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心； ③向量()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(BAC ∠的角分线所在直线)； ④||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心；
14、 P 分21P P 的比为λ,则P P 1=λ2P P ,λ＞0内分;λ＜0且λ≠-1外分.
OP ＝λλ++121OP OP ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ
=+）.;若λ＝1 则OP ＝21(1OP +2OP );设P(x,y),P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x ;中点⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x 重心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.3y y y y ,3x x x x 321321 说明：特别注意各点的顺序，分子是起点至分点，分母是分点至终点，不能改变顺序和分子分母的位置。

15、平面两点间的距离公式
,A B d =||AB AB AB =⋅221()x x =-11(,)x y ，B 22(,)x y ).
16、向量的平行与垂直 设11(,)a x y =,22(,)b x y =，且0b ≠，则
a ∥
b ⇔b a λ=12210x y x y ⇔-=.
a b ⊥(0a ≠)⇔0a b ⋅=12120x x y y ⇔+=.。