7.1空间解析几何基础知识

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(5)二次锥面
x2 a2
y2 b2
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z2 c2
0
(6)椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
2z
0
(a,b,c 0) (a,b 0)
(7.10) (7.11)
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(7)双曲抛物面(马鞍面)
x2 a2
y2 b2
2z
0
(a,b 0)
(7.12)
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所表示的空间曲面称为二
次曲面,其中ai,bi,ci(i=1,2,3) 和d均为常数,且ai,bi不全 为零.
(1)球面 x2+y2+z2=R2 (R>0) (7.6)
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(2)椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a,b,c 0)
当a=b=c=R时,即为球面.
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为
x2 y2 z2 R2 则z R2 x2 y2 是此球面的上半部;
z R2 x2 y2 是此球面的下半部.
| AB | d d12 (z2 z1)2 (x2 x1)2 ( y22 y12 ) (z22 z12 ) (7.1)
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特别地,空间中任意一点M(x,y,z)到原点O的 距离为
| OM | x2 y2 z2
(7.2)
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设给定空间中一点M,过点M作三个平行于 坐标平面的平面,它们与x,y,z轴分别交于点P、Q、 R,其所在坐标轴上的坐标分别为x,y,z.
我们称与点M对应的 三个有序的实数为点M 的坐标,记为
M=M(x,y,z)
其中x,y,z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐
我们只讨论母线与坐标轴平行的柱面. 设L是xOy平面上方程为f(x,y)=0的曲线,在空间,曲 线L可以用联立方程组
f (x, y) 0 z 0 表示.
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例如x2+y2=R2表示空间的一个圆柱面,它的母 线平行于Oz轴,准线是xOy平面上的圆.
x2 y2 R2 z 0
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称由两坐标轴决定的平面为坐标平面,简称 xOy,yOz,zOx平面.
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对于空间直角坐标系,我们采用右手系.所谓 右手系是指将右手的拇指、食指和中指伸成相 互垂直的形状,若拇指、食指分别指向x轴、y轴 正向时,中指正好指向z轴方向.
故M( x, y, z)的轨迹方程 (即A、B两点连线的垂直平分
面的方程)为 4x 4y 10z 11 0 因x y平面上任意一点的坐标满足z = 0；而凡满足z = 0的
点又都在 x y平面上；故坐标平面的方程分别为
xo y面的方程为 z = 0 yo z面的方程为 x = 0 xo z面的方程为 y = 0
常见的空间曲面主要有平面、柱面、二次曲
面等.
1.平面 空间平面方程的一般形式为
ax+by+cz+d=0
(7.4)
其 中 a,b,c,d 为 常 数 , 且 a,b,c 不 全 为 零 . 例 如 , 当
a=b=d=0,而c≠0时,得平面方程z=0,也就是xOy平
面.若a≠0,b≠0,c=d=0时,得平面方程ax+by=0.该平
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例7.1 求球面方程x2+y2+z2－4x+6y+8z=0的球心 和半径. 解 用配方法将原方程改写为
(x－2)2+(y+3)2+(z+4)2－29=0 即 (x 2)2 ( y 3)2 (z 4)2 ( 29)2 所以球心坐标为(2,－3,－4),半径 R 29 .
D2 D3
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空间平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz + D = 0
其中A、B、C、D均为常数, 且A、B、C不全为0.
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2. 已知曲面的方程, 研究方程的图形
通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;至于 一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定.
一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状.
标,或称为x坐标、y坐标、z坐标.
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三个坐标平面将空间分成八块,每一块叫做 一个卦限,我们将八个卦限编号,在上半空间为 I,II,II,IV,在它们的下方分别为V,VI,VII,VIII.
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对于空间中任意两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之 间的距离为
面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
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2.柱面 设L是空间中的一条曲线,与给定动直线l沿曲
线L平行的移动所得的空间曲面称为柱面,L称为 柱面的准线,动直线l称为柱面的母线.
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柱面的准线不是唯一的,柱面上与所有母线 都相交的曲线都可作为准线.
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二、常见的空间曲面与方程
空间中的任意曲面S都是点的几何轨迹.凡位于这一
曲面上的点的坐标x,y,z都要满足一个三元方程
F(x,y,z)=0 (7.3)
z
而不在这个曲面上的点的坐
M (x, y, z)
标都不满足方程(7.3).我们称方程
(7.3)为曲面S的方程.曲面S的几何
y
x
图形称为方程(7.3)的图形.
(7.7)
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(3)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a,b,c 0)
(7.8)
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(4)双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a,b,c 0)
(7.9)
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当c=0时,只有原点(0, 0, 0)满足此方程；
当c>0时,其截痕为以(0,0,c)为圆心,以 c 半径为R的圆.
显然c越大，其截痕圆越大.
z
若用平面x=a或y=b去截曲面,其 截痕为 抛物线.
x
故曲面 z x2 y2 是 一个旋转抛物面(如图).
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三、平面区域的概念及其解析表示
设P0(x0,y0)是xOy平面上的一定点,δ>0为一实 数,以P0为圆心,以δ为半径的圆的内部
D (P0 ) {(x, y) | (x－x0 )2 ( y－y0)2 }
称为点P0的δ邻域. y
P0 (x0 , y0 )
δ
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x
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内点、开集 设D为xOy平面上一点集,点 P0(x0,y0)∈D,若存在δ>0,使得 D (P0 ) D.则称P0为 D的内点;若D的点都是内点,则称D为开集.
P0(x0,y0)
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边界、边界点 设P0(x0,y0)为xOy平面上的一点, 若对任意δ>0,总存在点P1,P2∈Dδ(P0),使得 P1∈D,P2 D ,则称点P0为D的边界点;D的全体边 界点的集合,称为D的边界.
下面来解决关于曲面的两个基本问题:
1. 巳知曲面的几何轨迹, 建立曲面的方程
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例1 求球心在点 M0 (x0, y0, z0 ), 半径为R的球面方程. 解 设球面上任意一点为M (x, y, z),则动点M (x, y, z)与 定点M0 (x0 , y0 , z0 )之 间的长度为 MM0 R,则
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例2 一动点M( x, y, z)与两定点A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的 距离相等, 求此动点M的轨迹方程. 解 因 MA MB
(x 1)2 y2 (z 4)2 (x 1)2 （y 2）2 (z 1)2
4x 4y 10z 11 0
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方程x2－y2=1表示母线平行于Oz轴,准线为
双曲线 x2 y2 1 z 0
的双曲柱面.
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方程y2=2px表示抛物柱面.
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3.二次曲面 三元二次方程
a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5)
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开区域、闭区域 设D为一开集,P1和P2为D内任 意两点,若在D内存在一条或由有限条直线段组成 的折线将P1和P2连接起来,则称D为连通区域,简 称为区域或开区域;区域与区域的边界点构成的 集合称为闭区域.
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有界区域、无界区域 若存在正数R,使得
D DR (O)则称D为有界区域;否则,称D为无界区
域.这里DR(O)表示O(0,0)为圆心,R为半径的开圆,
即
DR(O)={(x,y)|x2+y2<R2}
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例7.3 画出下列区域D的图形:
D1={(x,y)|2≤x2+y2<3}
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平行于xy面的平面方程为 z = c(c为常数, 表示此平面 在 z 轴上的截距)
平行于xz面的平面方程为y=b(b为常数, 表示此平面 在 y 轴上的截距)
平行于yz面的平面方程为x=a(a为常数, 表示此平面 在 x 轴上的截距)
重要结论: 平面方程均为一次方程. 一般地,x, y, z的三元一次方程所表示的图形均是平面.
D2={(x,y)|xy>0}
D3={(x,y)|x+y≥0}
解 D1是圆环,满足2<x2+y2<3
的点都是D1的内点;满足
x2+y2=2的点均为D1的边界点,它们都属于D1;
满足x2+y2=3的点也是D1的边界点,它们不属
于D
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D2不是一个区域,因其不连通. D3是无界区域.
第六节 二重积分
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第六章
第一节 空间解析几何基础知识
一、空间直角坐标系 二、常见的空间曲面与方程 三、平面区域的概念及其解析表示
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一、空间直角坐标系 在空间中取定一点O,过O点作三条相互垂直
的数轴Ox,Oy,Oz,取定正方向,各轴上再规定一个 共同的单位长度,这就构成了一个空间直角坐标 系,记为Oxyz,并称O为坐标原点,称数轴Ox,Oy,Oz 为坐标轴.
第七章 多元函数微积分
（Multidimension Differential and Integrate）
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主要内容
第一节 空间解析几何基础知识 第二节 多元函数的概念 第三节 偏导数与全微分 第四节 多元复合函数与隐函数微分法
第五节 多元函数极值与最值
但若依次用平行于坐标面的平面x = a、y = b和z = c去截
曲面S，则可得一系列的截口曲线；再将它们综合起来就 会得出曲面S的全貌——这种方法称为 “平行截口”法. 例 考察下列的图形方程:
(1) x2 y2 R2
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(1) z x2 y2
解 用平面z=c(c≥0)去截曲面,其截痕为圆 x2 y2 c