图像的几何校正.
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n n i i j x h ( x , y ) a x y 1 ij i 0 j 0 n n i i j y h ( x, y ) b x y 2 ij i 0 j 0
和若干已知点，解求未知数。据此推算出各格网点在已 知畸变图像上的坐标(x‘,y’)。由于(x‘,y’)一般不为整数， 不会位于畸变图像像素中心，因而不能直接确定该点的 灰度值，而只能由该像点在畸变图像的周围像素灰度值 内插求出，将它作为对应像素（x,y）的灰度值，据此获 得校正图像。
第10章 图像的几何校正
几何失真
图像在获取过程中，由于成像系统本身具有非线性、 拍摄角度等因素的影响，会使获得的图像产生几何失真。 几何失真 系统失真
非系统失真。
系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真具有随 机的。 当对图像作定量分析时，就要对失真的图像先进行精 确的几何校正（即将存在几何失真的图像校正成无几何失 真的图像），以免影响定量分析的精度。
由于间接法内插灰度容易，所以一般采用间接法进行 几何纠正。
10.2 像素灰度内插方法 常用的像素灰度内插法有最近邻元法、双线性内插法 和三次内插法三种。 1．最近邻元法
在待求点的四邻像素中，将距离这点最近的相邻像素 灰度赋给该待求点。 该方法最简单，效果尚佳，但校正后的图像有明显锯齿 状，即存在灰度不连续性。
对于(i+u,j+v)有 f(i+u,j+v)=[f(i+1,j+v)-f(i,j+v)]u+f(i,j+v) = (1 u)(1 v) f (i, j ) (1 u)vf (i, j 1) u(1 v) f (i 1, j ) uvf (i 1, j 1)
10.1 空间坐标变换 实际工作中常以一幅图像为基准，去校正几何失真图 像。通常设基准图像f(x,y)是利用没畸变或畸变较小的摄像 系统获得的，而有较大几何畸变的图像用g(x´,y´)表示，下 图是一种畸变情形。
设两幅图像几何畸变的关系能用解析式 x h1 ( x, y)
y h2 ( x, y )
和若干已知点坐标，解求未知参数；然后从畸变图像出发， 根据上述关系依次计算每个像素的校正坐标，同时把像素 灰度值赋予对应像素，这样生成一幅校正图像。 但该图像像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏 密不均等现象，不能满足要求。因此最后还需对不规则图 像通过灰度内插生成规则的栅格图像。
二、间接法
设恢复的图像像素在基准坐标系统为等距网格的交 叉点，从网格交叉点的坐标（x,y）出发，根据
几何校正方法
图像几何校正的基本方法是先建立几何校正的数学模型； 其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行 几何校正。通常分两步： ①图像空间坐标变换；首先建立图像像点坐标（行、列 号）和物方（或参考图）对应点坐标间的映射关系， 解求映射关系中的未知参数，然后根据映射关系对图 像各个像素坐标进行校正； ②确定各像素的灰度值（灰度内插）。
该方法要比最近邻元法复杂，计算量大。但没有灰 度不连续性的缺点，结果令人满意。它具有低通滤波性 质，使高频分量受损，图像轮廓有一定模糊。
Bilinear vs Nearest Neighbour:
Original Nearest Neighbour
Bilinear
3．三次内插法 该方法利用三次多项式S(x)来逼近理论上的最佳插值 函数sin(x)/x。其数学表达式为：
2．双线性内插法
双线性内插法是利用待求点四个邻像素的灰度在二方向 上作线性内插。如图，下面推导待求像素灰度值的计算式。 对于(i，j+v)有 f(i，j+v)=[f(i，j+1)-f(i，j)]v +f(i，j) 对于(i+1，j+v)有 f(i+1，j+v)=[f(i+1，j+1)f(i+1，j)]v+f(i+1，j)
f (i 1, j 1) f (i, j 1) B f (i 1, j 1) f (i 2, j 1) f (i 1, j ) f (i, j ) f (i 1, j ) f (i 2, j ) f (i 1, j 1) f (i, j 1) f (i 1, j 1) f (i 2, j 1) f (i 1, j 2) f (i, j 2) f (i 1, j 2) f (i 2, j 2)
上述式子中包含a00、a10、a01 b00、b10、b016个未知数， 至少需要3个已知点来建立方程式，解求未知数。
当n=2时，畸变关系式为
2 2 x a00 a10 x a01 y a20 x a11 xy a02 y
2 2 y b00 b10 x b01 y b20 x b11 xy b02 y
来描述。
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通常h1(x，y)和h2(x，y)可用多项式来近似
x aij x i y j
n
n i
y bij x i y j
i 0 j 0
i 0 j 0 n n i
当n=1时，畸变关系为线性变换，
x a00 a10 x a01 y y b00 b10 x b01 y
1 2 | x |2 | x |3 0 | x | 1 S ( x) 4 8 | x | 5 | x |2 | x |3 1 | x | 2 0 | x | 2
(i-1,j-1) (i-1,j+2)
u
v
(x,y)
(i+2,j-1)
(i+2,j+2)
待求像素(x,y)的灰度值由其周围十六个点的灰度值加权 内插得到。可推导出待求像素的灰度计算式如下： f(x,y)=A‧B ‧ C 其中 A=[s(1+v) s(v) s(1-v) s(2-v)]
包含12个未知数，至少需要6个已知点来建立关系式， 解求未知数。
几何校正方法可分为直接法和间接法两种。
一、直接法
根据
n n i i j ( x , y) aij x y x h1 i 0 j 0 n n i i j y h ( x , y) b x y 2 ij i 0 j 0
和若干已知点，解求未知数。据此推算出各格网点在已 知畸变图像上的坐标(x‘,y’)。由于(x‘,y’)一般不为整数， 不会位于畸变图像像素中心，因而不能直接确定该点的 灰度值，而只能由该像点在畸变图像的周围像素灰度值 内插求出，将它作为对应像素（x,y）的灰度值，据此获 得校正图像。
第10章 图像的几何校正
几何失真
图像在获取过程中，由于成像系统本身具有非线性、 拍摄角度等因素的影响，会使获得的图像产生几何失真。 几何失真 系统失真
非系统失真。
系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真具有随 机的。 当对图像作定量分析时，就要对失真的图像先进行精 确的几何校正（即将存在几何失真的图像校正成无几何失 真的图像），以免影响定量分析的精度。
由于间接法内插灰度容易，所以一般采用间接法进行 几何纠正。
10.2 像素灰度内插方法 常用的像素灰度内插法有最近邻元法、双线性内插法 和三次内插法三种。 1．最近邻元法
在待求点的四邻像素中，将距离这点最近的相邻像素 灰度赋给该待求点。 该方法最简单，效果尚佳，但校正后的图像有明显锯齿 状，即存在灰度不连续性。
对于(i+u,j+v)有 f(i+u,j+v)=[f(i+1,j+v)-f(i,j+v)]u+f(i,j+v) = (1 u)(1 v) f (i, j ) (1 u)vf (i, j 1) u(1 v) f (i 1, j ) uvf (i 1, j 1)
10.1 空间坐标变换 实际工作中常以一幅图像为基准，去校正几何失真图 像。通常设基准图像f(x,y)是利用没畸变或畸变较小的摄像 系统获得的，而有较大几何畸变的图像用g(x´,y´)表示，下 图是一种畸变情形。
设两幅图像几何畸变的关系能用解析式 x h1 ( x, y)
y h2 ( x, y )
和若干已知点坐标，解求未知参数；然后从畸变图像出发， 根据上述关系依次计算每个像素的校正坐标，同时把像素 灰度值赋予对应像素，这样生成一幅校正图像。 但该图像像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏 密不均等现象，不能满足要求。因此最后还需对不规则图 像通过灰度内插生成规则的栅格图像。
二、间接法
设恢复的图像像素在基准坐标系统为等距网格的交 叉点，从网格交叉点的坐标（x,y）出发，根据
几何校正方法
图像几何校正的基本方法是先建立几何校正的数学模型； 其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行 几何校正。通常分两步： ①图像空间坐标变换；首先建立图像像点坐标（行、列 号）和物方（或参考图）对应点坐标间的映射关系， 解求映射关系中的未知参数，然后根据映射关系对图 像各个像素坐标进行校正； ②确定各像素的灰度值（灰度内插）。
该方法要比最近邻元法复杂，计算量大。但没有灰 度不连续性的缺点，结果令人满意。它具有低通滤波性 质，使高频分量受损，图像轮廓有一定模糊。
Bilinear vs Nearest Neighbour:
Original Nearest Neighbour
Bilinear
3．三次内插法 该方法利用三次多项式S(x)来逼近理论上的最佳插值 函数sin(x)/x。其数学表达式为：
2．双线性内插法
双线性内插法是利用待求点四个邻像素的灰度在二方向 上作线性内插。如图，下面推导待求像素灰度值的计算式。 对于(i，j+v)有 f(i，j+v)=[f(i，j+1)-f(i，j)]v +f(i，j) 对于(i+1，j+v)有 f(i+1，j+v)=[f(i+1，j+1)f(i+1，j)]v+f(i+1，j)
f (i 1, j 1) f (i, j 1) B f (i 1, j 1) f (i 2, j 1) f (i 1, j ) f (i, j ) f (i 1, j ) f (i 2, j ) f (i 1, j 1) f (i, j 1) f (i 1, j 1) f (i 2, j 1) f (i 1, j 2) f (i, j 2) f (i 1, j 2) f (i 2, j 2)
上述式子中包含a00、a10、a01 b00、b10、b016个未知数， 至少需要3个已知点来建立方程式，解求未知数。
当n=2时，畸变关系式为
2 2 x a00 a10 x a01 y a20 x a11 xy a02 y
2 2 y b00 b10 x b01 y b20 x b11 xy b02 y
来描述。
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通常h1(x，y)和h2(x，y)可用多项式来近似
x aij x i y j
n
n i
y bij x i y j
i 0 j 0
i 0 j 0 n n i
当n=1时，畸变关系为线性变换，
x a00 a10 x a01 y y b00 b10 x b01 y
1 2 | x |2 | x |3 0 | x | 1 S ( x) 4 8 | x | 5 | x |2 | x |3 1 | x | 2 0 | x | 2
(i-1,j-1) (i-1,j+2)
u
v
(x,y)
(i+2,j-1)
(i+2,j+2)
待求像素(x,y)的灰度值由其周围十六个点的灰度值加权 内插得到。可推导出待求像素的灰度计算式如下： f(x,y)=A‧B ‧ C 其中 A=[s(1+v) s(v) s(1-v) s(2-v)]
包含12个未知数，至少需要6个已知点来建立关系式， 解求未知数。
几何校正方法可分为直接法和间接法两种。
一、直接法
根据
n n i i j ( x , y) aij x y x h1 i 0 j 0 n n i i j y h ( x , y) b x y 2 ij i 0 j 0