基础知识天天练 数学7-1

第7模块第1节
[知能演练]
一、选择题
1．如下图是由哪个平面图形旋转得到的
()
解析：几何体的上部为圆锥，下部为圆台，只有A可以旋转得到，B得到两个圆锥，C 得到一圆柱和一圆锥，D得到一圆柱和两圆锥．
答案：A
2．下列几种关于投影的说法不正确的是
() A．平行投影的投影线是互相平行的
B．中心投影的投影线是互相垂直的
C．线段上的点在中心投影下仍然在线段上
D．平行的直线在中心投影中不平行
解析：中心投影的投影线是从一点出发的，不一定互相垂直．
答案：B
3．如下图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是
()
①长方体；②圆锥；
③三棱锥；④圆柱．
A．④③②B．①③②
C．①②③D．④②③
解析：由三视图可知：甲为圆柱，乙为三棱锥，丙为圆锥．
答案：A
4．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为
() A．2 2 B．2 3
C．4 D．2 5
解析：如图，设该棱为线段AB，其中A点在平面xOy内，点B在平面yOz内，设AB 的正视图投影为BC，侧视图投影为BE，俯视图投影为AD.
由题意知AB＝7，BC＝6，
则AC＝1，
设AE＝x，则AD＝1＋x2＝b，BE＝7－x2＝a，
∴t＝a＋b＝7－x2＋1＋x2≥0，
∵t2＝8＋2－(x2－3)2＋16≤16，
∴t≤4，即a＋b≤4.故a＋b的最大值为4.
答案：C
二、填空题
5．某几何体的三视图如下图所示：
则这个几何体是________．
解析：由三视图可知，这个几何体为正五棱锥．
答案：正五棱锥
6．用任一个平面去截正方体，下列平面图形可能是截面的是________．
①正方形；②长方形；③等边三角形；
④直角三角形；⑤菱形；⑥六边形．
解析：如图正方体ABCD
—A1B1C1D1中，平行于ABCD的截面为正方形，截面AA1C1C为长方形，截面AB1D1
为等边三角形，取BB 1、DD 1的中点E 、F ，则截面AEC 1F 为菱形，取B 1C 1、D 1C 1、AB 、AD 的中点M 、N 、P 、Q ，过这四点的截面为六边形，截面不可能为直角三角形．
答案：①②③⑤⑥ 三、解答题
7．一个正方体内接于高为40 cm ，底面半径为30 cm 的圆锥中，求正方体的棱长． 解：如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x ，
则OC ＝2
2x ，∴22x 30＝40－x 40，
解得x ＝120(3－22)，
∴正方体的棱长为120(3－22) cm.
8．已知正三棱锥V
—ABC 的正视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的侧视图和直观图． (2)求出侧视图的面积． 解：(1)如下图．
(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA 为
42－(23×3
2×23)2＝12＝23，
∴S △VBC ＝1
2
×23×23＝6.
[高考·模拟·预测]
1．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
2，则该几何
体的俯视图可以是
( )
解析：选项A 得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除A ；而选项B 、D 所得几何体的体积都与π有关，排除B 、D ；易知选项C 符合．
答案：C
2．一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为
( )
A ．2π＋2 3
B ．4π＋2 3
C ．2π＋23
3
D ．4π＋23
3
解析：这个空间几何体的下半部分是一个底面半径为1、高为2的圆柱，上半部分是一个底面边长为2、高为3的正四棱锥，故其体积为π×12×2＋13×(2)2×3＝2π＋23
3
.
答案：C
3．若某几何体的三视图(单位：cm)如下图所示，则此几何体的体积是________ cm 3.
解析：根据几何体的三视图，可知该几何体是由两个相同的长方体(3×3×1)组合而成的几何体，故其体积为18.
答案：18
4．对于四面体ABCD ，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)． ①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；
②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点； ③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高的垂足重合； ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；
⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点． 解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD 的
三条高线的交点；③中如果AB 与CD 垂直，则两条高的垂足重合． 答案：①④⑤
5．已知一四棱锥P —ABCD 的三视图如下图，E 是侧棱PC 上的动点． (1)求四棱锥P —ABCD 的体积；
(2)不论点E 在何位置，是否都有BD ⊥AE ？证明你的结论； (3)若E 点为PC 的中点，求二面角D —AE —B 的大小．
解：(1)由三视图可知，棱锥底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2，∴V P —ABCD ＝13S ABCD ·PC ＝2
3
.
(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE . 证明：连结AC ，∵ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC .
又PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂面ABCD ， ∴BD ⊥PC .
又AC ∩PC ＝C ，∴BD ⊥面P AC .
∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂面P AC ， ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .
(3)以CD 、CB 、CP 为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系C —xyz .可知C (0,0,0)，A (1,1,0)，D (1,0,0)，E (0,0,1)，B (0,1,0)，则AD →＝(0，－1,0)，DE →
＝
(－1,0,1)，设平面DAE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·AD →＝0，n 1·
AE →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－y 1＝0，－x 1＋z 1
＝0， 设x 1＝1，则n 1＝(1,0,1)，
同理可知，平面AEB 的一个法向量n 2＝(0,1,1)，
∴cosθ＝
n1·n2
|n1|·|n2|＝
1
2×2
＝
1
2，
∴θ＝60°，
由题意可知，二面角D—AE—B的大小为180°－60°＝120°.。