不可压缩流体的平面势流解读

d dx dyVx dxVy dyadxbdy x y d dx dy Vy dxVx dy bdxady x y 积分这两式，得到 a xb y C1 如果取 (0,0)点的 0, 0 a ybx C2
Vy 2 Vx x x y x y y x y
在无旋定常流中，势函数只是空间坐标的函数，所以势函 数的全微分可以表示为：
d x dx y dy z dzVx dxVy dyVz dz
Vx V y 0 x y
对于平面流，流线方程可以写成
dx dy Vx V y
即
Vy dxVx dy 0
由于式(9.4) 是式 (9.5) 的左边 V y dxVx dy 为某 一函数对坐标全微分的充分必要条件，我们记这个函数 为 ( x, y ) ，称为流函数。则有
该方程为拉普拉斯方程。说明平面不可压势流的势函数是调和 函数。在势函数和流函数同时存在的条件下，流场中任意点的 速度可表示为:
Vx y x V y x y
9.1.3.2 流函数方程 将流函数 式中，有 与速度的关系(9.7)式代入无旋关系 z 0 的
Vy V x x y
则可ຫໍສະໝຸດ Baidu:
V y Vx x y 势函数的定义知,存在 ( x, y, z ) 它的方向导数 x , y , z

Vz V y y z
Vx Vz z x
，
分别等于该方向的流动分速 Vx ,V y ,Vz ,即 grad V 如果速度势是具有连续导数的单值函数，则上述无旋条件即可 得到： 2 V
则有 C1 C2 0 即
a xb y a ybx
于是有等势线和流线方
y
程分别为 a x b yConst 则有流线和
a y bxConst
x
等势线如右图所示
图9.1 均匀平行流
9.2.3点源和点汇
设在无限大平面上，流体以一恒定的体积流量 qv ， 源源 不断地从一个点沿径向向四周均匀地流出，这种流动称为点 源，这个点称为源点。qv 称为点源强度；qv 若为负值，则意 味着流体沿径向均匀地从四周流入一点，这种流动称为点汇。 若将坐标原点作为源点或汇点，显然，在这种流动中，从源 点流出或向汇点流入都只有径向速度 Vr ,切向速度为0
V
Vx
x
Vy y
将之代入连续方程(9.4)，则有
Vx Vy 2 2 2 2 0 x y x x y y x y 即可记为 2 0 即是不可压平面势流的势函数方程，
1 2 x 2 2 x 2 x y y y 2 x 2 y 2 0
在原点， r 0,V ，因此在原点附近的流动是有 旋的 . 同理,可以求得极坐标下的速度和角速度表达式
势函数只有在无旋流中才存在。即某一流动 势无旋的，则这一流动就是有势的 ,即流场中流 体微团的旋转速度ω 处处为零 V
有各方向上的旋转速度为
Vz 1 y ω x 2 y z Vx Vz 1 ω y 2 z x
1 ω z 2
9.3几种简单平面势流的叠加势流
9.3.1螺旋流(点源或点汇＋点涡)
将平面势流点源(或点汇)流动和平面势流点涡流动叠加便得 到一种新的平面势流，称为螺旋流或源环流(汇环流)，螺旋流中 流体既作旋转运动，同时又作径向运动，它的轨迹呈螺旋状，故 称螺旋流。根据势流叠加原理，螺旋流的势函数和流函数分别为：
Vx Vy 2 2 0 2 2 y x y y x x x y 即为: 2 0
在推导上述方程时我们使用了无旋条件，因此流函数方程 只是在平面定常不可压势流的情况下才存在。如果平面流是有 旋的，那么该流动有流函数存在，但是此时流函数并不满足拉 普拉斯方程。
d dx dy Vy dxVx dy0 x y
等流函数线在流场中任意点 (x,y) 的斜率
Vy dy dx V C x
等势线和等流函数线在点(x,y ) 的斜率乘积
dy dy Vx V y 1 dx dx V y Vx C C
根据速度势的性质，由速度势即可求得直角坐标下的各分速
Vx ,V y 即
y Vx x 2 x 2 y 2 x Vy y 2 x 2 y 2
点涡运动是无旋运动即有势运动，除原点以外的流场旋转角速 度为零 1 V y Vx z 2 x y
注意: 势流。 点源和点汇都是无旋流动，即 动画演示PLAY
图 9.2点源 (点汇)
9.2.4点涡（有势涡）
点涡:形式上，流体在作旋转运动，但是除了原点以外，本质 上这是一种无旋流动，故我们称这种涡流为有势涡。点涡的 径向速度为零，而切向速度与半径成反比，它的流线是同心 圆，等势线是射线，因此，它的两个分速可以表示为：
类似地，新的复合势流的流函数 1 2 ， 等于两个原来 的简单流动流函数之和。
9.2.2均匀直线流动
设一平面流动的速度在全场处处相同，它与轴的夹角为α ， 则它的两个分速分别为：
Vx V cos a 式中a,b为常数 Vy V sin b
这是一个无旋流动，同时又满足连续方程，利用势函数和流函 数的性质，有
2 (1 2 ) 2 (1 2 ) 0 即为 2 2 x y
2 (1 2 )0
两个势流叠加，得到一个速度势为 1 的新的复合流动， 2 并且新的复合势流的速度场也可以直接将各简单势流速度场叠 加而得
(1 2 ) 1 2 Vx Vx1 Vx 2 x x x x (1 2 ) 1 2 Vy Vy1 Vy 2 y y y y
9.3几种简单平面势流的叠加势流 9.4不带环量的圆柱绕流 (均匀直线流＋偶极流) 9.5带环量的圆柱绕流和儒科夫斯基升力定理
9.1不可压缩势流的势函数方程和流函数方程
9.1.1 势函数 :
在流场中存在一个函数 , 它的方 向导数分别等于该方向的流动分速，这一函数就称为 速度势函数，简称势函数或速度势
V , Vr 0 2 r 式中 称为点涡强度。 取正值表示流动为逆时针方向转动， 负值表示顺时针方向转动。上式表明，其切向速度与半径成 反比，离圆心越远，流速越小。位于坐标原点的点涡的势函 数和流函数分别为
1 y tg 2 2 x
ln r ln x 2 y 2 2 2
由此可见，在平面定常不可压势流中，等势线和等流函数线 正交。
9.2平面势流叠加原理和几种简单的
平面定常势流
9.2.1势流叠加原理
面不可压势流的势函数方程和流函数方程均是拉普拉斯方 程，而拉普拉斯方程是线形方程，线形方程有一个重要的特征， 即方程解的可叠加性。两个或数个拉普拉斯方程解的和或差仍 是拉普拉斯方程的解。的势函数，从而获得复杂势流的解。这 样，我们就可以用一些简单的势函数叠加来获得一个复杂势流 函数分别为 1 和 2 的两个有势流动，根据势函数的性质， 它们都满足拉普拉斯方程，即可得到
qv qv Vr 2 r 2 x2 y 2
其分速为
qv Vx Vr cos 2 r qv Vy Vr sin 2 r
x qv x r 2 x2 y 2 y qv y r 2 x2 y 2
根据以上速度分布，就可以容易地求出点源 数和流函数来： qv x dx y dy qv d Vx dx Vy dy 2 2 2 x y 4 qv x dy y dx qv d Vy dx Vx dy 2 2 2 x y 2
注意:一切平面流动的流场，不论是无粘流体还是有粘
流体，也不论是有旋流动还是无旋流动，只要它满足 连续方程(9－4)，都存在着流函数 .但是，只有无旋 流动才存在势函数。因此，对于平面流动，流函数具 有更普适的意义，它是研究平面流的有力工具。
9.1.3势函数方程和流函数方程－拉普拉斯方程
9.1.3.1 势函数方程 在平面定常无旋流中，同时存在势函数和流函数 将势函数与速度的关系 : 即 和 ，如果
(点汇) 的势函
d ( x2 y 2 ) x2 y 2 d ( y / x) 2 1 ( y / x )
qv qv 2 2 ln ( x y ) ln r 积分之，得到 4 2 qv qv 1 y tg 2 x 2 点源 (点汇) 的等势线是 r C 的一族同 心圆，而等流函数线则是从源汇点发出的 射线，如图9.2 所示。
9.1.4等势线和等流函数线的正交性 等势函数线是指 C 的曲线 ，沿等势线 ， d 0 d dx dyVx dxVy dy0 x y
由上式，可得到等势线在流场中任意点(x,y) 的斜率
即
dy Vx dx V C y 等流函数是指 C 的曲线，即流线，沿等流函数，d 0 即
d dx dy Vy dxVx dy x y
即
Vx y
V y x
一旦一个连续流场的流函数得知后，通过交叉偏导 数可以得到平面流的速度分布，再由柏努利方程即可求 得全场的压强分布。因此找到一个特定的平面流的流函 数，就等于知道了该流场的速度、压强。
注意：在无旋流中必存在势函数。反之，如果流场中存在
势函数，则该流场一定是无旋流。所以无旋流与有势流是 等价的。
9.1.2 平面流的流函数
在平面流中，如果该流动满足连续方程，则在这平面流 中就存在一个流函数 ，它的作用与有势流中的势函数类似， 也可以用来描述整个流场。
平面流的流函数存在条件是满足连续方程：
Vz y y z z y z y y z
Vx 2 Vz z z x z x x z x
第 9 章 不可压缩流体的平面势流
不可压缩流体的平面无旋流动在平面势流的 条件下,可将流动基本方程简化为势函数方程，然后在给定的边 界条件下求解势函数方程，根据势函数的性质和伯努利方程，就 可以求得所研究流场的速度分布和压强分布。
本章概述:
9.1不可压缩势流的势函数方程和流函数方程
9.2 平面势流叠加原理和几种简单的平面定常势 流