二项分布方差公式推导
二项分布的方差
二项分布的方差引言：在统计学中，二项分布被用来描述在一连串独立且具有相同概率的试验中，成功事件发生的次数。
二项分布是一种离散概率分布，其方差被广泛应用于各种领域，如工程、商业和医学等。
本文将详细讨论二项分布的方差概念、计算公式和应用。
一、方差的概念：方差是用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
在二项分布中，方差是用来度量随机变量的成功事件发生次数的离散程度。
方差越大，说明成功事件的发生次数与平均值的差异较大。
二、二项分布的特点：1. 独立性：每次试验之间相互独立，即前一次试验的结果不会影响下一次试验的结果。
2. 成功概率：每次试验成功的概率保持不变，用p表示。
3. 试验次数：试验的次数可以是有限的，也可以是无限的。
三、二项分布的方差计算公式：二项分布的方差可以通过二项分布的参数来计算。
假设有n次独立的试验，每次试验的成功概率为p，那么方差的计算公式为Var(X)=np(1-p)，其中n为试验次数，p为成功概率。
四、方差计算的例子：例如，假设某医院每天接收到100份化验报告，其中有10份报告呈阳性。
成功事件是报告呈阳性，每天的成功概率为10/100=0.1。
根据方差计算公式，我们可以计算出方差为Var(X)=100*0.1*(1-0.1)=9。
这意味着每天报告呈阳性的数目与平均值的差异较小。
五、方差的应用：1. 风险评估：方差可以用来评估某个风险事件的不确定性程度。
方差越大，风险事件的结果可能性越广泛，风险程度也会增加。
2. 品质控制：在生产过程中，方差可以用来衡量产品品质的稳定性。
方差越小，说明产品的性能之间的差异较小，品质更稳定。
3. 投资分析：在金融领域，方差可以用来评估投资组合的风险水平。
方差越大，投资组合的风险越高。
六、方差与均值的关系：方差和均值是统计学两个重要的概念。
在二项分布中，方差和均值有特定的关系，即Var(X)=np(1-p)，其中n为试验次数，p为成功概率。
当成功概率p接近于0或1时，方差会趋近于0，表示成功事件发生的概率非常接近于0或1。
方差常用公式
方差常用公式
方差的常用公式为：方差D(X)=E[(X-E(X))^2]。
其中，E(X)是随机变量X的数学期望，而(X-E(X))^2是每个样本点与样本均值之差的平方。
该公式描述的是随机变量与其数学期望的偏离程度，即波动程度。
对于两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布、t 分布和F分布等常用分布，它们的方差计算公式分别是：
1. 两点分布：方差D(X)=p(1-p)。
2. 二项分布：方差D(X)=np(1-p)。
3. 泊松分布：方差D(X)=λ。
4. 均匀分布：方差D(X)=a/3。
5. 指数分布：方差D(X)=λ²。
6. 正态分布：方差D(X)=σ²。
7. t分布：其中X~T（n），E（X）=0，其方差计算公式略。
8. F分布：其中X~F（m,n），其方差计算公式略。
其中，p为两点分布中成功的概率，n为二项分布中试验次数，λ为泊松分布中单位时间内随机事件的平均发生率，a为均匀分布中区间的长度，λ为指数分布中随机变量X取正值的时间的倒数，σ²为正态分布中随机变量X 的取值与其均值的偏离程度，m和n分别为F分布中两个随机变量的自由度。
二项分布的数学期望和方差公式
二项分布的数学期望和方差公式二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，常用于描述重复进行相同试验的结果情况。
数学期望和方差是二项分布的重要统计量，本文将详细介绍二项分布的数学期望和方差的公式。
首先，我们来定义二项分布。
设有n次重复独立的试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，试验结果只有成功或者失败两种情况。
则二项分布是描述n次试验中成功次数的概率分布。
1.二项分布的数学期望数学期望是描述随机变量均值的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的中心位置。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的数学期望记为E(x)，表示n次试验中成功次数的均值。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的期望可以表示为：E(x) = np其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
2.二项分布的方差方差是描述随机变量分散程度的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的离散程度。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的方差记为Var(x)，表示n次试验中成功次数的离散程度。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的方差可以表示为：Var(x) = npq方差的计算方法是将每次试验成功的概率乘以失败的概率，再乘以试验次数。
另外，二项分布的标准差可以通过方差开方得到，标准差是描述随机变量分布离散程度的一个重要指标。
3.二项分布的性质对于二项分布的数学期望和方差，有以下几个性质：性质1：数学期望的性质-当试验次数n固定时，成功概率p越大，数学期望越大。
-当成功概率p固定时，试验次数n越多，数学期望越大。
性质2：方差的性质-当试验次数n固定时，随着成功概率p的增加，方差先减小后增大，形状类似一个U型曲线。
-方差的计算方法中，成功概率p和失败概率q都会影响方差的大小。
成功概率p越大，失败概率q越小，方差越小。
二项分布的期望和方差的详细证明
二项分布的期望和方差的详细证明在概率论中，二项分布是一种非常重要的离散概率分布。
它描述了在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数 X 的概率分布。
在深入研究二项分布时，了解其期望和方差是至关重要的。
接下来，我们将详细证明二项分布的期望和方差。
首先，让我们明确二项分布的定义。
如果一个随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记作 X ～ B(n, p)，其中 n 表示试验的次数，p 表示每次试验成功的概率。
那么，二项分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 k ＝ 0, 1, 2,， n ，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
接下来，我们开始证明二项分布的期望。
期望（Expected Value），通常用 E(X) 表示，它反映了随机变量取值的平均水平。
我们有：E(X) ＝∑k ＝ 0 to n k P(X ＝ k)＝∑k ＝ 0 to n k C(n, k) p^k （1 p)＾（n k)为了计算这个和式，我们可以使用一些技巧。
首先，我们对 k C(n, k) 进行变形：k C(n, k) ＝ n C(n 1, k 1)将其代入期望的表达式中：E(X) ＝∑k ＝ 0 to n n C(n 1, k 1) p^k （1 p)＾（n k)令 j ＝ k 1 ，则 k ＝ j ＋ 1 ，当 k ＝ 0 时，j ＝－1 ；当 k ＝ n 时，j ＝ n 1 。
则上式可以改写为：E(X) ＝n ∑j ＝－1 to n 1 C(n 1, j) p^（j ＋ 1) （1 p)＾（（n 1) j)因为当 j ＝－1 时，C(n 1, －1) ＝ 0 ，所以可以将求和的下限改为0 。
E(X) ＝n p ∑j ＝ 0 to n 1 C(n 1, j) p^j （1 p)＾（（n 1) j)而∑j ＝ 0 to n 1 C(n 1, j) p^j （1 p)＾（（n 1) j) 恰好是二项分布B(n 1, p) 的所有概率之和，其值为 1 。
超几何分布和二项分布的期望和方差公式
超几何分布和二项分布的期望和方差公式
超几何分布和二项分布是两种常见的概率分布，分别用于描述随机实验中某种结果出现的次数。
下面是超几何分布和二项分布的期望和方差公式：超几何分布：
期望：E(X) = n * p
方差：Var(X) = n * p * (1 - p)
其中，n 是随机实验的次数，p 是某种结果出现的概率。
二项分布：
期望：E(X) = n * p
方差：Var(X) = n * p * (1 - p)
其中，n 是随机实验的次数，p 是某种结果出现的概率。
注意，超几何分布和二项分布的期望和方差公式是相同的。
这是因为它们的概率分布函数都是二项分布函数的一种形式。
不过，超几何分布通常用于描述在一系列独立随机实验中，某种结果出现的次数，而二项分布则常用于描述成功/失败类型的随机实验。
二项分布的期望和方差的详细证明简版
二项分布的期望和方差的详细证明二项分布的期望和方差的详细证明1. 概述二项分布是概率论中的一个重要分布，描述了一次试验中成功次数的离散分布。
在概率论和统计学中，我们通常会对二项分布的期望值和方差进行研究。
在本文档中，我们将详细证明二项分布的期望值和方差的计算公式。
2. 二项分布的定义二项分布是指在一次独立重复试验中，成功事件的概率为p，失败事件的概率为q=1-p，试验次数为n的离散概率分布。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) p^k q^(n-k)其中，X表示成功次数，k表示具体成功的次数，C(n, k)表示组合数，可以表示为n个元素中取k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)3. 二项分布的期望值的证明二项分布的期望值是指在一次试验中成功事件发生的平均次数。
我们可以通过数学的方法来证明二项分布的期望值的计算公式：E(X) = np。
首先，我们可以将二项分布的期望值表示为：E(X) = Σ(k P(X=k))其中，Σ表示求和符号，k为成功次数。
代入二项分布的概率质量函数公式，可以得到：E(X) = Σ(k C(n, k) p^k q^(n-k))利用组合数的性质，我们可以将上式进行变形，得到：E(X) = Σ([n (n-1)! q^(n-1)] / [(k-1)! (n-k)!] p^k q^(n-k))继续变形，得到：E(X) = np Σ(C(n-1, k-1) p^(k-1) q^(n-1-(k-1)))再次利用组合数的性质，可以将上式继续变形为：E(X) = np Σ(C(n-1, k-1) (p q)^(k-1) q^(n-k))我们知道Σ(C(n-1, k-1) (p q)^(k-1) q^(n-k))是一个从k=0到k=n-1的二项式展开形式，根据二项式定理我们可以得到：E(X) = np [p q + q]^(n-1)利用(p q + q) = 1的性质，可以简化上式为：E(X) = np所以，二项分布的期望值的计算公式为：E(X) = np。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。
本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。
一、二项分布1.1义在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。
1.2学期望与方差公式假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为：$$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即$$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=np(1-p)$$二、超几何分布2.1义超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。
超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为：$$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。
2.2学期望与方差公式数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$三、推导3.1导期望根据定义可得：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$二项分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$所以：$$E(X)=np $$超几何分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$ $由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}=frac{1-(1-p)^{N}}{p}=frac{1-q^N}{p}=frac{Np-(N-n)p}{p}=N-n+1$$ 所以：$$E(X)=np(N-n+1) $$3.2导方差根据定义可得：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$二项分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}-np^2$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=npsum_{x=0}^{n} xC_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=np^2frac{1-(1-p)^{n}}{p}=np^2f rac{1-q^{n}}{p}=np^2$$所以：$$D(X)=np(1-p) $$超几何分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}-n p^2(N-n+1)^2$$由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}=np(N-n +1)sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$$$$=np(N-n+1)^2frac{1-(1-p)^{N}}{p}=np(N-n+1)^2frac{1-q^N}{p }=np(N-n+1)^2frac{Np-(N-n)p}{p}$$$$=np(N-n+1)^2frac{N-n}{p}=np[N(N-n+1)-n(N-n+1)]$$ 所以：$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1} $$四、总结从上文可以看出，二项分布和超几何分布的数学期望与方差公式都有具体的推导过程，数学期望与方差之间也有一定的关系。
二项分布的期望和方差的详细证明
二项分布的期望和方差的详细证明在概率论中，二项分布是一种非常重要的离散概率分布。
它描述了在 n 次独立的伯努利试验中，成功的次数 X 的概率分布。
其中每次试验成功的概率为 p，失败的概率为 1 p 。
本文将详细证明二项分布的期望和方差。
首先，让我们回顾一下二项分布的概率质量函数（PMF）：＼ P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾｛n k} ＼其中＼（ C(n, k) ＝＼frac{n!｝｛k!（n k)！｝＼）表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
接下来，我们开始证明二项分布的期望。
期望（均值）的定义是所有可能取值的概率加权之和。
对于二项分布，期望＼（ E(X) ＼）可以表示为：＼＼begin{align}E(X) ＆＝＼sum_{k ＝ 0}＾｛n} k ＼cdot P(X ＝ k) ＼＼＆＝＼sum_{k ＝ 0}＾｛n} k ＼cdot C(n, k) p^k （1 p)＾｛n k} ＼＼＼end{align}为了计算这个和，我们可以使用一些技巧。
考虑到＼（ k ＼cdot C(n, k) ＝ n ＼cdot C(n 1, k 1) ＼），则上式可以改写为：＼＼begin{align}E(X) ＆＝＼sum_{k ＝ 1}＾｛n} n ＼cdot C(n 1, k 1) p^k （1 p)＾｛n k} ＼＼＆＝ n ＼cdot p ＼sum_{k ＝ 1}＾｛n} C(n 1, k 1) p^｛k 1} （1 p)＾｛（n 1) （k 1)｝＼＼＼end{align}＼令＼（ j ＝ k 1 ＼），则上式变为：＼＼begin{align}E(X) ＆＝ n ＼cdot p ＼sum_{j ＝ 0}＾｛n 1} C(n 1, j) p^｛j} （1 p)＾｛（n 1) j} ＼＼＼end{align}而＼（＼sum_{j ＝ 0}＾｛n 1} C(n 1, j) p^｛j} （1 p)＾｛（n 1) j} ＼）恰好是二项分布＼（ B(n 1, p) ＼）的所有概率之和，其值为 1。
二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导
ｃ：ｃ ＋ｃ，ｏｃ，ｏ一 ＋ｃ ｃ 一 ＋·－·＋ｃｋ ｃＯ ：Ｃ：＋ （ｎ，ｍ，ｋ∈
Ｎ ，ｋ≤ｎ，ｋ≤ ｍ），利 用 恒 等 式 （１＋ ）… ＝（１＋ ） （１＋ ） 的二 项 展 开 式 中 的 系数 相 等 可 证 ． 一 、 二 项 分 布 在 独立 重 复 实 验 中 ，某 结 果 发 生 的 概 率 均 为 Ｐ（不 发 生
～ Ｍ
一
Ｍ
一 Ｍ
Ｃ
Ｃ
ｃ
Ｚ— ｌ
ｆ
ｃ ｃⅣ ｎ＋ｌ＾ｆ－ ｃ ｃ 二 一
ｃ
ｃ
）：圭
篆主ｉｃ ｎ－ｉ ＝ １
＝ 毒ｃ ： （利用预备公式３可得）
ｎＭ
—
Байду номын сангаасＮ ’
圭 ＝ ｉ＝ ０
一 （ ）
Ｍ 窆 （ ） ＝ ｃ
ｉ－
ｎ－ｉ
一
…
ｉ＝ １
＝
（ ）ｃ ：： ＋
Ｐ ｎ（ｎ一１ ＋ｎｐ—ｎ２ｐ ＝ ｎｐ —ｐ２ｎ
＝ｎｐ（１一Ｐ）． 二 、超 几何 分布 一 批 产 品共 Ⅳ件 ，其 中 有 Ｍ 件 不 合 格 品 ，随 机 取 出的 ｎ 件 产 品 中 ，不合 格数 的概 率 分 布 为
Ｏ
１
２
３
ｃ ｃ
一
Ｐ
ｃ
Ｃ Ｉ ｎ－ １ ＣＭ ２ ～ ｎ－２ Ｃ３ ｎ －３
窆ｃ Ｍ
： ｃ ｉ＝ １
ｎ－ｉ 一（ ）
＝ 兰（ ）塞ｃ ｎ－ｉ ＋
二项分布的期望和方差的详细证明
二项分布的期望和方差的详细证明二项分布的期望和方差的详细证明1. 引言二项分布是离散概率分布的一种，广泛应用于概率论和统计学中。
在实际应用中，我们常常需要计算二项分布的期望和方差，以便进行更深入的分析。
本文将详细介绍如何计算二项分布的期望和方差，并给出相应的证明过程。
2. 二项分布的定义二项分布是由一系列独立重复的伯努利试验组成的概率分布。
每一个伯努利试验都有两个可能的结果，成功和失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
记X为n次独立重复的伯努利试验中成功的次数，则X服从参数为n和p的二项分布，记作X ~ B(n,p)。
3. 二项分布的期望证明期望是随机变量的平均值，计算二项分布的期望需要使用如下的公式：E(X) = n p证明过程如下：根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为1-p。
成功的次数X是一个离散随机变量，取值范围为0到n 之间的整数。
我们需要计算X的期望。
设X为n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
考虑每次试验的结果，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
由于每次试验都是独立的，所以X的期望是每次试验的成功次数的期望之和。
设每次试验成功的次数为X_i，其中i为试验的序号，取值范围为1到n。
根据伯努利分布的期望公式，每次试验成功的次数的期望为E(X_i) = p。
，X的期望可以表示为：E(X) = E(X_1) + E(X_2) + + E(X_n) = np由此，我们得到了二项分布的期望公式。
4. 二项分布的方差证明方差是随机变量与其均值之差的平方的期望值，计算二项分布的方差需要使用如下的公式：Var(X) = n p (1-p)证明过程如下：根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为1-p。
成功的次数X是一个离散随机变量，取值范围为0到n 之间的整数。
我们需要计算X的方差。
，我们计算X的平方的期望。
设每次试验成功的次数为X_i，表示第i次试验的结果。
二项分布超几何分布数学期望与方差公式的推导
专题研究 Z H U A N T I Y A N J I U 108 数学学习与研究 2010.11二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导●韩晓东 (江苏省淮阴中学 223002) 高中教材中对二项分布、超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导过程,现笔者给出一推导过程仅供读者参考.预备公式1i C i n =n C i -1n -1(n ≥1),利用组合数计算公式即可证明.预备公式2D ξ=E ξ2-(E ξ)2,证明见教材.预备公式3C 0n C k m +C 1n C k -1m +C 2n C k -2m +…+C k n C 0m =C k n +m (n ,m ,k ∈N ＊,k ≤n ,k ≤m ),利用恒等式(1+x )n +m =(1+x )n(1+x )m 的二项展开式中x k 的系数相等可证.一、二项分布在独立重复实验中,某结果发生的概率均为p (不发生的概率为q ,有p +q =1),那么在n 次实验中该结果发生的次数ξ的概率分布为:ξ123…n -1nP C 0n q n C 1n p q n -1C 2n p 2q n -2C 3n p 3q n -3…C n -1n p n -1q C n np n E (ξ)=∑ni =0iC i np i q n -i=∑ni =1iC i np i q n -i=∑ni =1n C i -1n -1p i q n-i (利用预备公式1可得)=n p∑ni =1C i -1n -1p i -1qn -i=n p (p +q )n -1=n p .V (ξ)=E ξ2-(E ξ)2=∑ni =0i 2C i np i qn -i-n 2p2=∑ni =1n i C i -1n -1pi q n -i -n 2p 2=n∑n i =1(i -1)C i -1n -1pi q n-1+n ∑ni =1C i -1n -1pi q n -i -n 2p 2=p 2n (n -1)∑ni =2Ci -2n -2p i -2q n -i+ n p∑ni =1Ci -1n -1p i -1q n -i -n 2p2=p 2n (n -1)(p +q )n -2+n p (p +q )n -1-n 2p 2=p 2n (n -1)+n p -n 2p 2=n p -p 2n=n p (1-p ).二、超几何分布一批产品共N 件,其中有M 件不合格品,随机取出的n 件产品中,不合格数X 的概率分布为:X 0123…l -1lPC 0M C n N-M C nNC 1M C n -1N-M C nNC 2M C n -2N-M C nNC 3M C n -3N -MC nN…C l -1M C n +1-l N -M C nNC l M C n -lN-MC nN 其中l =m i n (n ,M ).E (x )=∑li =0i C i M C n -iN-MC n N =MC n N∑li =1Ci -1M-1C n -i N-M=M C n N C n -1N-1(利用预备公式3可得)=n M N .V (x )=∑li =0i 2C i M C n -i N-MC nN -M n N 2=MC n N ∑li =1i C i -1M-1C n -iN-M -M n N2=M C n N ∑l i =1(i -1)C i -1M-1C n -i N-M+ M C nN∑li =1Ci -1M -1Cn -i N -M-M n N2=M C n N (M -1)∑li =2C i -2M -2C n -i N-M + MC nN∑li =1C i -1M -1C n -iN -M -M n N2=M C n N (M -1)C n -2N-2+M C n N C n -1N-1-M n N 2=nM N 1-M N1-n -1N-1.。
二项分布方差的详细证明
⼆项分布⽅差的详细证明前置技能从组合数公式可以直接推出：k C k n=n C k−1n−1同样地，你可以得到 (k−1)C k−1n−1=(n−1)C k−2n−2（禁⽌套娃）你还要熟悉⼆项式定理：(p+q)n=n∑k=0C k n p k q n−k你还要知道⼆项分布的概率和期望公式：若X∼B(n,p)，则P(x=k)=C k n p k (1−p)n−k，E(X)=np 回归正题第⼀步当然是定义式啦D(X)=n∑k=0[k−E(X)]2⋅p k=n∑k=0(k−np)2⋅C k n p k q n−k看到 (k−np)2是不是就很想把它拆开？D(X)=n∑k=0(k2−2knp+n2p2)⋅C k n p k q n−k=n∑k=0k2⋅C k n p k q n−k−2npn∑k=0k⋅C k n p k q n−k +n2p2n∑k=0C k n p k q n−k这式⼦也太长了吧 (＃°Д°)⾸先你肯定会把魔⽖伸向∑n k=0C k n p k q n−k —— 他就是个⼆项式定理嘛！n∑k=0C k n p k q n−k=(p+q)n=1然后，你看到∑n k=0k⋅C k n p k q n−k⾥⾯的k⋅C k n的时候，是不是有把k⋅C k n换成n⋅C k−1n−1的冲动？Processing math: 100%n∑k=0k⋅C k n p k q n−k=n∑k=1k⋅C k n p k q n−k（第⼀项是 0, 丢掉）=n∑k=1n⋅C k−1n−1p k q n−k=np⋅n∑k=1C k−1n−1p k−1q n−k=np⋅(p+q)n−1=np现在只剩∑n k=0k2⋅C k n p k q n−k了，⾸先你肯定会故技重施:n∑k=0k2⋅C k n p k q n−k=n∑k=1k⋅k⋅C k n p k q n−k=n∑k=1kp⋅n⋅C k−1n−1p k−1q n−k=npn∑k=1k⋅C k−1n−1p k−1q n−k但是 C k−1n−1p k−1q n−k前⾯还有个k啊，不能⽤啊 (ノ｀Д)ノ所以，怎么把这个k搞掉呢（我认为这是最难的⼀步，读者可以停下来思考思考）你肯定想⽤ (k−1)C k−1n−1=(n−1)C k−2n−2，但⼈家是k Ck−1n−1不是 (k−1)C k−1n−1啊那就……把k拆成 (k−1+1) 吧！（我真是太机智了）np n∑k =1k ⋅C k −1n −1pk −1q n −k=np n∑k =1(k −1+1)⋅C k −1n −1pk −1q n −k =np n ∑k =1(k −1)Ck −1n −1p k −1q n −k+C k −1n −1pk −1q n −k=np n∑k =2(k−1)C k −1n −1p k −1q n −k+n∑k =1C k −1n −1pk −1q n −k=np n∑k =2(n −1)p ⋅C k −2n −2pk −2q n −k+(p +q )n −1=np (n −1)p ⋅n∑k =2C k −2n −2pk −2q n −k +1=np (n −1)p ⋅(p +q )n −2+1=np [(n −1)p +1]=np (np −p +1)终于！三个部分都推完了！！D (X )=n∑k =0k 2⋅C k n p k q n −k −2np n∑k =0k⋅C k n p k qn −k +n 2p 2n∑k =0C k n p k qn −k =np (np −p +1)−2np ⋅np +n 2p 2=np (1−p )证毕（￣︶￣）↗[][][][][]。
二项分布的方差公式推导
二项分布的方差公式推导二项分布是描述在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
其概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)。
其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率，k表示成功的次数，C(n, k)表示组合数。
方差是描述随机变量离其均值的平均距离的度量。
对于二项分布的随机变量X，其方差可以通过以下公式推导得出：Var(X) = E(X^2) (E(X))^2。
首先计算E(X)，即X的期望值。
由于X服从二项分布，其期望值为np。
因此：E(X) = np.接下来计算E(X^2)，即X^2的期望值。
根据二项分布的概率质量函数，可以得出：E(X^2) = Σ(k^2 P(X=k))。
将P(X=k)代入上式，得到：E(X^2) = Σ(k^2 C(n, k) p^k (1-p)^(n-k))。
根据二项式定理，可以将(k^2 C(n, k))拆分为k(k-1)C(n, k-2) + kC(n, k)。
然后可以利用二项分布的性质将其转换为期望值的表达式。
最终得到：E(X^2) = n(n-1)p^2 + np.将E(X)和E(X^2)代入方差的公式中：Var(X) = E(X^2) (E(X))^2。
= n(n-1)p^2 + np (np)^2。
= n(n-1)p^2 + np n^2p^2。
= np np^2。
= np(1-p)。
因此，二项分布的方差公式为Var(X) = np(1-p)。
这个公式描述了在n次伯努利试验中成功次数的方差，是二项分布的一个重要性质。
二项分布方差公式
二项分布方差公式
二项分布的方差公式：D=np（1-p）。
方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
概率论，是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的，在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。
随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。