能带理论(1)(单电子近似和Bloch定理))剖析
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有关能带被占据情况的几个名词：
1．满带（排满电子） 2． 价带（能带中一部分能级排满电子）
亦称导带 3．空带（未排电子） 亦称导带 4．禁带（不能排电子）
1、单电子近似
• 多粒子(原子核，电子)的Schrodinger方程
* 太复杂！
• 绝热近似：原子核固定在平衡位置 • 周期场近似：对于晶体，电子在周期性势场中
(l1为整数)
2 i l3
3 e N3
引入矢量K
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
b1, b2, b3 为倒格矢，且满足
ai b j 2 ij
则平移算符的本征值可以表示为
1 eika1 , 2 eika2 , 3 eika3
Rm为任意晶格矢量， R m m1a1 m2a 2 m3a 3
H E T1 1 , T2 2 , T3 3
根据晶格运动的周期性边界条件，
利用 所以 同理
(r (r
) )
(r (r
N1a1 ) N2a2 )
(r) (r N3a3)
(r N1a1) T1N1 (r) 1N1 (r)
2 i l1
1 e , N1
2 i l2
2 e , N2
un (k,r) un (k,r Rm )
• Bloch波是周期性调幅的平面波！周期性结构 中的波，都具有Bloch波的形式
n (k,r) eikrun (k,r)
un (k,r) un (k,r Rm )
• Bloch波是调幅的平面波eik.r，调幅函数un(k,r) 具有与晶体相同的周期性
为了描述晶格的平移对称性，引入平移算符T1, T2, T3.
T f (r) f (r a ), 1, 2, 3
其中a1, a2, a3 为晶格的三个基矢。 平移算符T1, T2, T3是相互对易的。
TT f (r) T f (r a ) f (r a a ) TT f (r)
TT TT 0
的运动 • 单电子近似
多电子单电子
• 如何描写电子之间的相互作用？ • 单电子在所有电子的平均势场作用下运动
* 电子的平均势形式上与原子核势一样，也具有同样的周期性 * 满足Schordinger 方程
2 2 2m
V (r)
E
V (r) V (r Rn )
2、Bloch定理
• 能带理论的基础 • 针对周期性结构 • 描写晶体（周期性势场）中的单电子运动
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是共有化电子。
量子力学计算表明，固体中若有N个 原子，由于各原子间的相互作用，对应于
原来孤立原子的每一个能级,变成了N条靠 得很近的能级,称为能带。
能带的宽度记作E ，数量级为 E～eV。 若N~1023, 则能带中两能级的间距约10-23eV。
一般规律： 1. 越是外层电子，能带越宽，E越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽，E越大。 3. 两个能带有可能重叠。
H 2 2 V (r) 2m
平移算符与Hamiltonian 也是对易的。
T Hf
(r)
[
2 2m
2
r
a
V (r
a )] f
(r
a )
[ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 2m
2
V
(r)]
f
(r
a
)
HT
f
(r)
T H HT 0
由于平移算符之间相互对易以及平移算符与Hamiltonian 算 符对易，因此平移算符和Hamiltonian 算符具有共同的本征 态，即
能带中电子的排布: 固体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。
排布原则：
１. 服从泡里不相容原理（费米子） ２. 服从能量最小原理 设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容 纳 2 (2 +1)个电子。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳２Ｎ(2 +1)个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
(r
Rm
)
T T T m1 m2 m3 123
(r)
m1 m2 12
3m3
(r)
eik(m1a1 m2a2 m3a3 ) (r) eikRm (r)
Bloch 定理：当势场具有晶格周期性时，Schordinger方程的 解满足下列关系
(r Rm ) eikRm (r)
其中k为简约波矢，上式表明当平移晶格矢量Rm时，波函数只 增加一个相位因子.
固体电子论（II)：能带理论
电子共有化 固体具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。
电子受到周期性势场的作用。
解定态薛定格方程(略）， 可以得出两点重要结论：
１.电子的能量是量子化的; ２.电子的运动有隧道效应。
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个固体中运动, 称为 共有化电子。
• 常数因子k的物理意义就与波矢联系起来
推论二
• 如果k改变一个倒格矢Km ，
那么
K m h1b1 h2b2 h3b3
n (k
Km,r
Rl )
e (k i(k Km ) Rl n
Km,r)
eikRl n (k K m , r)
• k与k+Km等价！只需将k限制在一个包括所有不 等价的k的区域——第一Brillouin区！
• 为什么电子平均自由程那么大？电子在整个晶 体中运动，不再束缚于个别原子，共有化运动！ 如果不考虑电-声子相互作和杂质缺陷等的散 射作用，Bloch电子的平均自由程是无限大。
常数因子k
• 如果将调幅函数置为1，即un(k,r)=1，则
n (k, r) eikr
• 平面波！自由电子！k就是波矢！是描写不同 状态的量子数
推论一
• 如果将波函数写成
nn((kk,,rr))eeikikrruunn((kk,,rr))
• 因为 n (k, r Rm ) eik(rRm )un (k, r Rm )
• 根据Bloch定理，有
• 所以
n (k,r Rm ) eikRm n (k, r)
eik(rRm )un (k, r)
1．满带（排满电子） 2． 价带（能带中一部分能级排满电子）
亦称导带 3．空带（未排电子） 亦称导带 4．禁带（不能排电子）
1、单电子近似
• 多粒子(原子核，电子)的Schrodinger方程
* 太复杂！
• 绝热近似：原子核固定在平衡位置 • 周期场近似：对于晶体，电子在周期性势场中
(l1为整数)
2 i l3
3 e N3
引入矢量K
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
b1, b2, b3 为倒格矢，且满足
ai b j 2 ij
则平移算符的本征值可以表示为
1 eika1 , 2 eika2 , 3 eika3
Rm为任意晶格矢量， R m m1a1 m2a 2 m3a 3
H E T1 1 , T2 2 , T3 3
根据晶格运动的周期性边界条件，
利用 所以 同理
(r (r
) )
(r (r
N1a1 ) N2a2 )
(r) (r N3a3)
(r N1a1) T1N1 (r) 1N1 (r)
2 i l1
1 e , N1
2 i l2
2 e , N2
un (k,r) un (k,r Rm )
• Bloch波是周期性调幅的平面波！周期性结构 中的波，都具有Bloch波的形式
n (k,r) eikrun (k,r)
un (k,r) un (k,r Rm )
• Bloch波是调幅的平面波eik.r，调幅函数un(k,r) 具有与晶体相同的周期性
为了描述晶格的平移对称性，引入平移算符T1, T2, T3.
T f (r) f (r a ), 1, 2, 3
其中a1, a2, a3 为晶格的三个基矢。 平移算符T1, T2, T3是相互对易的。
TT f (r) T f (r a ) f (r a a ) TT f (r)
TT TT 0
的运动 • 单电子近似
多电子单电子
• 如何描写电子之间的相互作用？ • 单电子在所有电子的平均势场作用下运动
* 电子的平均势形式上与原子核势一样，也具有同样的周期性 * 满足Schordinger 方程
2 2 2m
V (r)
E
V (r) V (r Rn )
2、Bloch定理
• 能带理论的基础 • 针对周期性结构 • 描写晶体（周期性势场）中的单电子运动
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是共有化电子。
量子力学计算表明，固体中若有N个 原子，由于各原子间的相互作用，对应于
原来孤立原子的每一个能级,变成了N条靠 得很近的能级,称为能带。
能带的宽度记作E ，数量级为 E～eV。 若N~1023, 则能带中两能级的间距约10-23eV。
一般规律： 1. 越是外层电子，能带越宽，E越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽，E越大。 3. 两个能带有可能重叠。
H 2 2 V (r) 2m
平移算符与Hamiltonian 也是对易的。
T Hf
(r)
[
2 2m
2
r
a
V (r
a )] f
(r
a )
[ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 2m
2
V
(r)]
f
(r
a
)
HT
f
(r)
T H HT 0
由于平移算符之间相互对易以及平移算符与Hamiltonian 算 符对易，因此平移算符和Hamiltonian 算符具有共同的本征 态，即
能带中电子的排布: 固体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。
排布原则：
１. 服从泡里不相容原理（费米子） ２. 服从能量最小原理 设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容 纳 2 (2 +1)个电子。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳２Ｎ(2 +1)个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
(r
Rm
)
T T T m1 m2 m3 123
(r)
m1 m2 12
3m3
(r)
eik(m1a1 m2a2 m3a3 ) (r) eikRm (r)
Bloch 定理：当势场具有晶格周期性时，Schordinger方程的 解满足下列关系
(r Rm ) eikRm (r)
其中k为简约波矢，上式表明当平移晶格矢量Rm时，波函数只 增加一个相位因子.
固体电子论（II)：能带理论
电子共有化 固体具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。
电子受到周期性势场的作用。
解定态薛定格方程(略）， 可以得出两点重要结论：
１.电子的能量是量子化的; ２.电子的运动有隧道效应。
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个固体中运动, 称为 共有化电子。
• 常数因子k的物理意义就与波矢联系起来
推论二
• 如果k改变一个倒格矢Km ，
那么
K m h1b1 h2b2 h3b3
n (k
Km,r
Rl )
e (k i(k Km ) Rl n
Km,r)
eikRl n (k K m , r)
• k与k+Km等价！只需将k限制在一个包括所有不 等价的k的区域——第一Brillouin区！
• 为什么电子平均自由程那么大？电子在整个晶 体中运动，不再束缚于个别原子，共有化运动！ 如果不考虑电-声子相互作和杂质缺陷等的散 射作用，Bloch电子的平均自由程是无限大。
常数因子k
• 如果将调幅函数置为1，即un(k,r)=1，则
n (k, r) eikr
• 平面波！自由电子！k就是波矢！是描写不同 状态的量子数
推论一
• 如果将波函数写成
nn((kk,,rr))eeikikrruunn((kk,,rr))
• 因为 n (k, r Rm ) eik(rRm )un (k, r Rm )
• 根据Bloch定理，有
• 所以
n (k,r Rm ) eikRm n (k, r)
eik(rRm )un (k, r)