齐次线性方程组基础解系

齐次线性方程组的基础解系及其应用
齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有：
（1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。

有非零解的充要条件是R(A)<n ；
（2）齐次线性方程组AX=0解的线性组合还是它的解，因而解集合构成向量空间，向量空间的极大线性无关组，叫基础解系；
（3）齐次线性方程组AX=0，当系数矩阵的秩r(A)小于未知量的个数n 时，存在基础解系，并且基础解系中含有n-r(A)个解向量；
（4）对于齐次线性方程组AX=0，如果r(A)<n ，则任意n-r(A)个线性无关的解都是 基础解系。

定理1:设A 是n m ⨯的矩阵，B 是s n ⨯的矩阵，并且AB=0，那么r(A)+r(B)n ≤
分析：这是一个非常重要的结论，多年考试题与它有关。

同学们还要掌握本定理的证明方法。

证：设s B B B B ,,,21 的列向量为，则),,,(21s B B B B =，AB=0，即
0),,,(21=s B B B A 所以 s j AB j ,,2,1,0 ==
所以，s B B B ,,,21 都是齐次线性方程组AB=0的解
r(B)=秩)(),,,(21A r n B B B s -≤
所以 r(A)+r(B)n ≤
评论：AB=0，对B 依列分块，时处理此类问题的惯用方法。

例1：要使,110,20121⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ都是线性方程组0=AX 的解，只要系数矩阵A 为
(A)[-2 1 1 ] (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110102 (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--110201 (D)⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110224110 解：由答案之未知量的个数是3。

,110,20121⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ都是线性方程组0=AX 的解，并且
21,ξξ线性无关，
所以 1)(2)(3≤≥-A r A r ，从而，.只有（A ）是正确的。

例2：设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为n-1,则线性方程组AX=0的通解 为 .
解：记⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=111 ξ，由于n 阶方阵A 的各行元素之和均为零, 所以0=ξA ，0≠ξ 且A 的秩为n-1，所以ξ就是七次线性方程组AX=0的基础解系，
所以，线性方程组AX=0的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛111 k
例3：已知Q=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡96342321t ,P 为3阶非零方阵,且满足PQ=0,则 (A)t=6时P 的秩必为1 (B) t=6时P 的秩必为2
(C)t ≠6时P 的秩必为1 (D)t ≠6时P 的秩必为2
解：记⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡==96342321),,(321t Q Q Q Q ，因为所以,0=PQ 321,,Q Q Q 都是齐次线性方程组，0=PX 的解，当6≠t 时，31,Q Q 线性无关，所以1)(,
2)(3≤≥-P r P r 即
P 为非零方阵，所以1)(≥P r
因而：t ≠6时P 的秩必为1，选（C ） 另解：因为所以,0=PQ 3)()(≤+Q r P r ，当6≠t 时，1)(,
2)(≤=P r Q r
P 为非零方阵，所以1)(≥P r
因而：t ≠6时P 的秩必为1，选（C ）
例4：设A 是n （2≥）阶方阵，*A 是的伴随矩阵，那么：
⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<=n
A r n n A r n A r A r )(1)(1
1)(0)(*当当当 证明：1)(-<n A r 当时，由伴随矩阵的定义知，伴随矩阵是零矩阵，0)(*=A r ；
n A r =)(当时，A 时可逆矩阵，0≠A ，而E A AA =*，0*,*≠=A A A A n n A r =)(*
1)(-=n A r 当时，A 存在不为0的 n-1阶子式，所以1)(*≥A r 此时，0=A ，0*=AA ，所以,)()(*n A r A r <+1)(*≤A r
从而1)(*=A r。