立体图形的表面积和体积计算
几何体的表面积和体积
几何体的表面积和体积一、几何体的定义和分类几何体是指由平面图形绕某一轴线旋转或拉伸而成的立体图形。
常见的几何体包括圆柱体、圆锥体、球体、长方体等。
二、几何体的表面积1. 圆柱体表面积圆柱体表面积等于上下底面积之和加上侧面积。
公式为：S=2πr²+2πrh。
其中，r为底面半径，h为高。
2. 圆锥体表面积圆锥体表面积等于底面积加上侧面积。
公式为：S=πr²+πrl。
其中，r为底面半径，l为斜高线长。
3. 球体表面积球体表面积等于4倍的球半径平方乘以π。
公式为：S=4πr²。
其中，r为球半径。
4. 长方体表面积长方体表面积等于所有侧面积之和。
公式为：S=2(lw+lh+wh)。
其中，l、w、h分别代表长方体的长度、宽度和高度。
三、几何体的体积1. 圆柱体的容积圆柱的容积等于其底部面积与高度的乘积。
公式为：V=πr²h。
其中，r为底面半径，h为高。
2. 圆锥体的容积圆锥体的容积等于其底部面积乘以高度再除以3。
公式为：V=1/3πr²h。
其中，r为底面半径，h为高。
3. 球体的容积球体的容积等于4/3倍的球半径立方乘以π。
公式为：V=4/3πr³。
其中，r为球半径。
4. 长方体的容积长方体的容积等于其长度、宽度和高度之间的乘积。
公式为：V=lwh。
其中，l、w、h分别代表长方体的长度、宽度和高度。
四、几何体表面积和体积计算实例1. 计算一个底面直径为10cm、高20cm的圆柱体表面积和容积。
解：圆柱体表面积S=2πr²+2πrh=2×π×5²+2×π×5×20≈628.32cm²；圆柱体容积V=πr²h=π×5²×20≈1570.8cm³。
2. 计算一个半径为6cm、斜高线长10cm的圆锥体表面积和容积。
解：圆锥体表面积S=πr²+πrl=π×6²+π×6×10≈282.74cm²；圆锥体容积V=1/3πr²h=1/3×π×6²×10≈376.99cm³。
立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心
§5 立体图形1.立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心图形体积、表面积、侧面积、几何重心[立方体]a为棱长，d为对角线体积表面积侧面积对角线重心G在对角线交点上[长方体]a,b,h分别为长,宽,高,d为对角线体积表面积侧面积对角线重心G在对角线交点上[三棱柱]a,b,c分别为边长，h为高体积V=Fh (式中F为底面积)表面积S=2F+M (式中F为底面积)侧面积M=(a+b+c)h重心（P,Q分别为上下底重心）[正六棱柱]a为底边长，h为高，d为对角线体积表面积侧面积对角线重心（P,Q分别为上下底重心）[正棱锥]n为棱数，a为底边长，h为高，g为斜高体积表面积侧面积(式中F为底面积,F'为一侧三角形面积)重心（Q为底面的重心）[四面体]a,b,c,p,q,r为棱长体积重心(P为顶点，Q为底面的重心)[棱台]h为高体积（式中F,F'分别为上下底面积）重心(P，Q分别为上下底重心)[正棱台]a'，a分别为上下底边长，n为棱数，h为高，g为斜高体积侧面积表面积S = M + F + F'（式中F,F'分别为上下底面积）重心(P，Q分别为上下底重心)[截头方锥体]两底为矩形，a'，b'，a，b分别为上下底边长，h为高，a1为截头棱长体积重心(P，Q分别为上下底重心)[楔形]底为矩形，a，b分别为其边长，h为高，a'为上棱长体积重心(P为上棱中点，Q为下底面重心)[球体]r为半径，d为直径体积表面积重心G与球心O重合[半球体]r为半径，O为球心体积表面积侧面积重心[球扇形（球状楔）]r为球半径，α为锥角（弧度），a为弓形底圆半径，h为拱高体积表面积侧面积重心[球冠（球缺）]r为球半径，a为拱底圆半径，h为拱高体积表面积侧面积重心[球台]r为球半径，a',a分别为上下底圆的半径，h为高体积表面积侧面积重心（Q为下底圆心）[圆环胎]R 为中心半径，D 为中心直径，r 为圆截面半径，d为圆截面直径体积表面积重心 G 在圆环的中心上[圆柱体]r为底面半径，h为高体积表面积侧面积重心（P,Q分别为上下底圆心）[中空圆柱体（管）]R为外半径，r为内半径，h为高体积表面积侧面积式中t为管壁厚，为平均半径重心[斜截圆柱体]r为底圆半径，h,H分别为最小，最大高度，α为截角，D为截头椭圆轴体积表面积侧面积截头椭圆轴重心（GQ为重心到底面距离，GK为重心到轴线OO'的距离）[圆柱截段]h为截段最大高度，b为底面拱高，2a为底面弦长，r为底面半径，2α为弧所对应圆心角（弧度）体积侧面积a，b，c为半轴体积重心G在椭球中心O上[圆锥体]r为底圆半径，h为高，l为母线体积表面积侧面积母线重心（Q为底圆中心，O为圆锥顶点）[圆台]r,R分别为上,下底圆半径，h为高，l为母线体积表面积侧面积母线圆锥高（母线交点到底圆的距离)重心(P,Q分别为上下底圆心）上下底平行，F'，F分别为上，下底面积，F0为中截面面积，h为高体积[注]棱台、圆台、球台、圆锥、棱柱、圆柱等都是拟棱台的特例[桶形体]d为上，下底圆直径，D为中截面面积，h为高母线为圆弧时：体积母线为抛物线时：体积重心(P,Q分别为上下底圆心）2.正多面体[正四面体][正八面体][正十二面体][正二十面体]图形面数f481220棱数k6123030顶点数e462012体积V0.1179a30.4714a37.6631a3 2.1817a3表面积S1.7321a2 3.4641a220.6457a28.6603a2表中a为棱长[欧拉公式]一个多面体的面数为f，棱数为k，顶点数为e，它们之间满足e-k+f=2。
立体几何体积表面积题型总结
立体几何体积表面积题型总结全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：立体几何体积和表面积是几何学中非常重要的概念，它们广泛应用于日常生活和各种工程领域。
在考试中，经常会出现与立体几何体积和表面积相关的题型，考查学生的综合能力和解题技巧。
本文将对关于立体几何体积表面积题型进行总结，希望能帮助读者更好地掌握相关知识。
在解立体几何体积表面积题型时，首先需要了解各种常见几何体的体积和表面积公式。
下面是一些常见几何体的体积和表面积公式：1. 立方体：- 体积公式：V = a³ （a为边长）- 表面积公式：S = 6a²了解以上公式是解立体几何体积表面积题目的基础，接下来需要根据具体题目的要求灵活运用这些公式。
在解题过程中，可以遵循以下一般步骤：1. 画图：根据题目绘制准确的图形，有助于理清思路和分析问题。
2. 确定参数：明确各个参数的含义，包括边长、半径、高等。
3. 应用公式：根据具体题目要求，选择合适的体积和表面积公式进行计算。
4. 计算验证：将得到的具体数值代入公式进行计算，并进行验证。
5. 总结解法：总结解题过程，确保计算结果正确且符合题目要求。
在解题过程中，有一些常见的考点和技巧也是需要注意的，下面列举一些常见的题型及解题技巧：1. 混合体积问题：有时题目会涉及到多种几何体的组合，需要将各个部分的体积分别计算，然后相加得到总体积。
2. 变换题型：有些题目需要根据给定条件进行变换，例如将一个正方体切割成若干小正方体，需要注意每个小正方体的边长与体积的关系。
3. 边长、半径的关系：根据题目给定的条件，需灵活利用边长、半径之间的关系来求解问题。
4. 知己知彼：要根据具体题目的特点选择合适的解题方法，不要死记硬背，要有灵活应对的能力。
5. 多维度思考：对于复杂的题目，可以通过多种角度进行思考，可以更快地找到解题思路。
第二篇示例：立体几何体积和表面积是几何学中非常重要的概念，它们广泛应用于工程、建筑、物理学和计算机图形学等领域。
(完整版)小学常用图形周长和面积计算公式
小学常用图形周长和面积计算公式
长方形
周长：c=(a+b)×：s=a ×h
面积：s= a ×b 正方形
周长：c=4a 三角形的面积 梯形的面积
面积：s=a
×a s=21ah s=21(a+b) ×h
圆
周长：c=πd=2πr 面积：s=πr 2
小学常用立体图形表面积和体积计算公式
长方体表面积：s=(a×b+a×c+b×c)×2正方体表面积：s=6a2
h
b 体积： v=a×b×
c 体积：v=a3 a a
圆柱体表面积：s=2s底+s侧圆锥的体积：v=
1sh
3
体积：v=s底h
小学常用单位进率
长度单位：毫米10厘米10分米10米1000千米面积单位：厘米2100分米2100米21000000千米2
10000100
公顷
体积单位：厘米31000分米31000米3
毫升1000升
质量单位：克1000千克1000吨
时间单位：秒60分60时24日
31天的月份有（1、3、5、7、8、10腊，31天永不差）日30天的月份有（4、6、9、10月）月2月：平年28天，闰年29天
大单位化小单位，单位变小，数字就要变大，所以要乘进率。
小单位化大单位，单位变大，数字就要变小，所以要除以进率。
立体图形表面积体积
教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课 类型T (立体图形相关知识点) C （典型例题试题讲解） T （拓展提高）授课日期时段教学内容知识点一：表面积1、长方体表面积=长x 宽× 2+ 宽× 高× 2+ 长×高× 2 字母公式：S=ax b× 2+ a× c× 2+ b×c× 2 或者：长方体的表面积 =( 长×宽 + 长×高 + 宽×高 ) × 2 。
字母公式：S=(ax b+ a× c+ b×c)× 22、正方体的表面积 =棱长×棱长×6。
字母公式：S=a ×a× 63、圆柱体的表面积：圆柱表面积=上底+下底+侧面（侧面面积=底面圆的周长×圆柱的高） 用字母表示：22s r ch π=+注：侧面积的求法：已知底面半径和高，rh π侧2s = 已知底面直径和高，dh π侧=s知识点二：体积1、长方体体积：长方体体积= ① 长×宽×高 （Ｖ＝ａｂｈ）② 底面积×高=横截面积×长 （V =sh ） 2、正方体的体积：正方体体积＝棱长×棱长×棱长检测题1：把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形．已知这个圆柱的高是10厘米，它的侧面积是（ ）平方厘米．A ．50B ．100C ．50πD ．100π答案：B检测题2．把一个棱长4厘米的正方体分割成两个长方体，表面积增加了______平方厘米．答案：64检测题3 一个正方体的棱长之和是48厘米，它的棱长是______厘米，表面积是______平方厘米，体积是______立方厘米． 答案：2 24 8检测题4 把两个棱长5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是______平方厘米．答案：250检测题5．一个练功房铺设了1600块长50厘米，宽10厘米，厚3厘米的木地板，这个练功房的面积有______平方米．答案：这个练功房的面积有80平方米．检测题6．圆柱的底面半径扩大2倍，高缩小到原来的21，它的体积就（ ）答案：扩大2倍检测题7．做一个圆柱体，侧面积是9.42平方厘米，高是3厘米，它的底面半径是______．答案：1.57cm一、专题精讲例1.如图是高为10厘米的圆柱，如果它的高增加4 厘米，那么它表面积就增加125.6平方厘米。
空间几何体的表面积及体积公式大全
1、 柱体① 棱柱］卜V 柱Sh② 圆柱J ______________ 2、锥体① 棱锥］ -------- 1—空间几何体的表面积与体积公式大全全（表）面积（含侧面积）1、 柱体 ① 棱柱］4 S 侧 ch② 圆柱J --------- --- 2、 锥体 ① 棱锥：S 棱锥侧*c 底h② 圆锥：S圆锥侧托底l3、 台体 ① 棱口： s棱台侧 ② 圆台：s棱台侧 4、 球体 ① 球：S球4 r 2 ② 球冠：略 ③ 球缺：略体积S全2S 底S侧2（c上底c 下底）hi 2（C上底C下底）1S 全S 上Sy S下” V柱3S h ②圆锥J -------- 3—3、 台体③球缺：略侧面积计算时使用母线|计算 三、拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2r 的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的-。
3① 棱台 ② 圆台. 1 ! -----------------------V台3h （S 上S 上 S 下 S 1 2 ---------------------------------------- 2V圆台3 h（r 上r 上r 下r下）4、球体①球：V 球 ②球冠：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h计算；而圆锥、圆台的SS TS T即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体 积之和 3、台体体积公式公式： V 台2h （S 上JSS 下S下）证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形 ABCD延长两侧棱相交于一点P 。
设台体上底面积为S 上，下底面积为S T 高为h 。
易知：PDC s PAB ，设 PE h i , 则 PF h i h由相似三角形的性质得：CD 匹AB PF分析：圆柱体积：V圆柱S h （ r 2）2r 2 r 3 圆柱侧面积：S圆柱侧ch （2 r ） 2r 4 f 因此：球体体积：V球-2 r 3 4 r 333球体表面积：S 球4 r 2PA4、h i即：—s上相似比等于面积比的算术平方根）Js 下h1 h整理得：h1又因为台体的体积二大锥体体积一小锥体体积二V台3S T（h1 h）代入：h1S±hi3S上h i13h i(S下S上)1押下hT S H S上得V台即: V 台3「S上h（S下S上）1 S上h3S S上13S下h1（S下S上）3S下hj h（S上S上S下S下）二V台3h（S上S上S T S T）球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（n层），n越大，每一层越近似于圆柱，n 时，每一层都可以看作是个圆柱。
小升初六年级数学名校冲刺精编讲义第20讲立体图形的表面积和体积(学生版)
5 厘米的圆钢．如果把它全部放入水
中，桶里的水面就上升 9 厘米，如果把水中的圆钢露出水面 8 厘米，桶里的水面就下降 4 厘米，求圆钢
的体积．
6．（ 2019?吉林模拟）在一个底面积为 34 平方厘米的圆柱形容器中，放入等底等高的一根圆柱形物体和一
个圆锥形物体，水面上升 10 厘米，圆柱有 1 露出水面，圆锥完全浸没，圆锥的体积是多少立方厘米？ 5
2 厘米的正方体， 两边各是圆柱体的
5．（ 2019?吉安县）一个酸奶瓶（如图） ，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈） ，容积是 32.4 立方厘米．当瓶 子正放时，瓶内酸奶高为 8 厘米，瓶子倒放时，空余部分高为 2 厘米．请你算一算，瓶内酸奶体积是多 少立方厘米？
爱永远宝贝
公众号：小升初数学压轴题天天练
1．（ 2019 春 ?江西校级期末）如图每个小正方体积木的边长是
2 厘米，把它们堆放在墙角，露在外面的面
的面积是
爱永远宝贝
平方厘米．
公众号：小升初数学压轴题天天练
2．（ 2019?萧山区模拟）一个长方体如果高增加 来这个长方体的表面积是多少平方厘米？
2cm就成了一个正方体，而且表面积增加
爱永远宝贝
3 厘米、 4 厘米、 5 厘米．求绕斜边旋转一周后所
2．（ 2019 春 ?江宁区月考）一个圆锥的底面周长是 15.7 厘米，高是 3 厘米．从圆锥的顶点沿着高将它切成 两半后，表面积之和比原圆锥的表面积增加了多少平方厘米？
3．（ 2019?吴川市模拟）如图：在长方体容器内装有水，已知容器内壁底面长为
25 厘米，宽为 20 厘米，现
把小圆柱体和小圆锥体浸没于水中，水面上升了
2 厘米．如果圆锥和圆柱的底面积相等高也相等，圆维的
立体几何知识点归纳总结
立体几何知识点归纳总结立体几何是几何学中一个重要的分支，主要研究空间中的物体的形状、大小和位置等问题。
它不仅在工程技术和科学领域有广泛的应用，而且在美术和设计等领域也占有重要地位。
本文将对立体几何的知识点进行归纳总结。
一、立体图形的基本概念立体图形指的是具有长度、宽度和高度三个维度的物体。
立体图形有很多种分类方法，其中最常用的是按形状分类。
按形状分类后，立体图形主要可以分为正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等几种。
二、立体图形的表面积和体积在立体几何中，表面积和体积是非常重要的概念。
表面积指的是立体图形所有表面的总面积，体积指的是立体图形所占据的空间大小。
计算不同形状的立体图形的表面积和体积的公式如下：1.正方体：表面积=6a²，体积=a³（a为正方体的边长）2.长方体：表面积=2ab+2bc+2ca，体积=abc（a,b,c分别为长方体的三条棱）3.圆柱：表面积=2πrh+2πr²，体积=πr²h（r为底面的半径，h为高）4.圆锥：表面积=πr（r+√（r²+h²））（r为底面的半径，h为高），体积=1/3πr²h。
5.球：表面积=4πr²，体积=4/3πr³（r为球的半径）三、立体几何的计算方法计算立体几何的方法有很多，常用的方法包括平面截面法、双积最小法和体性变换法等。
下面我们来逐一介绍这三种方法。
1.平面截面法：这种方法主要用于计算有规律的立体图形的体积，如正方体、长方体、圆柱等。
方法是将立体图形沿着某个方向划分成若干个小立方体或小圆柱，然后将小立方体或小圆柱的体积加起来即可得到整个立体图形的体积。
2.双积最小法：这种方法主要用来计算任意形状的立体图形的体积。
方法是将该立体图形投影到某个平面上，形成一个平面图形。
然后在平面图形上任取两个正交坐标轴，计算这两个坐标轴的积分。
最后将两个积分结果相乘，再乘以某个系数即可得到该立体图形的体积。
柱、锥、台、球的表面积和体积
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
迁移发散 3．已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开 图如图所示，则该凸多面体的体积 V ＝________. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组 合体，正方体的体积是 1，正四棱柱的体积是 2 . 6 2 ，故该凸多面 6
2 2
R 3R R－ ＝ ， 4 2
2
2
1 R2 3R 3πR 3 ∴圆锥的体积 V ＝ ×π× × ＝ . 3 4 2 24 答案：A
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
2．长方体三个面的面积分别为 2、6 和 9，则长方体的体积是 A．6 3 B．3 6 C．11 D．12
(
)
解析：设长方体的三边长为 a、b、c
答案：C
考基联动 考向导析 规范解答 限时规范训练
考向三 几何的展开与折叠
【例3】 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠 绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多 少？
解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩 形 ABCD(如图所示)，由题意知 BC＝3π cm，AB ＝4π cm， 点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度 即为铁丝的最短长度．AC＝ AB2 ＋BC2 ＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为 5π cm. 反思感悟：善于总结，养成习惯 求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型．这类题目的 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上． 为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同 一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决．
小升初专题复习-立体图形的表面积和体积(课件)人教版六年级下册数学
六、(江苏·盐城)如下图，用涂色部分做一个圆柱体(接头处不计)，这 个圆柱体的体积是多少立方厘米？(9 分)
解：设圆柱的底面直径为 d 厘米。 3．14d＋d＝41.4 d＝10
3．14×(10÷2)2×(10×2)＝1570(cm3)
答：这个圆柱体的体积是 1570 立方厘米。
第18课时 立体图形的表面积和体 积
名称 长方体 正方体
圆柱
圆锥
图形
字母意义
表面积公
体积公式
a——长 b——宽
h——高 S 表——表面积 S 表＝22((aabb＋＋aahh＋＋bbhh))V＝aabbhh ＝S 底 h
S 底——底面积 V——体积
a——棱长 S 表——表面积 V——体积 S 底——底面积
6．小明新买了一管容积约为 45 cm3 的牙膏，牙膏圆形出口的直径为 6 mm。 他早晚各刷一次牙，每次挤出的牙膏长约 20 mm。这管牙膏估计能用
（ 42 ）天。(π 取 3) 7．一个长方体木料，横截面是边长 10 厘米的正方形，从这根木料上截 下 6 厘米长的一段，切削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ 157 ）立 方厘米，削去部分的体积是（ 443 ）立方厘米。 8．(江苏·南京)一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是 1∶12。
4．(浙江·绍兴)学校体育馆底层用 10 根圆柱形柱子支撑着，每根柱子
高 3 m，底面直径为 5 dm，油漆这些柱子的面积是（ 47.1 ）m2。 5．如右图，如果这两个图形分别绕各自 3 cm 的边旋转一周，可以形成 一个圆锥和一个圆柱。圆柱的体积为（ 150.72 ）cm3，圆锥的体积为 （ 50.24 ）cm3。
【答案】(1)60÷1.5＝40(m) 60×40×2＝4800(m3) 答：这个游泳池最多能蓄水 4800 立方米。 (2)60×40＋(60×2＋40×2)×2＝2800(m2) 答：抹水泥的面积是 2800 平方米。
计算正方体体积与表面积的公式及应用
计算正方体体积与表面积的公式及应用正方体是我们生活中常见的一种立体图形，它的特点是六个面都是正方形，边长相等。
在数学中，我们经常需要计算正方体的体积和表面积，因为这些计算与我们的日常生活息息相关。
本文将详细介绍计算正方体体积与表面积的公式及其应用。
一、正方体的体积公式正方体的体积是指该立体图形所占据的空间大小。
我们可以通过计算正方体的边长来求解体积。
正方体的体积公式为：体积 = 边长³。
例如，如果一个正方体的边长为5厘米，那么它的体积可以通过计算5³来求得，即体积 = 5³ = 125立方厘米。
正方体的体积公式非常简单，只需要知道边长即可进行计算。
这个公式在很多实际问题中都有应用，比如计算一个盒子的容积、一个水池的容量等等。
二、正方体的表面积公式正方体的表面积是指该立体图形六个面的总面积。
我们可以通过计算正方体的边长来求解表面积。
正方体的表面积公式为：表面积 = 6 ×边长²。
例如，如果一个正方体的边长为5厘米，那么它的表面积可以通过计算6 × 5²来求得，即表面积 = 6 × 5² = 150平方厘米。
正方体的表面积公式也非常简单，只需要知道边长即可进行计算。
这个公式在很多实际问题中也有广泛的应用，比如计算一个房间的墙面积、一个箱子的包装面积等等。
三、正方体体积与表面积的应用正方体的体积和表面积公式在日常生活中有很多实际应用。
1. 包装设计：在设计包装盒子时，我们需要考虑产品的体积和表面积。
通过计算正方体的体积，可以确定盒子的容量是否足够装下产品。
通过计算正方体的表面积，可以确定盒子的包装材料是否足够。
2. 建筑设计：在设计房屋时，我们需要计算房间的体积和墙面的表面积。
通过计算正方体的体积，可以确定房间的容积，从而合理安排家具和装饰品。
通过计算正方体的表面积，可以确定墙面的面积，从而计算所需的油漆和壁纸的用量。
4. 立体图形的体积、表面积、侧面积 几何重心与转动惯量计算公式
r,R分别为上,下底圆半径,h为高,l为母线
上下底平行, , 分别为上,下底面积, 为中截面面积,h为高
体积
表面积
侧面积
母线
重心
(Q为底圆中心,O为圆锥顶点)
转动惯量
取圆锥顶点为坐标原点,z轴与GQ重合
体积距离)
重心
(P,Q分别为上下底圆心)
两底为矩形,a’,b’,a,b分别为上下底边长,h为高, 为截头棱长
底为矩形,a,b为其边长,h为高,a’为上棱长
r为半径
体积
重心
(P,Q分别为上下底重心)
体积
重心
(P为上棱中点,Q为下底面重心)
体积
表面积
重心G与球心O重合
转动惯量
取球心O为坐标原点
图形
体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J
R为外半径,r为内半径,h为高
r为底圆半径,h,H分别为最小,最大高度, 为截角,D为截头椭圆轴
体积
表面积
侧面积
重心
(P,Q分别为上下底圆心)
转动惯量
取重心G为坐标原点,z轴垂直底面
体积
表面积
侧面积
式中t为管壁厚, 为平均半径
重心
转动惯量
取z轴与GQ重合
体积
表面积
侧面积
截头椭圆轴
重心
(GQ为重心到底面距离,GK
8
12
20
棱数k
6
12
30
30
顶点数e
4
6
20
12
体积V
表面积S
表中a为棱长.
[欧拉公式]一个多面体的面数为f，棱数为k，顶点数为e,它们之间满足
小学五年级数学教案：立体图形的表面积与体积计算
小学五年级数学教案：立体图形的表面积与体积计算教学主题立体图形的表面积与体积计算教学目标知识与技能：了解常见立体图形的基本定义和分类，掌握其特征与性质。
掌握立体图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体）的表面积和体积计算公式。
能够应用表面积和体积的公式解决实际问题，如物体的包装、容器的容量等。
过程与方法：通过观察和动手操作，帮助学生直观理解立体图形的特性与表面积、体积的计算方法。
通过公式推导与例题讲解，培养学生运用表面积和体积公式解决实际问题的能力。
运用实际生活中的立体几何问题，帮助学生理解表面积与体积在现实中的应用。
情感态度与价值观：培养学生细致观察和逻辑推理的能力。
通过小组讨论与合作，提高学生的团队意识和合作能力。
教学重点立体图形的定义与分类。
立体图形的表面积与体积计算方法。
教学难点正确应用立体图形的表面积和体积公式解决复杂问题。
理解立体图形表面积与体积计算中的多步骤应用。
教学准备教具：PPT课件、立体图形模型（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体）、测量工具（如尺子）、练习册、白板与记号笔。
教学材料：与立体图形表面积和体积计算相关的实际应用问题（如物体包装、液体容量计算、建筑设计等）。
教学过程一、导入新课情境引入：展示不同的立体图形模型，引导学生观察立体图形的特性，并提出问题：“这些立体图形在生活中有哪些应用？我们如何计算这些物体的表面积和体积？”提问：“你们在包装礼物时，如何知道需要多少包装纸？或者在装水时，如何确定容器能装多少水？”揭示课题：通过对生活中立体图形应用的讨论，引出本节课的主题：“立体图形的表面积与体积计算”，并强调这些知识在实际生活中，如物体包装、液体容量计算等方面的广泛应用。
二、新授课立体图形的定义与分类立体图形的基本特性：定义：立体图形是具有长、宽、高三个维度的几何图形。
常见的立体图形包括长方体、正方体、圆柱、圆锥和球体。
例子：箱子是长方体，骰子是正方体，水杯是圆柱形的。
平面图形和立体图形的计算公式
平面图形和立体图形的计算公式
1、正方形（C:周长S:面积a:边长）
周长=边长x 4 C=4a 面积=边长x边长S=a x a=a2
2、正方体（V:体积a:棱长）
表面积=棱长x棱长x 6 S 表=a x a x6
体积=棱长x棱长x棱长V=a x a x a=a3
3、长方形（C :周长S :面积a :边长）
周长=（长+ 宽）x 2 C=2（a+b）
面积=长乂宽S=ab
4、长方体（V: 体积s: 面积a: 长b: 宽h: 高）
（1）表面积（长x宽+长x高+宽x高）x 2 S=2（ab+ah+bh）
⑵体积=长乂宽x高V=abh
5、三角形（s :面积a :底h :高）
面积=底乂咼* 2 s=ah 宁2
三角形高= 面积x 2宁底三角形底=面积x 2宁高
6、平行四边形（s :面积a :底h：高）
面积=底乂高s=ah
7、梯形（s :面积a：上底 b :下底h：高）
面积=（上底+下底）x高* 2 s=（a+b）x h宁2
8、圆形（S :面积C :周长JI d=直径r=半径）
（1）周长=直径x J =2x J x 半径C= J d=2 J r
⑵面积二半径x半径x J = n r2
9、圆柱体（v:体积h:高s:底面积r:底面半径c:底面周长）（1）侧面积=底面周长x高=ch（2 J r或J d）（2）表面积= 侧面积+底面积
x 2
（3）体积=底面积x高（4）体积=侧面积* 2x半径。
空间几何体的表面积与体积公式大全
外接球的半径
4
（3）规律：
:u 正四而体
=3 品 兀:2
① 正四面体的内切球与外接球的球心为同一点；
② 正四面体的内切球与外接球的球心在高线上；
③ 正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高；
④ 正四面体的内切球与外接球的半径之比等于 1： 3
⑤ 正四面体内切球与外接球体积之比为：1： 27
(2)外接球
正方体与其体内最大的正四而体有相同的外接球。(理由：过不共面的
四点确定一个球。)正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所 以它们共球。
回顾：①两点定线②三点定面③三点定圆④四点定球
如图：
(a) 正方体的体对角线=球直径 (b) 正四面体的外接球半径二？高
4
(C)正四面体的棱长=正方体棱长 X 72 (d) 正方体体积：正四面体体积=3： 1 (e) 正方体外接球半径与
1
方法 1：展平分析：（最重要的方法） 如图：取立体图形中的关键平面图形进行分析！
/ Ft''、、 /』）''、、、
连接 DO 并延长交平面 ABC 于点 G,连接 GO, /
X：；盖］
连接 DO,并延长交 BC 于点 E,则 A、G、E B 笔共线＜ J A —c 在平面 AED 中，由相似
知识可得：
成正方体进行分析。如图:
1 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编借.
文档收集于互联网，已重新整理排版 word 版本可编辑•欢迎下载支持. 此时，正四面体与正方体有共同的外接球。
正四面体的棱长为“，则正方体棱长
正方体的外接球直径为其体对角线 D 亠嗨号
•••正四面体的外接球半径为: 2=也
立体图形的表面积和体积 杨磊
宽 高 3 1
2
体积
长
宽
高
2
3
12
3
2
2
体积 长 宽 高 1 1 5 = 5× 1 ×1
5
1 3 15
5
2 2
=5
=3
× 3 ×1
12
× 2× 2
3
h
a 长方体的体积＝长×宽×高
V a b h
b
V ＝ abh
正方体是特殊的 长方体，正方体 的长和宽和高都 相等。
棱长
ɑ
棱长 棱长 ɑ
ɑ
正方体的56厘米
r=3厘米
d=5厘米
单位：厘米 纸袋的规格是： 28×9×37 茶叶罐的底面直径是 高是12
1.做一个这样的纸袋需要多少纸板？ 算式是：（ （28×37＋9×37）×2 ＋28×9 ) 2.茶叶罐的体积是多少？算式是：（ 3.14×（7÷2）2 ×12 ）
工人叔叔要把10个这样 的易拉罐装进一个的纸 箱，算一算，要制作这 样一个纸箱至少需要多 少硬纸板？（厚度略去 不记）
高
圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝底面积
高 高
圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝底面积
高 高
1 3
圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝底面积
高 高
1 3
第 一 关
第 二 关
第 三 关
第 四 关
下面说法中物体的表面积和体积有 没有变化？
1、切开西瓜
2、只要功夫深，铁杵磨成针。
下面是一种圆柱形茶叶罐的侧面展开图,请你 选择与它相对应的底边
V=ɑ ×ɑ×ɑ
3 =ɑ
长方体的体积＝底面积 x 高
底面积
长方体的体积＝底面积 x 高
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立体图形的表面积与体积 （复习）
执教老师：张春英
学习目标
• 进一步理解立体图形的表面积与体积间的 相互联系与区别。
• 牢固掌握立体图形的表面积及体积计算公 式。
• 灵活运用公式解决生活中的实际问题。
知识回顾
意义
h
a
b
a
a a
r
h
表面积
一个立体图形所有的面的面积总和
S =（ab+ah+bh) × 2
2、有一瓶碘酒，它的 瓶身呈圆柱形，（不包括瓶 颈，如下图）。已知它的容 积为31.4立方厘米。当瓶子 正放时，瓶内碘酒高8厘米； 瓶子倒放是空余部分的高为 2厘米。瓶内碘酒的体积是 多少？
3、一个圆锥形的稻谷堆，底面周长12.56m， 高1.5m。把这堆稻谷装进一个圆柱形粮仓，正好装 满。这个粮仓里面的底面直径为2m。高是多米？
怎样测量不规则物体的体积？
把一个马铃薯完全浸没在一个底 面直径是20厘米，水深12厘米的圆柱 形容器中，水没有溢出，且量得水面 上升了3厘米。这个马铃薯的体积是 多少立方厘米？
温故而知新 学无定法，贵在得法
圆柱侧面积
）
3、计算做一个圆柱形烟囱要多少铁皮就是求
（
圆柱侧面积
）
4、长方体鱼池最多能装多少水，就是求
（
长方体的容积
）
5、计算做一个圆柱形饼干筒所需要的材料的数量
就是求（
圆柱的表面积
）
判断题。对的打“√“错的打“X”
1、圆柱的体积是圆锥体积的3倍。（X ） 2、等底等高的长方体、正方体和圆柱，它们的体积相等。（√ ）
3、两个圆柱体的侧面积相等，它们的底面周长一定相等。（X）
4、一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高扩大到原来的2
倍，它的体积扩大到原来的8倍。（√ ）
看图列式：计算表面积和体积
3米 3米 8米
5 分 米
C底=6.28分米
4 厘 米
r=2厘米
1、一个圆柱体高8厘米，如果把它截成两个 圆柱，则表面积增加32平方厘米，这个圆柱体的 体积是多少立方厘米？
=2ab+2ah+2bh
S = 6a2
S =2兀rh+2兀r2
体积
物体所占空间的大小
V= abh
V=a3
V = sh
V= sh=兀r2 h
h s
sh
cm2 dmห้องสมุดไป่ตู้ m2 …
Cm3(mL)dm3(L)m3 …
1、求一段圆柱形钢条有多少立方米就是求
（
圆柱的体积
）
2、求压路机滚筒滚一周压路的面积就是求
（