2020年高考文科数学易错题《数列》题型归纳与训练

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2020年高考文科数学《数列》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 等差数列的基本运算

例1（1）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）

A ．-24

B ．-3

C ．3

D ．8 （2）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =（ ）

A ．18

B ．20

C ．22

D ．24

（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，＝－2，＝0，＝3，则＝（ ） A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

（4）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k =_____． 【答案】 (1)A (2)B (3)C （4）10 【解析】

（1）设{}n a 的公差为d （0d ≠），由2

326a a a =，得2

(12)(1)(15)d d d +=++，

所以2d =-，665

61(2)242

S ⨯=⨯+

⨯-=-．选A ． （2）由1011S S =，得1111100a S S =-=，111(111)0(10)(2)20a a d =+-=+-⨯-=． （3）有题意知=

0=，∴=-=-（-）=2-，

= -3=，∴公差=-=1，∴3==-，∴5=m ，故选C .

（4）设{}n a 的公差为d ，由94S S =及11a =， 得9843914122d d ⨯⨯⨯+

=⨯+，所以1

6

d =-．又40k a a +=， 所以1

1[1(1)()][1(41)()]06

6

k +-⨯-++-⨯-=，即10k =． 【易错点】等差数列求和公式易记错 【思维点拨】等差数列基本运算的解题方法

（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,S n n a a d n ，知其中三个就能求另外两个，体

1m S -m S 1m S +m m S 1()

2

m m a a +1a m a m S 1m S -1m a +1m S +m S d 1m a +m a 1m a +2m +

现了用方程的思想来解决问题．

（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法． 题型二 等差数列的判定与证明

例1 在数列{}n a 中，若21-=a ，已知n n a a 2121+=+，则数列{}n a 前10项的和为______. 【答案】

2

5 【解析】由已知可得211=

-+n n a a ，2

5

245204510110=+

-=+=d a S 例2 已知数列{}n a 满足)(22,1111+++∈+==N n a a a a n

n n

n n

（1）证明数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n n a 2为等差数列；

（2）求数列{}n a 的通项公式. 【答案】见解析

【解析】（1）1222211=-+=-++n n

n n n n n n n a a a a a ，所以数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是首项为2，公差为1的等差数列.

（2）由（1）知()1122+=-+=n n a n

n

，所以12+=

n a n n . 例3 若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2021≥=+-n S S a n n n ，2

1

1=

a . （1）求证：⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧n S 1成等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式. 【答案】见解析

【解析】（1）证明 当2≥n 时，由021=+-n n n S S a ， 得112---=-n n n n S S S S ，所以

21

11=--n n S S ，故⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是首项为2，公差为2的等差数列. （2）解 由(1)可得

n S n 21

=，∴n

S n 21=.

3

当1=n 时，2

11=

a 不适合上式. 当2≥n 时，()1211--=-=-n n S S a n n n .

故()

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==212112

1

n n n n a n

【易错点】忘记写：当2≥n 时或者不知道使用：1n n n a S S -=- 【思维点拨】等差数列的证明方法：

（1）定义法：d a a n n =-+1)(*

∈N n 或d a a n n =--1)2,(≥∈*

n N n ⇒{}n a 为等差数列.

（2）等差中项法：()

*

++∈+=N n a a a n n n 212⇒{}n a 为等差数列.

（3）通项法：B An a n +=B A ,(为常数)⇒{}n a 为等差数列.

（4）前N 项和法：Bn An S n +=2

B A ,(为常数)⇒{}n a 为等差数列.

题型三 等差数列前n 项和及其最值

例1 （1）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知131=a ，113S S =，当n S 最大时，n 的值是( )

A.5

B.6

C.7

D.8

（2）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__时{}n a 的前n 项和最大． 【答案】(1)C (2)8

【解析】（1）由113S S =，根据等差数列的性质，可得087=+a a .根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到07>a ，08

（2）∵数列{}n a 是等差数列，且789830a a a a ++=>，80a >．又

710890a a a a +=+<，∴90a <．当8=n 时，其前n 项和最大．

【易错点】求最值的时候计算出错，以及去掉绝对值求和时也易出错。 【思维点拨】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法： (1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； (2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

(3)将等差数列的前n 项和2

n S An Bn =+ (,A B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.