高中数学排列组合知识点讲课稿
高中数学排列组合-平均分组分配问题优选课堂.ppt
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
简定易辅理导 1:
C C m
nm
n
n
1
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
证明:
Cmn
Cm1 n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表示组数。
简易辅导
5
点拨提高
一、均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
142C
84C
4 4
A
3 3
12! 8! 1 5775
4!·8! 4!·4! 3!
解:（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个， 然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，
每班至少一个.由（1）可知共有 C62 种15分法
注：第一小题也可以先给每个班一个指标，
然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两
个班、三个班、四个班进行分类，共有
C61
3C62
3C63
C 4
简易6辅导
126
种分法. 18
C
2 4
C
2 2
=90
简易辅导
7
三、部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五 个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1
1思维的开掘 能力的飞跃1．基本计数原理⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1m 种不同的方法，在第二类方法中有2m 种方法，……，在第n 类方法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑴乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑴加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．〔其中被取的对象叫做元素〕排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．知识内容排列组合问题的常见模型12 思维的开掘 能力的飞跃⑴组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!mn n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．〔规定0C 1n =〕⑴排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题〔分成几堆，无序〕．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆〔组〕，必须除以n ！，如果有m 堆〔组〕元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ⑴元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ⑴位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；⑴间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，防止“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：⑴对特殊元素进行优先安排；⑴理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；⑴对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；⑴对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑴顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑴对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑴对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析排队问题【例1】三个女生和五个男生排成一排⑴如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？⑵如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？⑶如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例2】6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑴其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？⑴其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？3思维的开掘能力的飞跃【例3】7名同学排队照相．⑴假设分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？⑵假设排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？⑶假设排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷假设排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例4】6个队员排成一排，⑴共有多少种不同的排法？⑴假设甲必须站在排头，有多少种不同的排法？⑶假设甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？【例5】ABCDE五个字母排成一排，假设ABC的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原则，共有_______种排法〔用数字作答〕．【例6】用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个〔用数字作答〕．4 思维的开掘能力的飞跃5思维的开掘 能力的飞跃【例7】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有〔 〕A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例8】 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，假设其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是〔 〕A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【例9】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有〔 〕A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【例10】 在数字123，，与符号+-，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是〔 〕A ．6B ．12C ．18D ．24【例11】 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．6 思维的开掘 能力的飞跃【例12】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法〔用数字作答〕．【例13】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？【例14】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是〔 〕A ．360B ．288C ．216D ．96【例15】 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种〔结果用数值表示〕．【例16】 在1234567，，，，，，的任一排列1234567，，，，，，a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有〔 〕种．A ．288B ．576C ．864D ．11527思维的开掘 能力的飞跃【例17】 从集合{}P Q R S ，，，与{}0123456789，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排〔字母和数字均不能重复〕．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．〔用数字作答〕【例18】 从集合{}O P Q R S ，，，，与{0123456789}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排〔字母和数字均不能重复〕．每排中字母O Q ，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．〔用数字作答〕【例19】6个人坐在一排10个座位上，问 ⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?⑶ 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?【例20】 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是〔 〕A ．360B ．288C ．216D ．968 思维的开掘 能力的飞跃【例21】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有〔 〕A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【例22】 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例23】2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有〔 〕A ．36种B ．108种C ．216种D ．432种数字问题【例24】 给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑴可能组成多少个四位奇数？⑴可能组成多少个四位偶数？⑴可能组成多少个自然数？【例25】 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？9思维的开掘 能力的飞跃【例26】 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．【例27】 用12345，，，，排成一个数字不重复的五位数12345a a a a a ，，，，，满足12233445a a a a a a a a <><>，，，的五位数有多少个？【例28】 用0129，，，，这十个数字组成无重复数字的四位数，假设千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？【例29】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个〔用数学作答〕．【例30】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这810 思维的开掘 能力的飞跃 张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法数一共有 种．432；【例31】 有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有〔 〕 A ．1344种 B ．1248种 C ．1056种 D ．960种【例32】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有____种〔用数字作答〕．【例33】 用1，2，3，4，5，6组成六位数〔没有重复数字〕，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________〔用数字作答〕．【例34】 用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有〔 〕A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个【例35】 从1238910，，，，，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到 个这样的不同偶数？高中数学讲义 11思维的开掘 能力的飞跃【例36】 求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有______个．【例37】 用数字0123456，，，，，，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个〔用数学作答〕．【例38】 从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔 〕A ．300B ．216C ．180D ．162【例39】 从012345，，，，，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔 〕A ．300B ．216C ．180D ．162【例40】 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑴上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑴⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？高中数学讲义 12 思维的开掘 能力的飞跃⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例41】 用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例42】 有4张分别标有数字1234，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234，，，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有______种〔用数字作答〕．【例43】 在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有〔 〕个A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个【例44】 由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则19a =_____．A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430高中数学讲义 13 思维的开掘 能力的飞跃【例45】 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程20ax bx c ++=，其中有实数根的有几个？【例46】 从{}32101234，，，，，，，---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?。
《排列与组合》的说课稿
《排列与组合》的说课稿引言概述：排列与组合是数学中重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
通过排列与组合的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提高我们的逻辑思维能力和数学素养。
本文将从排列与组合的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、排列的概念1.1 排列的定义：排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列的方式。
1.2 排列的计算公式：排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
1.3 排列的性质：排列的个数随着元素个数和选取个数的增加而增加，排列的顺序不同则视为不同的排列。
二、组合的概念2.1 组合的定义：组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干个元素进行组合的方式。
2.2 组合的计算公式：组合的计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
2.3 组合的性质：组合的个数不受元素的排列顺序影响，组合的个数随着选取的元素个数的增加而减少。
三、排列组合的应用3.1 排列组合在概率统计中的应用：排列组合可以帮助我们计算事件发生的可能性，从而进行概率统计的分析。
3.2 排列组合在密码学中的应用：排列组合可以帮助我们设计安全的密码算法，保护信息的安全性。
3.3 排列组合在工程设计中的应用：排列组合可以帮助我们设计出更加合理的工程结构，提高工程的效率和可靠性。
四、排列组合的解题方法4.1 利用计算公式：根据排列组合的计算公式，可以直接计算出排列组合的个数。
4.2 利用递推关系：通过递推关系可以简化排列组合的计算过程，提高解题效率。
4.3 利用实际问题进行练习：通过解决实际问题，可以更好地理解排列组合的概念和应用。
五、总结排列与组合作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
通过学习排列与组合，可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力，为我们的学习和工作带来更多的帮助。
希望大家能够认真学习排列与组合的知识，不断提升自己的数学素养。
沪教版高中高三数学《排列组合与二项式定理》说课稿
沪教版高中高三数学《排列组合与二项式定理》说课稿一、课程背景与思考随着社会变革的快速发展，数学作为一门必修学科，对学生的培养具有重要意义。
而高中阶段的数学教育更加注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本节课讲授的《排列组合与二项式定理》是高中数学中的一大难点，对学生来说是一个较为抽象且具有挑战性的内容。
因此，本课旨在通过深入浅出、生动有趣的教学方法，帮助学生理解与掌握这一重要概念，培养其逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学目标1.理解排列组合与二项式定理的基本概念和思想；2.掌握排列组合与二项式定理的基本计算方法；3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力；4.培养学生的合作与交流能力。
三、教学重难点1.排列组合与二项式定理的基本概念和思想；2.排列组合与二项式定理的基本计算方法；3.如何培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四、教学方法本节课注重学生的主体性，采用任务型教学法和课堂讨论相结合的教学方法。
任务型教学法可以有效激发学生的学习兴趣和主动性。
在教学前，根据学生的实际情况设计一些生活实际问题，通过任务的形式引导学生思考，培养其解决问题的能力。
在教学过程中，教师可组织小组合作学习，让学生共同探索，互相合作，提高学生的合作与交流能力。
课堂讨论是培养学生逻辑思维能力的有效途径。
教师可以设计一些开放性问题，引导学生进行分析和讨论。
通过学生之间的思想碰撞，激发学生的思维活动，培养其逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
五、教学过程及内容安排1. 导入与热身（5分钟）•引发学生思考：在我们的日常生活中，你们有没有遇到过一些需要进行选择和组合的情况？请举例说明。
•通过引发学生思考，激发学生对排列组合与二项式定理的学习兴趣。
2. 排列组合概念解释与示例讲解（10分钟）•提供一个简单的例子，引导学生理解排列与组合的概念，并解释其严格定义。
•通过具体的例子帮助学生理解排列组合的基本思想和计算方法。
高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1.2.1排列与排列数课件新人教B版选择性必修第二册
3.5A！××33××22×1＝15.
4．由 1,2,3 这三个数字组成的三位数分别是 _1_2_3_,_1_3_2_,2_1_3_,_2_3_1_,3_1_2_,_3_2_1______． 解析：用树形图表示为
由“树形图”可知组成的三位数为 123,132,213,231,312,321， 共 6 个．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 两 个 排 列 的 对 象 相 同 ， 则 这 两 个 排 列 是 相 同 的 排 列．( ) × 因为相同的两个排列不仅对象相同，而且对象的排列顺 序相同．
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛， 共有多少种选法属于排列问题．( )
2．由 1 知 A24 ＝4×3 ＝12，A34 ＝4×3×2 ＝24，你能否 得出 A2n的意义和 A2n的值？
[提示] A2n的意义：假定有排好顺序的 2 个空位，从 n 个对 象 a1，a2，…，an 中任取 2 个对象去填空，一个空位填一个对象， 每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样
题型三 排列数公式的推导及应用
状元随笔 1.两个同学从写有数字 1,2,3,4 的卡片中选取卡
片进行组数字游戏．从这 4 个数字中选出 2 个或 3 个分别能构成 多少个无重复数字的两位数或三位数？
[提示] 从这 4 个数字中选出 2 个能构成 A24 ＝4×3 ＝12 个无重复数字的两位数；若选出 3 个能构成 A34 ＝4×3×2 ＝24 个无重复数字的三位数．
题型一 排列的概念
例 1 判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票 的价格(假设来回的票价相同)； (2)选 2 个小组分别去植树和种菜； (3)选 2 个小组去种菜； (4)选 10 人组成一个学习小组； (5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班 40 名学生在假期相互通信．
高中数学排列与组合课件(经典)
或 A120 10 9 90
例3.(1)凸五边形有多少条对角线？ (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？ 解：（1） (5 3) 5 5
2
（2） (n 3) n
2
例4、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
m个元素的组合数，用符号 Cnm表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所
有组合个数是: C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例1、一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球 比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
从7位同学中 选出3位同学 构成一个组合
剩下的4位同 对应 学构成一个组
合
从7位同学中 选出3位同学
从7位同学中 选出4位同学
的组合数
C
3 7
的组合C数74
即：C73 C74
思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–m个元素, 因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的n– m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同 元素的组合数,等于从这n个元素中取出 n-m个元素的组合数.即
高中数学排列组合常用方法与技巧精讲 PPT课件 图文
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
高中：排列组合讲义
排列组合基本知识点:1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事。
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
高中数学竞赛教材讲义 第十三章 排列组合与概率讲义
第十三章 排列组合与概率 一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，mn A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，nn A =n!。
4．N 个不同元素的圆周排列数为nA nn =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）knk n C C kn =--11；（4）n nk kn n nn n C C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。
排列组合ppt课件高中
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
高中数学排列组合知识讲解
精品文档模块九排列与组合、二项式定理第一部分：排列、组合一。
计数原理，m类，每一类的方法数分别是：N，N加法计数原理：如果完成一件事情可以分为21（又称分类计数原理）…..+N种方法。
N，…..N,则完成这件事情共有N+N+N+mm3321，N步，每一步的方法数分别是：N，乘法计数原理：如果完成一件事情须分为m21???? N（又称分类计数原理）NNN…..种方法。
，N…..N,则完成这件事情共有mm3321体现它贯穿于全章学习的始终，分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，正确区分和使用两即把问题分类解决和分步解决。
了解决问题时将其分解的两种常用方法，完成.是“分类”完成，还是“分步”个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”二。
排列数、组合数的定义m A种排法。
n个元素中取出m个排成一列（即排入m个位置），共有①排列数：从nnm!A?n）=n特别的：－2）…（n－m+1）.（n－1A （n nnm C种取法。
个元素中取出m个形成一个组合，共有②组合数：从n n!n n0m1??C1,C C特别地：= nnn!m(n?m)!：组合数的两个性质m?nm1mmm?+C.=C （1）C=C （2）C；1n?nnnn三。
解决排列、组合问题的四大原则及基本方法 1. 特殊优先原则该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置．甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天１范例）人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（种Ｂ．89Ａ．90种Ｄ．59种Ｃ．60种：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一解析22CC2种；③仅剩22天安排甲有种；②从剩下的4天中选天安排乙有5的天中任取45222260C·C?C·C种，即选Ｃ．种．由分步乘法计数原理可得一共有天安排丙有2542对有限制的元素和有限制的：评注特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，位置一定要优先考虑． 2.先取后排原则精品文档．精品文档mmm C·A?A的精神实质，先组合后排列，从而避免了不必要的重该原则充分体现了nmn复与遗漏．范例将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）．Ａ．12种Ｂ．24种Ｃ．36种Ｄ．48种2C再将这三组分配到三所学校组有种分法，将4名教师分成3解析：先分组再排列：42336C·A?3种不同分配方案．有种分法，由分步乘法计数原理知一共有A343若评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题．3名教3所学校有种方法，再将剩下的1本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给A43种分配方案，则有明显重复（如：甲、乙、师分给3所学校有3种选择，则共有A·3?724丙、丁和甲、乙、丁、丙）．因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则．3.正难则反原则若从正面直接解决问题有困难时，则考虑事件的对立事件，从不合题意要求的情况入手，再整体排除．范例在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少取到１件次品的不同取法的种数是（）1233CC?AC3321CC?CCＤ．Ｃ．Ａ．Ｂ．9969410094100946解析：从100件次品中取3件产品，至少有1件次品的对立事件是取到3件全部是正品，333即从94件正品中取3件正品有种取法，所以满足条件的不同取法是，故选Ｃ．如CC?C1009494果从正面考虑，则必须分取到1，2，3件次品这三类，没有应用排除法来得简单．而本例最12，即从6件次品中取1件确保了至少有1件次品，再从剩下的99易迷惑人的是Ｂ：CC699件产品中任取2件即可．事实上这样分步并不相互独立，第一步对第二步有明显影响，设次12ＡＢＢＡ甲，因而重复．品为，正品为甲乙丙丁戊…则可以是甲，也可能是CCABCDEF699评注：正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径．利用正难则反原则的语境有其规律，如当问题中含有“至少”，“最多”等词语时，易用此原则．4.策略针对原则不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略，不同的限制条件要采用不同的解题方法．①相邻问题捆绑法（整体法），不相邻问题插空法范例17人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解析：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
高中排列与组合说课稿
高中排列与组合说课稿高中排列与组合说课稿好的数学教育应该从学习者的生活经验和已有的知识背景出发。
接下来小编为大家推荐的是高中排列与组合说课稿，欢迎阅读。
一、说教学目标1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力二、说教材分析1.重点：加法原理，乘法原理。
解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．2.难点：加法原理，乘法原理的区分。
解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．三、说活动设计1.活动：思考，讨论，对比，练习．2.教具：多媒体课件．四、说教学过程正1．新课导入随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。
排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．2．新课我们先看下面两个问题．(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？板书：图因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理：加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十?十mn种不同的方法．(2)我们再看下面的问题：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法？板书：图这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有3X2=6种不同的走法．一般地，有如下原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1m2?mn种不同的方法．例1书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．1）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N＝6X5＝30．答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币1）从中任取一枚，有多少种不同取法？2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？例2：(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的'数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．答：可以组成125个三位数．练习：1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、?、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、?、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3．题2的变形4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习练习1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2．在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？4．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？。
《排列与组合》的说课稿
《排列与组合》的说课稿排列与组合是高中数学中非常重要的概念，它们在数学和现实生活中都有着广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本概念、性质和应用，帮助大家更好地理解和应用这两个概念。
一、排列的概念1.1 排列的定义：排列是指从一组元素中按照一定顺序选择若干个元素的方式。
1.2 排列的计算方法：排列的计算方法包括全排列和部分排列两种。
1.3 排列的性质：排列的数量受到元素个数和选择个数的影响，可以用数学公式进行计算。
二、组合的概念2.1 组合的定义：组合是指从一组元素中按照一定规则选择若干个元素的方式。
2.2 组合的计算方法：组合的计算方法包括普通组合和重复组合两种。
2.3 组合的性质：组合的数量受到元素个数和选择个数的影响，可以用数学公式进行计算。
三、排列与组合的区别3.1 排列与组合的区别：排列是有序的选择，组合是无序的选择。
3.2 排列与组合的应用：排列常用于考虑顺序的情况，组合常用于不考虑顺序的情况。
3.3 排列与组合的联系：排列和组合是相互联系的概念，可以相互转化和应用。
四、排列与组合的应用4.1 排列与组合在数学中的应用：排列与组合在概率论、统计学和组合数学等领域有着广泛的应用。
4.2 排列与组合在现实生活中的应用：排列与组合在密码学、排队理论和组织管理等方面有着实际的应用价值。
4.3 排列与组合的未来发展：随着科技的发展，排列与组合的应用领域将不断扩大，为人类生活带来更多便利和创新。
五、总结5.1 排列与组合是高中数学中的重要概念，掌握排列与组合的基本原理和计算方法对于提高数学能力和解决实际问题具有重要意义。
5.2 排列与组合的应用不仅局限于数学领域，也可以在现实生活中发挥重要作用。
5.3 希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解和应用排列与组合的知识，为自己的学习和工作带来更多的启发和帮助。
高中数学说课稿排列组合
高中数学说课稿排列组合尊敬的各位老师、同学们：大家好！今天，我将为大家带来一节关于高中数学中的排列组合的内容。
排列组合是数学中的重要概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在日常生活中也随处可见。
通过这节课，我们希望能够让大家对排列组合有一个清晰的认识，并掌握其基本的计算方法。
首先，让我们从排列开始。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排列起来。
我们把这m个元素的排列方式称为排列数。
排列数的计算公式是A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。
这个公式告诉我们，第一个位置有n种选择，第二个位置有(n-1)种选择，以此类推，直到最后一个位置有(n-m+1)种选择。
所有这些选择的乘积就是总的排列数。
例如，我们有三个字母A、B和C，我们要选出两个字母来形成一个排列。
那么我们有AB和BA两种排列方式。
这就是一个简单的排列问题。
接下来，我们来看组合。
组合与排列类似，也是从n个不同元素中取出m个元素，但是不同的是，组合不考虑元素的顺序。
我们把这m个元素的所有组合方式称为组合数。
组合数的计算公式是C_{n}^{m}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{1\times 2\times3...(m-1)\times m}。
这个公式实际上是排列数除以m个元素的全排列数，因为我们在计算组合数时，并不关心元素的顺序。
例如，我们还是有三个字母A、B和C，我们要选出两个字母来形成一个组合。
那么我们有AB和BA两种组合方式，但是它们在组合中是相同的，因为组合不考虑顺序。
所以，我们只有一种组合方式，即AB。
在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来判断是使用排列还是组合。
一般来说，如果问题中涉及到元素的顺序，那么我们就需要使用排列；如果问题中不涉及顺序，那么我们就需要使用组合。
为了更好地理解排列组合，我们可以通过一些实际例子来加深印象。
比如，在体育比赛中，我们要从10名运动员中选出5名组成一个队伍参加比赛。
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排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法乙甲丁丙三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法 六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！H FD C AA B C D E AB E GH G F七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有C 14A 34C 1314A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法 .十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。
十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。
这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +。
再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22236423/C C C A 种分法。
十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。
选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有 22112223353455C C C C C C C ++种。
十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有35C 种十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有25C 种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有252C 种十六. 分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：1234555555C C C C C ++++练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共481258C -=,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成358174⨯=对异面直线十七.化归策略例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？ 解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有111321C C C 种。
再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有3355C C 选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有3311155321C C C C C 选法。
十八.数字排序问题查字典策略例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？解:297221122334455=++++=A A A A A N十九.树图策略例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______10=N二十.复杂分类问题表格策略例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法解:二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 . 分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种.红 1 1 1 2 2 3黄 1 2 3 1 2 1兰 3 2 1 2 1 1 415C C 415C C 415C C 325C C 325C C 235C C。