求连续自然数平方和的公式 精品
平方的求和方法
平方的求和方法宝子，今天咱们来唠唠平方求和的方法呀。
咱先说说自然数的平方和。
有个超酷的公式哦，1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6。
你看这个公式，就像一个魔法咒语一样。
比如说，要求1到5的平方和。
那n就是5啦，把5代到公式里，5×(5 + 1)×(2×5 + 1)÷6 = 5×6×11÷6 = 55。
是不是很神奇呀 。
那这个公式是咋来的呢？其实有好几种推导方法呢。
有一种比较有趣的是用数学归纳法。
先验证当n = 1的时候，公式成立。
1² = 1，而1×(1 + 1)×(2×1 + 1)÷6 = 1，对啦。
然后假设当n = k的时候公式成立，再去证明n = k + 1的时候也成立。
这就像是搭积木，一块一块稳稳地搭起来呢。
要是遇到不是从1开始的连续自然数的平方和呢？比如说3² + 4² + 5²。
咱可以先求出1² + 2² + 3² + 4² + 5²的和，再减去1²+2²。
按照前面的公式，1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 5×(5 + 1)×(2×5 + 1)÷6 = 55，1²+2² = 1+4 = 5，那3² + 4² + 5² = 55 - 5 = 50啦。
还有哦，如果是一些有规律的数的平方和，比如说奇数的平方和或者偶数的平方和。
奇数的平方和公式是n(2n - 1)(2n + 1)/3，偶数的平方和公式是2n(n + 1)(2n + 1)/3。
求连续自然数平方和的公式还能这样推导
前面在“有趣的图形数”和“求连续自然数平方和的公式”两文中，曾经用图形法和列表法，巧妙地推出过求连续自然数平方和的公式：12＋22＋32…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)]/6这里再用一种比较正规又很好理解的方法，推导一下这个公式。
由恒等式(n＋1)3＝n3＋3n2＋3n＋1可得(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1取n＝1,2,3,…,n，依次写出23－13＝3·12＋3·1＋133－23＝3·22＋3·2＋143－33＝3·32＋3·3＋1…………(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1等式两端相加，得(n＋1)3－1＝3(12＋22＋32＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…n)＋n观察发现：右端两个括号里分别是“从1到n连续自然数的平方和”与“从1到n连续自然数的和”。
如果用S2表示“从1到n连续自然数的平方和”，用S1表示“从1到n连续自然数的和”，那么右端就等于3S2＋3S1＋n于是(n＋1)3－1＝3S2＋3S1＋n因为S1＝n(n＋1)/2所以，(n＋1)3－1＝3S2＋3n(n＋1)/2＋n于是，S2＝[(n＋1)3－1－3n(n＋1)/2－n]/3＝[n3＋3n2＋3n＋1－1－(3n2＋3n)/2－n]/3＝[n3＋3n2＋3n－(3n2＋3n)/2－n]/3右端的分子、分母同时乘以2，S2＝[2n3＋6n2＋6n－(3n2＋3n)－2n]/6＝[2n3＋6n2＋6n－3n2－3n－2n]/6＝[2n3＋3n2＋n]/6＝n[2n2＋3n＋1]/6＝n[2n2＋2n＋n＋1]/6＝n[2n(n＋1)＋(n＋1)]/6＝n(n＋1)(2n＋1)]/6于是S2＝n(n＋1)(2n＋1)]/6即12＋22＋32…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)]/6是不是很好理解？当然，三种方法各有所长各有所短，这不正是数学的魅力所在吗？。
平方和公式定理
平方和公式定理一、平方和公式。
1. 自然数平方和公式。
- 对于前n个自然数的平方和，公式为1^2+2^2+3^2+·s +n^2=(n(n +1)(2n+1))/(6)。
- 推导方法（利用数学归纳法）- 当n = 1时，左边=1^2=1，右边=(1×(1 + 1)×(2×1+1))/(6)=(1×2×3)/(6)=1，左边等于右边，公式成立。
- 假设当n = k时公式成立，即1^2+2^2+3^2+·s +k^2=(k(k + 1)(2k + 1))/(6)。
- 当n=k + 1时，1^2+2^2+3^2+·s +k^2+(k + 1)^2=(k(k + 1)(2k+1))/(6)+(k + 1)^2- 对(k(k + 1)(2k+1))/(6)+(k + 1)^2进行化简：- 首先(k(k + 1)(2k+1))/(6)+(k + 1)^2=frac{k(k + 1)(2k+1)+6(k + 1)^2}{6}- 展开分子得k(k + 1)(2k + 1)+6(k + 1)^2=k(2k^2+3k + 1)+6(k^2+2k + 1)- 继续展开得2k^3+3k^2+k+6k^2+12k + 6=2k^3+9k^2+13k + 6- 而((k + 1)(k + 2)(2k + 3))/(6)=frac{(k^2+3k +2)(2k+3)}{6}=frac{2k^3+6k^2+4k+3k^2+9k + 6}{6}=frac{2k^3+9k^2+13k + 6}{6}- 所以当n = k+1时公式也成立。
由数学归纳法可知，对于任意正整数n，1^2+2^2+3^2+·s +n^2=(n(n + 1)(2n+1))/(6)成立。
2. 两个数的平方和公式（在代数中的形式）- 在代数中，(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，移项可得a^2+b^2=(a + b)^2-2ab。
三个数的和的平方公式
三个数的和的平方公式
三个数的和的平方公式：(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc。
平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和(Sum of squares),其和又可称为四角锥数,或金字塔数(square pyramidal number)也就是正方形数的级数。
公式，在数学、物理学、化学、生物学等自然科学中用数学符号表示几个量之间关系的式子。
具有普遍性，适合于同类关系的所有问题。
在数理逻辑中，公式是表达命题的形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。
公式精确定义依赖于涉及到的特定的形式逻辑。
求连续自然数平方和的公式精品
求连续自然数平方和的公式前面，在“求连续自然数立方和的公式”一中，介绍了用列表法推导公式的过程。
这种方法浅显易懂，有它突出的优越性。
在“有趣的图形数”一文中, 也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式：12+ 22+ 3一+ n2二n(n 1)(2n 1)6这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。
首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表:n 1 2 3 4 5 r\61 +2 + 3+^+ n 13 6 10 15 2112+ 22+ 32+…+ n2 1 5 14 30 55 91然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数,2 小2小2 21 2 3nn—-------------------- ，1 2 3 n既然人=匚上3------- ，而它的通项公式是•红」，于是大胆猜想1 2 3 n 32 2 2 21 2 3 n 2n 1------------- = ----- 。
1 2 3 n 3因为分母1+2+ 3+…+ n= n(n 1)，所以22 2 2 21 2 3 n 2n 1------------- = ----- 。
n(n 1) 32再根据表中的数据，算出分数A的值，列出下表:3由此得到12+ 22 + 32...+ n 2= n(n 1) % 2n 1 = n(n 1)(2n 1)。
236。
用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续 自然数平方和的公式。
这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了 “猜 想一证明”的思路。
联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心 求证”的名言。
看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。
这件事对我们教师有什么启示吗？有，那就是：切莫轻视了对学生观察、 类比和猜想能力的培养，这往往是培育创新思维的有效途径。
,2小2 亠21 +2 +3 …+n(n 1)(2 n 1) 。
n个连续自然数的平方和的推导
n个连续自然数的平方和的推导大家好，今天咱们来聊聊一个看起来挺高大上的数学题——n个连续自然数的平方和。
听起来挺复杂对吧？这个问题一点都不难，大家完全可以用轻松愉快的心态来解决它。
想象一下，咱们从1开始数，数到n。
然后，把每个数的平方都加起来。
你可能会想：“嗯，这不就是1² + 2² + 3² + … + n²嘛！我一算就知道了！”哈哈，别急，真要仔细算起来，可能还得用点小窍门。
今天就让我们一起用轻松的方式，跟着这个问题走一走，看看怎么从头到尾搞明白。
咱们来聊聊这个“平方和”是什么意思。
简单来说，平方和就是把一系列数（比如1、2、3、4、5）分别平方之后，再把它们加起来。
比如，1² + 2² + 3²，结果就等于1 + 4 + 9，也就是14。
你可能会想，这不就几个小数相加嘛，难道还需要复杂的公式？哈哈，表面上是这样，实际上，数学可不是只会看表面，它能让我们用很巧妙的方式，一下子就得出结果。
好了，那我们接着说，怎么样才有个规律，让咱们可以在不用逐个计算的情况下，直接算出n个连续自然数的平方和呢？数学家早就给我们找到了这种规律，嘿嘿！这个规律长这样：平方和 = ( frac{n(n+1)(2n+1){6 )。
是不是觉得好像有点眼花？不过没关系，我给你解释清楚，肯定不麻烦。
先别看这个公式吓人，咱们从头来。
n是你要加到的最大数。
比如说，如果你想算1到5的平方和，那n就等于5。
然后，n+1就是n之后的那个数；2n+1是2倍n再加1。
看到这个公式，你是不是就觉得，哦！这就是一个标准的乘法表达式？所以，大家别担心，搞定这个公式后，算出结果就像是拆开一盒糖果，一颗一颗都不难。
拿个例子来说吧。
假设咱们要算1到4的平方和。
按照咱们的公式，n=4，先来算算：4乘以(4+1)，就是4乘以5，得到20。
再乘以2乘以4再加1，就是2乘以4得8，再加1得9。
自然数平方和公式及证明
自然数平方和公式证明1：此式对于任何自然数n都成立。
依次把n=1，2，3,...,n-1,n代入止式可得把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下；而前n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。
因而我们得到。
现在这里对这个结果进行恒等变形可得移项，合并同类项可得即证明2:设12+ 22 + … + n 2 =An 3+Bn 2+Cn+D,令n=1，2，3，4得关于A ，B ，C 。
D 的四元一次方程组，可解得A=C=16 ，B=12 ，D=0，再用数学归纳法证明。
证明3:设f(x)=(1+x)2+ (1+x)3 +… +(1+x)n ,则x 2的系数和为 C 22 + C 23 +… + C 2n=12 [12+ 22 + … + n 2]-12 (1+2+… + n) = 12 [12+ 22 + … + n 2]- -14n(n+1) 又f(x)=(1+x)2-(1+x)n+1x,其中x 2的系数为C 3n+1 ,于是有12 [12+ 22 + … + n 2]- -14 n(n+1)= C 3n+1 ，解得 12+ 22 + … + n 2 = n(n+1)(2n+1)6关于自然数平方和的几个模型归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外，还可以构造模型来证明示k 个k 之和(图1(1))．旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵(图1(2)、1(3))，每一线段上的数字顺序成等差数列，再重叠三个数阵，则每一点上的数字和为(2n ＋1)．于是透了运动的思想，动静结合，相得益彰．割补、数形结合来证明．(n－1)(2n－1)个单位正方形；再给前n－2层各补(2n－3)个单位正方形，共补(n－2)(2n－3)个；……，最后给第一层补3个，这样添补的单位正模型2数形结合，以形助数，比较直观．而应用映射方法将求和问题映射成几何上的求堆垒总数问题，再利用几何体的割补求和，也体现了化归思想．而添补的立方体个数为1×3＋2×5＋…＋n(2n＋1)，原有立方体个数以上三个均属构造的数学模型，另外还可以构造物理模型，从物理意义上进行探讨．垂线段上分别等距离地放1个，2个，…，n个重量为1个单位的质点．则这些质点对原点的力矩数学知识结构之间的相互联系，为我们解决问题提供了丰富的源泉．数学问题的模型是多样的．通过对不同模型的探讨，将有助于开阔我们的视野，有助于提高我们的分析问题和解决问题的能力．前n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法关于前n 个连续自然数的平方和： )12)(1(61 (222)2321++=++++n n n n 的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好. 我们先来计算：321222++=1×1+2×2+3×3，即1个1与2个2与3个3的和。
【推荐下载】平方和的计算公式是怎样的
[键入文字]平方和的计算公式是怎样的平方和的计算公司为：n(n+1)(2n+1)/6。
平方和是一个比较常见计算公司，是用于解多个连续的自然数的平方和，常被用于求解有关平方数的数学问题，所得出来的结果也被成为是“四角锥数”或“金字塔数”，也被称之为正方形数的级数。
平方和的计算在当今的数学领域中是极其重要的，可以通过多个方面来计算出结果，在Excel表格中也能够计算出结果。
那么平方和的计算公式是怎样的，以及如何应用Excel计算平方和，各位是否了解呢?现在我们一起来看看吧。
一、平方和的计算公式是怎样的 平方和的计算公司为：n(n+1)(2n+1)/6。
平方和是一个比较常见计算公司，是用于解多个连续的自然数的平方和，常被用于求解有关平方数的数学问题，所得出来的结果也被成为是四角锥数或金字塔数，也被称之为正方形数的级数。
二、如何应用Excel计算平方和 1、通过一个简单的例子，来了解下，如何使用Excel的使用方法。
首先，根据下面这张表格，在D2列的这个框框里，输入一个等于号，这是代表输入函数的标志。
2、接着，还是在D2这个框框中，在等于号的后边继续操作，输入英文sumsq,然后系统就会在英文的正下方跳出一个相关的函数，这时只需要双击点击就可以了。
3、当一切都准备好之后，就差不多完成了，这时只需要用鼠标选中求和的那一栏，在表格中，就会出现以下的现象，在D2这个框框中会跳出=SUMSQ(A2：C2这样的字样。
4、在出现=SUMSQ(A2：C2这样的字样之后，在按下回车键，这时系统就会自动计算出结果，并将结果显示于D2框框之中。
若是还要计算出下面几行的平方和，只需按住D2往下拉，就可以了。
另外，直接在框框内输入SUMSQ(2，3)，也能出结果哦。
关于平方和的计算公式是怎样的，以及如何应用Excel计算平方和，就先介绍到这里1。
1~n连续自然数的平方求和公式是什么，怎么证明？
1~n连续自然数的平方求和公式是什么，怎么证明？
从1开始到n连续自然数平方求和公式：n(n+1)(2n+1)/6。
我是王老师，专注于小学数学！这个公式在小学阶段只要会灵活运用即可，不需要去了解公式推导过程，记忆这个公式也比较容易，第三项为前两项和。
本着知其然更要知其所以然，今天王老师带大家了解下公式推导的方法。
公式推导
关于平方求和公式，推导方法还是很多，我选个最容易理解的吧。
① 公式推导模型~数形结合
三个相同三角形数列①②③。
数列① 1²，2²，3²，…n²排列
数列的数和即为所求。
→ ①绕三角形中心顺时针旋转120°得到②
→ ②顺时针旋转120°得到③。
② 观察数列
三个三角形数列每个对应位置数字和都为2n+1。
如图三种颜色圈之和。
我们只要求出每个三角形数列有多少位置，就有多少2n+1
→位置数：1+2+3+4+…+n
等差数列求和公式→ 位置数：(n+1)n÷2
3个三角形数列总和：n(n+1)(2n+1)/2
每个三角形数列和：n(n+1)(2n+1)/6
1²+2²+3²+…+ n²=n(n+1)(2n+1)/6。
公式应用。
连续自然数的平方和公式
连续自然数的平方和公式
聪明的你可能知道怎么求连续自然数的平方和，那么在本文中，我们将介绍一些容易理解的连续自然数的平方和公式：
一、求1到n的平方和：
式子：S=(n*(n+1)*(2n+1))/6
例子：若n=10，则S=385
二、求1到n的偶数的平方和：
式子：S=(2n+1)*n*n/3
例子：若n=10，则S=220
三、求1到n的奇数的平方和：
式子：S=n*(2n+1)*(n+1)/3
例子：若n=10，则S=165
四、求奇数之和与偶数之和的差：
式子：S=n*n
例子：若n=10，则S=100
五、求1到n的立方和：
式子：S=(n*(n+1)/2)^2
例子：若n=10，则S=3025
六、求1到n的偶数平方和：
式子：S=(2n+1)(n)(n+1)(4n+3)/30
例子：若n=10，则S=1360
七、求1到n的奇数立方和：
式子：S=(n*n*(2*n+1)*(2*n+1))/9
例子：若n=10，则S=2025
以上就是连续自然数的平方和公式。
虽然各个公式看起来复杂，但是掌握其中一定的法则，加上良好的推理能力，就可以很快的推导出新的结果，辅助真正的学习和研究。
连续平方和公式推导过程
连续平方和公式推导过程
连续平方和是指一系列连续整数的平方相加的和。
推导连续平方和的公式可以通过数学归纳法来完成。
首先，我们假设连续整数的平方和的公式为S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2。
我们可以利用数学归纳法来证明这个公式。
首先，当n=1时，显然有S(1) = 1^2 = 1，公式成立。
接下来，假设当n=k时公式成立，即S(k) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6。
然后我们来证明当n=k+1时公式也成立。
即S(k+1) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2。
我们可以利用S(k)的公式来进行推导，将S(k+1)写成S(k) + (k+1)^2的形式，即S(k+1) = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2。
我们可以将公式进行通分合并得到S(k+1) = (2k^3 + 3k^2 +
k)/6 + (6k^2 + 12k + 6)/6。
简化得到S(k+1) = (2k^3 + 9k^2 + 13k + 6)/6。
然后我们可以将S(k+1)进一步简化得到S(k+1) =
(k+1)(k+2)(2k+3)/6。
因此，我们通过数学归纳法证明了连续平方和的公式为S(n) = n(n+1)(2n+1)/6。
这就是连续平方和公式的推导过程，从数学归纳法的角度全面完整地阐述了这一推导过程。
最新自然数平方和公式
最新自然数平方和公式最新自然数平方和公式，也称为高斯公式或平方和公式，是数学中的一个重要公式，用于计算从1到n的平方和。
这个公式最早由卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在他还是一个孩子的时候发现，并且在他的数学生涯中得到了广泛的应用。
1²+2²+3²+...+n²=(n*(n+1)*(2n+1))/6其中，n是一个自然数。
这个公式的证明可以使用数学归纳法完成。
首先，我们需要证明当n=1时，等式成立。
当n=1时，等式左边为1²=1，等式右边为(1*(1+1)*(2*1+1))/6=1，两边相等，所以当n=1时，等式成立。
接下来，我们假设当n=k时，等式成立，即1²+2²+3²+...+k²=(k*(k+1)*(2k+1))/6、我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
当n=k+1时，等式左边为1²+2²+3²+...+k²+(k+1)²，根据归纳假设，我们可以将等式左边的部分替换为(k*(k+1)*(2k+1))/6、将等式右边的n替换为k+1，则等式右边变为((k+1)*(k+1+1)*(2(k+1)+1))/6、我们需要证明等式左右两边相等。
化简等式左边：(k*(k+1)*(2k+1))/6+(k+1)²=(k*(k+1)*(2k+1)+6(k+1)²)/6=(k*(k+1)*(2k+1)+6(k²+2k+1))/6=(2k³+3k²+k+6k²+12k+6)/6=(2k³+9k²+13k+6)/6=(k+1)*(k+2)*(2k+3)/6化简等式右边：((k+1)*(k+1+1)*(2(k+1)+1))/6=((k+1)*(k+2)*(2k+3))/6我们可以看到，等式左右两边相等，所以我们可以得出结论，当n=k+1时，等式也成立。
(完整版)前n个自然数的平方和及证明
帕斯卡与前n 个自然数的平方和十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n 个自然数的平方和。
这个方法是这样的：利用和的立方公式，我们有（n ＋1）3＝n 3＋3n 2＋3n ＋1，移项可得（n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1，此式对于任何自然数n 都成立。
依次把n ＝1,2，3，…，n －1，n 代入上式可得23 －13＝3•12＋3•1＋1，33 －23＝3•22＋3•2＋1，43 －33＝3•32＋3•3＋1，……………………………n 3－（n －1）3＝3（n －1）2＋3（n －1）＋1，（n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1，把这n 个等式的左边与右边对应相加，则n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n ＋1）3 －1；而n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n 个1。
因而我们得到（n ＋1）3 －1＝3S n ＋2)1(3+n n ＋n ， 现在这里S n ＝12＋22＋…＋n 2。
对这个结果进行恒等变形可得n 3＋3n 2＋3n ＝3S n ＋2)1(3+n n ＋n ， 2n 3＋6n 2＋6n ＝6S n ＋3n 2＋3n ＋2n移项、合并同类项可得6S n ＝2n 3＋3n 2＋n ＝n （n ＋1）（2n ＋1），∴S n ＝61n （n ＋1）（2n ＋1）， 即12＋22＋32＋…＋n 2＝61n （n ＋1）（2n ＋1）。
这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。
前n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法袁志红关于前n 个连续自然数的平方和：)12)(1(613212222++=++++n n n n Λ的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好.我们先来计算： 222321++=1×1+2×2+3×3，即1个1与2个2与3个3的和。
连续自然数平方和的公式的推导过程
连续自然数平方和的公式的推导过程连续自然数平方和的公式的推导过程 1由 ( n + 1 ) 2 = n 2 + 2 n + 1 得 : ( n + 1 ) 2 − n 2 = 2 × n + 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 2 − 3 2 = 2 × 3 + 1. 3 2 − 2 2 = 2 × 2 + 1. 2 2 − 1 2 = 2 × 1 + 1. 由(n+1)^2=n^2+2n+1得: \\ \begin{aligned} (n+1)^2-n^2&=2\times n+1.\\\cdots\cdots\cdots&\cdots\cdots\cdots\cdots \\ 4^2-3^2&=2\times3+1.\\ 3^2-2^2&=2\times2+1.\\ 2^2-1^2&=2\times1+1.\\ \end{aligned} 由(n+1)2=n2+2n+1得:(n+1)2−n2⋯⋯⋯42−3232−2222−12=2×n+1.⋯⋯⋯⋯=2×3+1.=2×2+1.=2×1+1.求和以上式子 , 得 : 求和以上式子,得: 求和以上式子,得: ( n + 1 ) 2 − 1 2 = 2 ∑ i = 1 n i + n . n 2 + 2 n − n = 2 ∑ i = 1 n i . ∑ i = 1 n i = n 2 + n 2 = n ( n + 1 ) 2 . \begin{aligned} (n+1)^2-1^2&=2\sum_{i=1}^ni+n.\\ n^2+2n-n&=2\sum_{i=1}^ni.\\ \sum_{i=1}^ni&=\frac{n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}.\end{aligned} (n+1)2−12n2+2n−ni=1∑ni=2i=1∑ni+n.=2i=1∑ni.=2n2+n=2n(n+1).连续自然数平方和的公式的推导过程 2由 ( n + 1 ) 3 = n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 得 : ( n + 1 ) 3 − n 3 = 3 × n 2 + 3 × n + 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 3 − 3 3 = 3 × 3 2 + 3 × 3 + 1. 3 3 − 2 3 = 3 × 2 2 + 3 × 2 + 1. 2 3 − 1 3 = 3 × 1 2 + 3 × 1 + 1. 由(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1得: \\\begin{aligned} (n+1)^3-n^3&=3\times n^2+3\times n + 1. \\\cdots\cdots\cdots\cdots&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdot s\cdots\cdots\cdots \\ 4^3-3^3&=3\times 3^2+3\times 3 + 1. \\ 3^3-2^3&=3\times 2^2+3\times 2 + 1. \\ 2^3-1^3&=3\times 1^2+3\times 1 + 1. \\ \end{aligned} 由(n+1)3=n3+3n2+3n+1得:(n+1)3−n3⋯⋯⋯⋯43−3333−2323−13=3×n2+3×n+1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=3×32+3×3+1.=3×22+3×2+1.=3×12+3×1+1.求和以上式子 , 得 : 求和以上式子,得: 求和以上式子,得: ( n + 1 ) 3 − 1 3 = 3 ∑ i = 1 n i 2 + 3 × n 2 + n 2 + n . n 3 + 3 n 2 + 3 n = 3 ∑ i = 1 n i 2 + 3 n 2 + 3 n 2 + n . n 3 + 3 n 2 + 2 n − 3 n 2 + 3 n 2 = 3∑ i = 1 n i 2 . 2 n 3 + 3 n 2 + n 2 = 3 ∑ i = 1 n i2 . ∑ i = 1 n i 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 .\begin{aligned} (n+1)^3-1^3&=3\sum_{i=1}^ni^2+3\times\frac{n^2+n}{2}+n. \\n^3+3n^2+3n&=3\sum_{i=1}^ni^2+\frac{3n^2+3n}{2}+n. \\ n^3+3n^2+2n-\frac{3n^2+3n}{2}&=3\sum_{i=1}^ni^2. \\\frac{2n^3+3n^2+n}{2}&=3\sum_{i=1}^ni^2. \\\sum_{i=1}^ni^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \\\end{aligned} (n+1)3−13n3+3n2+3nn3+3n2+2n−23n2+3n22n3+3n2+ni=1∑ni2=3i=1∑ni2+3×2n2+n+n.=3i=1∑ni2+23n2+3n+n.=3i=1∑ni2.=3i=1∑ni2.=6n(n+1)(2n+1).连续自然数平方和的公式的推导过程 3由 ( n + 1 ) 4 = n 4 + 4 n 3 + 6 n 2 + 4 n + 1 得 : ( n + 1 ) 4 − n 4 = 4 × n 3 + 6 × n 2 + 4 × n + 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 4 − 3 4 = 4 × 3 3 + 6 × 3 2 + 4 × 3 + 1. 3 4 − 2 4 = 4 × 2 3 + 6 × 2 2 + 4 × 3 + 1. 2 4 − 1 4 = 4 × 1 3 + 6 × 1 2 + 4 × 3 + 1. 由(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1得: \\\begin{aligned} (n+1)^4-n^4&=4\times n^3+6\timesn^2+4\times n+1.\\\cdots\cdots\cdots&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdot s\cdots\cdots\cdots\cdots \\ 4^4-3^4&=4\times3^3+6\times3^2+4\times3+1. \\ 3^4-2^4&=4\times2^3+6\times2^2+4\times3+1. \\ 2^4-1^4&=4\times1^3+6\times1^2+4\times3+1. \\ \end{aligned} 由(n+1)4=n4+4n3+6n2+4n+1得:(n+1)4−n4⋯⋯⋯44−3434−2424−14=4×n3+6×n2+4×n+1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=4×33+6×32+4×3+1.=4×23+6×22+4×3+1.=4×13+6×12+4×3+1.求和以上式子 , 得 : 求和以上式子,得: 求和以上式子,得: ( n + 1 ) 4 − 1 4 = 4 ∑ i = 1 n i 3 + 6 × ∑ i = 1 n i 2 + 4 × ∑ i = 1 n i + n . n 4 + 4 n 3 + 6 n2 + 4 n = 4 ∑ i = 1 n i3 + 2 n 3 + 5 n 2 +4 n . n 4 + 2 n 3 + n 2 = 4 ∑ i = 1 n i 3 . 4 ∑ i = 1 n i 3 =n 2 ( n 2 + 2 n + 1 ) . ∑ i = 1 n i 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 = [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 . \begin{aligned} (n+1)^4-1^4&=4\sum_{i=1}^ni^3+6\times\sum_{i=1}^ni^2+4\times\s um_{i=1}^ni+n.\\n^4+4n^3+6n^2+4n&=4\sum_{i=1}^ni^3+2n^3+5n^2+4n.\\n^4+2n^3+n^2&=4\sum_{i=1}^ni^3.\\4\sum_{i=1}^ni^3&=n^2(n^2+2n+1).\\\sum_{i=1}^ni^3&=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left[\frac{n(n+ 1)}{2}\right]^2.\\ \end{aligned}(n+1)4−14n4+4n3+6n2+4nn4+2n3+n24i=1∑ni3i=1∑ni3=4i=1∑ni3+6×i=1∑ni2+4×i=1∑ni+n.=4i=1∑ni3+2n3+5n2+4n.=4i=1∑ni3.=n2(n2+2n+1).=4n2(n+1)2=[2n(n+1)]2.。
连续自然数的平方求和公式
连续自然数的平方求和公式哎，今天我们来聊聊一个有趣的话题，那就是连续自然数的平方求和公式。
听起来有点高大上，其实呢，咱们只要稍微动动脑筋，就能明白。
想象一下，咱们从1开始，接着是2、3、4……数下去，真是让人怀念那种童年无忧的感觉。
然后，咱们把这些数字都平方，最后再把它们加起来。
哦，这个过程就像是在给你的小脑袋加点儿调味料，越加越有趣！好吧，先举个简单的例子。
咱们从1到3来算算。
1的平方是1，2的平方是4，3的平方是9。
把它们加在一起，1加4加9，得到了14。
是不是感觉挺好玩的？但是这只是冰山一角哦。
随着数字越大，平方数也越庞大，结果就像是火箭发射一样，飞得越来越高。
别说，咱们中国人真是聪明，古人早就找到了这个规律：连续自然数的平方和其实可以用一个公式来表示。
你猜怎么着？这个公式是：( S_n = frac{n(n + 1)(2n +1){6 )。
哇，听上去像是高深莫测的数学，但其实只要简单代入，就能得到你想要的结果。
哎，真是太神奇了！我知道，这时候有人可能会挠头：这公式到底是什么鬼？别急，咱们慢慢来。
举个例子吧，假如咱们想算从1到5的平方和。
用咱们的公式：n是5，那么代入一下，( S_5 = frac{5(5 + 1)(2 times 5 + 1){6 )。
你瞧，动手算一下，得到的是55。
那再去逐个平方加一下，1、4、9、16、25，加起来，哎呀，果然还是55！这下没问题了吧，数学家们真是料事如神。
再往深了说，咱们不光是简单的加法，里面还有很多故事。
想象一下，数学就像一杯浓郁的咖啡，每一口都有不同的滋味，能让人陶醉。
这里面不仅有平方，还有许多数学定理，譬如说，利用公式，咱们还能推导出一些更复杂的东西。
说到这里，不得不提“和差”了。
和差的运用就像咱们在生活中经常碰到的那种朋友之间的关系，互相依存又各有各的特长。
数学家们就是这么把这些规律归纳总结出来的，真是智慧的结晶。
回到咱们的平方和，试想一下，如果每次都要逐个平方再加，那简直是费时费力，有了这个公式，简直就像给了咱们一把钥匙，打开了通往数学殿堂的大门。
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求连续自然数平方和的公式
前面，在“求连续自然数立方和的公式”一中，介绍了用列表法推导公式的过程。
这种方法浅显易懂，有它突出的优越性。
在“有趣的图形数”一文中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式：
12＋22＋32…＋n 2＝6
)
12)(1(++n n n
这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。
首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 ……
1＋2＋3＋…＋n 1 3 6 10 15 21 …… 12＋22＋32＋…＋n 2 1 5 14 30 55 91 ……
然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数
A n ＝n n ++++++++ΛΛ3213212
222，
再根据表中的数据，算出分数A n 的值，列出下表：
n 1 2 3 4 5 6 ……
A n 1 35 37 3 311 313
……
观察发现，A n 的通项公式是3
1
2+n 。
既然A n ＝n n ++++++++ΛΛ3213212222，而它的通项公式是3
1
2+n ，于是大胆猜想
n n ++++++++ΛΛ3213212222＝3
1
2+n 。
因为分母1＋2＋3＋…＋n ＝2
)
1(+n n ， 所以
2)1(3212222+++++n n n Λ＝31
2+n 。
由此得到
12＋22＋32…＋n 2＝
2)1(+n n ×312+n ＝6
)
12)(1(++n n n 。
即
12＋22＋32…＋n 2＝
6
)
12)(1(++n n n 。
用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续自然数平方和的公式。
这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜想—证明”的思路。
联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心求证”的名言。
看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。
这件事对我们教师有什么启示吗？有，那就是：切莫轻视了对学生观察、类比和猜想能力的培养，这往往是培育创新思维的有效途径。