求连续自然数平方和的公式 精品

求连续自然数平方和的公式

前面，在“求连续自然数立方和的公式”一中，介绍了用列表法推导公式的过程。这种方法浅显易懂，有它突出的优越性。在“有趣的图形数”一文中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式：

12＋22＋32…＋n 2＝6

)

12)(1(++n n n

这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。 首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 ……

1＋2＋3＋…＋n 1 3 6 10 15 21 …… 12＋22＋32＋…＋n 2 1 5 14 30 55 91 ……

然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数

A n ＝n n ++++++++ΛΛ3213212

222，

再根据表中的数据，算出分数A n 的值，列出下表：

n 1 2 3 4 5 6 ……

A n 1 35 37 3 311 313

……

观察发现，A n 的通项公式是3

1

2+n 。

既然A n ＝n n ++++++++ΛΛ3213212222，而它的通项公式是3

1

2+n ，于是大胆猜想

n n ++++++++ΛΛ3213212222＝3

1

2+n 。

因为分母1＋2＋3＋…＋n ＝2

)

1(+n n ， 所以

2)1(3212222+++++n n n Λ＝31

2+n 。

由此得到

12＋22＋32…＋n 2＝

2)1(+n n ×312+n ＝6

)

12)(1(++n n n 。 即

12＋22＋32…＋n 2＝

6

)

12)(1(++n n n 。

用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续自然数平方和的公式。

这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜想—证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心求证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。

这件事对我们教师有什么启示吗？有，那就是：切莫轻视了对学生观察、类比和猜想能力的培养，这往往是培育创新思维的有效途径。