大一上学期高数知识点

第二章 导数与微分

一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式

（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则

定理1 )(0x f '存在⇔='-

)(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微⇔)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则

v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)(

)0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v

udv

vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法

（3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法

（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.

方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式

高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()(

)2sin()(sin )(π⋅+=n kx k kx n n )2

cos()(cos )(π

⋅+=n kx k kx n n

n m n m x n m m m x -+-⋅⋅⋅-=)1()1()()( !)()(n x n n =

n

n n x

n x )!1()1()(ln 1

)(--=-

莱布尼兹公式：

（2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用

(1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析

例2.1 设⎪⎩

⎪⎨⎧=≠⋅=0,00

,1sin )(x x x

x x f K

, （K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导；

（2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续； （3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？ 解 函数)(x f 在x=0点的导数：

lim

→x =--0

)

0()(x f x f 0lim

→x x f x f )0()(-=0lim →x x

x x K 1

sin

)(⋅

= 0

lim →x x x K 1

sin

)(1⋅-= ⎩

⎨⎧>≤101 K K 当，，当发散 即 ⎩

⎨

⎧>≤='1,01)0(K K f 不存在，

当1>K 时, )(x f 的导函数为：

⎪⎩

⎪⎨⎧=≠⋅-⋅='--0

,00,1cos 1sin )(21

x x x

x x Kx

x f K K

为使='→)(lim 0

x f x 0)0(='f ，取2>K 即可。

因此，函数⎪⎩

⎪⎨⎧=≠⋅=0

,00,

1sin )(x x x

x x f K

当K ≤1时，)(x f 在0=x 处不可导；

当2=K 时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数在0=x 处不连续； 当2>K 时，)(x f 在0=x 处可导且导函数在0=x 处连续。

例2.2 tgx x ctgx x y +++=1cos 1sin 22， 求dx

dy 。

分析 本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。

解 x

x x

x x x x x x x y cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin 3333++=

+++= = x 2sin 211-。 所以 x y 2cos -=' 。

如果不经过化简，直接求导则计算将是十分繁琐的。

例2.3 x

arctge y =1

ln

22+-x x e e ，求

dx

dy

。 分析 本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。 解 因为 x arctge y =)]1ln([ln 21

22+--x x e e )

1ln(21

2++-=x x e x arctge 所以 )('='x arctge y )]'1[ln(212++'-x

e x = 122111222++-+x x x

x e e e e 112+-=x x e e

例2.4 设=y )()(x f x e e f ，求dx

dy

。

解 利用积的求导法则及复合函数求导法则，有

dx

dy

= +')()(x f x x e e e f )()()(x f e e f x f x '= +'x x x f e e f e )([)()]()(x f e f x '。 例2.5 设方程 )cos(22y x e xy y +=+, 求 y '.

本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。

解 (方法一) 方程两端同时对x 求导( y 看作x 的函数)(x y y =),由复合函数求导法可得

)21()sin(222y y y x y e y xy y y '+⋅+-='+'+

)

sin(22)sin(222y x y e xy y x y y y +++++-

='

(方法二) 方程两边同时微分：))(cos()(22y x d e xy d y +=+

⋅++-=++)2)(sin(222ydy dx y x dy e xydy dx y y

dx y x y dy y x y e xy y )]sin([)]sin(22[(222++-=+++ 所以 )

sin(22)

sin(222y x y e xy y x y dx dy y +++++-=

例2.6 已知⎩

⎨⎧-'='=)()()(t f t f t y t f x , )(t f 为二次可微函数,且 0)(≠''t f ，求 dx dy

, 22dx y d 。

分析 这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。 解 因为 )]()([t f t f t d dy -'== dt t f t )('' dt t f t f d dx )()]([''='=

所以

t dt

t f dt t f t dx dy =''''=)()( 。 又 dt dx

dy

d =)( 所以

=2

2dx y d =

)

("1

)("t f dt t f dt dx dy dx d ==

⎪⎭⎫ ⎝⎛ 。