2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷1 (含答案解析)

2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷1

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知复数z=i(1+i)，则|z|等于()

A. 0

B. 1

C. √2

D. 2

2.已知集合A={x|−3

A. {1,2}

B. {0,1，2}

C. {1,2，3}

D. {−1,0，1，2，3}

3.曲线y=x

2x−1

在点(1,1)处的切线方程为()

A. x−y−2=0

B. x+y−2=0

C. x+4y−5=0

D. x−4y−5=0

4.从甲、乙等5名学生中随机选出2名学生，则甲被选中的概率为()．

A. 1

5B. 2

5

C. 8

25

D. 9

25

5.函数f(x)=cosx⋅ln(√1+x2−x)(−2≤x≤2)的图象大致为()

A. B.

C. D.

6.过双曲线x2−y2

b2

=1(b>0)的右焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E，O为坐标原点，若∠OFE=2∠EOF，则b=()

A. 1

2B. √3 C. 2 D. √3

3

7.若函数y=f(x)与函数y=log2x互为反函数，则f(1+log√23)=()

A. 9

B. 11

C. 16

D. 18

8.如果直线m//平面α，直线n⊂平面α，则下列说法正确的为()

A. 有且只有一个平面β，使得m⊥β，且n⊂β

B. 有无数个平面β，使得m⊥β，且n⊂β

C. 不存在平面β，使得m ⊥β，且n ⊂β

D. 至多有一个平面β，使得m ⊥β，且n ⊂β

9. (sin22.5°+cos22.5°)2的值为( )

A. 1−√22

B. 1+√22

C. √2−1

D. 2

10. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商

高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，△ABC 满足“勾3股4弦5”，且AB =3，E 为AD 上一点，BE ⊥AC.若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )

A. 10

7

B. 9

8

C. 25

16

D. 29

18

11. 在△ABC 中，若bsinA =acosB ，则角B 的值为( )

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 45°

12. 已知椭圆C ：

x 2

a 2

+y 2

b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，直线AF 2与椭圆C 的另一个交点为B.若△BF 1A 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为( )

A. 1

3

B. √3

3

C. 1

2

D. √22

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知实数x ，y 满足约束条件{

x −y +3≥0,

x +2y ≥0,x ≤2,

则z =3x +y 的最小值为________． 14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15=300，则a 1，a 2，a 3，…，a 15这15个数的中位数

为______．

15. 设函数f(x)=sinx −cosx +x +1，求函数f(x)的单调区间与极值． 16. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，

AA 1=a ，∠BAB 1=∠B 1A 1C 1=30°，则AB 与A 1C 1所成的角为____，AA 1与B 1C 所成的角为____. 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1−2a n =2n (n ∈N ∗)，数列{b n }满足b n =a

n

2n .求数列{a n }的前n

项和S n ．

18.某校体育教研组研发了一项新的课外活动项目，为了解该项目受欢迎程度，在某班男女中各随

机抽取20名学生进行调研，统计得到如下列联表：

喜欢不喜欢总计

女生15

男生1220

合计

附：参考公式及数据

P(K2≥k)0.150.100.050.025

k 2.0722.7063.8415.024

(1)在喜欢这项课外活动项目的学生中任选1人，求选到男生的概率；

(2)根据题目要求，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“喜欢该活动项目与性别有

关”？

19.四棱锥P−ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，AB=

1

CD=1，PA⊥平面ABCD，PA=AD=√3．

2

(1)求证：PD⊥AB；

(2)求四棱锥P−ABCD的体积．

20. 已知边长为16√3的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线C ：y 2=2px(p >

0)上．

(1)求抛物线C 的方程；

(2)直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，交抛物线C 的准线l′于点P ，交x 轴于点M ，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.证明：直线l 过定点，并求出定点坐标．

21. 已知函数

(1)当a ≥0时，求f(x)的单调区间；

(2)若存在a ∈(−∞,0]，使得f(x)≥bln(x +1)在x ∈[0,+∞)上恒成立，求实数b 的取值范围．

22. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{

x =3+5cosθ

y =−4+5sinθ

(θ为参数)，以平面直角坐标

系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．