分式与分式方程经典例题讲解

分式与分式方程复习

一.分式

例1：要使分式x 1

有意义，x 的取值满足（ ）

A.x ＝0

B.x ≠0

C.x ＞0

D.x ＜0

【解析】分式有意义的条件是分母不为0，即x ≠0。

【答案】选：B ．

【点评】此题考查的是分式有意义的条件，属于基础题。

例2：使代数式12-x x

有意义的x 的取值范围是

A.0≥x

B.

21≠x C. 0≥x 且21≠x D.一切实数 【解析】要使原代数式有意义，需要x 中的x ≥0；分母中的2x-1≠0.

【答案】解不等式组0210x x ≥⎧⎨-≠⎩

得0≥x 且21≠x ，故选C ． 【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数．

例3：若分式1

2x x -+的值为0,则 ( )

A. x=-2

B. x=0

C. x=1或x=-2

D. x=1

【解析】若分式12x x -+的值为0,则需满足1020x x -=⎧⎨+≠⎩

,解得x ＝1, 故选D. 【答案】D.

【点评】本题考查分式值为0时,x 的取值. 提醒注意:若使分式的值为0,需满足分子为零,同时分母不为零两个条件,缺一不可.

分式的乘除

例4：化简11122-÷-x x 的结果是 （ ） Ａ．12-x Ｂ．122-x Ｃ．12

+x Ｄ．()12+x

【解析】根据分式除法法则，先变成乘法，再把分子、分母因式分解，约分，得到正确答案C

【答案】C

【点评】分式的混合你算是近些年中考重点考查的对象，特别是化简求值题，在教学中加以针对性训练。本题属于简单题型。

例5：先化简，后计算：， 其中a ＝－3．

【解析】先将各分式的分子、分母分解因式，再进行分式乘除法混合运算，后代入计算．

【答案】原式＝

919)3(2)3()9)(9(2+∙-+∙++-a a a a a a ＝32

+a

当33-=a 时，原式＝33

2

【点评】本题主要考察分式乘除法混合运算，注意解答的规范化，是基础题．

例6：化简代数式x x x 2122+-÷x x 1-，并判断当x 满足不等式⎩

⎨⎧->-<+6)1(212x x 时该代数式的符号. 解析：先将分式化简，再解不等式组，在不等式的解集中选使分式有意义的数代入求值．

答案：原式=x x x 2122+-÷x x 1-=)2()1)(1(+-+x x x x ×1-x x =21

++x x

解不等组得：-3

在规定的范围内选取符合条件的x 值即可（答案不唯一）

点评：本题考察分式的化简求值，解不等式组结合同时选取使分式有意义的值.

例7：下列计算错误的是( )

A ．

B ．

C ．

D ． 【解析】A ．不正确．由分式的基本型分式的分子分母同时乘以10后应为：0.22100.7710a b a b a b a b ++=--；B ．正确，分

式的分子分母同时约去最简公因式即可得出结论；Ｃ正确，互为相反数的商为－１,；Ｄ．正确，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．

【答案】Ａ

【点评】本题考查了分式的基本性质、约分和分式的加减．分式的基本性质：分式的分子分母同乘以或除以同一个不为０的数或整式，分式的值不变．约分：约去分式中的分子或分母分式的值不变．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．

例8：化简111--

x x ，可得（ ） A. x x -21 B. x x --21 C. x x x -+212 D. x x x --212

【解析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式 ．

【答案】B

【点评】分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．

例9：化简x x x x -+

-112的结果是（ ）

A.x +1

B. x -1

C.—x

D. x

6. 解析：本题是分式的加法运算，分式的加减，首先看分母是否相同，同分母的分式加减，分母不变，分子相c

c c 321=+y x y x y x =32231-=--a b b a b a b a b a b a -+=-+727.02.0

加减，如果分母不同，先通分，后加减，本题分母互为相反数，可以化成同分母的分式加减．

解答：解：x x x x x x x x x x x =--=--=---=1)1(11122 故选D ．

点评：分式的一些知识可以类比着分数的知识学习，分式的基本性质是关键，掌握了分式的基本性质，可以利用它进行通分、约分，在进行分式运算时根据法则，一定要将结果化成最简分式．

例10：计算：=-+-x x x 52552 .

【解析】根据分式的加减法法则计算即可．

【答案】2225255)(5)=55555x x x x x x x x x --++==+----（，答案为：x+5

【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．

例11：化简：22(

)224m m m m m m -÷+--= 。 【解析】把括号里的分式通分化为同分母分式的运算，再把除法变为乘法，为了便于约分，能分解因式的要先分

解因式.22()22

4m m m m m m -÷+--= 22(2)(2)4(2)(2)m m m m m m m m --+-⨯+- =26m m

m -=m-6.

【答案】m-6.

【点评】本题考查了分式的运算.先把括号里的分式通分并运算，把除法变成乘法.分式运算的一般步骤是：先计算乘方，再计算乘除，后计算加减，有括号内的先计算括号内的，同级运算自左向右依次运算.

例12：计算：÷⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+4412a 2-a a . 解析：÷⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+4412a 24-a =÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--4444222a a a 2-a a =22)

2)(2(2+=-⋅-+a a a a a a a .